解析几何——轨迹方程的高考题总结

解析几何中求轨迹方程的常见方法
一、直接法
当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法. 例1
已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：，动点M 到圆C 的切线长与的比等于常数（如图），求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线．
二、定义法
定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.
例2 已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、
c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.
三、点差法
将直线与圆锥曲线的交点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为"点差法"。

例3 抛物线2
4y x =焦点弦的中点轨迹方程是 。

四、几何法
12
2
=+y x MQ ()0>λ
λ
几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.
例4 已知点)2,3(-A 、)4,1(-B ，过A 、B 作两条互相垂直的直线1l 和2l ，求1l 和2l 的交点M 的轨迹方程.
五、参数法
参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标y x ,间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到y x ,间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.
例5 过抛物线px y 22
=（0>p ）的顶点O 作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.
例6 设椭圆中心为原点O ，一个焦点为F （0，1），长轴和短轴的长度之比为t ． （1）求椭圆的方程；
（2）设经过原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q ，点P 在该直线上，且，
当t 变化时，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
六、交轨法
求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消
12-=t t OQ
OP
去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.
例7 如右图，垂直于x 轴的直线交双曲线122
22=-b
y a x 于M 、N 两点，21,A A 为双曲线的左、右顶点，
求直线M A 1与N A 2的交点P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状.
例8 已知两点以及一条直线：y =x ，设长为的线段AB 在直线上移动，求直线P A 和
QB 交点M 的轨迹方程．
七、代入法
当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P 的坐标y x ,来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P 的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.
)2,0(),2,2(Q P -ι2λ
例9 如图，从双曲线1:2
2=-y x C 上一点Q 引直线2:=+y x l 的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点
P 的轨迹方程.
例10 已知抛物线，定点A （3，1），B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP :P A =1:2，当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．
解析几何中求轨迹方程的常见方法
1解：设M （x ，y ），直线MN 切圆C 于N ，则有
，即
，
．
12
+=x y λ=MQ
MN λ=
-MQ
ON
MO 2
2λ=+--+2
2
22)2(1y
x y x
整理得，这就是动点M 的轨迹方程． 若，方程化为，它表示过点和x 轴垂直的一条直线； 若λ≠1，方程化为，
它表示以为圆心，为半径的圆． 2解：如右图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原点建立直角坐标系. 由题意，b c a ,,构成等差数列，∴b a c +=2（两定点的距离等于定长—椭圆）， 即4||2||||==+AB CB CA ，又CA CB >，∴C 的轨迹为椭圆的左半部分. 在此椭圆中，1,2='='c a ，3=
'b ，
故C 的轨迹方程为)2,0(13
42
2-≠<=+x x y x . 3解： 设弦端点1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点为(,)M x y ，则211
22244y x y x ⎧=⎨=⎩
()121212
4y y y y x x -+=- 因为1212
1221y y y
y y y x x x +=⎧⎪-⎨=⎪--⎩所以2
2(1)y x =-
4解：由平面几何知识可知，当ABM ∆为直角三角形时，
点M 的轨迹是以AB 为直径的圆.此圆的圆心即为AB 的中点)1,1(--， 半径为
2
5221=AB ，方程为13)1()1(22=+++y x . 故M 的轨迹方程为13)1()1(22=+++y x . 5解：设),(y x M ，直线OA 的斜率为)0(≠k k ， 则直线OB 的斜率为k
1
-
.直线OA 的方程为kx y =， 0)41(4)1()1(2
22222=++--+-λλλλx y x 1=λ45=
x )0,4
5
(2222
222)
1(3112-+=+-λλλλy x ）－（)0,12(22-λλ1
3122
-+λλ
由⎩⎨⎧==px y kx y 22解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=
=k
p y k p
x 222，即)2,2(2
k p k p A ， 同理可得)2,2(2pk pk B -.
由中点坐标公式，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-=+=pk k
p
y pk k p x 2
2，消去k ，得)2(2p x p y -=， 此即点M 的轨迹方程.
6解：（1）设所求椭圆方程为
由题意得解得 所以椭圆方程为．
(2)设点解方程组 得 由和得
其中t ＞1．消去t ， 得点P 轨迹方程为和． 其轨迹为抛物线在直线右侧的部分
和抛物线在直线在侧的部分．
7解：设),(y x P 及),(),,(1111y x N y x M -，又)0,(),0,(21a A a A -，可得 直线M A 1的方程为)(11
a x a
x y y ++=
------①； ).
0(122
22＞＞b a b x a y =+⎪⎩⎪⎨⎧==-,,12
2
t b a b a ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-=-=.11.122222t b t t a 222222)1()1(t y t x t t =-+-),,(),,(11y x Q y x P ⎩⎨
⎧==-+-,,
)1()1(1122122122tx y t y t x t t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.)1(2,)1(212121t t y t x 12-=t t OQ OP 1x x OQ OP =⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,
2
,
2,2222
t y t x t y t x 或)22(222>=
x y x )2
2
(222-<-=x y x y x 2
22=
22=x y x 2
22-
=22
-=x
直线N A 2的方程为)(11
a x a
x y y -+-=
------②. 由①x ②得)(2
22
21212
a x a
x y y ---=---------③. 又,1221221=-b y a x )(212222
1x a a
b y -=-∴，
代入③得)(2
2222
a x a
b y --=，化简得12222=+b
y a x ，
此即点P 的轨迹方程.
当b a =时，点P 的轨迹是以原点为圆心、a 为半径的圆； 当b a ≠时，点P 的轨迹是椭圆.
8解： P A 和QB 的交点M （x ，y ）随A 、B 的移动而变化， 故可设， 则P A ：QB ：
消去t ，得
当t =－2，或t =－1时，P A 与QB 的交点坐标也满足上式， 所以点M 的轨迹方程是
9解：设),(),(11y x ，Q y x P ，则)2,2(11y y x x N --. 因为N 在直线l 上，
.22211=-+-∴y y x x ----① 又l PN ⊥得
,11
1
=--x x y y 即011=-+-x y y x .---② 联解①②得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-+=-+=22322311x y y y x x .又点Q 在双曲线C 上， 1)2
23()223(
22=-+--+∴x y y x ， 化简整理得：01222222=-+--y x y x ，
)1,1(),,(++t t B t t A ),2)(2(222-≠++-=
-t x t t y ).1(112-≠+-=-t x t t y .082222=+-+-y x y x .0822222=+--+-y x x y x
此即动点P 的轨迹方程.
10解：设，由题设，P 分线段AB 的比， ∴ 解得. 又点B 在抛物线上，其坐标适合抛物线方程，
∴
整理得点P 的轨迹方程为其轨迹为抛物线．
),(),,(11y x B y x P 2==PB
AP
λ.2121,212311++=++=
y y x x 2
1
23,232311-=-=y y x x 12+=x y .
1)23
23()2123(2+-=-x y ),3
1
(32)31(2-=-x
y。