解析几何

二、 双叶双曲面
x y z + 2 − 2 = −1 2 a b c
2 2 2
双叶双曲面
对称性：
双叶双曲面 关于三个坐标面、三个坐标轴、 及坐标原点都对称.
已知：
z ≥ 1 , 即 z2 ≥ c2 c2 也就是说，图形被分成 z＜-c ，z＞c 两叶，
2
z
o x
y
当a = b时，方程变为来自百度文库
x2 + y2 z 2 − 2 = −1 2 a c
二、几种特殊的二次曲面 、
1、椭球面 、
方程
x2 y2 z2 2 + 2 + 2 =1 a b c
所表示的曲面称为椭球面 所表示的曲面称为椭球面. 椭球面 由方程可以看出： 由方程可以看出： |x| ≤a ，|y|≤b ，|z|≤c
对称性： 对称性：
椭球面关于每个坐标面都是对称的，从而关 于每个坐标轴及坐标原点也是对称的.
形状： 形状：
如果用三个坐标面去截椭球面，截痕分别为
x2 z2 x y y z 2 + 2 = 1 2 + 2 = 1 a2 + c2 = 1 , b c , b a y=0 z=0 x=0
2 2 2 2
这些截痕都是椭圆.
如果用平行于xoy面的平面z = z1, ( |z1|≤c ) 去截椭球面,截痕(交线)为: 2 2 x y + 2 =1 a2 b 2 2 2 (c − z12 ) 2 (c − z1 ) c c2 z = z1 这是平面 z = z1上的椭圆,它的半轴分别为
x2 y2 + =1 2 pz1 2qz1 z = z 1
变动时， 当 z1 变动时，这种椭 圆的中心 中心都在 轴上. 圆的中心都在 z 轴上
不相交. 与平面 z = z1 ( z1 < 0) 不相交. （2）用坐标面 xoz ( y = 0)与曲面相截 ）
x 2 = 2 pz 截得抛物线 截得抛物线 y = 0
的交线为抛物线 抛物线. 与平面 y = y1 的交线为抛物线
2 y12 x = 2 p z − 2q y = y 1
y12 它的轴平行于 z 轴. 顶点 0, y1 , 2q
（3）用坐标面 yoz ( x = 0)， x = x1与曲面相截 ） 均可得抛物线 均可得抛物线. 抛物线 时可类似讨论. 同理当 p < 0, q < 0 时可类似讨论
a 2 b 2 2 2 c − z1 , c − z1 c c
当 z1 变动时，这族椭圆的中心都在轴上,当 | z1|由0逐渐增大到c, 椭圆截面由大到小,最后缩 成一点(0, 0 , +c) , 如果用平面 y = y1( |y1|≤b)或 |≤b) x=x1( |x1|≤α)去截椭球面,也有上面类似的结果.
x 2 y12 2z = − 顶点在yoz面上，开口向上 面上， 面上 开口向上. p q 顶点在 y=y 1
马鞍面） 双曲抛物面 （马鞍面）
x2 y2 − = 2z p q
z
截痕法
用z = a截曲面 截曲面
x
用y = 0截曲面 截曲面 用x = b截曲面 截曲面
y
0
椭圆抛物面与双曲抛物面都没有对称中心， 椭圆抛物面与双曲抛物面都没有对称中心， 又称它们为无心二次曲面 又称它们为无心二次曲面. 无心二次曲面
椭球面
z
x2 y2 z2 + 2 + 2 =1 2 a b c
c
截痕法
用z = h截曲面 截曲面 用y = m截曲面 截曲面 用x = n截曲面 截曲面
x
o
b
y
a
椭球面的几种特殊情况： 椭球面的几种特殊情况：
(1) a = b,
