专题06 差值比较法(原卷版)

备战2022高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第一篇

专题六 差值比较法

一、问题指引

在解决()()f x g x >类型问题时常把其转化为()()0f x g x ->来求解，这种方法称为差值比较法。

二、方法详解

(一) 作差之后构造函数求最值

【例】【2019年高考北京理数】已知函数3

21()4

f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；

（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．

【类题展示】（2020·江西高三（文））已知函数f(x)＝x 2－ax －ln a x (a ∈R)． (1)若函数f(x)在x ＝1处取得极值，求a 的值；

(2)在(1)的条件下，求证：f(x)≥－33x ＋2

52

x －4x ＋116.

【类题展示】【2020江西上饶第二次联考】已知函数f(x)=xe x ，g(x)=2a(x +lnx)，a ∈R . （1）求f(x)单调区间；

（2）若f(x)≥g(x)在[1,+∞)上恒成立，求a 的取值范围.

(二) 作差之后二次构造函数二次求导

【例】【2020广东揭阳二模】已知函数f(x)=x −alnx −1. （1）若函数f(x)的极小值为0，求a 的值； （2）∀t >0且a ≤1，求证：f(e t )>a

2t 2.

【类题展示】【2020河南新乡市三模】已知函数f (x )=lnx−a x

(a ∈R )

（1）讨论函数g (x )=

f (x )x

在(1,+∞)上的单调性；

（2）若a ≥0，不等式x 2f (x )+a ≥2−e 对x ∈(0,+∞)恒成立，求a 取值范围.

（三）作差之后先讨论再构造

【例】（2020·山西高三开学考试）已知函数()()()2

2

2

ln ,2ln f x x ax a x a R g x x x x =--+∈=-.

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）求证：当1a =时，对于任意()0,x ∈+∞，都有()()f x g x <.

（四）作差之后先求最值在构造

【例】（2020·河南鹤壁高中高三月考）已知函数2()ln (0,)a x

f x x a a R x a

=++≠∈ （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）设1

()2a x g x x a a

=+-+，当0a >时，证明：()()f x g x ≥.

（五）作差之后先参变量分离再虚设零点求最值

【例】（2020·江西高三模拟）已知函数()()ln f x x x a b =++，曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线为

210x y --=.

（1）求a ，b 的值；

（2）若对任意的()1,x ∈+∞，()()1f x m x ≥-恒成立，求正整数m 的最大值.

（六）先放缩再做差构造函数

【例】（2020·湖北高三月考（理））已知2

()1(0)f x cosx mx x =+-≥． （1）若()0f x ≥在[)0,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围； （2）证明：当0x ≥时，2sin cos x e x x -≥-．

【类题展示】已知函数f(x)=lnx −

alnx x 2

.

（1）若a =1，求f(x)的单调区间；（2）若a =0，证明∀x ∈(0,1)，x 2−1

x

<

f(x)e x

.

（七）作差之后先参变量分离在构造函数：

【例】（2020·内蒙古高三）已知函数()ln (0)f x x x x =>. （1）求()f x 的单调区间和极值；

（2）若对任意23(0,),()2

x mx x f x -+-∈+∞≥恒成立，求实数m 的最大值.

【类题展示】【陕西省2020届高三第三次联考数学】已知函数()ln f x x ax =-，g(x)=x 2，a ∈R . （1）求函数f(x)的极值点；

（2）若f(x)≤g(x)恒成立，求a 的取值范围.

（八）作差之后先讨论再参变量分离构造函数 【例】（2020·北京高三期末）已知函数()2x

f x x e =

（1）求()f x 的单调区间；（2）过点()1,0P 存在几条直线与曲线()y f x =相切，并说明理由； （3）若()()1f x k x ≥-对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围.

（九）先换元再做差构造函数，然后虚设零点求最值

【例】（2020·江苏泰州中学高三期中（理））已知函数()2

14ln 22

f x x a x x =---，其中a 为正实数. （1）若函数()y f x =在1x =处的切线斜率为2，求a 的值； （2）求函数()y f x =的单调区间；

（3）若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，求证：()()126ln f x f x a +<-

（十）先求最值再最差构造函数

【例】（2020·河北高三月考）已知函数()2ln 21f x a x x =-+（其中a R ∈）. （1）讨论函数()f x 的极值；

（2）对任意0x >，2

()2f x a ≤-恒成立，求a 的取值范围.

三、跟踪训练

1．（2020·鄂尔多斯市第一中学高三月考（理））已知函数()1

ln f x x x

=-，()g x ax b =+． (1)若2a =，()()F x g x -，求()F x 的单凋区间； (2)若函数()g x ax b =+是函数()1

ln f x x x

=-的图像的切线，求+a b 的最小值； (3)求证：5

2

1

2ln 0x e x x

--+

>．

2．（2020·湖南长郡中学高三月考（理））已知函数()()2

2ln 0f x x x a x a =-+>.

（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线方程；

（2）当1a =时，若关于x 的方程()f x x b =+有唯一实数解，试求实数b 的取值范围；