2010届高三文科数学上册第一次月考试题81

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2010届高三文科数学上册第一次月考试题
文科数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共5页，满分150分，考试时间120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：
1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答；不能写在试题卷上； 如需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效.
4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 参考公式：
线性回归方程系数：
12
21
n
i i
i n
i i x y nx y
b x nx
==-=
-∑∑，a y bx =-．
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数1+2i
i (i 是虚数单位)的实部是 A ．2
5-
B ．25
C ．15-
D ．
15
2．集合{|P x y =，集合{|Q y y ==，则P 与Q 的关系是
A. P ＝Q
B. P
Q C. P ≠⊂
Q D. P ∩Q ＝∅
3．设x 是实数，则“0x >”是“0x ≠”的w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 4．某工厂加工某种零件的工序流程图，如下图：
按照这个工序流程图，一件成品至少经过几道加工和检验程序 Ａ．3 Ｂ．4 Ｃ．5 Ｄ．6 5．下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是
A.y =
B.
11y x =
- C.1
2x y = D.2
21y x x =-++
6
7．已知点在曲线：
上，且曲线在点处的切线与直线垂直，则点P 的坐标为 A.（1，1） B.()1,0- C. ()1,0-或（1，0） D.（1，0）或（1，1）
8．已知
|log |)(3x x f =，则下列不等式成立的是
A ．)2()21(f f >
B ．)3()31(f f >
C ．)
31
()4
1(f f > D ．)3()2(f f > 9．设偶函数
()
f x 对任意R x ∈，都有()()14
f x f x ++=，当[]2,3--∈x 时，
()412f x x =+，则
()
112.5f 的值为
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
10．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过
椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：19162
2=+y x ，点A 、
B 是它的两个焦点，当静止的小球放在点A 处，从点A 沿直线出发，经椭圆壁(非椭圆长轴端
点)反弹后，回到点A 时，小球经过的最短路程是 A ．20 B ．18 C ．16 D ．以上均有可能 11．函数)(x f 在定义域R 内可导，若)2()(x f x f -=，且当)1,(-∞∈x 时，
0)()1(<'-x f x ，设).
3(),21
(),0(f c f b f a ===则
A ．c b a <<
B ．b a c <<
C ．a b c <<
D ．a c b <<
12．设椭圆)0(122
2
2＞＞b a b y a x =+的离心率为12e =，右焦点为(),0F c ，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点()12,P x x
A ．必在圆2
2
2x y +=内 B ．必在圆2
2
2x y +=上
C ．必在圆
22
2x y +=外 D ．以上三种情形都有可能 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13．设1F 和2F 为双曲线)0,0(122
22>>=-b a b y a x 的两个焦点, 若1F 、2F 、()0,2P b 是正三
角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 .
14．现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，
其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为42
a .类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正
方体重叠部分的体积恒为 .
15．定义运算
()
()x x y x y y x y ≤⎧⊗=⎨
>⎩，若|1||1|m m m -⊗=-，则m 的取值范围是 16．给出下列四个命题：
①命题“0,2
≥∈∀x R x ”的否定是“0,2
≤∈∃x R x ”；
②线性相关系数r 的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线性相关性越强； ③抛物线)0(2≠=a ay x 的焦点为
)21
,
0(a ；
④函数),2[)2(log 2
2+∞+-=在ax x y 上恒为正，则实数a 的取值范围是
)
25,(-∞. 其中真命题的序号是 .（填上所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6个小题，共74分. 17．（本小题满分12分） 已知命题P ：“函数
()222
f x a x ax =+-在
[]1,1-上存在零点”
； 命题Q ：“只有一个实
数x 满足不等式2
220x ax a ++≤”，若命题P 或Q 是假命题，求实数a 的取值范围． 18．（本小题满分12分）
某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：万元）之间有如下对应数据
:
（Ⅱ）求回归直线方程；（参考数据：
5
2
1
145
i
i x
==∑
5
21
13500
i
i y
==∑
5
1
1380
i i
i x y
==∑）
（Ⅲ）试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？ 19．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xoy 中，直线l 与抛物线
x y 42
=相交于不同的A 、B 两点. （Ⅰ）如果直线l 过抛物线的焦点，求⋅的值；
（Ⅱ）如果,4-=⋅OB OA 证明直线l 必过一定点，并求出该定点.
20．（本小题满分12分）
甲乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查,提供了两个方面的信息,分别得到甲、乙两图：
甲调查表明：每个鱼池平均产量直线上升，从第1年1万只鳗鱼上升到第6年2万只. 乙调查表明：全县鱼池总个数直线下降，由第1年30个减少到第6年10个. 请你根据提供的信息说明：
（Ⅰ）第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数.
