人教版七年级数学下册期末解答题测试(含答案)

人教版七年级数学下册期末解答题测试（含答案）
一、解答题
1．（1）小丽计划在母亲节那天送份礼物妈妈，特设计一个表面积为12dm2的正方体纸盒，则这个正方体的棱长是．
（2）为了增加小区的绿化面积，幸福公园准备修建一个面积121πm2的草坪，草坪周围用篱笆围绕．现从对称美的角度考虑有甲，乙两种方案，甲方案：建成正方形；乙方案：建成圆形的．如果从节省篱笆费用的角度考虑，你会选择哪种方案？请说明理由；
（3）在（2）的方案中，审批时发现修如此大的草坪，目的是亲近自然，若按上方案就没达到目的，因此建议用如图的设计方案：正方形里修三条小路，三条小路的宽度是一样，这样草坪的实际面积就减少了21πm2，请你根据此方案求出各小路的宽度（π取整数）．
2．动手试一试，如图1，纸上有10个边长为1的小正方形组成的图形纸．我们可以按图AB BC将它剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD．
2的虚线,
（1）基础巩固：拼成的大正方形ABCD的面积为______，边长AD为______；
（2）知识运用：如图3所示，将图2水平放置在数轴上，使得顶点B与数轴上的1
-重合．以点B为圆心，BC边为半径画圆弧，交数轴于点E，则点E表示的数是______；（3）变式拓展：
⨯的方格纸（每个小正方形边长为1），你能从中剪出一个面积为13的①如图4，给定55
正方形吗？若能，请在图中画出示意图；
②请你利用①中图形在数轴上用直尺和圆规
．．．．．表示面积为13的正方形边长所表示的数．3．（1）如图，分别把两个边长为1cm的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成一
个大正方形，则大正方形的边长为_______cm；
π，设圆的周长为C圆，正方形的周长（2）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是2
2cm
为C正，则C圆_____C正（填“=”或“<”或“>”号）；
（3）如图，若正方形的面积为2
400cm，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为2
300cm的长方形纸片，使它的长和宽之比为3:2，他能裁出吗？请说明理由？
4．如图,8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形,
（1）每块小长方形地砖的长和宽分别是多少?(要求列方程组进行解答)
（2）小明想用一块面积为7平方米的正方形桌布，沿着边的方向裁剪出一块新的长方形桌布，用来盖住这块长方形木桌，你帮小明算一算，他能剪出符合要求的桌布吗？
5．小丽想用一块面积为2
36cm的正方形纸片，如图所示，沿着边的方向裁出一块面积为2
20cm的长方形纸片，使它的长是宽的2倍．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗?你认为小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗为什么?
二、解答题
6．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．
（1）如图1，若∠EAF＝25°，∠EDG＝45°，则∠AED=．
（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AE D、∠EAF、
∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；
（3）如图3，当点E在FG延长线上时，DP平分∠EDC，∠AED＝32°，∠P＝30°，求∠EKD 的度数．
7．如图1，点A 在直线MN 上，点B 在直线ST 上，点C 在MN ，ST 之间，且满足MAC ACB SBC ∠+∠+∠360=︒．
（1）证明：//MN ST ；
（2）如图2，若60ACB ∠=︒，//AD CB ，点E 在线段BC 上，连接AE ，且
2DAE CBT ∠=∠，试判断CAE ∠与CAN ∠的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若180ACB n
︒∠=（n 为大于等于2的整数），点E 在线段BC 上，连接AE ，若MAE n CBT ∠=∠，则:CAE CAN ∠∠=______．
8．已知，AB ∥CD ．点M 在AB 上，点N 在CD 上．
（1）如图1中，∠BME 、∠E 、∠END 的数量关系为： ；（不需要证明） 如图2中，∠BMF 、∠F 、∠FND 的数量关系为： ；（不需要证明）
（2）如图3中，NE 平分∠FND ，MB 平分∠FME ，且2∠E ＋∠F ＝180°，求∠FME 的度数；
（3）如图4中，∠BME ＝60°，EF 平分∠MEN ，NP 平分∠END ，且EQ ∥NP ，则∠FEQ 的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ 的度数．
9．直线AB∥CD，点P为平面内一点，连接AP，CP．
（1）如图①，点P在直线AB，CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC的度数；
（2）如图②，点P在直线AB，CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，点P在直线CD下方，当∠BAK＝2
3
∠BAP，∠DCK＝2
3
∠DCP时，写出
∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．
