《高等数学》专插本2005-2019年历年试卷

7•微分方程 ydx xdy 0满足初始条件的 y |x 1 2特解为y
广东省2019年普通高等学校本科插班生招生考试
高等数学
cosx, x 0
A •
等于1 B . 等于2 C . 等于1或2 D . 不存在
3.
已知 f (x)dx tan x C,
g (x)dx 2x C C 为任意常数，则下列等式正确的是
b 0,b 0 b 0,b 0
x
x 2
A . x 2和x 0
B • x 2 和 x 1
C . x
1和x
2
D • x 0 和 x 1
x 1, x
2 •设函数
f(x)
2,
x 0，则呱f （x ）
一、单项选择题（本在题共 5小题，每小题3分，共15分。

每小题只有一个选项符合题目 要求）
2
1•函数f （x ） ¥——的间断点是
A • [ f (x) g (x)]dx 2x tanx C
C • f[g(x)]dx tan (2x ) C 4.下列级数收敛的是 1 A . e n n 1 5.已知函数
B .
f(x)
dx
g(x)
2 x tan x C
D • [f(x)
g(x)]dx ta nx 2x C
B .
n
(|) n 1 2
D .
(2)n n 1
3
n
a,b 应满足条件 f(x)
ax 一在点x 1处取得极大值，则常数
x
二、填空题（本大题共 5小题，每小题3分，共15 分）
6.曲线
0,b 0,b
t3 3t
0的对应点处切线方程为
arcta nt
7•微分方程ydx xdy 0满足初始条件的y |x 1 2特解为y
tsin ： (t 1)，贝V
8小题，每小题6分，共48 分)
14•计算定积分
1X 、2x 1dx
2
18.设函数f (x)满足
df "
x
)x,求曲线
de
四、综合题(大题共 2小题，第19小题 12分，第20小题10分，共22分)
0 x (t)dt
x
(1 )求(x)；
的体积
20.设函数 f(x) xln(1 x) (1 x)ln x
&若二元函数z f(x,y)的全微分dz
sin ydx e x cos ydy,，贝
U
9.设平面区域D {(x, y) |0 y x,0
1｝，
则
xdxdy
D
11 .求 lim
x 0
x
e sin x
2~ x
12.设 y x
x
2x
1(x 0)，求史
dx
13.求不定积分
■4dx
x
15.设 x z e xyz ，求二和二
x y
D {(x,y)|1
4}
17.已知级数
a n 和
b n 满足0 a n
n 1
n 1
b n ,且乩
b n
(n 1)2 * 4
3n 4 2n 1
判定级数
a n 的收敛
1
t
10.已知 1 f(x)dx
三、计算题(本大题共
f(x)dx
y f (x)的凹凸区间
x
x 01 (t)dt
19•已知函数 (x)满足(x)
(2)求由曲线 y (x)和
0,x -及
y
0围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的立体
1)证明： f ( x) 在区间(0, ) 内单调减少；
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、填空题 （本大题共 5小题, 每个空 3
分，
共 15分）
1 2
x
1
6. x
7. 8.
e cosy
9
10
3
x
3
、计算题 （本大题共 8小题， 每小题
6分，
共 48分）
《高等数学》参考答案及评分标准
、单项选择题（本大题共 5小题，每小题3分，共15分） 1.B 2.A 3.D 4.C
5.B
x
x
11.原式 lim — x 0 cosx
2x lim —
x 0 sin x 2
12.解: ln y xl n x 1 -y ln x y dy (Inx dx 1 2x 1 1 In (2x 2 1) 13.解: gdx
x y dx X 2)
2arcta n x hn(1
2
x 2) C
14.解：令、2x 1 t,则 x It 2 Z,dx tdt
2 2
1,
n 1
1
(t 4
o
t 2 ) dt
1 15
15.解：设 f(x, y,z) x z e xyz
f x (x, y,z) 1 yze xyz f y (x, y, z) xze xyz f z (x,y,z) 1 xye xyz
16.解：由题意得1 r 2,0
In (x 2 y 2)d
D
(4ln 2 |) |2
2
(8ln 2 3)
_______ 1 1
3
1 t ，X
J'厂
tdt
1 x
2 x 1 dx
2
t(
1
2)gtdt
1 2
(
-t 5
5 17.解：由题意得 b n 1
(n 1)4 b n
3n 4 2n 1
lim
x
b n 1
b n
lim
x
(n 1)4 3n 4 2n 1
由比值判别法可知
b n 收敛
xyz z 1 yze
z xyz 7
x 1 xye
y
xze
xyz xyz
1 xye
(4ln 3
2)d
2
(x
Q0 a n b n ,由比较判别法可知
a n 也收敛
n 1
18.解
df(x) de x
0 (x)
1 x (x) (t)dt x (x) 1
x
(x) (x) (x)
(x) 0
特征方程r 2 1 0,解得r i
通解为(x) cosx sin x C
Q (0) 1, C 0
(x) cosx sin x
⑵由题意得
V x
Q
2
(cosx sin x)2dx
1
cos2x) 2
20.证明（1）
df(x) xde f (x)
f (x)
x
xe
e x (x 1)
f （x ）的凹区间为（1, ），凸区间为（，1）
19. （1 ）由题意得
0 (t)dt
X
(1 sin 2x)dx
Q f(x) xln(1 x) (1 x)lnx f (x) ln(1 x) In x 1 x 1 1 ln(1 x) Inx (
)
1 x x
证明 ln(1 x) 1
Inx (
1
丄）0即可
1 x x
即证 ln(1 x) 1
In x (
1 x
-)
x
令 g(x) In x
(2)设 a 2019,b 2018则孑 20192018,b a 20182019
比较b a ,a b 即可，假设b a a b 即 aln b bln a 卄 ln b In a
ln(1 x) In x
ln(1 1 x) x In x x
1
g(x)-
且x
1 x
1
1 1
Q x
1
x
1 x
x
ln(1 x) In x （彳 1
-) 成立
1 x x
ln(1 x) In x （彳 1 丄
）
1 x x
）连续可导，由拉格朗日中值定理
得
f （x ）在（0,）单调递减
Q g(x) In x 在(0,
In x /、设g(x) ,则g (x)
1 Inx
x
Q g(x)在(0,)单调递减即g(b) g(a)即b a a b成立即2018201920192018
论正确的是
B . X 4 C
D . -x 3
3
A . 2
3
C .—
4
10
C . 2 ln-
2
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高等数学
一、单项选择题(本在题共 5小题，每小题3分，共 要求) 15分。