（Ⅱ）到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模比第1年扩大了还是缩小了？说明理由. （Ⅲ）哪一年的规模(即总产量)最大?说明理由. 21．（本小题满分12分）
已知定义在R 上的函数
)3()(2
-=ax x x f ，其中a 为常数. （I ）若x=1是函数)(x f 的一个极值点，求a 的值；
（II ）若函数)(x f 在区间（－1，0）上是增函数，求a 的取值范围；
年 （甲） 1
2 年 （乙）
（III）若函数
]2,0[
),
(
)
(
)
(∈
'
+
=x
x
f
x
f
x
g，在0
=
x处取得最大值，
求正数a的取值范围.
22．（本小题满分14分）
已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1）平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（III）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2 ，求证k k
+=
12
.
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文科数学参考答案及评分标准
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共页，满分150分，考试时间120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：
1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上; 如需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效.
4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 参考公式：
线性回归方程系数：12
2
1
n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
nx
==-=
-∑∑，a y bx =-．
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数1+2i
i (i 是虚数单位)的实部是 A ．2
5-
B ．25
C ．15-
D ．1
5
2. 集合{|P x y =，集合{|Q y y ==，则P 与Q 的关系是
A. P ＝Q
B. P
Q C. P ≠⊂
Q D. P ∩Q ＝∅
3．设x 是实数，则“0x >”是“0x ≠”的w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 4. 某工厂加工某种零件的工序流程图，如下图：
按照这个工序流
程图，一件成品至少经过几道加工和检验程序 Ａ．3 Ｂ．4 Ｃ．5 Ｄ．6 5. 下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是
A.y =
B.
11y x =
- C.1
2x y = D.2
21y x x =-++
7. 已知点在曲线：
上，且曲线在点处的切线与直线垂直，则点P 的坐标为 A.（1，1） B.()1,0- C. ()1,0-或（1，0） D.（1，0）或（1，1）
8. 已知
|log |)(3x x f =，则下列不等式成立的是
A ．)2()21(f f >
B ．)3()31(f f >
C ．)
31
()4
1(f f > D ．)3()2(f f > 9.设偶函数
()
f x 对任意R x ∈，都有()()14
f x f x ++=，当[]2,3--∈x 时，()412f x x
=+，则
()
112.5f 的值为
A ． 2
B ．3
C ．4
D ．5
10.椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭
圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：19162
2=+y x ，点A 、B
是它的两个焦点，当静止的小球放在点A 处，从点A 沿直线出发，经椭圆壁(非椭圆长轴端点)
反弹后，回到点A 时，小球经过的最短路程是 A ．20 B ．18 C ．16 D ．以上均有可能 11. 函数)(x f 在定义域R 内可导，若)2()(x f x f -=，且当)1,(-∞∈x 时，
0)()1(<'-x f x ，设).
3(),21
(),0(f c f b f a ===则
A ．c b a <<
B ．b a c <<
C ．a b c <<
D ．a c b <<
12.设椭圆)0(122
2
2＞＞b a b y a x =+的离心率为
e =12，右焦点为(),0F c ，方程2
0a x b x c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点()12,P x x
A ．必在圆222x y +=内
B ．必在圆22
2x y +=上
C ．必在圆
22
2x y +=外 D ．以上三种情形都有可能 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13. 设1F 和2F 为双曲线)0,0(122
22>>=-b a b y a x 的两个焦点, 若1F 、2F 、()0,2P b 是正三
角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 2 .
14. 现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其
中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为42
a .类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个
正方体重叠部分的体积恒为83
a .
15．定义运算
()
()x x y x y y x y ≤⎧⊗=⎨
>⎩，若|1||1|m m m -⊗=-，则m 的取值范围是
1
2m ≥
.