10．已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F．
（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：
如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数；解：过点P作直线PH∥AB，
所以∠A ＝∠APH ，依据是 ；
因为AB ∥CD ，PH ∥AB ，
所以PH ∥CD ，依据是 ；
所以∠C ＝（ ），
所以∠APC ＝（ ）+（ ）＝∠A +∠C ＝97°．
（2）当点P ，Q 在线段EF 上移动时（不包括E ，F 两点）：
①如图2，∠APQ +∠PQC ＝∠A +∠C +180°成立吗？请说明理由；
②如图3，∠APM ＝2∠MPQ ，∠CQM ＝2∠MQP ，∠M +∠MPQ +∠PQM ＝180°，请直接写出∠M ，∠A 与∠C 的数量关系．
三、解答题
11．已知：三角形ABC 和三角形DEF 位于直线MN 的两侧中，直线MN 经过点C ，且BC MN ⊥，其中A ABC CB =∠∠，DEF DFE ∠=∠，90∠+∠=︒ABC DFE ，点E 、F 均落在直线MN 上．
（1）如图1，当点C 与点E 重合时，求证：//DF AB ；聪明的小丽过点C 作//CG DF ，并利用这条辅助线解决了问题．请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程． （2）将三角形DEF 沿着NM 的方向平移，如图2，求证：//DE AC ；
（3）将三角形DEF 沿着NM 的方向平移，使得点E 移动到点E '，画出平移后的三角形DEF ，并回答问题，若DFE α∠=，则∠=CAB ________．（用含α的代数式表示） 12．如图，AB ⊥AK ，点A 在直线MN 上，AB 、AK 分别与直线EF 交于点B 、C ，∠MAB+∠KCF =90°．
（1）求证：EF ∥MN ；
（2）如图2，∠NAB 与∠ECK 的角平分线交于点G ，求∠G 的度数；
（3）如图3，在∠MAB 内作射线AQ ，使∠MAQ =2∠QAB ，以点C 为端点作射线CP ，交直．线．AQ 于点T ，当∠CTA =60°时，直接写出∠FCP 与∠ACP 的关系式．
13．已知AB ∥CD ，点M 在直线AB 上，点N 、Q 在直线CD 上，点P 在直线AB 、CD 之间，∠AMP ＝∠PQN ＝α，PQ 平分∠MPN ．
（1）如图①，求∠MPQ 的度数（用含α的式子表示）；
（2）如图②，过点Q 作QE ∥PN 交PM 的延长线于点E ，过E 作EF 平分∠PEQ 交PQ 于点F ．请你判断EF 与PQ 的位置关系，并说明理由；
（3）如图③，在（2）的条件下，连接EN ，若NE 平分∠PNQ ，请你判断∠NEF 与∠AMP 的数量关系，并说明理由．
14．如图1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线,30OC AOC ︒∠=，将一直角三角板（30M ︒∠=）的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方，将图1中的三角板绕点O 以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．
（1）几秒后ON 与OC 重合？
（2）如图2，经过t 秒后，//MN AB ，求此时t 的值．
（3）若三角板在转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间OC 与OM 重合？请画图并说明理由．
（4）在（3）的条件下，求经过多长时间OC 平分MOB ∠？请画图并说明理由． 15．已知：如图1，//AB CD ，点E ，F 分别为AB ，CD 上一点．
（1）在AB ，CD 之间有一点M （点M 不在线段EF 上），连接ME ，MF ，探究AEM ∠，EMF ∠，∠MFC 之间有怎样的数量关系，请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明．
（2）如图2，在AB ，CD 之两点M ，N ，连接ME ，MN ，NF ，请选择一个图形写出AEM ∠，EMN ∠，MNF ∠，NFC ∠存在的数量关系（不需证明）．
四、解答题
16．如图，在ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，20B ∠=︒，60C ∠=°．
（1）求CAD ∠、AEC ∠和EAD ∠的度数．
（2）若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当30B ∠=︒，60C ∠=°，则EAD ∠=__________︒．
当50B ∠=︒，C 60∠=︒时，则EAD ∠=__________︒．
当60B ∠=︒，60C ∠=°时，则EAD ∠=__________︒．
当70B ∠=︒，60C ∠=°时，则EAD ∠=__________︒．
（3）若B 和C ∠的度数改为用字母α和β来表示，你能找到EAD ∠与α和β之间的关系吗？请直接写出你发现的结论．
17．在ABC 中，射线AG 平分BAC ∠交BC 于点G ，点D 在BC 边上运动（不与点G 重合），过点D 作//DE AC 交AB 于点E .
（1）如图1，点D 在线段CG 上运动时，DF 平分EDB ∠.
①若100BAC ︒∠=，30C ︒∠=，则AFD ∠=_____；若40B ︒∠=，则AFD ∠=_____； ②试探究AFD ∠与B 之间的数量关系？请说明理由；
（2）点D 在线段BG 上运动时，BDE ∠的角平分线所在直线与射线AG 交于点F .试探究AFD ∠与B 之间的数量关系，并说明理由.
