广西桂林、百色、梧州、崇左、北海五市2023学年高三下学期联合考试数学试题含解析

2023年高考数学模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．方程()()f x f x '=的实数根0x 叫作函数()f x 的“新驻点”，如果函数()ln g x x =的“新驻点”为a ，那么a 满足（ ）
A ．1a =
B ．01a <<
C ．23a <<
D ．12a <<
2．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为(7,0)F ，直线1y x =-与其相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23
-，则此双曲线的方程是 A ．22134
x y -= B ．22
143x y -= C ．22
152x y -= D ．22125
x y -= 3．已知双曲线22
22:1(0,0)x y a b a b
Γ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B 两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ） A ．173 B ．32 C ．53 D ．102 4．设，则
"是""的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
5．若x ，y 满足约束条件-0210x y x y x ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩
，，，则z =32x y ++的取值范围为（ ） A ．[2453，]
B ．[25，3]
C ．[43，2]
D ．[25，2] 6．已知向量()3,1a =
，()3,1b =-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56
π 7．记n S 为数列{}n a 的前n 项和数列{}n a 对任意的*,p q ∈N 满足13p q p q a a a +=++.若37a =-，则当n S 取最小值时，
n 等于（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
8．集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}A B M x x a b b B x B =--===+∈∈,则集合M 的真子集的个数是
A ．1个
B ．3个
C ．4个
D ．7个
9．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
A ．18
B ．17
C ．16
D ．15
10．欧拉公式为cos sin ix e x i x =+,(i 虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，3i e π
表示的复数位于复平面中的（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 11．()cos sin x
e f x x
=在原点附近的部分图象大概是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
12．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是（ ）
A ．1-
B ．23
C ．32
D ．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在平面直角坐标系xOy 中，圆()()2
22:0C x m y r m -+=>.已知过原点O 且相互垂直的两条直线1l 和2l ，其中1l 与圆C 相交于A ，B 两点，2l 与圆C 相切于点D .若AB OD =，则直线1l 的斜率为_____________.
14．圆22:(1)(2)4C x y ++-=关于直线21y x =-的对称圆的方程为_____.
15．已知一组数据1-，1，0，2-，x 的方差为10，则x =________
16．已知点()0,1A -是抛物线22x py =的准线上一点，F 为抛物线的焦点，P 为抛物线上的点，且PF m PA =，若双曲线C 中心在原点，F 是它的一个焦点，且过P 点，当m 取最小值时，双曲线C 的离心率为______.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知AB 是圆O ：224x y +=的直径，动圆M 过A ，B 两点，且与直线20y +=相切.
（1）若直线AB 的方程为0x y -=，求M 的方程；
（2）在y 轴上是否存在一个定点P ，使得以MP 为直径的圆恰好与x 轴相切？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
18．（12分）为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.现按男、女用分层抽样从理科生中抽取6人，按男、女分层抽样从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.
（1）设事件A 为“选出的这4个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有”，求事件A 发生的概率；
（2）用X 表示抽取的4人中文科女生的人数，求X 的分布列和数学期望.
19．（12分）已知函数2
()ln f x x x =+.
（1）若函数()()()1ln g x f x a x =+-的图象与x 轴有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围；
（2）若()()2
()211f x m x m x --<-对任意()1,x ∈+∞成立，求实数m 的取值范围. 20．（12分）设函数()()()1ln 10x f x x x ++=
>. （1）若()1
k f x x >+恒成立，求整数k 的最大值； （2）求证：()()
()2311212311n n n e -+⨯⋅+⨯+⨯+>⎡⎤⎣⎦. 21．（12分）已知函数1()(1)ln f x ax a x x
=-+-
，a R ∈． （1）当1a ≤时，讨论函数()f x 的单调性； （2）若1a =，当[1,2]x ∈时，函数23412()()F x f x x x x
=++-，求函数()F x 的最小值． 22．（10分）设函数()2sin |3||1|f x x a a =+-+-.
（1）若62f π⎛⎫> ⎪⎝⎭
，求实数a 的取值范围； （2）证明：x R ∀∈，1()|3|1f x a a ≥--
+恒成立.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D
【解析】
由题设中所给的定义，方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，根据零点存在定理即可求出a 的大致
范围
【详解】
解：由题意方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，
对于函数()g x lnx =，由于1()g x x
'=
， 1lnx x ∴=，
设1()h x lnx x
=-，该函数在(0,)+∞为增函数， ()110h ∴=-<， (
)122202h ln ln =-
=-， ()h x ∴在(1,2)上有零点，
故函数()g x lnx =的“新驻点”为a ，那么12a <<
故选：D ．
【点睛】
本题是一个新定义的题，理解定义，分别建立方程解出a 存在范围是解题的关键，本题考查了推理判断的能力，属于基础题..