16. 给出下列四个命题：
①命题“0,2≥∈∀x R x ”的否定是“0,2
≤∈∃x R x ”；
②线性相关系数r 的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线性相关性越强；
③抛物线
)0(2
≠=a ay x 的焦点为)21
,
0(a ；
④函数),2[)2(log 2
2+∞+-=在ax x y 上恒为正，则实数a 的取值范围是
)
25,(-∞. 其中真命题的序号是 ② ④ .（填上所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6个小题，共74分. 17．（本小题满分12分）
已知命题P ：“函数()222f x a x ax =+-在[]1,1-上存在零点”； 命题Q ：“只有一个实数
x
满足不等式2
220x ax a ++≤”，若命题P 或Q 是假命题，求实数a 的取值范围．
解：函数
()222
f x a x ax =+-在
[]1,1-上存在零点
∴方程0)1)(2(22
2=-+=-+ax ax ax x a 有解
显然
a x a 20-
=∴≠或a x 1
= ……………………………………2分
∵[]1,1-∈x ，故12≤a 或1
1≤a ∴1≥a ………………4分
只有一个实数满足2
220x ax a ++≤即抛物线
222y x ax a =++与x 轴只有一个交点 ∴ 0842
=-=∆a a 0=∴a 或2=a ……………………………………8分 ∴命题P 或Q 为真命题时，1
≥a 或0=a
∵命题P 或Q 为假命题 ∴a 的取值范围为
{}1001<<<<-a a a 或……………………………………12分
18. （本小题满分12分）
某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：万元）之间有如下对应数据:
（Ⅰ）画出散点图;
（Ⅱ）求回归直线方程；（参考数据：
5
21
145
i
i x
==∑
5
21
13500
i
i y
==∑
5
1
1380
i i
i x y
==∑）
（Ⅲ）试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？ 解 （Ⅰ）根据表中所列数据可得散点图如下：
…………3分
（Ⅱ）解：
2+4+5+6+825=555x =
=，30+40+60+50+70250
=5055y ==…………4分
又已知
5
2
1
145
i
i x
==∑
5
1
1380
i i
i x y
==∑
于是可得：
5
15
2
21
513805550
6.5
145555
5i i
i i i x y x y
b x x
==--⨯⨯=
=
=-⨯⨯-∑∑……………………………6分
50 6.5517.5a y bx =-=-⨯= ……………………………8分
因此，所求回归直线方程为： 6.517.5y x =+ . ……………………………9分 （Ⅲ）根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10万元时，
6.5101
7.5=82.5y =⨯+ (万元)
即这种产品的销售收入大约为82. 5万元. ………12分 19．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xoy 中，直线l 与抛物线
x y 42
=相交于不同的A 、B 两点. （Ⅰ）如果直线l 过抛物线的焦点，求⋅的值；
（Ⅱ）如果,4-=⋅证明直线l 必过一定点，并求出该定点. 解：（Ⅰ）由题意：抛物线焦点为)0,1(
设l ：1+=ty x 代入抛物线
,42
x y =消去x 得 ),(),,(,04422112y x B y x A ty y 设=--
则4,42121-==+y y t y y ……………………………………4分 ∴⋅12121212(1)(1)x x y y ty ty y y =+=+++
2121212()1t y y t y y y y =++++
3414422-=-++-=t t …………………………6分
（Ⅱ）法一：
设l ：b ty x +=代入抛物线
,42x y =消去x 得 0442=--b ty y 设),(),,(2211y x B y x A
则12124,4y y t y y b +==- ………………………………8分 ∴⋅12121212()()x x y y ty b ty b y y =+=+++ 22121212()t y y bt y y b y y =++++
= b b b b bt bt 44442222-=-++- …………………………10分
令
2044,4422=∴=+-∴-=-b b b b b ∴直线l 过定点（2，0） ……………………………………12分
法二：
设
),(),,(2211y x B y x A ，则2221214,4x y x y == ∴⋅42121-=+=y y x x
42121--=∴y y x x ，64161621212221--==∴y y x x y y
06416212221=++∴y y y y ，821-=∴y y ，从而421=x x …………8分
①直线l 的斜率不存在时，x l ⊥轴21x x =
∵421=x x ∴221==x x ，此时直线l 过)0,2(点………………………………9分 ②当直线l 的斜率存在时0,2121≠+≠y y x x
∴)(4212221x x y y -=- ∴2121
214y y x x y y +=-- ∴l 的方程为：)(41211x x y y y y -+=-
即 11121212124448=x y x y x y y y y y y y y =
-+-++++ ∴
)2(421-+=x y y y 此时直线l 过定点)0,2( 综上，直线l 过定点)0,2(. ……………………12分
20．（本小题满分12分）
甲乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查,提供了两个方面的信息,分别得到甲、乙两图：
2
甲调查表明：每个鱼池平均产量直线上升，从第1年1万只鳗鱼上升到第6年2万只. 乙调查表明：全县鱼池总个数直线下降，由第1年30个减少到第6年10个.
请你根据提供的信息说明：
（Ⅰ）第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数.
（Ⅱ）到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模比第1年扩大了还是缩小了？说明理由. （Ⅲ）哪一年的规模(即总产量)最大?说明理由.