18．互动学习课堂上某小组同学对一个课题展开了探究．
小亮：已知，如图三角形ABC ，点D 是三角形ABC 内一点，连接BD ，CD ，试探究BDC ∠与A ∠，1∠，2∠之间的关系．
小明：可以用三角形内角和定理去解决．
小丽：用外角的相关结论也能解决．
（1）请你在横线上补全小明的探究过程：
∵180BDC DBC BCD ∠+∠+∠=︒，（______）
∴180BDC DBC BCD ∠=︒-∠-∠，（等式性质）
∵12180A DBC BCD ∠+∠+∠+∠+∠=︒，
∴12180A DBC BCD ∠+∠+∠=︒-∠-∠，
∴12BDC A ∠=∠+∠+∠．（______）
（2）请你按照小丽的思路完成探究过程；
（3）利用探究的结果，解决下列问题：
①如图①，在凹四边形ABCD 中，135BDC ∠=︒，25B C ∠=∠=︒，求A ∠=______； ②如图②，在凹四边形ABCD 中，ABD ∠与ACD ∠的角平分线交于点E ，60A ∠=︒，140BDC ∠=︒，则E ∠=______；
③如图③，ABD ∠，ACD ∠的十等分线相交于点、1F 、2F 、…、9F ，若120BDC ∠=︒，364BF C ∠=︒，则A ∠的度数为______；
④如图④，BAC ∠，BDC ∠的角平分线交于点E ，则B ，C ∠与E ∠之间的数量关系是______；
⑤如图⑤，ABD ∠，BAC ∠的角平分线交于点E ，40C ∠=︒，140BDC ∠=︒，求AEB ∠的度数．
19．（1）如图1所示，△ABC 中，∠ACB 的角平分线CF 与∠EAC 的角平分线AD 的反向延长线交于点F ；
①若∠B ＝90°则∠F ＝ ；
②若∠B ＝a ，求∠F 的度数（用a 表示）；
（2）如图2所示，若点G 是CB 延长线上任意一动点，连接AG ，∠AGB 与∠GAB 的角平分线交于点H ，随着点G 的运动，∠F +∠H 的值是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．
20．已知，//AB CD ，点E 为射线FG 上一点．
（1）如图1，写出EAF ∠、AED ∠、EDG ∠之间的数量关系并证明；
（2）如图2，当点E 在FG 延长线上时，求证：EAF AED EDG ∠=∠+∠；
（3）如图3，AI 平分BAE ∠，DI 交AI 于点I ，交AE 于点K ，且EDI ∠：2:1CDI ∠=，20AED ∠=︒，30I ∠=︒，求EKD ∠的度数．
【参考答案】
一、解答题
1．（1）dm ；（2）从节省篱笆费用的角度考虑，选择乙方案建成圆形；（3）根据此方案求出小路的宽度为
【分析】
（1）先求得正方体的一个面的面积，然后依据算术平方根的定义求解即可； （2）根据正方形的周
解析：（12；（2）从节省篱笆费用的角度考虑，选择乙方案建成圆形；（3）根据3m
【分析】
（1）先求得正方体的一个面的面积，然后依据算术平方根的定义求解即可； （2）根据正方形的周长公式以及圆形的周长公式即可求出答案；
（3）根据图形的平移求解．
【详解】
解：（1）∵正方体有6个面且每个面都相等，
∴正方体的一个面的面积=2 dm 2．
∴正方形的棱长2dm ； 2dm ；
（2）甲方案：设正方形的边长为xm ，则x 2 =121π
∴x =11π
∴正方形的周长为：4x=44πm
乙方案: 设圆的半径rm为，则πr2==121π
∴r =11
∴圆的周长为：2rπ= 22πm
∴ 44π-22π=22π(2-)π
∵ 4＞π
∴ 2π
＞
∴20
π
-＞
∴正方形的周长比圆的周长大
故从节省篱笆费用的角度考虑，选择乙方案建成圆形；
（3）依题意可进行如图所示的平移，设小路的宽度为ym ,则
（π–y）2=121π-21π
∴π–yπ
∴yπ
∵π取整数
∴y3
3m；
【点睛】
本题主要考查的是算术平方根的定义，熟练掌握正方形的性质以及平移的性质是解题的关键；
2．（1）10，；（2）；（3）见解析；（4）见解析
【分析】
（1）易得10个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面积的算术平方根即可为大正方形的边长；
（2）根据大正方形的边长结合实
解析：（1）1010；（2101；（3）见解析；（4）见解析
【分析】
（1）易得10个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面积的算术平方根即可为大正方形的边长；
（2）根据大正方形的边长结合实数与数轴的关系可得结果；
（3）以2×3的长方形的对角线为边长即可画出图形；
（4）得到①中正方形的边长，再利用实数与数轴的关系可画出图形．
【详解】
解：（1）∵图1中有10个小正方形，
∴面积为10，边长AD为10；
（2）∵BC=10，点B表示的数为-1，
∴BE=10，
∴点E表示的数为101-；
（3）①如图所示：
②∵正方形面积为13，
∴边长为13，
如图，点E表示面积为13的正方形边长．
【点睛】
本题考查了图形的剪拼，正方形的面积，算术平方根，实数与数轴，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键．
3．（1）；（2）；（3）不能裁剪出，详见解析
【分析】
（1）根据所拼成的大正方形的面积为2即可求得大正方形的边长；
（2）由圆和正方形的面积公式可分别求的圆的半径及正方形的边长，进而可求得圆和正方形
解析：（122）<；（3）不能裁剪出，详见解析
【分析】
（1）根据所拼成的大正方形的面积为2即可求得大正方形的边长；
（2）由圆和正方形的面积公式可分别求的圆的半径及正方形的边长，进而可求得圆和正方形的周长，利用作商法比较这两数大小即可；
（3）利用方程思想求出长方形的长边，与正方形边长比较大小即可；
【详解】
解：（1）∵小正方形的边长为1cm ，
∴小正方形的面积为1cm 2，
∴两个小正方形的面积之和为2cm 2，
即所拼成的大正方形的面积为2 cm 2，
∴，
（2）∵22r ππ=， ∴
r = ∴2=2C r π=
圆
设正方形的边长为a
∵22a π=， ∴a
∴=4C a =
正
∴1C C =<圆
正
故答案为：＜；
（3）解：不能裁剪出，理由如下：
∵长方形纸片的长和宽之比为3:2，
∴设长方形纸片的长为3x ，宽为2x ，
则32300x x ⋅=，
整理得：250x =，
∴22(3)9950450x x ==⨯=，
∵450＞400，
∴22(3)20x >，
∴320x >，
∴长方形纸片的长大于正方形的边长，
∴不能裁出这样的长方形纸片．
【点睛】
本题通过圆和正方形的面积考查了对算术平方根的应用，主要是对学生无理数运算及比较大小进行了考查．
4．(1) 长是1.5m,宽是0.5m.；（2）不能.
