【聚焦典型一轮复习题】高三数学理科(人教B版)一轮复习专练：直线的方向向量与直线的向量方程、平面的法

直线的方向向量与直线的向量方程、平面的法向量与平面的向量表示

一、选择题(每小题6分，共36分)

1.已知M(1,0,1)，N(0,1,1)，P(1,1,0)，则平面MNP 的一个法向量是( ) (A)(1,0,0) (B)(0,1,0) (C)(0,0,1) (D)(1,1,1)

2.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1中点，则直线CE 垂直于( ) (A)AC (B)BD (C)A 1D (D)A 1A

3.已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( ) (A)

1010 (B)15 (C)31010 (D)3

5

4.如图所示，在正方体ABCD －A

1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝1

3AC ，则( ) (A)EF 至多与A 1D ，AC 之一垂直 (B)EF⊥A 1D 且EF⊥AC (C)EF 与BD 1相交 (D)EF 与BD 1异面

5.(2012·沈阳模拟)直角三角形ABC 的直角边AB 在平面α内，顶点C 在α外，且C 在α内的射影为C 1(C 1不在AB 上)，则△ABC 1是( ) (A)直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形 (D)以上都有可能

6.如图所示，在正方体ABCD －A

1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝

2a

3

，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) (A)相交(B)平行 (C)垂直 (D)不能确定 二、填空题(每小题6分，共18分)

7.已知平面α，β的法向量分别是n 1，n 2，若α⊥β，则n 1与n 2的关系是 .

8.设正四面体ABCD 的四个面BCD ，ACD ，ABD ，ABC 的中心分别为O 1，O 2，O 3，O 4，则直线O 1O 2

与O 3O 4所成角的大小为 .

9.(易错题)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1， E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E⊥平面ABF ，则CE 与DF 的长度之和为 .

三、解答题(每小题15分，共30分)

10.(2012·威海模拟)如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 所截而得，其中AB ＝4，BC ＝1，BE ＝3，CF ＝4，若如图所示建立空间直角坐标系：

(1)求EF 和点G 的坐标； (2)求异面直线EF 与AD 所成的角.

11.(预测题)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD ＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD.若PA ＝AB ＝BC ＝1

2AD.

(1)求证：CD⊥平面PAC ；

(2)侧棱PA 上是否存在点E ，使得BE∥平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存在，请说明理由.

【探究创新】

(16分)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点，

(1)求BN 的模；

(2)求cos 〈1BA ，1CB 〉的值； (3)求证：A 1B⊥C 1M ；

(4)求CB 1与平面A 1ABB 1所成的角的余弦值.

答案解析

1.【解析】选D.设平面MNP 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)， 由已知得MN ＝(－1,1,0)，NP ＝(1,0，－1)， ∵n ⊥MN ，n ⊥NP ，

MN x y 0,NP x z 0

⎧⋅=-+=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩n n 解得⎩

⎪⎨

⎪⎧

y ＝x z ＝x ，

取x ＝1，则n ＝(1,1,1). 【方法技巧】平面的法向量的求法

设出平面的一个法向量n ＝(x ，y ，z)，利用其与该平面内的两个不共线向量垂直，即数量积为0，列出方程组.两个方程，三个未知数，此时给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一个非零解，即得到这个法向量的坐标.注意，赋值不同得到法向量的坐标也不同，法向量的坐标不唯一.

2.【解题指南】合理建立坐标系，分别求出选项中的线段对应的向量，即可求得结果. 【解析】选B.以A 为原点，AB 、AD 、AA 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，

则A(0,0,0)，C(1,1,0)，B(1,0,0)， D(0,1,0)，A 1(0,0,1)，E(12，1

2，1)，

∴CE ＝(－12，－1

2

，1)，

AC ＝(1,1,0)，BD ＝(－1,1,0)， 1A D ＝(0,1，－1)，1A A ＝(0,0，－1)，

显然CE ·BD ＝12－1

2＋0＝0，

∴CE ⊥BD ，即CE ⊥BD.

3.【解析】选C.建立如图所示空间直角坐标系，令AA 1＝2AB ＝2，则E(1,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D 1(0,0,2).

BE ＝(0，－1,1)，

1CD ＝(0，－1,2).

∴cos 〈BE ，1CD 〉 ＝

1

1BE CD |BE ||CD |

＝

3

2×5＝31010.

【变式备选】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱A 1B 1上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角是( ) (A)π6 (B)π4 (C)π3 (D)π

2

【解析】选D.建立坐标系，通过向量的坐标运算可知AM ⊥OP 总成立，即AM 与OP 所成角为π2

. 4.【解析】选B.设AB ＝1，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系.

则D(0,0,0)，A 1(1,0,1)，A(1,0,0)，C(0, 1,0)， E(13，0，13)，F (23，1

3

，0)，B(1,1,0)，D 1(0,0,1)，