测量学中的误差理论

五、偶然误差的特性
1、探讨其统计规律 从具有偶然误差的一系列观测值中，发 现其规律性，以便求出最可靠的观测结果 与评定观测成果精度的理论和方法。 ex： 同等观测条件下，358个三角形闭合差， 取6″为误差区间，按值排列，统计各区间 出现的个数k，并计算其在该区间频率（出 现的相对个数）k/n.
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六、评定精度的指标
(2)比较 不同精度的两组观测值情况： 曲线Ⅰ： 误差小， 精度高。 曲线Ⅱ： 误差分散， 精度低。 ∴选择标准差σ 为指标合适。
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六、评定精度的指标
(3)定义： 按有限次观测的偶然误差求出的标准差即为中 误差： 2 22 2n 2i m 1 n n
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三、误差性质及分类
1、系统误差
在同样观测条件下进行一系列观测，如果 出现的误差在数值上、符号上具有规律性地变 化，或保持不变。 系统误差具有累积性，有些是不能够用几 何和物理性质来消除其影响的，所以要尽量采 取合适的仪器、合理的观测方法来消除。
2、偶然误差/随机误差：
在同一观测条件下的观测值序列中，各观 测值的误差在数值上、符号上具有不确定性， 但又服从一定统计规律。
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七、误差传播定律
推广形式： ①当Z为一组观测值x1，x2，…，xn代数和形式：
Z x1 x2 xn
2 2 2 2 则：mZ mx1 mx 2 mxn
②当观测值xi为等精度时形式：
mZ nm
③多个独立观测误差时形式：
1＋ 2＋＋ n
结论：
中误差是标准差的估值（近似值），当n→∞ 时，m＝ σ。 举例： P86例
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六、评定精度的指标
w2 1146 7 三角形内角和的中误差 m : 22 n 24
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六、评定精度的指标
2、平均误差
（1）根据： 当小误差出现频率大时，整列误差绝对值的 平均值则小；反之则大。 （2）定义： 在一定观测条件下，一组独立偶然误差的绝 对值的算术平均值即为平均误差，
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第六章 误差理论的基本知识
一、观测值的分类
1、等精度观测和不等精度观测：按照观测条件划 分，在相同观测条件下进行的一系列观测称为等 精度观测，在不同观测条件下进行的一系列观测 称为不等精度观测。 2、直接观测和间接观测： 直接观测：为确定某未知量而直接进行的个观测， 即被观测量就是所求未知量本身； 间接观测：通过被观测量与未知量之间的函数关 系来确定未知量的观测。 3、独立观测与非独立观测： 独立观测：各个观测量之间无任何依存关系； 非独立观测：各个观测量之间存在一定的几何或 物理条件的约束。
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四、测量误差
1、测量(观测)误差：
同一观测量之间，或者观测值与其理论值之 间的差异。
2、真误差：
某项观测值与其真值之差，即 Δ＝L－X ex 1： 三角形闭合差： W=(β1＋β2＋β3)－1800
ex 2 ：闭合水准路线高差闭合差： fh＝Σh－0
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2 Z 2 2 2
f 2 2 即：mZ x mi i 1 i
n
2
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八、等精度直接平差
设某观测量真值X，等精度观测n次，各观 测值为L1，L2，…，Ln，真误差为Δ1， Δ2，…， Δn，则： i Li X Δi＝ Li－ X ； 又 n n i 而 lim 0 n n Li X n
2 2 2 m 2＝m1 ＋m2 mn
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七、误差传播定律
（3）线性函数
Z k1 x1 k2 x2 kn xn
2 则：mZ k1m1 k2 m2 kn mn 2 2 2
（4）一般函数
Z f x1 , x2 , , xn f 2 f 2 f 2 则：m x m1 x m2 x mn 1 2 n
即：算术平均值（中数）
Li x n
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八、等精度直接平差
算术平均值中误差
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六、评定精度的指标
4、容许误差
1.根据 在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超 过一定限值。 2. 定义 容 m; m : 32% 有限观测次数 中取2倍或3倍中 容 2m; 2m : 5% 误差作为 偶然误 差绝对值的极限 容 3m; 3m : 0.3% 值，称为容许误 差：
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五、偶然误差的特性
2、直方图
正态分布/高斯分布
当n→∞，区间→0时， 形成误差分布曲线
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五、偶然误差的特性
3、正态分布：
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六、评定精度的指标
1、中误差 （1）分析： Δ→ 小，f(Δ) →大；当Δ＝0时，
1 f ( ) , 为最大值。 2
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二、 测量误差来源
1、仪器误差
测量仪器由于其精密度和检较程度限制而存 在的误差。
2、人差
观测者由于感觉器官的鉴别能力局限性而存 在的误差。
3、外界误差
观测中受到外界自然环境影响而存在的误差。 观测者、仪器和客观环境这三方面引起观测 误差的主要因素，总称为观测条件。
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五、偶然误差的特性
（1）在一定条件下的有限次的观测中，其绝 对值不超过一定限值； （2） 绝对值小的误差出现的频率大，反之则 小； （3） 绝对值相等的正、负误差出现的频率大 致相等； （4）当观测次数无限增多时，偶然误差的算 术平均值趋于0，即：
i lim 0 n n

1 2 n n 其中，n─真误差个数 n ;
当n 时： 0.7979m.
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六、评定精度的指标
3、相对中误差
（1）定义 中误差绝对值与相应观测值之比，分子为1的分式K，
D K 1/ D m m
（2）适用
距离测量。
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七、误差传播定律
1、基本公式 设一般函数式： Z=F( x1, x2, …, xn ) Xi (i=1,2,…，n)为独立观测值，各中误差 为mi (i=1, 2, …, n),求观测值函数Z的中误差 mZ，其全微分式：
dZ F F F dx1 dx2 dxn x1 x2 xn
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七、误差传播定律 、Leabharlann Baidu
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七、误差传播定律
（2）和差函数 基本形式：Z＝x±y 则 F
F Z x y, x y F F 其中：f x 1, f y 1 x y
2 2 2 mZ f x2 mx f y2 m y , 2 2 即：mZ mx m y
再以真误差符号Δ替代微分符号d，则为
F F F Z x1 x2 xn x1 x2 xn
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七、误差传播定律
2、种典型函数的中误差 （1）倍数函数 Z＝kx 则：
F F Z x, 其中：f k x x 2 2 2 mZ k mx， 即：mZ kmx