解：由题意可知，图甲图象经过)1,1(和)2,6(两点,
从而求得其解析式为8.02.0+=x y 甲 ……………………2分
图乙图象经过)30,1(和)10,6(两点,
从而求得其解析式为=434y x -+乙. ……………………4分
(Ⅰ)当2=x 时，2.18.022.0=+⨯=甲
y ,423426y =-⨯+=乙， 1.22631.25y y =⨯=甲乙.
所以第2年鱼池有26个,全县出产的鳗鱼总数为31. 25万只. ……………………6分
(Ⅱ)第1年出产鱼1×30=30（万只）, 第6年出产鱼2×10=20（万只），可见第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了. ……………………8分
(Ⅲ)设当第m 年时的规模，即总出产量为n ,
那么
2(0.20.8)(434)0.8 3.627.2n y y m m m m ==+-+=-++甲乙
25.31)25.2(8.0)345.4(8.022+--=---=m m m 因此，当2=m 时, n 最大值为31. 2.
即当第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大,最大产量为31. 2万只. …………………12分
21. （本小题满分12分）
已知定义在R 上的函数
)3()(2-=ax x x f ，其中a 为常数. （I ）若x=1是函数)(x f 的一个极值点，求a 的值；
（II ）若函数)(x f 在区间（－1，0）上是增函数，求a 的取值范围；
（III ）若函数]2,0[),()()(∈'+=x x f x f x g ，在0=x 处取得最大值，
求正数a 的取值范围.
解：（I ）
).2(363)(,3)(223-=-='-=ax x x ax x f x ax x f )(1x f x 是= 的一个极值点，2,0)1(=∴='∴a f ； ………………2分
（II ）①当a=0时，23)(x x f -=在区间（－1，0）上是增函数，0=∴a 符合题意；
②当a x x x f a x ax x f a 2,0:0)(),2(3)(,021==='-='≠得令时； 当a>0时，对任意0,0)(),0,1(>∴>'-∈a x f x 符合题意；
当a<0时，当02,12,0)()0,2(<≤-∴-≤∴>'∈a a x f a x 时符合题意； 综上所述，.2-≥a ……………………………………………6分
（III ）
].2,0[,6)33()(,023∈--+=>x x x a ax x g a
],2)1(2[36)33(23)(22--+=--+='x a ax x a ax x g ………………7分 令
2()0,2(1)20(*).g x ax a x '=+--=即 2440a ∆=+>显然有 …………8分
设方程（*）的两个根为(*),,21由x x 式得0221<-=a x x ，不妨设210x x <<.
当202<<x 时，)(2x g 为极小值，所以)(x g 在[0，2]上的最大值只能为)0(g 或)2(g ； 当22≥x 时，由于)(x g 在[0，2]上是单调递减函数，所以最大值为)0(g ， ∴在[0，2]上的最大值只能为)0(g 或)2(g …………………………………10分 又已知)(x g 在x=0处取得最大值，所以(0)(2)g g ≥
即02024a ≥-解得65a ≤
又∵0a >∴
6(0,].5a ∈ ……………………12分 22. （本小题满分14分）
已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M （2，1），平行于
OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （m ≠0），l 交椭圆于A 、B 两个不同点. （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m 的取值范围；
（III ）设直线MA 、MB 的斜率分别为k1，k2 ，求证k k +=120
解：（Ⅰ）设椭圆方程为)0(122
22>>=+b a b y a x 则⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=2811422222b a b a b a 解得 ∴椭圆方程为1282
2=+y x
（Ⅱ）∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m
又KOM=21
m x y l +=∴21的方程为：……………………………………………………5分 由0422128212222=-++∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=m m x x y x m x y ……………………………………6分 ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点，
22(2)4(24)0m m ∴∆=-->
…………………………………8分 （III ）设
1122(,),(,)A x y B x y 由222240x mx m ++-=可得
21212=2,24x x m x x m +-=- …………………………………………………10分 则 12
121211,22y y k k x x --=
=-- 而
12122112121211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)y y y x y x k k x x x x ----+--+=
+=---- 22,0m m -<<≠解得且
()()()()
12211211121222=22x m x x m x x x ⎛⎫⎛⎫+--++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-- 121212(2)()4(1)
(2)(2)x x m x x m x x +-+--=--……………………………………………………12分
120k k ∴+=
………………………………………14分
21224(2)(2)4(1)(2)(2)
m m m m x x -+----=--22122424440
(2)(2)m m m m x x --+-+==--。