每小题只有一个选项符合题目
1.
lim x 0 小.1 si nx 3xsi n
x x A . C . 2 •设函数f(X )具有二阶导数，且 f (0) 1,f (1) 0,f (0)
1,f (1) 3，则下列结
4.级数
n 1
I
3n
5.已知
D
{(X,y)|4
9｝，
则
y 2 二、填空题(本大题共 5小题，每小题3分，共15 分)
X 6.已知 lOg 3t 3」 2
7 .
2(|X|
sin x)dx
A .点X 0是f (x)的极小值点
B .点 0是f (x)的极大值点
C .点X 1是f (X)的极小值点
D .点
1是f (X)的极大值点
3.已知
f (X)dX
C,其中C 为任意常数，则
2
f(x )dx
B . 1
1 D.- 2
ln3
2
1 2x .
8. o e dx _____________________
9•二元函数 z x y 1 当x e,y 0时的全微分dz|x e ___________________________
， y o
10.微分方程x 2dy ydx ，满足初始条件 y |x i 1的特解为y __________________________ 三、计算题(本大题共 8小题，每小题6分，共48分)
x a
x 0
2
x
J
1 11.确定常数a,b 的值，使函数f(x)
b,
x 0，在点x 0处连续
1 x
2
J
x
x
ln(1 x)
2
X
13. 求由方程(1 y 2)arctany xe x 所确定的隐函数的导数 也
dx
2
14. 已知ln(1 x )是函数f (x)的一个原函
数，求
xf (x)dx
2
一
xy 亠 z z 16.已知二元函数 z
2,，求—厂 1 y y y x
17.求
)1 —d ，其中D 是由直线y x 和y 1, y 2及x 0所围成的闭区域
D V y
2小题，第19小题12分，第20小题10分，共22 分) 19.已知函数f(x)满足
f (x) 4f (x) 0,且曲线y f (x)在点(0,0)处的切线与直线 y 2x 1平行
(1 )求 f (x)； (2)求由曲线
y f (x)的凹凸区间与拐点
12
.求 x 叫 15.求由曲线y 1
和直线y
0,x 0 及 x
1所围成的平面图形的面积
18.判定设级数
的收敛性
|sinn| 2
四、综合题(大题共
x 2
20.已知函数f(x) cost dt
o
(1 )求f (0)；
(2)判断函数f (x)的奇偶性，并说明理由；
0常数
(3)证明：当x 0时，f(x) x ——其中
3 ，
3 1 2018年广东省普通高校本科插班生招生考试
《高等数学》参考答案及评分标准
、单项选择题(本大题共 5小题，每小题3分，共15分) 1.B 2.C 3.D 4.C
5.A
二、 填空题(本大题共 5小题，每个空3分，共15分)
2
e
6. 3(ln 3)
7.
4
8.
9. dx edy
2
三、 计算题(本大题共 8小题，每小题6分，共48分) 11.解：
X
Q lim f (x) lim 2 a
X 0 x 0 X 1 lim f (x) lim 1
x 0
x 0
2
当a b e 时，f (x)在点x 0处连续 12.解：
1 - lim 1―- x 0
2x
1 1 lim x 0
2(1 x) 2
13.解：等式两边对求导得
3(1 2yarcta ny) (1 x)e x
dx dy (1 x)e x
dx 1 2yarcta ny
14.解:
lim X 0 x
ln(1 x)
2
x
-叫
x ln(1 x)
x 2
10.
2
2yarc tany (1 y ) 1 dy 1 y 2
dx x
x
e xe
xf (x)dx xdf (x) xf (x) ln(1
x2) f(x)dx
x[l n(1 2x2 1 x2x2)]
ln(1 x2) C
15.解:
1仮
A 0
(1 C)dx t,则x t2,dx
二dx 1
01 x
1 2(t 1
arc tan t) |0 16.解:
x(1
1立dx
01 x 2tdt
1
0(
1")dt
( 1 y2) 2xy2 (1
y2)2 1 y2
2、2
y 17.解:
2 1
x d 1
D
2% 13
x(1 y2)
2 2
(1 y )
2
18.解：此级数为正项级数，且
n 1 |sinn| 2
n 2n
3 1
2n
丄收敛，故
—n
—收敛
n
n 1
2
n 1
|sin n | 2
19.解：(1 )由 f (x) 4f (x)=0 得
y 4y=0,其特征方程r 2
4 0的解为r
令 f (x) 0 得 x 0
），凸区间为（，0），点
（0,0）为曲线的拐点
X 2
(2) f ( x) cost dt
令u t,则
x 2 x 2 x 2
f ( x) cost dt cosu du cost dt f (x)
0 0 0
lim
x
U n 1 U
n
n 1
lim ——
— x n n 1 1
lim
1
x 2n 2
20.解： (1) Q f (x) cosx 2, f (0)
1,
4y =0的通解为y
C 1e 2x C 2e 2x
由题意知y |x 0 0,y |x 0
C 1 C 2
1 0,2C 1 2C
2 2,得 C 1
-,C 2 2
故 f(x)丄(e 2x e 2x )
2
⑵由题意得Q f （x ） e 2x
e 2x ,
f (x) 2e 2x 2e 2x
当x 0时，f （x ）
0，当x 0时,
f (x) 0
所以曲线的凹区间为（0,
3
3
)x 3
f (x)为奇函数
g (x)在(0,)区间内单调递增,
所以，当 x 0 时，g (x) g (0) 0
由此知g(x)在(0,)区间内单调递增
故当 x 0 时，g(x) g(0) f (0)
所以，当x 0时，f (x)
(3 )设 g(x)
f(x) x
(1 )x 3
3
则 g (x) f (x) 1
cosx 2 1
(1
)x 2
即当x 0 时,f (x)
(1 )x 3 x
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高等数学
一、单项选择题(本在题共 5小题，每小题 要
求) 1 . 3分，共15分。