【解析】
【分析】
（1）设每块小长方形地砖的长为xm,宽为ym,列方程组求解即可；
（2）把正方形的边长与大长方形的长比较即可.
【详解】
解:
解析：(1) 长是1.5m,宽是0.5m.；（2）不能.
【解析】
【分析】
（1）设每块小长方形地砖的长为xm,宽为ym,列方程组求解即可；
（2）把正方形的边长与大长方形的长比较即可.
【详解】
解:（1）设每块小长方形地砖的长为xm,宽为ym,由题意得:
32
x y x y =⎧⎨+=⎩, 解得: 1.50.5x y =⎧⎨=⎩
, ∴长是1.5m,宽是0.5m.
（2）∵正方形的面积为7平方米，
∴米，
∵
∴他不能剪出符合要求的桌布.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，算术平方根的应用，找出等量关系列出方程组是解（1）的关键，求出正方形的边长是解（2）的关键.
5．不同意，理由见解析
【分析】
先求得正方形的边长，然后设设长方形宽为，长为，然后依据矩形的面积为20列方程求得的值，从而得到矩形的边长，从而可作出判断．
【详解】
解：不同意，
因为正方形的面积为，
解析：不同意，理由见解析
【分析】
先求得正方形的边长，然后设设长方形宽为x ，长为2x ，然后依据矩形的面积为20列方程求得x 的值，从而得到矩形的边长，从而可作出判断．
【详解】
解：不同意，
因为正方形的面积为236cm ，故边长为6cm
设长方形宽为x ，则长为2x
长方形面积22220x x x =⋅==
∴210x =， 解得10x =（负值舍去）
长为210cm 6cm >
即长方形的长大于正方形的边长，
所以不能裁出符合要求的长方形纸片
【点睛】
本题主要考查的是算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．
二、解答题
6．（1）70°；（2），证明见解析；（3）122°
【分析】
（1）过作，根据平行线的性质得到，，即可求得；
（2）过过作，根据平行线的性质得到，，即；
（3）设，则，通过三角形内角和得到，由角平分线
解析：（1）70°；（2）EAF AED EDG ∠=∠+∠，证明见解析；（3）122°
【分析】
（1）过E 作//EF AB ，根据平行线的性质得到25EAF AEH ∠=∠=︒，45EAG DEH ∠=∠=︒，即可求得AED ∠；
（2）过过E 作//EM AB ，根据平行线的性质得到180EAF MEH ∠=︒-∠，
180EDG AED MEH ∠+∠=︒-，即EAF AED EDG ∠=∠+∠；
（3）设EAI x ∠=，则3BAE x ∠=，通过三角形内角和得到2EDK x ∠=-︒，由角平分线定义及//AB CD 得到33224x x =︒+-︒，求出x 的值再通过三角形内角和求EKD ∠．
【详解】
解：（1）过E 作//EF AB ，
//AB CD ，
//EF CD ∴，
25EAF AEH ∴∠=∠=︒，45EAG DEH ∠=∠=︒，
70AED AEH DEH ∴∠=∠+∠=︒，
故答案为：70︒；
（2）EAF AED EDG ∠=∠+∠．
过E 作//EM AB ，
//AB CD ，
//EM CD ∴，
180EAF MEH ∴∠+∠=︒，180EDG AED MEH ∠+∠+=︒，
180EAF MEH ∴∠=︒-∠，180EDG AED MEH ∠+∠=︒-，
EAF AED EDG ∴∠=∠+∠；
（3）:1:2EAP BAP ∠∠=，
设EAP x ∠=，则3BAE x ∠=，
32302AED P ∠-∠=︒-︒=︒，DKE AKP ∠=∠，
又180EDK DKE DEK ∠+∠+∠=︒，180KAP KPA AKP ∠+∠+∠=︒，
22EDK EAP x ∴∠=∠-︒=-︒， DP 平分EDC ∠，
224CDE EDK x ∴∠=∠=-︒，
//AB CD ，
EHC EAF AED EDG ∴∠=∠=∠+∠，
即33224x x =︒+-︒，解得28x =︒，
28226EDK ∴∠=︒-︒=︒，
1802632122EKD ∴∠=︒-︒-︒=︒．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和判定，正确做出辅助线是解决问题的关键．
7．（1）见解析；（2）见解析；（3）n-1
【分析】
（1）连接AB ，根据已知证明∠MAB+∠SBA=180°，即可得证；
（2）作CF ∥ST ，设∠CBT=α，表示出∠CAN ，∠ACF ，∠BCF ，根据
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）n -1
【分析】
（1）连接AB ，根据已知证明∠MAB +∠SBA =180°，即可得证；
（2）作CF ∥ST ，设∠CBT =α，表示出∠CAN ，∠ACF ，∠BCF ，根据AD ∥BC ，得到∠DAC =120°，求出∠CAE 即可得到结论；
（3）作CF ∥ST ，设∠CBT =β，得到∠CBT =∠BCF =β，分别表示出∠CAN 和∠CAE ，即可得到比值．
解：（1）如图，连接AB ，
，
360MAC ACB SBC ∠+∠+∠=︒，
180ACB ABC BAC ∠+∠+∠=︒，
180MAB SBA ∴∠+∠=︒，
//MN ST ∴
（2）2CAE CAN ∠=∠，
理由：作//CF ST ，则////,MN CF ST 如图，
设CBT α∠=，则2DAE α∠=．
BCF CBT α∠=∠=，60CAN ACF α∠=∠=︒-，
//AD BC ，180120DAC ACB ∠=︒-∠=︒，
12012022(60)2CAE DAE CAN αα∴∠=︒-∠=︒-=︒-=∠．
即2CAE CAN ∠=∠．
（3）作//CF ST ，则////,MN CF ST 如图，设CBT β∠=，则MAE n β∠=．
//CF ST ，
CBT BCF β∴∠=∠=，
180180n ACF CAN n n
ββ︒︒-∠=∠=-=， 1801180180(180)n CAE MAE CAN n n n n βββ︒-∠=︒-∠-∠=︒--
+=︒-， 11::1n CAE CAN n n n
-∠∠==-， 故答案为1n -．
本题主要考查平行线的性质和判定，解题关键是角度的灵活转换，构建数量关系式．8．（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30°
【分析】
（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB
