东南大学成贤学院自动控制原理ppt(程鹏主编第二版)拉普拉斯变换
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(2s 12) 10 j 4 ( s 1 j 2) s 1 j 2 1 j 2.5 ( s 1 j 2)(s 1 j 2) j4
F (s)
2s 12 1 j 2.5 1 j 2.5 2 s 2s 5 ( s 1 j 2) ( s 1 j 2) (1 j 2.5)(s 1 j 2) (1 j 2.5)(s 1 j 2) 2 2 2 2 ( s 1) 2 ( s 1) 2 2( s 1) 10 s 1 2 2 5 ( s 1) 2 22 ( s 1) 2 22 ( s 1) 2 22
如果f(t）的各阶导数初始值都为零 ：
d n f (t ) L s n F (s) dt n
3．积分准则
L f (t ) F (s)
t f (t )dt F ( s ) L 0 s
二．拉普拉斯变换的若干运算规则
4．平移定理
f (t )
例Ⅱ-1-1. 利用拉普拉斯变换性质，求如下图形F(s)
f (t )
2.0
0
b
t
0
c
t
（a） f (t ) 2 1(t ) 2 1(t b)
2 2 bs 2(1 e bs ) F ( s) e s s s
所以：
（b）
f (t ) t t (t c)
d 3 f (t ) 3 2 L s F ( s ) s f (0) sf (0) f (0) 3 dt d n f (t ) n n 1 n2 ( n 1) L ( 0) s F ( s ) s f (0) s f (0) f n dt d 2 f (t ) 2 L s F ( s ) sf (0) f (0) 2 dt
二．拉普拉斯变换的若干运算规则
7．卷积定理
L f1 (t ) F1 (s)
1 t 0
L f 2 (t ) F2 (s)
t 0
L F1 (s) F2 (s) f1 ( ) f 2 (t )d f1 (t ) f 2 ( )d
例Ⅱ-1-1
lim f (t )存在。
t
l 如果sF(s)有极点位于虚轴或位于右半s平面， f(t)将分别包含震荡的或按指数规律增长的时间 函数，则 lim f (t )不存在。 t l 如果f(t)是正弦函数sinwt, 将有位于虚轴上的 ) 点,因此 lim f (t不存在，这类函数不能使用该定理。 t l 初值定理和终值定理提供了一种简便的对解 答的检查方法，可以在不把s的函数变成时间t的 函数的情况下，也能预测系统的时域性能。
s
f () lim f (t ) lim sF ( s )
t s 0
终值定理表示了f(t)的稳态值与sF(s)在=0点附近
状态值之间的关系。仅当 用该定理。
lim f (t ) 存在时，才能应
t
初值和终值定理使用注意
l 如果sF(s)的所有极点位于左半平面时，则
L f (t b) F (s)ebs
证明： f (t b) L 5．初值定理 6．终值定理
t 0
0
f (t b)e st dt f ( )e s d ebs
0
F (s)e bs
lim f (t ) lim sF ( s )
实际上该结果很容易证明
f (t ) L1[ F (s)] 1 e st
三．用部分分式展开法求反拉普拉斯变换
由已知的F(s) 求它的反变换 f(t).
B(s) bm s m bm1 s m1 b1 s b0 F ( s) A(s) an s n an1 s n1 a1 s a0
附录：拉普拉斯变换
一．函数的拉氏变换
拉普拉斯变换是一种解线性微分方程的简便运算方法。 可以将许多普通函数，如正弦函数、阻尼正弦函数和指 数函数，转变为复变量s的代数函数。比如微分、积分， 可以用复数平面内的代数运算来取代。因此，线性微分 方程，可以转变为复变量s的代数方程。 拉氏变换把实域内实变数的函数变换成复域内(或频 域内)复变数的函数. 1.定义： F (s) L f (t ) f (t )e st dt
K1 , K 2 ,, K n
Ki
为待定系数，可用下面关系式求出：
s si
B( s ) ( s si ) A( s)
例Ⅱ-2-1
f (t ) L F (s) K1e
1 s1t
K2e
s2t
Kn e K i e s t
snt
i
n
i 1
F ( s)
所以：
1 1 cs 1 2 e 2 (1 e cs ) s2 s s
例Ⅱ-1-2
考虑下列余弦函数：
f (t ) 0, t 0 A cost ,t 0
用微分定理求其拉普拉斯变换。 解： L[cost ] L[ 1 ( d sin t )] 1 [ sF ( s) f (0)] dt 1 s s[ 2 0] 2 s 2 s 2 例Ⅱ-1-3： 1 L[ f (t )] F ( s ) 已知 ， 试求 lim f (t )