每小题只有一个选项符合题目
C . F 列极限等式不正确的是 lim e n 0
n lim 2 x 1 x 2 2.若 lim(1 x x
1 0 1 a x )4，则常数a x A . In
2 C . 1 3.设 F(x)是可导函数f(x)的一个原函数, f (x)dx f(x) f (x)dx F(x) 4.已知函数f (x)在区间
0,2 x 0
x
B . 2l n2
D . 4
C 为任意常数，则等式不正确的是
B .
f (x)dx f(x)
D . F (x)dx
f(x) C
2
0 xf (x)dx 4 ,
则 0 f C 、x )dx D . lim 上连续，且
B . 4 D . 8 B . lim
n
xsi n
1
5 .将二次积分 1 dx 1 1 x 2 0 f (x 2 y 2)dy 化为极坐标形式的二次积分，则 I
A . 0d
2 0rf (r )dr 0d
1 2
0 f (r )dr 1 2 0rf (r )dr 2
C . 0
二、填空题(本大题共 5小题， 0 f(r 2
)dr 每小题3分，共15分) 6.已知当x 0 时，f(x): 2x ，则 lim x ( sin 6x i -------- 0
f(x)
7.若常数p
仁则广义积分1
1
p dx x
&设二元函数
z f (x, y)的全微分dz
2
z
9.微分方程y 9y 0的通解为y
三、计算题(本大题共 8小题，每小题6分，共48分) 土”口 e 3x 3x 1 11.求极限lim
X
1 COSX
X 2
12 .设 y x (x 0)，求 y
13. 设函数f(x) [(t 1)2 1dt ，求曲线y f(x)的凹凸区间和拐点 14.
求不定积分
xcos(x 2)dx
15. 设(x y)3 z tanz 0,计算——
x y
x 3
2
16.
求二重积分
e d ，其中D 是由曲线y x 和直线x 1及y 0围成的有界闭区域
D
17. 若曲线经过点(0,1)，且该曲线上一点(x,y)处的切线斜率为2y e x ，求这条曲线的方
程
四、综合题(大题共 2小题，第19小题12分，第20小题10分，共22 分)
1 x
19.设函数 f (x^
"1 x 2
(1)求曲线y f (x)的水平渐近线方程;
旋转体体积V
20.已知 f(X )
arcta n
1
X
(1 )证明：当x 0时，恒有f (x) f (丄)
x 2
(2)试问方程f(x) x 在区间(0,)内有几个实根?
10.级数
的和为
n( n 1)
18.判定级数
(丄
n 1
n
―)敛散性。

n!
(2)求由曲线
f (X)和直线X
0, x 1及y 0围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的
广东省2016年普通高等学校本科插班生招生考试
高等数学
、单项选择题(本在题共 5小题，每小题3分，共15分。

每小题只有一个选项符合题目 要求)
A . 1
C . 1
A . cosxf (cosx) C
B . cosxf (cos x)
C
C . f (cosx) C
D . f (cos x) C
5.已知常数项级数 U n 的部分和S n
n 1
n
*
(n N )，则下列常数项级数下列级数中， n 1
发散
的是
A .
2U n
B .
(U n U n 1)
n 1
n 1
C .
1
(U n 一) n 1 n
#3 n
D .
U n (一)
n=1
5
、填空题(本大题共 5小题，每小题3分，共15分)
1 .若函数f (X )=
3x a,x x 1,x
1 在点x
1
1处连续，则常数a
2.已知函数f (x)满足lim o
f(x °
X ) x
f (X o ) 6,则 f (X o )
3•若点(1,2)为曲线
3 2
ax bx 的拐点，则常数a 与b 的值应分别为
A .
1 和 3 C .
2 和 6
4•设函数f (X)在区间 1,1上可导, C 为任意实数，则sin xf (cosx)dx
3
2
20.已知定义在区间［0,）上的非负可导函数
f （x ）满足
6. 7. 极限 lim xsin x x 设y 宀 1 x ，则 dy x 0 设二元函数 2
小 z x l n y ，
则—— y x 9. 设平面区域 2 2 {(x,y)|x y 2 2 1},则(
X y )d D
10.椭圆曲线 x 2 2 y 1围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体体积 V
二、计算题 11•求极限 （本大题
共
丄 x
8小题，每小题6分，共48 分） sin X ） x 3 12.求曲线 3x 2 e xy 2在点（0,1）处的切线方
程
13.求不定积分 --------- d x 。