解析：（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30°
【分析】
（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；
（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，进而可求解；
∠BME，进而可求解．
（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=1
2
【详解】
解：（1）过E作EH∥AB，如图1，
∴∠BME＝∠MEH，
∵AB∥CD，
∴HE∥CD，
∴∠END＝∠HEN，
∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，
即∠BME＝∠MEN﹣∠END．
如图2，过F作FH∥AB，
∴∠BMF＝∠MFK，
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠FND＝∠KFN，
∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，
即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，
∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，
∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，
∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
解得∠BMF＝60°，
∴∠FME＝2∠BMF＝120°；
（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．
由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，
∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，
∴∠FEN＝1
2∠MEN＝1
2
（∠BME＋∠END），∠ENP＝1
2
∠END，
∵EQ∥NP，
∴∠NEQ＝∠ENP，
∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝1
2（∠BME＋∠END）﹣1
2
∠END＝1
2
∠BME，
∵∠BME＝60°，
∴∠FEQ＝1
2
×60°＝30°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键．9．（1）80°；（2）∠AKC＝∠APC，理由见解析；（3）∠AKC＝∠APC，理由见解析
【分析】
（1）先过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，再根据∠
解析：（1）80°；（2）∠AKC＝1
2∠APC，理由见解析；（3）∠AKC＝2
3
∠APC，理由见解
析
【分析】
（1）先过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，再根据∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP进行计算即可；
（2）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，进而得到∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，再根据角平分线
的定义，得出∠BAK+∠DCK＝1
2∠BAP+1
2
∠DCP＝1
2
（∠BAP+∠DCP）＝1
2
∠APC，进而得
到∠AKC＝1
2
∠APC；
（3）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，进而得到∠AKC＝∠BAK﹣∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，再根据已知得出∠BAK﹣
∠DCK＝2
3∠BAP﹣2
3
∠DCP＝2
3
∠APC，进而得到∠BAK﹣∠DCK＝2
3
∠APC．
【详解】
（1）如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°；（2）∠AKC＝1
2
∠APC．
理由：如图2，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，
∴∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，
过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，
∴∠BAK+∠DCK＝1
2∠BAP+1
2
∠DCP＝1
2
（∠BAP+∠DCP）＝1
2
∠APC，
∴∠AKC＝1
2
∠APC；
（3）∠AKC＝2
3
∠APC
理由：如图3，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，
∴∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，
∵∠BAK＝2
3∠BAP，∠DCK＝2
3
∠DCP，
∴∠BAK﹣∠DCK＝2
3∠BAP﹣2
3
∠DCP＝2
3
（∠BAP﹣∠DCP）＝
2
3
∠APC，
∴∠AKC＝2
∠APC．
3
【点睛】
本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是作出平行线构造内错角相等计算．
10．（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；
∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由见解答过程；②3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．
解析：（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠CPH；
∠APH，∠CPH；（2）①∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由见解答过程；