0
f(t)为实变量t的函数，（t<0时,f(t)=0）称为原函数 F(s)为复变量s的函数，称为f(t)的象函数
s j
和
都为实数
附录：拉普拉斯变换
由象函数求原函数的运算称为反拉普拉斯变换，
1 j f (t ) L F ( s) F ( s)e st ds 2j j
正弦函数： f (t ) 0,
t 0 A sin t ,t 0
1 sin t (e jt e jt ) 2j
3.常用函数的拉普拉斯变换
A jt jt st L[ A sin t ] 0 (e e )e dt 2j A 1 A 1 A 2 2 j s j 2 j s j s 2
例Ⅱ-2-1. 解: F (s)
K1
K2
F ( s)
s3 s 2 3s 2
求f(t)
K K s3 1 2 s 2 3s 2 s 1 s 2
s 1
s3 ( s 1) ( s 1)(s 2)
s3 ( s 2) ( s 1)(s 2)
1
原函数与象函数构成一个拉普拉斯变换对 ，
f (t ) F (s)
2.尤拉定理
cos( ) j sin( ) e j
cos( ) j sin( ) e j
cos( )
sin( )
1 j ( e e j ) 2
1 (e j e j ) 2j
3.常用函数的拉普拉斯变换
下面的几个微积分公式，对拉普拉斯变换的推导， 是很有帮助的：
(cosx)' sin x,
b a b
(e x )' e x , (sin x)' cos x , 分部积分公式
b
a
u ( x)v ( x)dx u ( x)v( x) | v( x)u ' ( x)dx
' a
指数函数： f (t ) 0,
t0
Aet , t 0
( s ) t A L[ Ae ] Ae e dt A e dt 0 e d[( s)t ] 0 0 ( s) ( s ) t A A ( s ) ( s ) 0 A A t limt e |0 {e e } (0 1) ( s) ( s) ( s) s t t st ( s ) t
根据 A(s) an s n a1s a0 0 根的不同情况， 进行部分分式展开，查表后求得 f (t ) L1 F (s) 1．当A(s)=0的根为互异的实数或复数时：
设有n个互异实根：-s1,-s2,…-sn,则：
F ( s) Kn K1 K2 B( s ) A(s) (s s1 ) (s s 2 ) (s sn )
2
2
F ( s)
K11
K12
2s 12 K11 K12 s 2 2s 5 ( s 1 j 2) ( s 1 j 2)
(2s 12) 10 j 4 ( s 1 j 2) s 1 j 2 1 j 2.5 ( s 1 j 2)(s 函数：
L[ At ]
0
Ate
st
A A st A A A (0 0) e dt {e st | } (0 1) 2 0 s s 0 s2 s2 s
A A dt te st | 0 s s
0
e st dt （分部积分公式）
证明： L df (t )
dt
0
df (t ) st e dt dt
st
0
0
e
st
df (t )
f (t )e
s f (t )e st dt
0
f (0) sF (s) sF (s) f (0)
二．拉普拉斯变换的若干运算规则
3.常用函数的拉普拉斯变换
阶跃函数：
L[ A]
st 0
f (t ) 0, A
t0 ,t 0
A st A A A Ae dt e d ( st ) e st | {0 1} 0 s 0 s s s
f (t ) 0, At t0 ,t 0
余弦函数：
L[ A cos t ]
As s2 2
e t 相乘： f(t)与
L[ f (t ) e ] f (t ) e
t 0 t st
e dt f (t ) e( s )t dt F (s )
0
二．拉普拉斯变换的若干运算规则
2
s 2
1
F ( s)
s3 2 1 s 2 3s 2 s 1 s 2
f (t ) L1 F (s) 2e t e 2t
例Ⅱ-2-2
例Ⅱ-2-2. F (s) 2s 12 求f(t) s 2s 5 解: A(s) s 2s 5 (s 1 j 2)(s 1 j 2) s 包含2个共轭复数极点 ，1 1 j 2, s2 1 j 2
1．线性规则 若 L f (t ) F (s) L f 2 (t ) F2 (s) ，则
1 1
Laf1 (t ) bf2 (t ) aF1 (s) bF2 (s)
2．微分运算规则 若 L f (t ) F (s) ，则
df (t ) L sF ( s ) f (0) dt
s ( s 1)
t
sF 解： (s) 1(s 1) 的极点位于左半s平面，所以极 限存在。用终值定理 ：
