Ch6～Ch9 排序、顺序统计

统计 有序集合 须先排序 O(lg n) 在n个元素的集合中找ith最小元 无序集合 线性 O(n) 2
Chapter 6. 堆排序
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堆排序（二叉堆） §6 堆排序（二叉堆）
逻辑结构： 逻辑结构：完全二叉树 存贮结构：向量， 存贮结构 ： 向量 ， 将其看做是完全二叉树的顺序存 储结构 堆性质
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}
快速排序（ §7 快速排序（续）
循环不变量
I. A[p..i] ≤ x II. A[i+1..j-1] > x III. A[j..r-1] 尚未确定 IV. A[r]=x
Note： ：
这种划分使得： 这种划分使得：A[p..q-1] ≤ A[q] < A[q+1..r]
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快速排序（ §7 快速排序（续）
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//在[p..r]中选随机数i
§7 快速排序 (续) 续
3. 随机版本 但随机化算法分析较困难 该算法非常有效， 在排序过程中， 该算法非常有效 ， 在排序过程中 ， 某次随机选择 最坏不会影响总体效果
Ex 7.2-5 上机作业： 上机作业：写2个快排版本比较之 个快排版本比较之
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Chapter 8. 线性时间内的排序
k =1 k =1 n n
最好划分： 两子问题大小大致相等） ② 最好划分：（两子问题大小大致相等）
T (n) = 2T (n / 2) + θ (n) = θ (n lg n) //由master定理
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§7 快速排序 (续) 续
③ 平衡划分
快排平均时间接近于最好情况，设划分总是产生 划分 快排平均时间接近于最好情况，设划分总是产生9:1划分
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优先队列（ §6.5 优先队列（续）
④ 增值
HeapIncreaseKey ( A, i, key ) { //将A[i]值增加至key if (key < A[i ]) error (" new key is smaller than current key "); A[i ] ← key; while (i > 1) and ( A[ Parent (i )] < A[i ]) do { //i非根且违反堆序 A[i ] ↔ A[ Parent (i )]; i ← parent (i ); } } 调整至根或已满足堆序，注意无须向下调整
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Chapter 7. Quicksort
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§7 快速排序
尽管最坏时间是θ (n ), 但期望时间为θ (n lg n)
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基于比较排序的时间下界为： n ! n lg n − 1.44n + O(lg n) lg 1.39 快速排序平均： n lg n + O (n), 系数较小故称“快排”
∀node i ∈ T , i非根 A[ parent (i )] ≥ A[i ] / / 大根堆 or A[ parent (i )] ≤ A[i ] / /小根堆 即：从任一结点到根的路径上关键字序列有序 只要满足此性质的树均可视为堆，不一定要完 全二叉树.
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§6.5 优先队列
通常的FIFO队列遵循先来先服务的原则，从表中删 队列遵循先来先服务的原则， 通常的 队列遵循先来先服务的原则 最老” “最老”的项 优先队列也是一种表（或集合） ：从表S中删去优 优先队列也是一种表（或集合）S：从表 中删去优 先级最高的元素， 即根据工作的重要性（优先级） 先级最高的元素 ， 即根据工作的重要性 （ 优先级 ） 来提供服务。 中的每个元素都有一个key表示优 来提供服务。（S中的每个元素都有一个 中的每个元素都有一个 表示优 先级） 先级） 优先队列至少支持下面4个操作 优先队列至少支持下面 个操作
1. 算法描述
① 方法
Divide : A[ p..r ] ⇒ A[ p..q − 1] ≤ A[q ] ≤ A[q + 1..r ] Conquer : 递归对A[ p..q − 1]，A[q + 1..r ]快排 终结条件，区间长度为1时空操作 Combine : 空操作
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快速排序（ §7 快速排序（续）
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优先队列（ §6.5 优先队列（续）
MaxHeapInsert ( A, key ) { //在堆A中插入key Size[ A] ← Size[ A] + 1; i ← Size[ A]; //堆Size+1 //i为待插入位置