.x(1 x)
14•计算定积分 1
x2x dx
15.设 z u v ,而 2x y,v
z
禾廿
y 16.设平面区域 由曲线xy 1和直线y 2围成，计算 - □ y
17.已知函数 e 2x 是微分方程y 2y ay 0的一个特解，求常数a 的值,并求该微分方
程的通解 18. 已知级数
U n 满足U n 1 i (1
・
n U n n （n N ）,且U 1 1,判定级数 U n 的收敛性。

n 1
四、
综合题（大题共 2小题, 19.
设函数 f(x) ln(1 x) 19小题12分，第20小题10分，共22 分） 1 2
x ,证明： (1 )当x 0时,f(x)是比
x 高阶的无穷小量；
(2)当 x 0时，f(x) 0
2
x
1 f“(t)
f (x)。

丁亍 dt(x 0)
(1 )判断函数f (x)是否存在极值,并说明理由； (2 )求 f (x)
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13.解：设 & t ,则 x t 2,dx 2tdt
14.解:
1.A
2.B
3.A
4.D
5.C
、填空题(本大题共 5小题, 每个空 3分， 共15分) 6.3
7.
dx
8.
1 9.
— 10
y
2
、计算题(本大题共
8小题，
每小题 6分， 共48分)
8 3
1
11.
00(茫 sin x ) x li n x
x n 0 sin x 3 x 12.解: 等式两边对
x 求导得: 6x % xy 、
xe )
6x xy
ye
dx
dy
6x xy
ye dy
1
dx
1 xy xe dx x 0
y 1
1 cosx sin x 1 lim
2 lim x 0
3x x 0
6x 6
鱼 e xy
(y x
dy
)
dx
dx
1 (x 0)，即 y x 1
、单项选择题(本大题共 5小题，每小题3分，共15分) 故曲线在点(0,1)处切线方程为y
2arcsinx
z u z v v 1 v
------ --------- 2vu u In u
u x v x
z z u z v v 1
vu
y u y v y
又Q 当x 1,y 0 时，u 2,v 1
2ln 2, z
x
16.解:
17.解：Q y x
2e , y 2x
4e
由题意知4e2x2x
4e
2x 2x
ae 0,即ae 0, a 0
1
x2x dx
1 ln
2
1
xd2x
1 1
—(x2x ln 2
1 , 2x 1
、1
… 1、
(2 ) (2——)
In 2 ln 2 0 ln2 ln 2
1
2x dx)
15.解:
x
2
d
D y
x x
dx 1 飞dy
x y
dx x2 dx x3
1
当a 0时微分方程为y 2y 0
其特征方程为r 2 2r 0，解得r 0,r 2
所以，微分方程的通解为 y G c 2e 2x
18•解由题意知，该级数为正项级数，用比值审敛法判断
成立 所以f (x)在区间(0,)单调递增
20. ( 1)对条件等式两边对 x 求导得
即f (x)无驻点，故f(x)不存在极值
(2)令f (x) y ，则由(1)式得2yy
2
r 且y
2 ，且
y
1 x
n
^1
1 - 3
m
H X
1
n unu m
H X
该级数收敛
lim 他 (1)x 0 x
，丄 0
'1~x
lim( x 0'
所以当x
0时, (2)当 x
ln(1 x) lim
x 0
1 x) 0 f (x)是比x 高阶的无穷小量
0 时，f (x)
1 1 (1 x)(x 1)
1 x
1 x
X 2 0，且等号仅在x 0处
1 x
2f(x)f (x)
Q
1
x 2
1 f 2(x) 1 x 2
，
0, f(x) 0
即^dy宀dx
1 y 1 x
2
即ln(1 y ) arctan x c
由y x o 0 c 0
1
故1 y2e arctanx，因此f(x) y (e arctanx 1)2 (x 0)
1
4
广东省2015年普通高等学校本科插班生招生考试
高等数学
一、单项选择题(本在题共 5小题，每小题3分，共15分。

每小题只有一个选项符合题目 要求)
2
3
1 •若当x 0时，kx 2x 3x 与X 是等价无穷小，则常数 k
2•已知函数f(X )在X o 处有二阶导数，且 f(X o )=O , f (X o ) 1，则下列结论正确的是
B • F(2x) C
^F(2x) C 2
4•若函数f(x) . 1 x 2 kx 数在区间0,1上满足罗尔(Rolle )定理的条件，则常数 k
A • -1 C • 1
5 •下列级数中，收敛的是
2
n
1
n 2 1
6•曲线y (1
-)x 的水平渐进线为y x
x 0为f (x)的极小值点 B • X o 为f (x)的极大值点
X o 为f (X)的极值点
D • (X o , f (X o ))是曲线y f(X)的拐点
3•设 F(X )是f(X)的一个原函数,
C 为任意实数，则 f(2x)dx =
F(X ) C D • 2F(2x) C
1
C
•
n 1 in
D .
n=1
1 ~
2 n 二、填空题(本大题共 5小题，每小题3分，共
15 分)
7.
设函数y f （x ）由参数方程；笃所确定，则热0
o
1
D
9. 广义积分
微分方程
10•设函数 4fdx = x
xy 0满足初始条件 0 1的特解为
y
f (x) lo
g 2
x(x 0)，则 f(x x) f(x) 三、计算题（本大题共 8小题，每小题 lim x 0 x
6分，共48分) sin 2(x 1)
,x 11.已知函数f (x) a, b,
1在点x 1处连续，求常数a 和b 的值。

1
12.求极限 lim
arCtanx
x 0
13.设 y ln x
e 14.计算不定积分 dx。

15•求由曲线y
xcos2x 禾口直线
0,x 0及一围成的平面图形的面积。

4 16 .将二次积分 1 、1 X 2 I dx 1 0 2 2
e x y dy 化为极坐标形式的二次积分，并计算 I 的值。

17•求微分方程 y 2y 5y 0满足初始条件y x 0 0的特解。

18.判定级数 2
n#的收敛性。

四、综合题（大题共 2小题，第19小题12分，第20小题10分，共22 分） 19
元函数 z f (x, y) x y ln x(x 0, x 1),平
面区域
D (x,y)2 x e, 1 y 1。