t
lim f (t ) f () lim sF ( s) lim
s 0
s 1 lim 1 s 0 s( s 1 s 0 s 1 )
F (s)
2s 12 1 j 2.5 1 j 2.5 2 s 2s 5 ( s 1 j 2) ( s 1 j 2) (1 j 2.5)(s 1 j 2) (1 j 2.5)(s 1 j 2) 2 2 2 2 ( s 1) 2 ( s 1) 2 2( s 1) 10 s 1 2 2 5 ( s 1) 2 22 ( s 1) 2 22 ( s 1) 2 22
如果f(t）的各阶导数初始值都为零 ：
d n f (t ) L s n F (s) dt n
3．积分准则
L f (t ) F (s)
t f (t )dt F ( s ) L 0 s
二．拉普拉斯变换的若干运算规则
4．平移定理
f (t )
例Ⅱ-1-1. 利用拉普拉斯变换性质，求如下图形F(s)
f (t )
2.0
0
b
t
0
c
t
（a） f (t ) 2 1(t ) 2 1(t b)
2 2 bs 2(1 e bs ) F ( s) e s s s
所以：
（b）
f (t ) t t (t c)
d 3 f (t ) 3 2 L s F ( s ) s f (0) sf (0) f (0) 3 dt d n f (t ) n n 1 n2 ( n 1) L ( 0) s F ( s ) s f (0) s f (0) f n dt d 2 f (t ) 2 L s F ( s ) sf (0) f (0) 2 dt
二．拉普拉斯变换的若干运算规则
7．卷积定理
L f1 (t ) F1 (s)
1 t 0
L f 2 (t ) F2 (s)
t 0
L F1 (s) F2 (s) f1 ( ) f 2 (t )d f1 (t ) f 2 ( )d
例Ⅱ-1-1
lim f (t )存在。
t
l 如果sF(s)有极点位于虚轴或位于右半s平面， f(t)将分别包含震荡的或按指数规律增长的时间 函数，则 lim f (t )不存在。 t l 如果f(t)是正弦函数sinwt, 将有位于虚轴上的 ) 点,因此 lim f (t不存在，这类函数不能使用该定理。 t l 初值定理和终值定理提供了一种简便的对解 答的检查方法，可以在不把s的函数变成时间t的 函数的情况下，也能预测系统的时域性能。
s
f () lim f (t ) lim sF ( s )
t s 0
终值定理表示了f(t)的稳态值与sF(s)在=0点附近
状态值之间的关系。仅当 用该定理。
lim f (t ) 存在时，才能应
t
初值和终值定理使用注意
l 如果sF(s)的所有极点位于左半平面时，则
L f (t b) F (s)ebs
证明： f (t b) L 5．初值定理 6．终值定理
t 0
0
f (t b)e st dt f ( )e s d ebs
0
F (s)e bs
lim f (t ) lim sF ( s )
实际上该结果很容易证明
f (t ) L1[ F (s)] 1 e st
三．用部分分式展开法求反拉普拉斯变换
由已知的F(s) 求它的反变换 f(t).
B(s) bm s m bm1 s m1 b1 s b0 F ( s) A(s) an s n an1 s n1 a1 s a0
附录：拉普拉斯变换
一．函数的拉氏变换
拉普拉斯变换是一种解线性微分方程的简便运算方法。 可以将许多普通函数，如正弦函数、阻尼正弦函数和指 数函数，转变为复变量s的代数函数。比如微分、积分， 可以用复数平面内的代数运算来取代。因此，线性微分 方程，可以转变为复变量s的代数方程。 拉氏变换把实域内实变数的函数变换成复域内(或频 域内)复变数的函数. 1.定义： F (s) L f (t ) f (t )e st dt
K1 , K 2 ,, K n
Ki
为待定系数，可用下面关系式求出：
s si
B( s ) ( s si ) A( s)
例Ⅱ-2-1
f (t ) L F (s) K1e
1 s1t
K2e
s2t
Kn e K i e s t
snt
i
n
i 1
F ( s)
所以：
1 1 cs 1 2 e 2 (1 e cs ) s2 s s
例Ⅱ-1-2
考虑下列余弦函数：
f (t ) 0, t 0 A cost ,t 0
用微分定理求其拉普拉斯变换。 解： L[cost ] L[ 1 ( d sin t )] 1 [ sF ( s) f (0)] dt 1 s s[ 2 0] 2 s 2 s 2 例Ⅱ-1-3： 1 L[ f (t )] F ( s ) 已知 ， 试求 lim f (t )
0
f(t)为实变量t的函数，（t<0时,f(t)=0）称为原函数 F(s)为复变量s的函数，称为f(t)的象函数
