定积分的应用面积体积-2022年学习资料

例1.求由抛物线y2=2x及直线2x+y-2=0所围图形的面积。-→X-y+d---2,-2
y-=2x-2x+y-2=0-X-12-2,-2-求平面因形面积的基本步骤：-1作曲线图形、确定积分变量积分区间；-2求面积微元；-3计算定积分。
当曲边梯形的曲边由参数方程-北=pt-y=feG1ss2）,-给出时，曲边梯形的面积为-A-fudioif g&aw-其中t1,t2分别是曲边的起点与终点对应的参数值。
2.设fx、gx是[a,b]上的连续函数，且fx2gx,-求由直线x=a,r=b,和曲线y=fx、y=gx 围-成的平面图形的面积A。-dA=[f x-gxx-1y=8x-A=∫[fcx-gexr-xx+dx
3.py、yy是[c,d]上的连续函数，且py2wy,-求由直线y=C,y=d和曲线x=py、x=yy所围 成的平面图形的面积A。-dA=[py-Ψ y]Wy-x=0y-x=Wy-A-ftoy-Wyldy-X
3.4.5一些物理量的计算-一、质量-例1.设半圆形线材的方程为y=VR2-x2-R<x<R,线-材上点的 x,y处的线密度为P=k-yk为常数，且k>R,-求该线材的质量。-ds-Ox x+dx R-X
二、功-例2.设一锥形贮水池，深15米，口径20米，盛满水，-试问将水全部吸出需作多少功？-10-X-Ax-B
例：求密度均匀（设为p,厚度为H,内外径为-r和R的飞轮绕中心轴转动的转动惯量J以及角速度-为o时的转动动 E.
3.4.6函数的平均值-一、函数的平均值-如何定义连续函数fx在[α ，b]上的平均值呢？-将[a,b]n等 。当n很大时，小区间[；-1，x]的长-度Ax=b-u-i=1,2,Λ ，n很小，由于fxeC[a,b],在小区间[x-1,x]上函数值变化很小，可把fx在-该区间上的取值看作常数∫x,于是∫x在[a,b]上-的
二旋转体的体积-1.设fx在[a,b]上连续，求由直线x=a,x=b,-y=0和曲线y=∫x所围成的图形绕 轴旋转-而成的旋转体的体积。-y=fx-dV=Axdx=元[fxdx-+-Vx=可af2=x2-X
2.设py在[c,d]上连续，求由直线y=c，y=d,-x=0和曲线x=py所围成图形绕y轴旋转而成的-旋 体的体积。-dW=oy]d。-y=jgr=可2x-x=oy-X
例2.求由x2+y2=2和y=x2所围成的图形分别-绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积。-y.-Tx2+y =2
例4.证明：由0≤a≤x≤b,0≤y≤fx所围成的图形-绕y轴旋转所成的旋转体的体积为：V,=2元xfxd -证明：以x为积分变量，把在α ，b]上的任意子区间-[x,x+dx]上对应的窄曲边梯形绕y轴旋转而成的薄看作是一个中空圆柱体，沿着中空圆柱体的高剪-开展平，它近似于一块长方形的薄片，于是薄壳的-体积近似等于以f 为高，以2x为长，以dx为厚-的长方体的体积，即旋转体的体积微元为
三、液体的压力-例4.设有一竖直的闸门，形状是等腰梯形，上底为-6米，下底为4米，高为6米，当水面齐闸门顶 ，-求闸门所受的水压力。-A0,3-y-x+dy-B6,2-X
四.转动惯量与转动动能-质量为m的质点，绕固定轴1转动时，质点m对1-轴的转动惯量为-J=mr2-其中为质 到转动轴的距离，称为转动半径.-当质点m以角速度o绕l轴旋转时，则线速度v=ro,-从而转动动能为-E-m2-2mrw=2-22
Z-Ax-a-xx+dx-b-X-取x为积分变量，积分区间为[a,b]。在a,b]上任取一-代表小区间[x x+dx],对应的立体中一薄片的体积△V-近似等于底面积为Ax,高为dx的柱体的体积Axdx,-即体积微元 dV=Axdx-所求体积为-V=jaAx。
例1.设有半径为R的正圆柱体，-被通过其底的直径-而与底面交成的平面所截，求截得的圆柱楔的体积。-X-yt nd
例3.求由两条曲线r=3cos0和r=1+cos0所围成的-阴影部分的面积。-23-r=N+cos0-X
二、体积-一平行截面面积为已知的立体的体积-设有一立体2位于平面x=,x=ba<b之间，己知它被-过点x, ,0a≤x≤b且垂直于x轴的平面所截得的截面面-积为Ax,假定Ax是x的连续函数，求立体2的体积V。-1A -X
dy=2元xfxd-y,=∫02xfxd-br x-x x+dx-2元X-类似地，由0≤c≤y≤d,0≤x py所围成的图形绕-x轴旋转所成的旋转体的体积为：Y.=2m。yo0心。
3.4.4旋转体的侧面积-设fx在[α ，b]上非负，且有连续的导数。求由直线-x=a,x=b,y=0和曲线 =fx围成的平面图形，-绕x轴旋转一周所形成的旋转体的侧面积。-VIx,x+dx]C [a,b],-设在[ ,x+dx]上相应的小旋-转体的侧面积的微元为A。-xl-X-在点x处旋转半径为fx,
在曲线上点Px,fx处的弧长微元-y=fx-是dL=V1+f2xdr,-则dA=2fxdL,-xl-故A= 元fV1+f2x.-[圆台的侧面积=π x母线长x上底半径+下底半径。在极限-状态，母线长是弧微元L;上底半 +下底半径=2fx。]-一般地A=2fxN1+f2xd.
例6.求圆x2+y-b2-a20<<b-绕x轴旋转所得旋转体的表面积。-o a x
例2.求椭圆Leabharlann m-0≤t≤2的面积。-b-"x
二极坐标系中平面图形的面积-由曲线r=r及两条射线0=，0=β o<所围成的-图形称为曲边扇形。-求曲边扇形 面积A,积分变量是0,0E[o,B]。-[日，日+d0]∈[，B],以0处的极径r0为半径，以d0-为圆心 的圆扇形的面积作为面积微元，即-r=r0-dA--ir0Pd0-A-SOPdo.-0+d0-X
3.4.3面积和体积-一、面积-一直角坐标系中的平面图形的面积-1.设函数fxEC[a,b],求由直线x= ,x=b,y=0和-曲线y=fx所围成的平面图形的面积A。-1若在[ab1上fx20,则A=∫fxdc。在[a,b]上fxs0,则A=-∫么fxx=∫fxlc。-若在[a,b上fx有正有负，则A=∫fxc。