2019年广西柳州市中考数学总复习提分专练2：圆的综合问题(有答案)

提分专练 (二)
[圆的综合问题]
1.[2018·柳州]如图T2-1,△ABC为☉O的内接三角形,AB为☉O的直径,过点A作☉O的切线交BC的延长线于点D.
图T2-1
(1)求证:△DAC∽△DBA;
(2)过点C作☉O的切线CE交AD于点E,求证:CE=AD;
(3)若点F为直径AB下方半圆的中点,连接CF交AB于点G,且AD=6,AB=3,求CG的长.
2.[2016·柳州]如图T2-2,AB为△ABC外接圆☉O的直径,点P是线段CA延长线上一点,点E在圆上且满足PE2=P A·PC,连接CE,AE,OE,OE交CA于点D.
图T2-2
(1)求证:△P AE∽△PEC;
(2)求证:PE为☉O的切线;
(3)若∠B=30°,AP=AC,求证:DO=DP.
3.[2015·柳州]如图T2-3,已知四边形ABCD是平行四边形,AD与△ABC的外接圆☉O恰好相切于点A,边CD与☉O相交于点E,连接AE,BE.
图T2-3
(1)求证:AB=AC;
(2)若过点A作AH⊥BE于点H,求证:BH=CE+EH.
4.[2018·南宁]如图T2-4,△ABC内接于☉O,∠CBG=∠A,CD为直径,OC与AB相交于点E,过点E作EF⊥BC,垂足为F,延长CD交GB的延长线于点P,连接BD.
图T2-4
(1)求证:PG与☉O相切;
(2)若=,求的值;
(3)在(2)的条件下,若☉O的半径为8,PD=OD,求OE的长.
5.[2018·桂林]如图T2-5,已知☉O是△ADB的外接圆,∠ADB的平分线DC交AB于点M,交☉O于点C,连接AC,BC.
图T2-5
(1)求证:AC=BC;
(2)如图②,在图①的基础上作☉O的直径CF,交AB于点E,连接AF,过点A作☉O的切线AH,若AH∥BC,求∠ACF的度数;
(3)在(2)的条件下,若△ABD的面积为6,△ABD与△ABC的面积之比为2∶9,求CD的长.
参考答案
1.[解析] (1)在△DAC和△DBA中寻找两组相等角即可证明它们相似;
(2)根据切线的性质和等量代换,判定EA=ED=EC,由此证明结论;
(3)连接AF,BF.根据已知条件计算AF,BC的长,判定△AFG与△CBG相似,列比例式求解.
解:(1)证明:∵AD是☉O的切线,
∴∠DAB=90°.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°,即∠ACD=90°.
∴∠DAB=∠DCA.
又∵∠ADC=∠BDA,
∴△DAC∽△DBA.
(2)证明:如图,∵EA,EC都是☉O的切线,
∴EA=EC,
∴∠1=∠2.
又∵∠1+∠D=∠2+∠3=90°,
∴∠3=∠D,
∴ED=EC,
∴EA=ED=EC,即CE=AD.
(3)连接AF,BF.易证△DAB∽△ACB,
∴==.
∵点F为直径AB下方半圆的中点,
∴∠ACF=∠BCF,即CG是△ABC的角平分线, 易证==.
又∵AB=3,则AG=2.
∵AB是直径,∠ACF=∠BCF,
∴△ABF是等腰直角三角形,
∴AF=AB=.
在Rt△ABC中,设BC=a,则AC=2a,
∴a2+4a2=9,解得:a=,
即BC=.
在△AFG和△CBG中,
∵∠F AG=∠BCG,∠AFG=∠CBG,
∴△AFG∽△CBG,
∴=,即=,解得:CG=.
2.证明:(1)∵PE2=P A·PC,
∴=.
又∵∠P=∠P,
∴△P AE∽△PEC.
(2)(法一)如图①,过点O作OF⊥AE,垂足为F.
由垂径定理知OF平分∠AOE.
∴∠PCE=∠EOF.
∵△P AE∽△PEC,
∴∠PEA=∠PCE.
∴∠EOF=∠PEA.
∴∠PEO=∠OEF+∠PEA=∠OEF+∠EOF=90°.
∴PE为☉O的切线.
(法二)如图②,延长EO,交☉O于点F,连接AF.
则∠EAF=90°.
∵△P AE∽△PEC,
∴∠PEA=∠PCE.
又∵∠F=∠PCE,
∴∠F=∠PEA.
∴∠PEO=∠FEA+∠PEA=∠FEA+∠F=90°.∴PE为☉O的切线.