2．D
【解析】 根据点差法得
2225a b
=，再根据焦点坐标得227a b +=，解方程组得22a =，25b =，即得结果. 【详解】 设双曲线的方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，由题意可得227a b +=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则MN 的中点为25,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由221
1221x y a b -=且2222221x y a b -=，得()()12122x x x x a +-= ()()12122y y y y b +-，2223a ⨯-=（） 2
523b ⨯-（），即2225a b =，联立227a b +=，解得22a =，25b =，故所求双曲线的方程为22
125
x y -=．故选D ． 【点睛】
本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.
3．D
【解析】
设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ，设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，'Rt CBF ∆和'Rt FBF ∆中，利用勾股定理计算得到答案.
【详解】
设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ，
设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，
AF FB ⊥，根据对称性知四边形'AFBF 为矩形，
'Rt CBF ∆中：222''CF CB BF =+，即()()()222
3242x a x a x +=++，解得x a =；
'Rt FBF ∆中：222''FF BF BF =+，即()
()22
223c a a =+，故2252c a =，故102e =. 故选：D . 【点睛】 本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
4．A
【解析】
根据题意得到充分性，验证
得出不必要，得到答案. 【详解】
，当时，，充分性；
当
，取，验证成立，故不必要.
故选：.
【点睛】 本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.
5．D
【解析】
由题意作出可行域，转化目标函数32x z y +=+为连接点()3,2D --和可行域内的点(),x y 的直线斜率的倒数，数形结合即可得解.
【详解】 由题意作出可行域，如图，
目标函数32
x z y +=+可表示连接点()3,2D --和可行域内的点(),x y 的直线斜率的倒数， 由图可知，直线DA 的斜率最小，直线DB 的斜率最大， 由010x y x -=⎧⎨+=⎩可得()1,1A --，由210x y x +=⎧⎨+=⎩
可得()1,3B -， 所以121132DA k -+=
=-+，325132DB k +==-+，所以225z ≤≤. 故选：D.
【点睛】
本题考查了非线性规划的应用，属于基础题.
6．B
【解析】
由已知向量的坐标，利用平面向量的夹角公式，直接可求出结果.
【详解】
解：由题意得，设a 与b 的夹角为θ，
311cos 222
a b
a b θ⋅-∴===⨯， 由于向量夹角范围为：0θπ≤≤，
∴π3
θ=. 故选：B.
【点睛】
本题考查利用平面向量的数量积求两向量的夹角，注意向量夹角的范围.
7．A
【解析】
先令1,1p q ==，找出21,a a 的关系，再令1,2p q ==，得到213,,a a a 的关系，从而可求出1a ，然后令,1p n q ==，
可得12n n a a +-=，得出数列{}n a 为等差数列，得212n n S n =-，可求出n S 取最小值.
【详解】
解法一：由()()3121113132137a a a a a =++=+++=-，所以111a =-，由条件可得，对任意的
*11,132n n n n a a a a +∈=++=+N ，所以{}n a 是等差数列，213n a n =-，要使n S 最小，由10,0
n n a a +⎧⎨≥⎩解得111322n ，则6n =.
解法二：由赋值法易求得212311,9,7,
,213,12n n a a a a n S n n =-=-=-=-=-，可知当6n =时，n S 取最小值.
故选：A
【点睛】
此题考查的是由数列的递推式求数列的通项，采用了赋值法，属于中档题.
8．B
【解析】
由题意，结合集合,A B ，求得集合M ，得到集合M 中元素的个数，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，集合{2,1,1},{4,6,8}A B =--=，,x A ∈
则{}{|,,,}4,6M x x a b x A b B x B ==+∈∈∈=，
所以集合M 的真子集的个数为2213-=个，故选B ．
【点睛】
本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解，其中作出集合的运算，得到集合M ，再由真子集个数的公式21n -作出计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
9．D
【解析】
试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的16
,剩余部分体积是正方体体积的56,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,故选D. 考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算.
10．A 【解析】
计算313cos sin 3322
πππ=+=+i e i ，得到答案. 【详解】 根据题意cos sin ix e x i x =+，故313cos sin 332πππ=+=+i e
i ，表示的复数在第一象限. 故选：A .
【点睛】
本题考查了复数的计算， 意在考查学生的计算能力和理解能力.
11．A
【解析】
分析函数()y f x =的奇偶性，以及该函数在区间()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.