(1 )求全微分dz ； (2 )求
f(x,y)d 。

20•已知f(x)是定义在R 上的单调递减的可导函数，且
f(1) 2 ,
x
r
函数 F(x) f (t)dt x 2 1。

(1 )判别曲线y F(x)在R 上的凹凸性，并说明理由； (2)证明：方程F(x) 0在区间(0,1)内有且仅有一个实根。

2015年广东省普通高校本科插班生招生考试
《高等数学》参考答案及评分标准
lim 」1
x 0
3(1 x 2)
3
一、 单项选择题(本大题共 5小题，每小题3分，共15 分)
1 . B 二、 填空题
2. A (本大题共
3. C 5小题，每个空
4. 3分，
C 5.
D 共15分) 1 8.—
5
9. 1x 2
e 2
10. 1 xl n2
二、计算题 (本大题共 8小题，每小题
共48分) 11.解：••• lim x 1 f (x) lim x 1 12.解法 解法
sin 2(x 1) limsn^ 2 X 1
2(x 1) lim x 1
f(1)
f(x)
b)
2,b 1 时，f (x)在 x
1处连
续。

(3分)
(4分)
(6分)
x i m o
arcta nx
3~ x
2X
2x ..(1 x 2)2 lim x 0 6x
1 lim 1
1
lim 2 2
3x 0(1 x )
3
(6分)
arctanx x
x
(6分)
（3 分）
x
（6分）
2tdt, （2 分）
（2 分）
（4分）
arctan 、x 2） C （6 分）
（2分）
1 — —
-（xsin2xf 4
sin2xdx ） （4 分）
2 0 o
1
（6 分）
8 4
D （x,y ） 1 x 1,0 y 1 x 2 ,
y 話 1 x 2
（2 分）
13•解：T y
x In （e x 1）,
• •• y 1 x e
1
x . x
J
1
e 1 e y
x
e
（1
x 、
2
e ） 1
故y
x 0
4
14.解：设J 7
2 t,则 x t 2 2, dx
vx 2
dx t 2tdt
x 3
t 2 1
=2 2
t 2
dt 2 （1 -
t 1
1 t
2（t a rcta nt ）
C 2（Jx 2
2 0 1
—-cos2x 4 8 4
16.解：由给定的二次积分知，积分区域
15 •解：所求面积：
A 4 xcos2xdx
o
-^xd sin2x
如图: •••
I
1
r 2
d e rdr
0 0 （4分）
1 r
2 1 （2』|0）
d 1 1 （—
e -）d 2 2 ㊁
（e 1）
（6分）
17•解：微分方程的特征方程为 r 2 2r 5 0
解得r 1 2i ,
（2 分） 微分方程的通解为 y e x （G cos2x C 2si
n2x ） （4分）
•' y e x （
G COS 2X C 2 sin 2x ） x
e （ 2C i sin 2x 2C 2 cos2x ）, •- y
x 0 C 1 2, y
C 1 2C 2
0,解得C 1
2,C 2 1
故微分方程的特解为 y e X （2COS 2X sin2x ）
（6分）
18.解法一：显然
2 n n .
3
1 '•Tim n
（n 1）2
3n 1 lim n
（n 1）2 3n 2
则由比值审敛法知,
（3 分）
•由比较审敛法知,
2
n 收敛。

n 1 3 1
（6
分）
解法二：'归艸
3n
1 2
n
lim^ n n （3 分）
•••由比较审敛法知，级
数 2
n 收敛。

n 1 3 1
（6
分）
四、综合题（大题共 2小题，第19小题12分，第20小题
10分，共 22
分）
Z y 1 y 1 y 1
Z 19.解：（1）'
x yx ln x x （1 ylnx ）,-
x
y
x y ln 2 x ,
（4分）
(2)证：显然F(x)在0,1上连续，且F(0)
1 0 , 1 1 F(1) f(t)dt
2 2dt 2
0,
•方程F(x) 0在区间(0,1)内至少有一个实根。

(7 分)
由F (x)
0知F (x)在R 上单调递减,
• x 1 时，有 F (x) F (1) f (1) 2 0 ,
由此知F(x)在(0,1)内单调递增。

因此方程F(x) 0在(0,1)内至多只有一个实根, 故方程F(x) 0在区间(0,1)内有且仅有一个实根
(10 分)
••• dz — dx — dy y x y 1(1 yln x)dx x y ln 2xdy 。

(6分)
(2)
f(x, y)d
D
dx
2 1
x y ln xdy
(8分)
e
(x y 2 '
1
1
)dx
(10 分)
e
2 (x
1 -)dx / 1 2
(—
X
In x) 2 !e 2 l n2 3。

(12 分)
2
x 2
2
20. (1 )解：：
-F (x)
f (x) 2x,F (x)
f (x)
2,且由题意知
f (x) 0(x R)
分)
•- F (x) 0(x R),
i
e 故曲线y F(x)在R 上是凸的。

,(3
(4分)
广东省2014年普通班高等学校本科插班生招生考试
高等数学
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分。