②3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．
【分析】
（1）根据平行线的判定与性质即可完成填空；
（2）结合（1）的辅助线方法即可完成证明；
（3）结合（1）（2）的方法，根据∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，
∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，即可证明∠PMQ，∠A与∠C的数量关系．
【详解】
解：过点P作直线PH∥AB，
所以∠A＝∠APH，依据是两直线平行，内错角相等；
因为AB∥CD，PH∥AB，
所以PH∥CD，依据是平行于同一条直线的两条直线平行；
所以∠C＝（∠CPH），
所以∠APC＝（∠APH）+（∠CPH）＝∠A+∠C＝97°．
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠CPH；
∠APH，∠CPH；
（2）①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由如下：
过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB ∥CD ∥PH ∥QG ，
∴∠A ＝∠APH ，∠C ＝∠CQG ，∠HPQ +∠GQP ＝180°，
∴∠APQ +∠PQC ＝∠APH +∠HPQ +∠GQP +∠CQG ＝∠A +∠C +180°．
∴∠APQ +∠PQC ＝∠A +∠C +180°成立；
②如图3，
过点P 作直线PH ∥AB ，QG ∥AB ，MN ∥AB ，
∵AB ∥CD ，
∴AB ∥CD ∥PH ∥QG ∥MN ，
∴∠A ＝∠APH ，∠C ＝∠CQG ，∠HPQ +∠GQP ＝180°，∠HPM ＝∠PMN ，∠GQM ＝∠QMN ，
∴∠PMQ ＝∠HPM +∠GQM ，
∵∠APM ＝2∠MPQ ，∠CQM ＝2∠MQP ，∠PMQ +∠MPQ +∠PQM ＝180°，
∴∠APM +∠CQM ＝∠A +∠C +∠PMQ ＝2∠MPQ +2∠MQP ＝2（180°﹣∠PMQ ）， ∴3∠PMQ +∠A +∠C ＝360°．
【点睛】
考核知识点：平行线的判定和性质．熟练运用平行线性质和判定，添加适当辅助线是关键．
三、解答题
11．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；．
【分析】
（1）过点C 作，得到，再根据，，得到，进而得到，最后证明；
（2）先证明，再证明，得到，问题得证；
（3）根据题意得到，根据（２）结论得到∠D
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；2α．
【分析】
（1）过点C 作//CG DF ，得到DFE FCG ∠=∠，再根据90BCF ∠=︒，
90∠+∠=︒ABC DFE ，得到ABC BCG ∠=∠，进而得到//CG AB ，最后证明//DF AB ；
（2）先证明90ACB DEF ∠+∠=︒，再证明90ACB ACE ∠+∠=︒，得到DEF ACE ∠=∠，问题得证；
（3）根据题意得到DFE DEF α∠=∠=，根据（２）结论得到∠DEF =∠ECA =α，进而得到=90BC AC A B α=∠︒-∠，根据三角形内角和即可求解．
【详解】
解：（1）过点C 作//CG DF ，
DFE FCG ∴∠=∠，
BC MN ⊥，
90BCF ∴∠=︒，
90BCG FCG ∴∠+∠=︒，
90BCG DFE ∴∠+∠=︒，
90ABC DFE ∠+∠=︒，
ABC BCG ∴∠=∠，
//CG AB ∴，
//DF AB ∴；
（2）解：ABC ACB ∠=∠，DEF DFE ∠=∠，
又90ABC DFE ∠+∠=︒，
90ACB DEF ∴∠+∠=︒，
BC MN ⊥，
90BCM ∴∠=︒，
90ACB ACE ∴∠+∠=︒，
DEF ACE ∴∠=∠，
//DE AC ∴；
（3）如图三角形DEF 即为所求作三角形．
∵DFE α∠=，
∴DFE DEF α∠=∠=，
由（2）得，DE ∥AC ，
∴∠DEF =∠ECA =α，
∵90ACB ACE ∠+∠=︒，
∴∠ACB =90α︒-，
∴ =90BC AC A B α=∠︒-∠，
∴∠A =180°-A ABC CB -∠∠=2α．
故答案为为：2α．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，三角形的内角和等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识，根据题意画出图形是解题关键．
12．（1）见解析；（2）∠CGA=45°；（3）∠FCP=2∠ACP或
∠FCP+2∠ACP=180°．
【分析】
（1）有垂直定义可得∠MAB+∠KCN=90°，然后根据同角的余角相等可得
∠KAN=∠K
解析：（1）见解析；（2）∠CGA=45°；（3）∠FCP=2∠ACP或∠FCP+2∠ACP=180°．
【分析】
（1）有垂直定义可得∠MAB+∠KCN=90°，然后根据同角的余角相等可得∠KAN=∠KCF，从而判断两直线平行；
（2）设∠KAN=∠KCF=α，过点G作GH∥EF，结合角平分线的定义和平行线的判定及性质求解；
（3）分CP交射线AQ及射线AQ的反向延长线两种情况结合角的和差关系分类讨论求解．【详解】
解：（1）∵AB⊥AK
∴∠BAC=90°
∴∠MAB+∠KAN=90°
∵∠MAB+∠KCF=90°
∴∠KAN=∠KCF
∴EF∥MN
（2）设∠KAN=∠KCF=α
则∠BAN=∠BAC+∠KAN=90°＋α
∠KCB=180°－∠KCF=180°－α
∵AG平分∠NAB，CG平分∠ECK
∴∠GAN=1
2∠BAN=45°＋1
2
α，∠KCG=1
2
∠KCB=90°－1
2
α
∴∠FCG=∠KCG+∠KCF=90°＋1
2
α过点G作GH∥EF
∴∠HGC=∠FCG=90°＋1
2
α
又∵MN∥EF
∴MN∥GH
∴∠HGA=∠GAN=45°＋1
2
α
∴∠CGA=∠HGC－∠HGA=（90°＋1
2α）－（45°＋1
2
α）=45°
（3）①当CP 交射线AQ 于点T
∵180CTA TAC ACP ∠+∠+∠=︒
∴180CTA QAB BAC ACP ∠+∠+∠+∠=︒
又∵=60,90CTA BAC ∠︒∠=︒
∴30QAB ACP ∠+∠=︒