s j
和
都为实数
附录：拉普拉斯变换
由象函数求原函数的运算称为反拉普拉斯变换，
1 j f (t ) L F ( s) F ( s)e st ds 2j j
正弦函数： f (t ) 0,
t 0 A sin t ,t 0
1 sin t (e jt e jt ) 2j
3.常用函数的拉普拉斯变换
A jt jt st L[ A sin t ] 0 (e e )e dt 2j A 1 A 1 A 2 2 j s j 2 j s j s 2
例Ⅱ-2-1. 解: F (s)
K1
K2
F ( s)
s3 s 2 3s 2
求f(t)
K K s3 1 2 s 2 3s 2 s 1 s 2
s 1
s3 ( s 1) ( s 1)(s 2)
s3 ( s 2) ( s 1)(s 2)
1
原函数与象函数构成一个拉普拉斯变换对 ，
f (t ) F (s)
2.尤拉定理
cos( ) j sin( ) e j
cos( ) j sin( ) e j
cos( )
sin( )
1 j ( e e j ) 2
1 (e j e j ) 2j
3.常用函数的拉普拉斯变换
下面的几个微积分公式，对拉普拉斯变换的推导， 是很有帮助的：
(cosx)' sin x,
b a b
(e x )' e x , (sin x)' cos x , 分部积分公式
b
a
u ( x)v ( x)dx u ( x)v( x) | v( x)u ' ( x)dx
' a
指数函数： f (t ) 0,
t0
Aet , t 0
( s ) t A L[ Ae ] Ae e dt A e dt 0 e d[( s)t ] 0 0 ( s) ( s ) t A A ( s ) ( s ) 0 A A t limt e |0 {e e } (0 1) ( s) ( s) ( s) s t t st ( s ) t
根据 A(s) an s n a1s a0 0 根的不同情况， 进行部分分式展开，查表后求得 f (t ) L1 F (s) 1．当A(s)=0的根为互异的实数或复数时：
设有n个互异实根：-s1,-s2,…-sn,则：
F ( s) Kn K1 K2 B( s ) A(s) (s s1 ) (s s 2 ) (s sn )
2
2
F ( s)
K11
K12
2s 12 K11 K12 s 2 2s 5 ( s 1 j 2) ( s 1 j 2)
(2s 12) 10 j 4 ( s 1 j 2) s 1 j 2 1 j 2.5 ( s 1 j 2)(s 函数：
L[ At ]
0
Ate
st
A A st A A A (0 0) e dt {e st | } (0 1) 2 0 s s 0 s2 s2 s
A A dt te st | 0 s s
0
e st dt （分部积分公式）
证明： L df (t )
dt
0
df (t ) st e dt dt
st
0
0
e
st
df (t )
f (t )e
s f (t )e st dt
0
f (0) sF (s) sF (s) f (0)
二．拉普拉斯变换的若干运算规则
3.常用函数的拉普拉斯变换
阶跃函数：
L[ A]
st 0
f (t ) 0, A
t0 ,t 0
A st A A A Ae dt e d ( st ) e st | {0 1} 0 s 0 s s s
f (t ) 0, At t0 ,t 0
余弦函数：
L[ A cos t ]
As s2 2
e t 相乘： f(t)与
L[ f (t ) e ] f (t ) e
t 0 t st
e dt f (t ) e( s )t dt F (s )
0
二．拉普拉斯变换的若干运算规则
2
s 2
1
F ( s)
s3 2 1 s 2 3s 2 s 1 s 2
f (t ) L1 F (s) 2e t e 2t
例Ⅱ-2-2
例Ⅱ-2-2. F (s) 2s 12 求f(t) s 2s 5 解: A(s) s 2s 5 (s 1 j 2)(s 1 j 2) s 包含2个共轭复数极点 ，1 1 j 2, s2 1 j 2
1．线性规则 若 L f (t ) F (s) L f 2 (t ) F2 (s) ，则
1 1
Laf1 (t ) bf2 (t ) aF1 (s) bF2 (s)
2．微分运算规则 若 L f (t ) F (s) ，则
df (t ) L sF ( s ) f (0) dt
s ( s 1)
t
sF 解： (s) 1(s 1) 的极点位于左半s平面，所以极 限存在。用终值定理 ：
t
lim f (t ) f () lim sF ( s) lim
s 0
s 1 lim 1 s 0 s( s 1 s 0 s 1 )