【详解】
令sin 0x ≠，可得{},x x k k Z π≠∈，即函数()y f x =的定义域为{}
,x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称， ()()()()cos cos sin sin x x
e e
f x f x x x
--==-=--，则函数()y f x =为奇函数，排除C 、D 选项； 当0πx <<时，cos 0x e
>，sin 0x >，则()cos 0sin x e f x x
=>，排除B 选项. 故选：A.
【点睛】
本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分
析问题和解决问题的能力，属于中等题.
12．D
【解析】
模拟程序运行，观察变量值的变化，得出S 的变化以4为周期出现，由此可得结论．
【详解】
234,1;1,2;,3;,4;4,532S i S i S i S i S i ===-=======；如此循环下去，当2020i =时，3;4,20212
S S i ===，此时不满足2021i <，循环结束，输出S 的值是4.
故选：D ．
【点睛】
本题考查程序框图，考查循环结构．解题时模拟程序运行，观察变量值的变化，确定程序功能，可得结论．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13
． 【解析】
设1l ：0kx y ，2l ：0x ky +=，利用点到直线的距离，列出式子
r =⎪=⎪⎩
，求出k 的值即可. 【详解】
解：由圆()()2
22:0C x m y r m -+=>，可知圆心(),0C m ，半径为r . 设直线1l ：0kx y ，则2l ：0x ky +=，
圆心(),0C m 到直线1l
，
OD =
AB OD =
∴AB =. 圆心(),0C m 到直线2l
r =，
并根据垂径定理的应用，可列式得到r =⎪=⎪⎩
，
解得k =.
故答案为：. 【点睛】
本题主要考查点到直线的距离公式的运用，并结合圆的方程，垂径定理的基本知识，属于中档题. 14．2
2
(3)4x y -+= 【解析】
求出圆心关于直线的对称点，即可得解. 【详解】
22:(1)(2)4C x y ++-=的圆心为(1,2)-，关于21y x =-对称点设为(,)x y ，
则有: 212122
211
2y x y x +-⎧=⨯-⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩，
所以对称后的圆心为(3,0)，故所求圆的方程为2
2
(3)4x y -+=. 故答案为：2
2
(3)4x y -+= 【点睛】
此题考查求圆关于直线的对称圆方程，关键在于准确求出圆心关于直线的对称点坐标. 15．7或8- 【解析】
依据方差公式列出方程，解出即可． 【详解】
1-，1，0，2-，x 的平均数为
2
5
x -， 所以2
2
2
2
2
122222110210555555x x x x x x ⎡⎤
-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--+-+-+--+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣
⎦
解得7x =或8x =-．
【点睛】
本题主要考查方差公式的应用． 16．21+ 【解析】
由点A 坐标可确定抛物线方程，由此得到F 坐标和准线方程；过P 作准线的垂线，垂足为N ，根据抛物线定义可得
PN m PA
=，可知当直线PA 与抛物线相切时，m 取得最小值；利用抛物线切线的求解方法可求得P 点坐标，根据双
曲线定义得到实轴长，结合焦距可求得所求的离心率. 【详解】
()0,1A 是抛物线22x py =准线上的一点 2p ∴=
∴抛物线方程为24x y = ()0,1F ∴，准线方程为1y =-
过P 作准线的垂线，垂足为N ，则PN PF =
PF m PA = PF PN m PA
PA
∴
=
=
设直线PA 的倾斜角为α，则sin m α=
当m 取得最小值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切 设直线PA 的方程为1y kx =-，代入2
4x y =得：2440x kx -+=
216160k ∴∆=-=，解得：1k =± ()2,1P ∴或()2,1-
∴双曲线的实轴长为)
2
21PA PF -=，焦距为2AF =
∴双曲线的离心率1
e =
=
1 【点睛】
本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到抛物线定义和标准方程的应用、双曲线定义的应用；关键是能够确定当m 取得最小值时，直线PA 与抛物线相切，进而根据抛物线切线方程的求解方法求得P 点坐标.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）2
2
4x y +=或()()22
4436x y ++-=. （2）存在，()0,1P ；
【解析】
（1）根据动圆M 过A ，B 两点，可得圆心M 在AB 的垂直平分线上，由直线AB 的方程为0x y -=，可知M 在直线y x =-上；设(),M a a -，由动圆M 与直线20y +=相切可得动圆M 的半径为2r a =+；又由2AO =，
MO =及垂径定理即可确定a 的值，进而确定圆M 的方程.