由（1）可得：EF ∥MN
∴FCA MAC ∠=∠
∵FCP FCA ACP ∠=∠+∠
∴FCP MAC ACP ∠=∠+∠
∵MAC MAQ QAB BAC ∠=∠+∠+∠，2MAQ QAB ∠=∠
∴()390=330901803MAC QAB ACP ACP ∠=∠+︒︒-∠+︒=︒-∠
∴1803FCP ACP ACP ∠=︒-∠+∠
即∠FCP +2∠ACP=180°
②当CP 交射线AQ 的反向延长线于点T ，延长BA 交CP 于点G
FCP FCA ACP ∠=∠-∠，由EF ∥MN 得MAC FCA ∠=∠
∴FCP MAC ACP ∠=∠-∠
又∵TAG QAB ∠=∠，180BAC CAG ∠+∠=︒，90BAC ∠=︒
∴18090CAG BAC ∠=︒-∠=︒
90CAT CAG TAG QAB ∠=∠-∠=︒-∠
∵180CAT CTA ACP ∠+∠+∠=︒，60CTA ∠=︒
∴120CAT ACP ∠+∠=︒
∴90120QAB ACP ︒-∠+∠=︒
∴30QAB ACP ∠=∠-︒
由①可得390MAC QAB ∠=∠+︒
∴()=330903MAC ACP ACP ∠∠-︒+︒=∠
∴32FCP MAC ACP ACP ACP ACP ∠=∠-∠=∠-∠=∠
综上，∠FCP =2∠ACP 或∠FCP +2∠ACP=180°．
【点睛】
本题考查平行线的判定和性质以及角的和差关系，准确理解题意，正确推理计算是解题关键．
13．（1）2α；（2）EF ⊥PQ ，见解析；（3）∠NEF ＝∠AMP ，见解析
【分析】
1）如图①，过点P 作PR ∥AB ，可得AB ∥CD ∥PR ，进而可得结论；
（2）根据已知条件可得2∠EPQ+2∠PEF ＝
解析：（1）2α；（2）EF ⊥PQ ，见解析；（3）∠NEF ＝12∠AMP ，见解析
【分析】
1）如图①，过点P 作PR ∥AB ，可得AB ∥CD ∥PR ，进而可得结论；
（2）根据已知条件可得2∠EPQ+2∠PEF ＝180°，进而可得EF 与PQ 的位置关系； （3）结合（2）和已知条件可得∠QNE ＝∠QEN ，根据三角形内角和定理可得∠QNE ＝12（180°﹣∠NQE ）＝12（180°﹣3α），可得∠NEF ＝180°﹣∠QEF ﹣∠NQE ﹣∠QNE ，进而可得结论．
【详解】
解：（1）如图①，过点P 作PR ∥AB ，
∵AB ∥CD ，
∴AB ∥CD ∥PR ，
∴∠AMP ＝∠MPR ＝α，∠PQN ＝∠RPQ ＝α，
∴∠MPQ ＝∠MPR+∠RPQ ＝2α；
（2）如图②，EF ⊥PQ ，理由如下：
∵PQ 平分∠MPN ．
∴∠MPQ ＝∠NPQ ＝2α，
∵QE ∥PN ，
∴∠EQP＝∠NPQ＝2α，
∴∠EPQ＝∠EQP＝2α，
∵EF平分∠PEQ，
∴∠PEQ＝2∠PEF＝2∠QEF，
∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°，
∴2∠EPQ+2∠PEF＝180°，
∴∠EPQ+∠PEF＝90°，
∴∠PFE＝180°﹣90°＝90°，
∴EF⊥PQ；
（3）如图③，∠NEF＝1
2
∠AMP，理由如下：
由（2）可知：∠EQP＝2α，∠EFQ＝90°，
∴∠QEF＝90°﹣2α，
∵∠PQN＝α，
∴∠NQE＝∠PQN+∠EQP＝3α，
∵NE平分∠PNQ，
∴∠PNE＝∠QNE，
∵QE∥PN，
∴∠QEN＝∠PNE，
∴∠QNE＝∠QEN，
∵∠NQE＝3α，
∴∠QNE＝1
2（180°﹣∠NQE）＝1
2
（180°﹣3α），
∴∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE
＝180°﹣（90°﹣2α）﹣3α﹣1
2
（180°﹣3α）
＝180°﹣90°+2α﹣3α﹣90°+3 2α
＝1
2
α
＝1
2
∠AMP．
∴∠NEF＝1
2
∠AMP．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟悉相关性质是解题的关键．14．（1）10秒；（2）20秒；（3）20秒，画图见解析；（4）秒，画图见解
析
【分析】
（1）用角的度数除以转动速度即可得；
（2）求出∠AON=60°，结合旋转速度可得时间t；（3）设∠AON=3
解析：（1）10秒；（2）20秒；（3）20秒，画图见解析；（4）70
3
秒，画图见解析
【分析】
（1）用角的度数除以转动速度即可得；
（2）求出∠AON=60°，结合旋转速度可得时间t；
（3）设∠AON=3t，则∠AOC=30°+6t，由题意列出方程，解方程即可；（4）根据转动速度关系和OC平分∠MOB，由题意列出方程，解方程即可．【详解】
解：（1）∵30÷3=10，
∴10秒后ON与OC重合；
（2）∵MN∥AB
∴∠BOM=∠M=30°，
∵∠AON+∠BOM=90°，
∴∠AON=60°，
∴t=60÷3=20
∴经过t秒后，MN∥AB，t=20秒．
（3）如图3所示：
∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠BOM，
∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，设∠AON=3t，则∠AOC=30°+6t，
∵OC与OM重合，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
可得：（30°+6t）+（90°-3t）=180°，
解得：t=20秒；
即经过20秒时间OC与OM重合；
（4）如图4所示：
∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM，
∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，设∠AON=3t，∠AOC=30°+6t，∵∠BOM+∠AON=90°，
∴∠BOC=∠COM=1
2∠BOM=1
2
（90°-3t），
由题意得：180°-（30°+6t）=1
2
（ 90°-3t），
解得：t=70
3
秒，
即经过70
3
秒OC平分∠MOB．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，角的计算以及方程的应用，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键．
15．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）过点M作MP∥AB．根据平行线的性质即可得到结论；