每小题只有一个选项符合题目要求)
x 2, x 0
1 .设函数f(x) 1, x 0则下列结论正确的是
2 3x, x 0
A . lim f (x) 1
x 0 B . lim f (x) 2
x 0
C . lim f(x) 3
x 0 D . lim f (x)不存在
x 0
2.函数y
x
-的图形的水平渐近线是x 2sin x
A . y 0
B .
y
1
3
C . y 1 D
.
y 1
2
3.曲线y
1 2 In
x x 1的凸区间是2
A .( ,1)
B .( 1,0)
4. 已知arctan x 2是函数f(x)的一个原函数，贝U 下列结论中，不正确.的是
C . (0,1)
D . (1,) A . f(x)
2x 1 x 4
B .当x 0时，f (x)和x 是同阶无穷小量
C . o f (x)dx 5.交换二次积分I
2
D . f (2x)dx arctan4x
1 1
0dx x2 f (x, y)dy
和积分次序，则I 1
、y
A . 0dy 0 f(x, y)dx 1 1
C . 0dy y 2
f(x,y)dx
1 1
B . dy f(x, y)dx 0 y 1
y 2
D . 0dy 0 f (x,y)dx
D
、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 6. lim
4n 2 3n 1
n
7. f(x) x 2 2x 1在区间0,2上应用拉格朗日(Langrange )中值定理时，满 足定理要求的
则常数a 9,
设二元函数z ln(xy)，则
10. 微积分方程y y 12y
三、计算题(本大题共8小题，每小题6分，共48 分) 1 1
11. 求极限lim (-—厂)。

X
X e x 1
12. 设 y xarcsinx .1 x 2，
14. 计算不定积
分
15. 设函数f ((x)
(1)求曲线y f (x)上相应于0 x 1的弧段长度s ;
(2)求由曲线y
f(x)和直线x 0, x 1及y 0围成的平面图绕x 轴旋
转而成的旋转体体积V 。

16 .已知三元函数 f (u, v, w)具有连续偏导数，且 z z(x, y)是由三元方程f (x y, y 乙z x) 0所确定的隐函数，计算 — —。

x y
------ dx
(x 2)*x 3
13.求函数f(x)
log 4(4x 1)
log 4 2的单调区间和极
值。

8.若由参数方程
x In cost y asect
所确定的函数
y y(x)
是微分方程烹y 的解,
0的通解是y
0。

若二元函数
17 . 计算二重积分(x2y2)d ，其中积分区域
D
1_
D (x, y)x 2 y 2
1, x 2, y 2。

18.
求微分方程(1 x 2)dy (x xsin 2 y)dx 0满足初始条件y 0的特
解。

x 0
四、综合题(大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分)
1 2 ~2
19. 已知函数 f(x)
(1 3x )x sin3x 1,x 0
在x 0处连续。

a,
x 0
(1) 求常数a 的值；
(2) 求曲线y f (x)在点(0,a)处的切线方程。

2 t 2 20 .设函数 f (x) e dt o
In x
(1) 求 f (e 2)；
e 2
1
(2)
计算定积分 一 f(x)dx o
1
x
1_
广东省2014年普通高等学校本科插班生招生考试
（6分）
高等数学参考答案及评分标准
、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15 分)
1. B
、填空题 2. D (本大题共 6. 2 三、计算题 11 .解：原式
（本大题共 e x 1 x =lim x ---- x 0 x （e x 1）
3. C 5小题，每小题 8. 1 2
8小题，每小题 4. D 3分，共15分)
9. 0 10. 12.解：y
5. A C 1e 4x C 2e 3x 6分，共48分)
=lim - x
e
arcs in x
lim x 0 e
e 1 xe （3分）
x e
x
x
x
e xe （6分）
（1 2x
2
，
x
2 3
， x 2f
（3分）
（5分）
13.解：f (x)的定义域为( )
14.解:
15.解:
16.解:
17.解:
f (x)
4 ln4
(4x1)l n4
令f (x) 0 ,解得
当x 0 时，f (x)
所以f(x)在区间
原式=2 丄dt
t2 1
=l nt 1 Int
(1) s
(2) V x
1 xdx
4x3dx
09
设F(x, y,z) f(x
其中U
则F x
x y, v y
4x1
2(4x1)
(3
分)
0,当x 0时，f (x) 0，
,0内递减，在(0,)内递增；f (0)
2
t 3,dx 2tdt，
1
(n
y, y
z, w
(6分)
0是f (x)的极小值。

(6分)
(2
分)
In
3
x)2
C ln (6分)
x)
2
邪2 2 1)；
f(u,v,w)，
z F x f u f w z F y f u f v
x F z f v f ,
1 w
y F z f v f w
u v w
z u w u v
v
, F
z
u
f
w
, F
y
故二
x
(3
分)
(6分)
(2 分)
(6分)
D如图:
记圆域x21为
D1
原式=(x2
D D1
y2)d (x2)d
D1
2
dx
2
2 2、)
x y )dy
1 r3dr
2
// 2 16.. 2(4x y)dx
(2)
dr 18. 四、 19. 20. 2
2
16 2(4x
-)dx
解：将原方程变形为 两边积分得: 1 即tany 尹(1
又 x 0时，y
128 3 2
(6分)
dy 2~
cos y
dy 2~
cos y
2 dx
x
(2 分)
Ldx x
(5分)
1 ln(1 x ) 2
综合题(大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分,
1
lim (1 3x 2)^
x 0
故原方程的特解为 解: ( 1)
(2) 解: (1) tan y
(6分)
共 22 分)
1
2 x2
lim(1 3x )
x 0
lim 0 f(x)
又 f(0)
=l L
m 0
(1
故曲线y f (x) f (e 2
)
(2 分)
x m 0
(1
1
2 ~
3x )x
sin3x
e 3 0 1
a,由f(x)在x 0处连续知a 1
1
2 2
x) f(0) (1 3 x 2) x sin3 x 1 lim
x
x 0
x 1
x 2
sin 3 x 3 x ) x
3 3e
3 x
(4分)
(4分)
f (x)在点(0,a)即(0,1)处的切线方程为y 3ex 1
(10 分)
ln 2 x
1 e
x ln 2e 2
1
e
— e
1
解一：
f(x)dx
1
x
e 2
e 2
1 f (x)dl nx
2
e f (x)l nx
1
e 2 ln xf
1
(x)dx
^ln xe ln 2
x
1
丄dx
x
(9分)
^(e 4 1)
(12 分)
二丘厲討；1(e 4 1)
(12 分)
解二: 2
』x dl n 2
x
/ 2
1 In 2
x e
_e 2 1
,6-f(x)dx
1 x
e 2
1 2 2
1 (- l e y
dy)dx 1 x In x 2
e y
1 『
2 dy e dx 0 1
x
e 2
2
1 2
dx e y dy (7 分)
1
In x x
(10 分)
2 2
o (Inxe y
e y 1)dy
2013年普通高等学校本科插班生招生考试试题
高等数学
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分。

