第十二章弯曲变形

C右
讨论：挠曲线分段
（1）凡弯矩方程分段处，应作为分段点；
（2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；
（3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两 部分之间的相互作用力，故应作为分段点；
A
C
M B
a
L
讨论：挠曲线分段
（4）凡分段点处应列出连续条件；
根据梁的变形的连续性，对同一截面只可能有唯一确 定的挠度和转角；
wC3

3ql4 48EI
B3
(q2l)l 3EI
q3l , 3EI
q
C1
ql
C2
C3
B1
B2
ql2
B3
3、变形叠加
BB1B2B3

ql 3 24 EI
ql 3 16 EI
ql 3
3 EI
11 ql 3
48 EI
CC 1C2C3 5ql4 (ql )l 3 3 ql 4 11 ql 4
ω M
M0
d 2
dx 2

0
M x
M0
ω
d 2 dx 2

0
M
Mx
挠曲线为凹曲线
挠曲线为凸曲线
弯矩M与二阶导数 y 符号一致。
'' M (x)
EI z
挠曲线近似微分方程
适用范围： 线弹性、小变形; y轴向上，x轴向右；
§12.3 用积分法求弯曲变形
挠曲线的近似微分方程 积分一次：
车间桁吊大梁的变形
案例3： 车间桁吊大梁的过大变形
会使梁上小车行走困难，造成爬坡现象； 还会引起较严重的振动；
案例4： 桥梁如果产生过大变形
楼板、 床、 双杠横梁 屋顶 等都必须把它们的变形限制在允许的范围内。
２、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。 案例1：
汽车板簧应有较大的弯曲变形, 才能更好的起到缓和减振的作用；
3、转角 截面绕中性轴转过的角度 逆时针为正
弯曲变形的物理量 挠度ω + 转角
§12.2 挠曲线的微分方程
1、建立y坐标系


x
x
2、挠曲线方程：
Xoy平面 就是梁的纵向对称面； 在平面弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为xoy面内
的一条平面曲线； 该曲线方程为 ： f (x)
3、挠度、转角物理意义
d 2 M (x)
dx2
EIz
ddx'M E(xzI)dxC
积分二次：
转角方程
(M E(xzI)d)xdxC xD 挠曲线方程
C、D为积分常数，由梁的约束条件决定。
梁的边界条件
悬臂梁：
ω
L
x
x0:
0 0
梁的边界条件
简支梁： ω
x L
x0: 0
xL: 0
该挠曲线微分方程是非线性的，适用于弯曲变形的任何情况。
5、挠曲线近似微分方程 在小变形的条件下，
(x) M(x)


12(x)
3 2
EzI
挠曲线是一条光滑平坦的曲线，
转角 较小，
(x)(x)0 12(x)1
故得挠曲线近似微分方程：
'' M(x)
EI
符号规定：
c2
C2 B2B22l
q( l )4 2
8 EI


B2

l 2
w
CC1C2 ql 4 8 EI
CC1C2

ql 3 6 EI
q( l )4 2
8 EI


B
2

l 2
41ql4 384EI

q( l )3 2

7 ql 4
6 EI 48 EI
'' M (x)
EI z
EI''1qx2
2
积分一次： EI'EI1q3xC
6Hale Waihona Puke 转角方程B x积分二次： EI1q4xCxD
24
挠曲线方程
3、确定常数C、D. 边界条件：
xL: 0 0
C 1 qL3 6
D 1 qL4 8
q
A
B
L
EI'EI1q3xC
384 EI 48 EI 48 EI 384 EI
例2 抗弯刚度EI为常量，用叠加法确定C和yC ?
q
A L/2
B
L/2
C
q A L/2 B L/2 C
q
q q
q
C1
C1
C1


ql 4 8EI

C1


ql3 6EI
,
B2 B2
q
C2
C2
q( l )3
B2
2 6 EI
连续性条件：
ω
边界条件
A
x0: 0
xL: 0
P B
C a
x
L
光滑连续性条件
xa:
C左
C右 连续性
C左 C右 光滑性
连续性条件：
ω A
C a
M
B
x
L
xa:
特别强调
C左C右 连续
C左 C右 不光滑
在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。
例1：写出梁的边界条件、连续性条件：
3、研究弯曲变形 除了解决构件的刚度外， 还广泛应用于超静定问题分析、 稳定性分析 以及振动分析等方面。
二、弯曲变形的物理量
拉伸 F
扭转：
F
l FN l
EA
T l
G IP
弯曲变形的物理量如何？