（2）根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）∠EMF=∠AEM+∠MFC．∠AEM+∠E
解析：（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）过点M作MP∥AB．根据平行线的性质即可得到结论；
（2）根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）∠EMF=∠AEM+∠MFC．∠AEM+∠EMF+∠MFC=360°．
证明：过点M作MP∥AB．
∵AB∥CD，
∴MP∥CD．
∴∠4=∠3．
∵MP∥AB，
∴∠1=∠2．
∵∠EMF=∠2+∠3，
∴∠EMF=∠1+∠4．
∴∠EMF=∠AEM+∠MFC；
证明：过点M作MQ∥AB．
∵AB∥CD，
∴MQ∥CD．
∴∠CFM+∠1=180°；
∵MQ∥AB，
∴∠AEM+∠2=180°．
∴∠CFM+∠1+∠AEM+∠2=360°．
∵∠EMF=∠1+∠2，
∴∠AEM+∠EMF+∠MFC=360°；
（2）如图2第一个图：∠EMN+∠MNF-∠AEM-∠NFC=180°；
过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB，
∴∠AEM=∠1，∠CFN=∠4，MP∥NQ，
∴∠2+∠3=180°，
∵∠EMN=∠1+∠2，∠MNF=∠3+∠4，
∴∠EMN+∠MNF=∠1+∠2+∠3+∠4，∠AEM+∠CFN=∠1+∠4，
∴∠EMN+∠MNF-∠AEM-∠NFC
=∠1+∠2+∠3+∠4-∠1-∠4
=∠2+∠3
=180°；
如图2第二个图：∠EMN-∠MNF+∠AEM+∠NFC=180°．
过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB，
∴∠AEM+∠1=180°，∠CFN=∠4，MP∥NQ，
∴∠2=∠3，
∵∠EMN=∠1+∠2，∠MNF=∠3+∠4，
∴∠EMN-∠MNF=∠1+∠2-∠3-∠4，∠AEM+∠CFN=180°-∠1+∠4，∴∠EMN-∠MNF+∠AEM+∠NFC
=∠1+∠2-∠3-∠4+180°-∠1+∠4
=180°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
四、解答题
16．（1）30°，70°，20°；（2）15°，5°，0°，5°；（3）当时，；当时，．
【分析】
（1）先利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出和的度数，进而可求和的度数；
解析：（1）30°，70°，20°；（2）15°，5°，0°，5°；（3）当αβ<时，
1()2EAD βα∠=-；当αβ>时，1()2
EAD αβ∠=-． 【分析】
（1）先利用三角形内角和定理求出BAC ∠的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出EAC ∠和DAC ∠的度数，进而可求AEC ∠和EAD ∠的度数；
（2）先利用三角形内角和定理求出BAC ∠的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出EAC ∠和DAC ∠的度数，则前三问利用EAD EAC DAC ∠=∠-∠即可得出答案，第4问利用EAD DAC EAC ∠=∠-∠即可得出答案；
（3）按照（2）的方法，将相应的数换成字母即可得出答案．
【详解】
（1）∵20B ∠=︒，60C ∠=°，
∴180100BAC B C ∠=-∠-∠=︒︒ ．
∵AE 平分BAC ∠， ∴1502
EAC BAC ∠=∠=︒． ∵AD 是高，
90ADC ADE ∴∠=∠=︒ ，
9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ，
20EAD EAC CAD ∴∠=∠-∠=︒ ，
9070AEC EAD ∴∠=︒-∠=︒ ．
（2）当30B ∠=︒，60C ∠=°时，
∵30B ∠=︒，60C ∠=°，
∴18090BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒．
∵AE 平分BAC ∠， ∴1452
EAC BAC ∠=∠=︒． ∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ，
15EAD EAC CAD ∴∠=∠-∠=︒ ；
当50B ∠=︒，60C ∠=°时，
∵50B ∠=︒，60C ∠=°， ∴18070BAC B C ∠=-∠-∠=︒︒ ． ∵AE 平分BAC ∠，
∴1
352EAC BAC ∠=∠=︒．
∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ， 5EAD EAC CAD ∴∠=∠-∠=︒ ；
当60B ∠=︒，60C ∠=°时， ∵60B ∠=︒，60C ∠=°， ∴18060BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒． ∵AE 平分BAC ∠，
∴1
302EAC BAC ∠=∠=︒．
∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ，
0EAD EAC CAD ∴∠=∠-∠=︒ ；
当70B ∠=︒，60C ∠=°时， ∵70B ∠=︒，60C ∠=°， ∴18050BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒． ∵AE 平分BAC ∠，
∴1
252EAC BAC ∠=∠=︒．
∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ， 5EAD DAC EAC ∴∠=∠-∠=︒ ．
（3）当B C ∠<∠ 时，即αβ<时， ∵B α∠=，C β∠=，
∴180180BAC B C αβ∠=︒-∠-∠=︒-- ． ∵AE 平分BAC ∠，
∴1111
(180)902222EAC BAC αβαβ∠=∠=︒--=--．
∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9090CAD C β∴∠=︒-∠=︒- ，
1
()2
EAD EAC CAD βα∴∠=∠-∠=- ；。