x2 y2 z2 + 2 + 2 = 1 旋转椭球面 2 a a c
变动时， 当 z1 变动时，这种椭 圆的中心 中心都在 轴上. 圆的中心都在 z 轴上
用坐标面 xoz ( y = 0)与曲面相截 截得中心在原点的双曲线. 截得中心在原点的双曲线
x2 z2 2 − 2 =1 a c y = 0
轴相合， 实轴与 x 轴相合， 轴相合. 虚轴与 z 轴相合
在平面上，双曲线有渐进线。 在平面上，双曲线有渐进线。 相仿，单叶双曲面和 相仿，单叶双曲面和双叶双曲面 渐进锥面。 有渐进锥面。 去截它们， 用z=h去截它们，当|h|无限增大 时， 双曲面的截口椭圆与它的 的截口椭圆与它的渐进锥 双曲面的截口椭圆与它的渐进锥 的截口椭圆任意接近， 面 的截口椭圆任意接近，即： x 双曲面和锥面任意接近。 双曲面和锥面任意接近。
椭圆抛物面 用截痕法讨论： 设 p > 0, q > 0 用截痕法讨论： （1）用坐标面 xoy ( z = 0) 与曲面相截 ） 截得一点， 截得一点，即坐标原点 O ( 0,0,0) 原点也叫椭圆抛物面的顶点 原点也叫椭圆抛物面的顶点. 顶点
的交线为椭圆 椭圆. 与平面 z = z1 ( z1 > 0) 的交线为椭圆
形状： 形状：
如果用平行于xoy面的平面 = z1去截马鞍面， 面的平面z 去截马鞍面， 如果用平行于 面的平面 截痕为： 截痕为：
x y − = 2 z1 p q z=z 1
2 2
只要z ，它总表示双曲线， 只要 1≠0，它总表示双曲线，当z1＞0 时，实轴 平行于x轴 实轴平行于y轴 平行于 轴 ，当z1 ＜0 时，实轴平行于 轴，当 时 截线为两条相交的直线 z1=0时，截线为两条相交的直线.
椭圆抛物面
x y + = 2z 2 p 2q
2 2
z
截痕法
用z = a截曲面 截曲面 用y = b截曲面 截曲面 用x = c截曲面 截曲面
x y 0
椭圆抛物面的图形如下： 椭圆抛物面的图形如下： 的图形如下
z x z o y
x
o
y
p > 0, q > 0
p < 0, q < 0
特殊地： 特殊地：当 p = q 时，方程变为
2 2
就是前面所讲的双叶旋转双曲面（可以看成是 xoz面上的双曲线 x − z = −1 绕z轴旋转得到）. 2 2
a
c
双曲面及其渐进锥 双曲面及其渐进锥面
x y z 双叶： 2 + 2 − 2 = −1 a b c x2 y2 z2 渐进锥面： 渐进锥面： 2 + 2 − 2 = 0 a b c x2 y2 z2 单叶： 2 + 2 − 2 = 1 a b c
所表示的曲面称为椭圆抛物面 所表示的曲面称为椭圆抛物面
对称性： 对称性： 椭圆抛物面关于xoz面和yoz面对称，从而关 于z 轴对称； z ≥0时，图形在xoy面的上方.
x2 y2 （注： z = − 2 − 2 也是椭圆抛物面，图形在 a b xoy面的下方）.
有时椭圆抛物面方程也可写为
x2 y2 + = z （ p 与 q 同号） 同号） 2 p 2q
用坐标面 yoz ( x = 0) ，与曲面相截均可得 双曲线,同理继续讨论 同理继续讨论. 双曲线 同理继续讨论 z 单叶双曲面图形
o x y
当 a = b 时，方程为
x +y z − 2 =1 2 a c
2 2 2
这就是旋转单叶双曲面（可以看成 这就是旋转单叶双曲面（可以看成yoz面上的 面上的 轴旋而成） 双曲线绕 z 轴旋而成）.