(3)如图③,作OH⊥AC,垂足为H.
∵∠B=30°,
∴OH=BC=AC.
又∵AP=AC,
∴PE2=P A·PC=AC·AC=AC2.
∴PE=AC=OH.
在△ODH和△PDE中,
∠∠
∠
∴△ODH≌△PDE(AAS).
∴DO=DP.
3.证明:(1)易证∠ABE=∠DAE.
又∠EAC=∠EBC,
∴∠DAC=∠ABC.
∵AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC;
(2)作AF⊥CD于点F,
∵四边形ABCE是圆内接四边形,
∴∠ABC=∠AEF.
又∠ABC=∠ACB,∴∠AEF=∠ACB.
又∠AEB=∠ACB,∴∠AEH=∠AEF.
在△AEH和△AEF中,
∴△AEH≌△AEF,∴EH=EF,
∴CE+EH=CF.
在△ABH和△ACF中,
∴△ABH≌△ACF,
∴BH=CF=CE+EH.
4.解:(1)证明:如图,连接OB,则OB=OD,
∴∠BDC=∠DBO,
∵∠BAC=∠BDC,∴∠BDC=∠GBC,
∴∠GBC=∠DBO,
∵CD是☉O的直径,
∴∠DBO+∠OBC=90°,
∴∠GBC+∠OBC=90°,
∴∠GBO=90°,
∴PG与☉O相切.
(2)过点O作OM⊥AC于点M,连接OA, 则∠AOM=∠COM=∠AOC,
∴∠ABC=∠AOC=∠AOM,
又∵∠EFB=∠OMA=90°,
∴△BEF∽△OAM,
∴=,
∵AM=AC,OA=OC,
∴=,
又∵=,
∴=2×=2×=;
(3)∵PD=OD,∠PBO=90°,
∴BD=OD=8,
在Rt△DBC中,BC=-=8,
又∵OD=OB,
∴△DOB是等边三角形,
∴∠DOB=60°,
∵∠DOB=∠OBC+∠OCB,OB=OC,
∴∠OCB=30°,
∴=,=,
∴可设EF=x,则EC=2x,FC=x,
∴BF=8-x,
在Rt△BEF中,BE2=EF2+BF2,=,BE=10, ∴100=x2+(8-x)2,
解得:x=6±,
∵6+>8,舍去,
∴x=6-,
∴EC=12-2,
∴OE=8-(12-2)=2-4.
5.解:(1)证明:∵DC是∠ADB的平分线,
∴∠ADC=∠BDC,
又∵∠ADC=∠ABC,∠BAC=∠BDC,
∴∠ABC=∠BAC,
∴AC=BC.
(2)如图,连接OA,
∵AH是☉O的切线,∴∠OAH=90°,
∴∠OAC+∠CAH=90°,
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,
∴∠OCA+∠CAH=90°,即∠FCA+∠CAH=90°,
∵CF是☉O的直径,∴∠F AC=90°,
∴∠CF A+∠FCA=90°,∴∠CF A=∠CAH,
又∵∠CF A=∠ABC,∠ABC=∠BAC,∠HAC=∠ACB(由AH∥BC可证), ∴∠ABC=∠BAC=∠ACB,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠CF A=∠ABC=60°,
∴∠ACF=90°-∠CF A=90°-60°=30°.
(3)∵△ABC是等边三角形,∠BAC=60°,
即∠EAC=60°,
又∵∠FCA=30°,
即∠ECA=30°,∴∠EAC+∠ECA=90°,
∴∠CEA=90°,即AB⊥CF,∴AE=BE=AB,
=,
∵S△ABD=6,△
△
∴S△ABC=27,∴AB·CE=27,
∴AE·CE=27,则在Rt△AEC中,
∵∠EAC=60°,∴tan∠EAC==,
即CE=AE,∴AE·AE=27,
解得AE=3,
∴AB=2AE=6,
CE=AE=9,
∵在R t△AEC中,∠EAC=60°,
∴CA=2AE=6,
∴CF===12,
过点D作DG⊥CF于点G,过点D作DP⊥AB于点P,连接OD, ∵S△ABD=AB·DP=×6·DP=6,
∴DP=2,
∵AB⊥CF,DP⊥AB,DG⊥CF,
∴∠DGE=∠GEP=∠DPE=90°,
∴四边形DGEP是矩形,∴EG=DP=2,
∴CG=EG+CE=2+9=11,
则在Rt△ODG中,OG=CG-OC=11-6=5,OD=6,
∴DG=-=-=,
∴CD====2.。