概率总复习(5)2010,06

2) P ( A U B ) = P ( A) + P ( AB ) ↓Q A与B独立 3 0.7 = 1 − a + 0.3a ⇒ a = 7
7
玻璃杯成箱出售， 每箱内有２０ ２０只 假设每箱有 每箱内有２０只， 9. 玻璃杯成箱出售， ０，１，２只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1, 一顾客 欲购买一箱玻璃杯，在购买时， 随意取一箱，任取４ 欲购买一箱玻璃杯，在购买时， 随意取一箱，任取４ 只查看，如有次品则退货；否则买下． 试求： 只查看，如有次品则退货；否则买下． 试求：
1 3 (C )a = − , b = 2 2
1 3 ( D )a = , b = − 2 2
13
13.
设连续型随机变量 X 的分布函数为
−x
2
A + Be 2 x > 0 F ( x) = 0 x≤0 则 A= １ B = －１
P {X ≤ 3} = 1 − e
−x
2
− 92
X 的概率密度为 xe 2 x > 0 f ( x) = 解： ( +∞ ) = 1 ⇒ A = 1 F 0 x≤0 2 −x 2 lim F ( x ) = lim+ ( A + Be ) = A + B = F ( 0) = 0
11
11. 对以往的数据分析结果表明当机器调整得 良好时，产品的合格率为 90% , 而当机器发生某 良好时，产品的合格率为 合格率 故障时， 合格率为 一故障时，其合格率为 30% 。每天早上机器开 动时，机器调整良好 良好的概率为 动时，机器调整良好的概率为 75% 。已知某天 早上第一件产品是合格品， 早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好 的概率是多少？ 的概率是多少？ 良好， 解 ： ：机器调整得良好， A ：产品合格 B 机器调整得良好
(1)
顾客买下的概率
( 2) 在购买下的一箱中确实没有次品的概率
( 表示所买的一箱中含有i 解：1) Ai 表示所买的一箱中含有 只次品 i = 0,1,2 B 表示任取的 4 只中没有次品
8
P ( A0 ) = 0.8, P ( A1 ) = P ( A2 ) = 0.1
P ( B ) = P ( B A0 ) P ( A0 ) + P ( B A1 ) P ( A1 ) + P ( B A2 ) P ( A2 )
P ( AB ) = P ( B ) − P ( AB ) = P ( B ) = q P ( AB ) = P ( A U B ) = 1 − P ( A U B ) = 1 − p − q
6
8. 已知P ( A) = a , P ( B ) = 0.3, P ( A U B ) = 0.7
1)若事件 A与B互不相容，求 a; 互不相容，
λ
(5)设X的分布律为 P {X = n} = ap n , n = 0,1,2,L
3 (0 < p < 1) 而且X取奇数值的概率为 而且 7 ∞ a n = 1 ⇒ a = 1 − pLL(1) 解: ∑ ap = 1− p n= 0
∞
∞ 3 3 2k +1 2k ∑ P{X = 2k + 1} = 7 ⇒ ∑ ap = 7 k =0 k =0
ap 3 ⇒ = LL( 2) 2 7 1− p 1 3 由(1),(2)两式得 a = , p = 两式得 4 4
18
16. 设X在 (−a,a) 上服从均匀分布,其中 上服从均匀分布,
解 由题意可得
a >1 ．
试确定满足关系式 P( X < 1) = P( X > 1) 时的常数a .
1 −a < x < a p( x) = 2a 0 x ≥a 1 1 1 P( X < 1) = ∫ dx = 2a −1 a 1 P( X > 1) = 1 − P( X < 1)= 1− − a 1 1 = 1− Q P( X < 1) = P( X > 1) a a
解: 由 ∑ Pk = 1 ⇒
k =1 ∞
k =1
λC
k
k!
∑ C k! = 1 ⇒
∞
λk
1 C (e − 1) = 1 ⇒ C = λ e −1 a (4)设X的分布律为 P {X = k } = , k = 1,2,L k ( k + 1) a ≥ 0 ∞ ∞ a 1 1 ∞ ) ⇒∑ = a ∑( − 解: a ∑ k ( k + 1) = 1 k =1k ( k + 1) k =1 k k + 1 k =1 1 )=a = a lim (1 − n→ ∞ n+1 ∴a = 1 17
求Ｘ的分布律？ 的分布律？ 解：
Leabharlann Baidux < −1 −1≤ x < 1 1≤ x < 3 x≥3
X
－１
１
３
0.2
Pk 0.4
0.4
15
15. 求下列分布律中的未知参数
(1)设X的分布律为 P {X = k } = ka , k = 1,2,L,11 的分布律为
1 解: 由 ∑ Pk = 1 ⇒ 66a = 1 ⇒ a = 66 k =1
4
年统考题) 。 (05年统考题 年统考题
5．设 P ( A U B ) = 1/ 2 ． 则 P( A | B) = 3/4
P ( A) = P ( B ) = 1 / 3
(06年统考题 年统考题) 年统考题
4
6. 甲,乙两人独立地对同一目标射击一次 其命准率 乙两人独立地对同一目标射击一次,其命准率 乙两人独立地对同一目标射击一次 分别为0.6和 分别为 和0.5, 现已知目标被命准 则它是甲射准 现已知目标被命准, 的概率是 解: A
试求P ( A U B ), P ( A U B ), P ( AB ), P ( AB ), P ( A B )
解: P ( A U B ) = P ( A ) + P ( B ) = p + q
Q AB = φ ,∴ B ⊂ A P ( A ∪ B ) = P ( A) = 1 − P ( A) = 1 − p P ( AB ) = 0
+ P (C ) − P[C ( A U B )]
= P ( A) − P ( AB ) − P ( AC ) + P ( ABC ) + P ( B ) − P ( BA) − P ( BC ) + P ( ABC )