内 力 杆 件 长 度 抗变形刚度
弯曲变形的物理量 1、挠曲线
x


2、挠度 截面形心在力的方向的位移 ω 向上为正
3、代入各自的挠曲线近似微分方程中
Fb M1(x) L x,
EI1
Fbx, L
Fb M2(x)LxF(xa),
E I2 F LbxF(xa),
4、各自积分
EI1EI12FLbx2C1
E I16 FLbx3C1xD1
E2 IE2I2 F Lxb 2F 2(xa)2C 2 E2 I6 F Lxb 3F 6(xa)3C 2xD 2
E(IFq) M
总的近似微分方程： EIM
分别计算出每一载荷单独引起的变形，
将所得的变形叠加即为载荷共同作用下引起的变形 ——叠加原理。
二、叠加原理的限制条件
叠加原理仅适用于线性函数， 要求挠度、转角是载荷的线性函数。
(1)、弯矩与载荷成线性关系; 梁发生小变形， 忽略各载荷引起梁的水平位移；
y


x
①：挠度的物理意义：
挠曲线在该点处的纵坐标；
y
x
②：转角的物理意义
过挠曲线上点作挠曲线的切线 该切线与水平线的夹角为 tg 挠曲线在该点处的切线斜率；
挠曲线方程在该点处的一阶导数；
转角的正方向： 从x轴正向向切线旋转，逆时针转动为正。
4、挠曲线微分方程
中性层处曲率:
1
(2)、曲率 与弯矩成线性关系;
梁处于线弹性范围内，满足虎克定律；
(3)、挠曲线二阶导数
与
1
成线性关系;
1


d 2
dx2

121.0 即梁处于小变形条件下;
三、叠加原理的特征
几种载荷共同作用下某截面的挠度和转角，
等于每种载荷单独作用下引起的同一截面挠 度、转角的向量和。
边界条件
ω
P
B
x0: 0
A
a
C
x
k
xL: FBy
L
k
光滑连续性条件
xa: C左 C右
C左
C右
例2：写出梁的边界条件、连续性条件： 边界条件
EA P
h
x0: 0
xL: FByh
A
a
C
B
EA
光滑连续性条件
L
xa:
C左
C右
C左
F
BC a
1）考虑AB段变形引起的Ｃ截面的挠度 (BC段看作刚体)
外力向研究的ＡＢ段上简化
F
Fa
F：作用在支座上，不产生变形。
EI 24 6 8
例2 一简支梁受力如
ω
图所示。试求 (x),w(x) A
和 A 。
F Ay
1、求支座反力
Fb FAy L ,
FBy

Fa L
2、分段列出梁的弯矩方程
AC段 (0xa)
M1(x)FAxFLbx,
x
x a L
F B
C b
x
F By
BC段 (axL) M2(x)F LbxF(xa),
案例2： 安装在工程机械驾驶室上方的ROPS/FOPS
要求其在碰撞的过程中有较大的变形 吸收落物或碰撞能量， 保证驾驶员的人身安全
案例3： 当今时代汽车工业飞速发展， 道路越来越拥挤， 一旦发生碰撞，你认为车身的变形是大好还是小好？
案例4：
蹦床 要有大变形， 才能积蓄能量，
将人体弹射到一定高度。
7、求转角
x0
A1x0F(6bLL2Eb2I)
xL
B2xLF6aL (Lb Ea)I
§12.4 用叠加法求弯曲变形 一、叠加原理
在小变形， 材料服从胡克定律的情况下，
挠曲线的近似微分方程 EI(x)M (x) 是线性的；
计算弯矩时，使用变形前的位置
弯矩 M(x)与载荷之间的关系 是线性的；
§12-1 弯曲变形的概念 一、为何要研究弯曲变形
M [ ] 仅保证构件不会发生破坏，
Wz 但如果构件的变形太大也不能正常工作。 1、构件的变形限制在允许的范围内。
案例1： 车削加工一等截面构件， 如果构件的的变形过大， 会加工成变截面；
案例2： 摇臂钻床简化为刚架， 受工件的反力作用； 如果钻床的变形过大， 不能准确定位。
对应于几种不同的载荷， 弯矩可以叠加， 近似微分方程的解也可以叠加。
证明 设弯矩 M(x)MFMq 挠曲线 F q
分别满足各自的近似微分方程
EIF MF
EIq Mq
将两个微分方程叠加 EIF EIq M FM q M
EI(F q)E(IFq)
1 M (x)
EI
y
y f (x)
x
对于曲线 y=f(x) 在任一点处曲率
1