每小题只有一个选 项符合题目要求)
1 •当x 0时，下列无穷小量中，与x 不等价的无穷小量是 ()
A. In(x 1)
B. 1 cosx
2
2. 曲线y
门
A. 只有水平渐近线
C. 既有水平渐近线也有铅垂渐近线
3. 下列函数中，在区间1,1上满足罗尔(Rolle )定理条件的是
2
A. y x 3
B . y x
4
5
C . y x 3
D . y x 3
4.
设函数f(x) xsin x cosx ，则下列结论正确的是
()
A. f(0)是f(x)的极小值，f()是f (x)的极大值
2 B . f(0)是f(x)的极大值，f(—)是f (x)的极小值 2
C . f(0)和f(—)都是f(x)的极小值
2
5.
若函数f (x)和F(x)满足F (x) f (x)(x R)，则下列等式成立的是 ()
A . ^F(2lnx 1)dx 2f (2lnx 1) C
x 1
1
B . arcsinx
B .只有铅垂渐进线
D .无渐近线
f (0)和 f (孑)都是f(x)的极大值
1
1)dx 2F(2ln x 1) C
B . -F(2l nx 1)dx - f (2l nx 1) C
x 2
转体体积V
f(x)具有连续的一阶导数，且f(0) f (0) 0 ,求常数a 和b 的值,
2y (1 k)y 0 (其中常数k 0)的通解。

四、综合题(本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22 分)
C.
f (2ln x
x
1
D.
- f (2ln x x 1)dx 二、填空题(本大题共 1
6 .要使函数f (x) 一 x x 3t
7.曲线
在t
y tant
1 -F(2ln x 1) C
2
5小题，每小题3分，共15分)
2
¥在x 1处连续，应补充定义f(1)=
x 2 1
0相应的点处的切线方程是y
8.函数 f(x) x(1
0,
1
x)* * x ,x 0
x 0
0处的左导数f (0)
9•已知平面图形G
(x, y) x 1,0
将图形G 绕x 轴旋转一周而成的旋
10.设D 为圆环域：1 x 2 y 2
4，则二重积分 三、计算题(本大题共8小题，每小题6分, 1
xsin(e x
1)。

T =2==7d
D . x y
共48分)
11 .计算lim
x
15.计算不定积分
.3
sin x ,
2 dx 。

cos x
16. 计算定积分
(x 2)厂1dx。

17.求二元函数
2
；Jdt 的全微分dz 及二阶偏导数吒。

12.已知函数 18.求微分方程
1
1)dx
2F(2ln x 1) C 19
交换二次积分
1
；dx ：(2=2； %的积分次序，并求1的值。

20 •已知f(x)是定义在区间0, 上的非负可导函数，且曲线 y f(x)与直线 y 0,x
0及x t(t 0)围成的曲边梯形的面积为f (t) t 2
(1)求函数f (x)；
因为 f (0) f (0) 0,即f (0) 0且f (0) 0,
由此解得 a 2, b 1 0 13.方法一
等式两边对x 求导数得：(y xy )lny xy y 2e 2x , 即 y (1 x xin y) 2e 2x
yin y ,
2x
所以y 屯2e —
dx 1 x xln y
又因为x 0时， y 1
，故-X |X 0
2
dx'
方法二
设 F(x) xy I ny
y e 2x ，则
F x
yl ny 2e 2x
,F y xln y x 1 ,
(2)
证明：当x 0时，f (x) x 2
3
x
3
2013年《高等数学》参考答案
一、 单项选择题(本大题共 5小题, 项符合题目要求)
1. C
二、 填空题
6.
1
7. 2 三、 计算题 每小题3分，共15分。

每小题只有一个选 2. B (本大题共 1
(x 1) In
3
(本大题共
1 3. C 5小题，每小题3分, 5. D 共15分)
8. e 1
9. 10. 2 11.原式= |im Sne J
X 1 8小题，每小题6 分, 1 1
COS& 1) e"( lim
x
共48分)
1、 2) 1
1 = lim cos(e x 1)e x 1
x 2 12 .由题意知：af (0) bf (0)
f (0) 0, af (0) 2bf (0) 0 ,
1
2e 2x yln y 0
xln y x 1
又因为x 0时, 14•函数的定义域为
x 3。

(x 2 4)2
0，解得x
17•因为二
x
x 2 y 2
z
ye ，- xe y
16.令 ix 1 t ，则 x t 1,
dx 2tdt ,
2
2tdt (t 2
1)t
3
(1 1
f )dt
= 2(t 2 arcta nt)
2(.3
1)
所以dz —dx — dy ye
x y
2 2
x y
dx
2 2
xe x y
dy -
所以巴 空 dx F y
y ln y 2e 2x
xln y x 1
—X 2
—厂xl.x 2
4
1)
1 —X 2—4 ,
故曲线的凹区间为 (,0) 曲线的凸区间为（0,）；
曲线的拐点为（0,1 n2）。