+ P (C ) − P (CA) − P (CB ) + P ( ABC )
= P ( A) + P ( B ) + P (C ) − 2 P ( AB ) − 2 P ( AC ) − 3 2 P ( BC ) + 3 P ( ABC ) = 16
2 )若 A 与 B 相互独立， a 应取何值？ 相互独立， 应取何值？
解: 1) P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB )
= P ( A) + P ( B ) − P ( B − AB ) = P ( A) + P ( AB ) ↓Q AB = φ = 1 − P ( A) ⇒ 1 − a = 0.7 ⇒ a = 0.3
0.75
甲射准目标 B
乙射准目标
P[ A( A U B )] P( A A U B) = = P( A U B) P ( A) = 0.75 P ( A) + P ( B ) − P ( AB )
5
7. 设随机事件 A, B 互不相容， 已知P ( A) = p, P ( B ) = q , 互不相容，
P ( A | B ) = 90%
P ( A | B ) = 30%
P ( A | B)P (B) P ( B | A) = P ( A | B )P (B ) + P ( A | B )P (B ) 0 .9 × 0 . 75 = = 0 .9 . 0 .9 × 0 .75 + 0 .3 × 0 . 25
2
解 P ( A BC + ABC + A BC ) =
P ( A BC ) + P ( ABC ) + P ( A BC )
= P[ A − ( B U C )] + P[ B − ( A U C )] + P[C − ( A U B )] = P ( A) − P[ A( B U C )] + P ( B ) − P[ B( A U C )]
( 2 ) 设 X 的分布律为 0 1 2 3 X −1 a 2a 2 Pk 0.16 a 0.3 10 10 a 2a 2 + 0.3 = 1 0.16 + + a + 10 10 解: 由 ⇒ a = 0.6 a ≥ 0
16
11
( 3)已知X的分布律为 Pk = P {X = k } = k = 1,2,L , λ > 0为给定的常数。 为给定的常数。
3
3.已知 3.已知
P ( A ) = 0.2
P ( B ) = 0.1
P ( A U B) = 0.2
则 P ( A B ) = 1/9 4.设随机事件 相互独立， 4.设随机事件 A 与 B 相互独立，已知 A 发生且 B 不发生的概率相等， 不发生的概率与 B 发生且 A 不发生的概率相等， 均为 1 ，则 P ( A) = 1/2
第i次取到一等品 次取到一等品
10
(1) P ( B1 ) = P ( A1 ) P ( B1 A1 ) + P ( A2 ) P ( B1 A2 )
1 10 1 18 2 = × + × = 2 50 2 30 5 P ( B1 B2 ) ( 2) P ( B2 B1 ) = P ( B1 ) P ( B1 B2 ) = P ( A1 ) P ( B1 B2 A1 ) + P ( A2 ) P ( B1 B2 A2 ) 1 10 × 9 1 18 × 17 276 = × + × = = 0.1942 2 50 × 49 2 30 × 29 1421 276 5 ∴ P ( B2 B1 ) = × = 0.4856 1421 2
概率统计总复习
2010年6月 2010年6月
1
1.
P ( A) = 0.4, P ( B ) = 0.3, P ( A ∪ B ) = 0.6
则P ( A B ) = ?
解: P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB )
得P ( AB ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A U B ) = 0.1
x →0+ x →0
P {X > 2} = e − 2
⇒ B = −1
P {X > 2} = 1 − P {X ≤ 2} = 1 − F ( 2) = e − 2
14
P {X ≤ 3} = F ( 3) = 1 − e
− 92
设随机变量Ｘ的分布函数为： 14. 设随机变量Ｘ的分布函数为：
0 0.4 F ( x ) = P {X ≤ x} = 0.8 1
P ( A B ) = P ( A) − P ( AB ) = 0.3 1 1 2. P ( A) = P ( B ) = P (C ) = , P ( ABC ) = 4 16 1 P ( AB ) = P ( AC ) = P ( BC ) = 8
恰有一个发生的概率？ 求 A , B , C 恰有一个发生的概率？
4 4 4 C 20 C19 C18 = 4 .0.8 + 4 .0.1 + 4 .0.1 = 0.943 C 20 C 20 C 20
P ( B A0 ) P ( A0 ) ( 2) P ( A0 B ) = = 0.848 P( B)
9
假设有两箱同种零件：第一箱内装５０ ５０件 10. 假设有两箱同种零件：第一箱内装５０件，其中 １０件为一等品； １０件为一等品； 件为一等品 第二箱内装３０件， 第二箱内装３０件 其中１８件为一 ３０ 其中１８件为一 １８ 等品．现从两箱中随意取一箱， 然后从该箱中先后随 等品．现从两箱中随意取一箱， 试求： 试求： 机取出两个零件（不放回）， 机取出两个零件（不放回）， 先取出的零件是一等品的概率； 先取出的零件是一等品的概率； （１） 在先取出的零件是一等品的条件下， 第二次取出 （２） 在先取出的零件是一等品的条件下， 的零件仍然是一等品的概 率． 解：Ai 取到第i箱子 取到第 箱子 Bi i = 1,2
12
12. 设F1 ( x )与F2 ( x )分别为随机变量 X 1与X 2 的分布
函数， 函数，为了使 F ( x ) = aF1 ( x ) − bF2 ( x ) 是某一随机变
量的分布函数， 量的分布函数，则下列各组值中应取 A
3 2 ( A)a = , b = − 5 5
2 2 ( B )a = , b = 3 3