如果用平行于yoz面的平面 去截马鞍面， 如果用平行于 面的平面x = x1去截马鞍面， 面的平面 截痕为抛物线： 截痕为抛物线： 2 x12 y = −2q( z − ) 2p x=x 1 顶点在xoz面上 开口向下. 面上， 顶点在 面上，开口向下 如果用平行于xoz面的平面 去截马鞍面， 如果用平行于 面的平面y = y1去截马鞍面， 面的平面 截痕也是抛物线，其方程为： 截痕也是抛物线，其方程为：
如果用一族平行于xoz面的平面 如果用一族平行于 面的平面y = y1去截 面的平面 单叶双曲面，截痕为一族双曲线，其方程为： 单叶双曲面，截痕为一族双曲线，其方程为：
x2 z2 − 2 =1 a2 c 2 2 2 (b − y12 ) 2 (b − y1 ) b b2 y = y1 当| y1|＜b时，它的实轴与 轴平行； ＜ 时 它的实轴与x 轴平行； 轴平行； 当| y1|＞b时，它的实轴与 轴平行； ＞ 时 它的实轴与z轴平行 当| y1|=b时， 时 x z x z 截线为两条相交直线： 截线为两条相交直线： ( + )( − ) = 0 a c a c y = ±b
（2）双曲抛物面 ） 方程
x2 y2 − = 2 z ( p > 0, q > 0) p q
所表示的曲面称为双曲抛物面 所表示的曲面称为双曲抛物面. 双曲抛物面 又称马鞍面. 又称马鞍面
对称性： 对称性：
马鞍面关于yoz面和 面对称 从而关于z 马鞍面关于 面和xoz面对称，从而关于 面和 面对称， 轴对称. 轴对称
x y + =z 2p 2p
转而成的） 转而成的）
2
2
( p > 0)
旋转抛物面
xoz 面上的抛物线 x 2 = 2 pz 绕 z 轴旋 （由
的交线为圆 与平面 z = z1 ( z1 > 0) 的交线为圆.
x 2 + y 2 = 2 pz1 z = z1
变动时， 当 z1 变动时，这种圆 中心都在 轴上. 的中心都在 z 轴上
形状： 形状：
用坐标面 xoy ( z = 0) 与曲面相截截得 的椭圆。 中心在原点 O (0,0,0) 的椭圆。
2 y2 x2 + 2 = 1 a b z = 0
的交线为椭圆. 与平面 z = z1 的交线为椭圆
2 x2 y2 z1 2 + 2 = 1+ 2 b c a z = z 1
( 2) a = b = c ,
x2 y2 z2 1 球面 2 + 2 + 2 = a a a
方程可写为 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .
2、双曲面 、
(1) 单叶双曲面 方程
x2 y2 z2 2 + 2 − 2 =1 a b c
所表示的曲面称为单叶双曲面 所表示的曲面称为单叶双曲面. 单叶双曲面 对称性： 对称性： 它关于三个坐标面对称，关于三个坐标轴 它关于三个坐标面对称，关于三个坐标轴 和坐标原点都对称. 和坐标原点都对称
2 2 2
z
o
y
椭球面、单叶双曲面、 椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面都有唯一 的对称中心，因此又称它们为中心二次曲面. 中心二次曲面 的对称中心，因此又称它们为中心二次曲面
3、抛物面 、 抛物面分为椭圆抛物面和双曲抛物面 抛物面分为椭圆抛物面和双曲抛物面. 椭圆抛物面 （1）椭圆抛物面 ）
x2 y2 方程 z = 2 + 2 a b
§3.4 二次曲面
一、基本内容 、 二次曲面的定义： 二次曲面的定义：三元二次方程 ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0 所表示的曲面称之为二次曲面． 所表示的曲面称之为二次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 一次曲面 讨论二次曲面性状的平面截痕法 平面截痕法： 讨论二次曲面性状的平面截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截， 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考 察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合， 察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了 解曲面的全貌． 解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
x2 z2 轴旋转而成． 由椭圆 绕 z 轴旋转而成． + 2 =1 a2 c y = 0 x2 + y2 z2 + 2 =1 方程可写为 2 a c
此旋转椭球面与椭球面的区别： 此旋转椭球面与椭球面的区别： 与平面 z
= z1 (| z1 |< c)的交线为圆 的交线为圆.
2 a2 2 2 x + y 2 = 2 (c − z1 ) . 截面上圆的方程 c z = z 1