・2
15. 原式= sin 2 x d (cosx)
cos x
d 2
1 cos X 」，
——1—d (cosx) cos x
d(cosx)
2
Z
x 2
y 2
x 2
y 2
2
x 2y 2
2 2、
——e ye ( 2x y) e (1 2x y ) x y
所以当k 0时，方程有两个不相等的实根1 .、k 和1 ...
k ；
当k 0时，方程有唯一实根。

故当k 0时，通解为y C 1e (1⑴ C 2e (1 ® ；
交换积分次序得
由 f (x) f(t) 2t 解得
dt
dt
t
t
f (t) e ( 2te dt C) e ( 2te dt C) e t ( 2te t 2e t C) 2t
2 Ce t 。

20. I e
dy lny (2x 1)(2y 1)
dx
1 0 ln y 1
e (x x)(2y 1) In y 1 In y 1
dy
e
1(2y 1)lnydy
e 1Inyd(y 2 y) (y 2
(1)由题意知 f(x)dx
两边对t 求导数得: y)lny
f(t)
f(t) t 2
，
f (t)
e 2 1 1(y y)严
2t ，且 f (0)
，
18. 由微分方程的特征方程r 2
2r 1 k = 0解得
「1,2
2「4一4(厂k)
2
四、 当k 0时，通解为y (C 1 C 2X )e x 。

综合题(本大题共2小题，第 由题设条
件知，积分区域
x
x 1，e y e
19小题10分，第20小题12分，共22 分) D (x,,)0
，如图:
由f(0) 2 C 0 得 C 2，
所以f(t) 2t 2 2e t 2(e t t 1)，故 f (x) 2(e x x 1),(x 0)；
(2)设F(x) f(x) 2 x x3
3，x 0)
，
则 F (x) 2(e x1) 2x x2，
F (x) 2e ，2 2x 2(e x x 1) f(x) 0,(x 0)，
所以F (x)在(0,)内单调递增，因此，当x 0时，有
F(x) F (0) 0,
由此可知F(x)在(0,)内单调递增，
3
x 故当x 0 时，有F(x) F(0) 0，即F(x) f (x) x2
0，
3
3 所以f (x) x2— (x 0)。

3
广东省2012年普通高等学校本科插班生招生考试试题
咼等数学
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分。

每小题只有一个选项符合题目要求)
1.已知三个数列a n、b n和C n满足a. b n c n(n N )，且lim a n, lim c n( a、
n
b为常数，且a C ),则数列b n必定
A •有界
2. x 0是函数f (x)
A .连续点
间断点
B.无界
1
(1 2x)x,x 0，的
e2 x, x 0
B .可去间断点
)
C.收敛 D •发散
C •跳跃间断点
D •第二类3
3.极限lim 2xsin
x
A. 0
4.如果曲线y ax 的水平渐近线存在, 则常数a =
-1 f(x, y) 续函数，极坐标形式
4d 0 ) 1
f(rcos，rsin)rdr 化坐标形
二
2dx 0
1 x2
x f(x,y)dy f (x, y)dx
C .
1
y2
y f (x, y)dx
2
1 y2
2dy x f(x,y)dx
、填空题 (本大题共5小题，每小题3分，共15分)
6 .设f (x)在点x°处可导，且f (x°) 3 ，贝U lim f(x。

2 x) f(x0)
x 0
O
7.若 f(x)
^
tanX
dx ，贝U f ( ) = ________________ 。

x
8 .若曲线y x 3 ax 2 bx 1有拐点(1,0)，则常数b _________________________
1
10.设函数f(u)可微，且f (0)—,则z
f(4x 2 y 2)在点(1,2)处的全微分
2
三、计算题(本大题共8小题，每小题6分，共48 分)
1 —
)ln x
x
最简形式)
19. 已知C 经过点M(1,0)，且曲线C 上任意点P(x,,)(x 0)处的切线斜率与直 线OP ( O 为坐标原点)的斜率之差等于ax (常数a 0 )。

9 .广义积分
e x
1 e x
dx
dz (1,2) - ________ 。

11
.计算 x
lim (1
12.设函数y x
f(x)由参数方程
y
h t)所确定,
求3 dx
(结果要化为
13.确定函数f(x) (x 1)e
_ arcta n x ,4
的单调区间和极值
14.求不定积分ln(1
x 2)dx
3 x 4
x e
15.设 f(x)
1 x 2
— 2
— 2
,利用定积分的换元法求定积分 2 1 f(x 1)dx
2
16.求微积分方程
4y
13y 0满足初始条件y x0 1, y
8的特解
17.已知二元函数 x(2y 1)
18.计算二重积分 、y 2 xd ，其中D 是由曲线y x 及直线y 1,x 0围成
的闭区域
四、综合题(本大题共2小题,
第19小题12分，第20小题10分，共22分)
（1） 求曲线C 的方程；
（2） 试确定a 的值，使曲线C 与直线y ax 围成的平面图形的面积等于
20 .若当x 0，函数
f
（X ）
（1） 求常数a 的值；
1
（2）
证明：—f （2） 8。

2
13.解：函数f （x ）的定义域为（
X q
t 3 3t 0
dt 与x
是等价无穷小量;
1. A
2. C
3. D
4.
B 、填空题 （本大题共 5小题，每小题 3 分, 共15
分）
6. -6
7.—
8. 3
9. ln 2 、计算题 （本大题共 8小题，每小题 6分， 共 48 分）
2dy
11.解：原式lim e
x
1
lim 』^ lim 匸 x In x x —
x
x
lim x
1 x 1，
dy dt
史仏t （结果没有化简扣2分）
dx x t
（2
分）
（4 分）
（6 分）
（3 分）
2012年高等数学参考答案与评分标准
、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15 分） 5. C 10. 4dx X In x
In （1 原式 e
12.解:
t。