y''(x) 1y'2 (x)
3 2
（瑞士科学家Jacobi.贝努利得到）
平面弯曲的挠曲线 正好为xoy平面内的一条曲线，
所以曲线y=f(x)： 从数学上讲 是一条普通的平面曲线，
从力学上讲 就是梁发生弯曲变形的挠曲线。
挠曲线微分方程
1 M (x)
EI
1
y''(x)


1y'2
(x)
3 2
y''(x) 1y'2(x)
3 2
M(x) EIz
(x)
12(x)
3 2
M(x) EzI
挠曲线微分方程 瑞士科学家Jacbi.贝努利得到梁的挠曲线微分方程；
由于没有采用曲率的简化式， 且弹性模量E无定量结果， 故挠曲线微分方程没有得到广泛应用。
第二类叠加法 逐段刚化法
1将梁的挠曲线分成几段;
2首先分别计算各段梁的变形在需求位移处引起的 位移（挠度和转角）; 3然后计算其总和（代数和或矢量和），即得需求的位移。 在分析各段梁的变形在需求位移处引起的位移时，
除所研究的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。
例3 ： 用叠加法确定ωC ?
A l
6
EI1q4xCxD
24
1(1qx31q3L)
EI 6 6
1(1q4xq3Lxq4L)
EI 24 6 8
4、计算A截面的挠度和转角
A截面处 x0

A

qL 3 6 EI
A


qL4 8EI
q
A
B
L
1(1qx31q3L)
EI 6 6
1(1q4xq3Lxq4L)
E2 I6 F Lxb 3F 6(xa)3C 2xD 2
6、挠曲线方程
AC段 (0xa)
BC段 (axL)
1(x)6L FE b[3xI2(L2b2)], 2(x )6 L F[ E b 3 x2 I(L 2 b 2) ]F (x2 a )2,
y1(x)6 L FE [b xI3(L 2b2)x], y 2 (x ) 6 L F[E b x 3 I (L 2 b 2 )x L 6 (x a )3 ]
5、确定积分常数
边界条件： x0 1 0
xL 2 0
连续条件： xa 1 2 1 2
C1
Fb(L2 6L
b2)
C2
,
D1D2 0
ω
F
a
x
L
EI1
Fbx2 2L
C1
E I16 FLbx3C1xD1
E2 I2 F Lx b2F 2(xa)2C 2
载荷叠加法 （查表法）
应用于多个载荷作用的情形
例1 已知：q、l、 EI，求：yC ,B
ωC , B
1、载荷分解
q
ql ql2
2查表：单独载荷作用下
C1

5ql4
384EI
wC2


(ql)l3 48EI
B1

ql3 24EI
,
B2
(q)ll2
16EI
ql3 ,
16EI
在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。
A
C
M B
边界条件 连续性条件
a
L
x0: 0 0
xal 0
xa: C左C右
例1悬臂梁受力如图所示。求 A 和 A 。
取参考坐标系
ω
q
1、列写弯矩方程
A
M(x) 1qx2 2
(0xL)
x L
2、代入挠曲线近似微分方程中