（2）方法一：设(),M x y ，可得圆的半径为2r y =+，根据MO AO ⊥，可得方程为()2
2242x y y ++=+并化简可得M 的轨迹方程为2
4x y =.设()00,P y ，()11,M x y ，可得MP 的中点101,2
2y y x O +⎛⎫
'
⎪⎝⎭，进而由两点间距离公式
表示出半径，表示出O '到x 轴的距离，代入化简即可求得0y 的值，进而确定所过定点的坐标；方法二：同上可得M
的轨迹方程为2
4x y =，由抛物线定义可求得11MF y =+，表示出线段MF 的中点O '的坐标，根据O '到x 轴的距
离可得等量关系，进而确定所过定点的坐标. 【详解】 （1）因为
M 过点A ，B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.
由已知AB 的方程为0x y -=，且A ，B 关于于坐标原点O 对称， 所以M 在直线y x =-上，故可设(),M a a -. 因为
M 与直线20y +=相切，所以M 的半径为2r a =+.
由已知得2AO =，MO =
，又MO AO ⊥，
故可得()2
2242a a +=+，解得0a =或4a =. 故
M 的半径2r 或6r =，
所以
M 的方程为224x y +=或()()22
4436x y ++-=.
（2）法一：设(),M x y ，由已知得
M 的半径为2r y =+，2AO =.
由于MO AO ⊥，故可得()2
2242x y y ++=+，化简得M 的轨迹方程为2
4x y =.
设()00,P y ，()11,M x y ，则得2
114x y =，MP 的中点101,22y y x O +⎛⎫
'
⎪⎝⎭
， 则以MP 为直径的圆的半径为：
12MP == O '到x 轴的距离为
10101
22
y y y y +=+，
1012
y y =+，① 化简得011y y y =，即()0110y y -=， 故当01y =时，①式恒成立.
所以存在定点()0,1P ，使得以MP 为直径的圆与x 轴相切. 法二：设(),M x y ，由已知得
M 的半径为2r y =+，2AO =.
由于MO AO ⊥，故可得()2
2242x y y ++=+，化简得M 的轨迹方程为2
4x y =. 设()11,M x y ，因为抛物线2
4x y =的焦点F 坐标为()0,1，
点M 在抛物线上，所以11MF y =+， 线段MF 的中点O '的坐标为111,22x y +⎛⎫
⎪⎝⎭
， 则O '到x 轴的距离为112
y +， 而
111
22
y MF +=， 故以MF 为径的圆与x 轴切， 所以当点P 与F 重合时，符合题意，
所以存在定点()0,1P ，使得以MP 为直径的圆与x 轴相切. 【点睛】
本题考查了圆的标准方程求法，动点轨迹方程的求法，抛物线定义及定点问题的解法综合应用，属于难题.
18．（1）4
21
；（2）见解析 【解析】
（1）按分层抽样得抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人，再利用古典概型求解即可（2）由超几何分布求解即可 【详解】
（1）因为学生总数为1000人，该年级分文、理科按男女用分层抽样抽取10人，则抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人.
所以()1124154
10404
21021
C C C P A C ⋅==⋅=. （2）X 的可能取值为0,1,2,3，
()40734
101
06C C P X C ⋅===， ()31734
101
12C C P X C ⋅===， ()22734
103
210C C P X C ⋅===， ()13734
101
330
C C P X C ⋅===， X 的分布列为
01236210305
EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.
【点睛】
本题考查分层抽样，考查超几何分布及期望，考查运算求解能力，是基础题 19．（1）{}
02a a a e >=-或（2）[]1,0- 【解析】
（1）求出()g x 及其导函数()g x '，利用()g x '研究()g x 的单调性和最值，根据零点存在定理和零点定义可得a 的范围．
（2）令()()()2
2
()()21121ln h x f x m x m x mx m x x =-+--=-++，题意说明()1,x ∈+∞时，()0h x <恒成立.
同样求出导函数()h x '，由()h x '研究()h x 的单调性，通过分类讨论可得()h x 的单调性得出结论． 【详解】
解（1）函数()()2
2
()()1ln ln 1ln ln g x f x a x x x a x a x x =+-=++-=+
所以22'()2a x a
g x x x x
+=+=
讨论：
①当0a =时，()2
()0g x x
x =>无零点；
②当0a >时，'()0g x >，所以()g x 在()0,∞+上单调递增.
取1
a
x e -=，则2
111
211()0a a a g e e e ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
又()11g =，所以()110a g e g -⎛⎫
⋅< ⎪⎝⎭
，此时函数()g x 有且只有一个零点；
③当0a <时，令'()0g x =，解得x =x =
当0x <<时，)'(0g x <，所以()g x 在⎛ ⎝上单调递减；
当x >'()0g x >所以()g x 在⎫+∞⎪⎪⎭
上单调递增.
据题意，得02
a
g a ==，所以0a =（舍）或2a e =- 综上，所求实数a 的取值范围为{}
02a a a e >=-或.