while i > 1 and A[ parent (i )] < key do { //i非根且违反堆性质时调整 A[i ] ← A[ parent (i )]; //将违反堆性质的元素从父节点筛下 i ← parent (i ); //交换位置上溯至双亲 } A[i ] ← key; } 时间T (n) = O (lg n) //最多调整至根，树高为lgn //插入合适位置
插入集合S ① Insert(S, x): 将x插入集合 插入集合 返回具有最大key的元素 ② Maximum(S): 返回具有最大 的元素 删除并返回具有最大key的元素 ③ extract-max(S): 删除并返回具有最大 的元素 ④ HeapIncreaseKey(S, x, k): 将x的值增至 的值增至k 的值增至
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优先队列（ §6.5 优先队列（续）
HeapExtractMax ( A) { if Size[ A] < 1 then error ("underflow"); //返回 max ← A[1]; //取堆顶最大元 A[1] ← A[Size[ A]]; //堆中最后元素送堆顶 Size ← Size − 1; Heapify( A,1); //将A[1]调整，Size已改变， //只有A[1]可能违反堆性质 return max; } 时间O(lg n)，从A[1]向下调整，最多至树叶
② 算法
QuickSort ( A, p , r ) { if ( p < r ){ q ← Partition ( A, p , r ); //划分元A[q]已正确 QuickSort ( A, p, q − 1); QuickSort ( A, q + 1, r ); } }
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快速排序（ §7 快速排序（续）
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优先队列（ §6.5 优先队列（续）
Note：插入操作可调用此操作完成 ：
将SizreaseKey（A，Size，key） //保证在 （ ， 保证在A[Size] ， ） 保证在 上是增值 结论：使用堆能使优先队列的所有操作时间为 结论：使用堆能使优先队列的所有操作时间为O(lg n) Ex 6.5-7
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§7 快速排序 (续) 续
3. 随机版本
快速排序的平均性能假定： 快速排序的平均性能假定：输入的所有排列是等可能的 算法随机化是指： 算法随机化是指： 算法行为不仅由输入确定， 算法行为不仅由输入确定，而且与随机数发生器产生的值 有关。 有关。强迫输入分布是随机的
RandomizedPartition ( A, p, r ) {//取代原partition i ← Random( p, r ); A[r ] ↔ A[i ]; return Partition ( A, p, r ); //取A[r]作划分元 }
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§8.1 下界
可用判定树证明基于比较的排序时间下界为 Ω( n lg n)
§8.2 计数排序
假定： 个输入元素均为 个输入元素均为1到 范围内的整数 范围内的整数。 假定：n个输入元素均为 到k范围内的整数。 这里k不一定等于n，元素不一定唯一。 k=O(n)时 这里k不一定等于n，元素不一定唯一。当k=O(n)时， 不一定等于 排序时间为O(n) 排序时间为 Note: 若n个互不相同的整数值为 ～n，则 个互不相同的整数值为1～ ， 个互不相同的整数值为 for( i=1; i≤n; i++ ) B[ A[i] ] A[i]
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优先队列（ §6.5 优先队列（续）
用二叉堆来实现优先队列
② 取最大关键字 即返回A[1] 返回堆顶元素 θ (1) ，即返回 删除（出队） ③ 删除（出队） 删除key最大 （ 优先级最高的元素 ） ， 即 A[1]。与堆排序类 最大（优先级最高的元素） 删除 最大 。 只不过Size减1，即 似，只不过 减 ， I. 取堆顶 取堆顶A[1] II. 将A[Size]送至 送至A[1] 送至 III. Size-1 IV. 将A[1…Size]调整为堆 调整为堆
T (n) ≤ T (9n /10) + T (n /10) + cn
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§7 快速排序 (续) 续
③ 平衡划分 ∵任何底大于1的对数与以 为底的对数之间只相差 任何底大于 的对数与以2为底的对数之间只相差 的对数与以 一常数因子 ∴ 任何常数比例（如 99:1, 999:1）的划分，树高仍 任何常数比例（ ） 的划分， 为O(lgn)，从而快排时间为 ，从而快排时间为O(n lgn)
③划分
Partition( A, p, r ){ x ← A[r ]; //区间最后元素为划分元 i ← p − 1; for j ← p to r − 1 do { //始终有i ≤ j if ( A[ j ] ≤ x){ //使A[ p..i ] ≤ x i ← i + 1; A[i ] ↔ A[ j ]; } //end if 若含A[j]>x时，j加1 } //end for A[i + 1] ↔ A[r ]; //划分元位置为i+1 return i + 1;
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计数排序（ §8.2 计数排序（续）
算法 CountingSort ( A, B, k ) { for i ← 1 to k do C[i ] ← 0; for j ← 1 to length[ A] do