（2）令()()()2
2
()()21121ln h x f x m x m x mx m x x =-+--=-++，根据题意知，当()1,x ∈+∞时，()0h x <恒
成立.
又()()()()1211'221x mx h x mx m x x
--=-++=
讨论： ①若102m <<
，则当1,2x m ⎛⎫∈+∞
⎪⎝⎭时，'()0h x >恒成立，所以()h x 在1,2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上是增函数.
又函数()()2
21G x mx m x =-+在21,2m m +⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
上单调递增，()ln H x x =在()0,∞+上单调递增，所以存在
()0,x ∈+∞使()0h x >，不符合题意.
②若1
2
m ≥
，则当()1,x ∈+∞时，'()0h x >恒成立，所以()h x 在()1,+∞上是增函数，据①求解知， 1
2
m ≥
不符合题意. ③若0m ≤，则当()1,x ∈+∞时，恒有'()0h x <，故()h x 在()1,+∞上是减函数， 于是“()0h x <对任意()1,x ∈+∞成立”的充分条件是“(1)0h ≤”，即()210m m -+≤， 解得1m ≥-，故10m -≤≤
综上，所求实数m 的取值范围是[]1,0-. 【点睛】
本题考查函数零点问题，考查不等式恒成立问题，考查用导数研究函数的单调性．解题关键是通过分类讨论研究函数的单调性．本题难度较大，考查掌握转化与化归思想，考查学生分析问题解决问题的能力． 20．（1）整数k 的最大值为3；（2）见解析. 【解析】
（1）将不等式()1k f x x >
+变形为()()()11ln 1x x x k x ++++<，构造函数()()()()11ln 1x x x h x x
++++=，利用
导数研究函数()y h x =的单调性并确定其最值，从而得到正整数k 的最大值； （2）根据（1）的结论得到()()31
1ln 1122311n n n n n n ⎛⎫++>-=--⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭
，利用不等式的基本性质可证得结论.
【详解】 （1）由()()11ln 1x f k
x x x +>
=
++得()()()11ln 1x x x k x
++++<， 令()
()()()11ln 1x x x h x x
++++=
，()()
2
1ln 1x x h x x --+'=， 令()()1ln 1g x x x =--+，()1
101
g x x '∴=-
>+对0x ∀>恒成立， 所以，函数()y g x =在()0,∞+上单调递增，
()010g =-<，()10g <，()20g <，()30g >，
故存在()02,3x ∈使得()00g x =，即()001ln 1x x -=+，
从而当0x x >时，有()()00g x g x >=，()0h x '>，所以，函数()y h x =在()0,x +∞上单调递增； 当0x x <时，有()()00g x g x <=，()0h x '<，所以，函数()y h x =在()00,x 上单调递减. 所以，()()()()()()()()()00000000
min 0
11ln 111113,4x x x x x x h x h x x
x x +++++++==
==∈-+，
3k ∴≤，因此，整数k 的最大值为3；
（2）由（1）知
()1ln 13
1
x x x ++>+恒成立，()
333ln 112211x x x x x ∴+>-=->-++， 令()()1x n n n N *
=+∈则()()311ln 1122311n n n n n n ⎛⎫++>-
=--⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭
，
()1ln 1122312⎛⎫∴+⨯>-- ⎪⎝⎭，()11ln 1232323⎛⎫
+⨯>-- ⎪⎝⎭
，
，()1
1ln 11231n n n n ⎛⎫++>--⎡⎤
⎪⎣⎦+⎝⎭
， 上述等式全部相加得()()()1ln 112ln 123ln 11231231n n n n n ⎛
⎫+⨯++⨯++++>-->-⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭
， 所以，()()()()ln 1121231123n n n ⎡⎤+⨯+⨯++>-⎣⎦，
因此，()()()23
11212311n n n e -+⨯⋅+⨯+⨯+>⎡⎤⎣⎦
【点睛】
本题考查导数在函数单调性、最值中的应用，以及放缩法证明不等式的技巧，属于难题． 21．（1）见解析 （2）()F x 的最小值为7
(2)2ln 22
F =- 【解析】
（1）由题可得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，
2222
11(1)1(1)(1)
()(0)a ax a x x ax f x a x x x x x +-++--'=-+==>，
当0a ≤时，1
0ax ，令()0f x '<，可得1x >；令()0f x '>，可得01x <<，
所以函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减； 当01a <<时，令()0f x '<，可得1
1x a <<
；令()0f x '>，可得01x <<或1x a
>， 所以函数()f x 在(0,1)，1(,)a
+∞上单调递增，在1
(1,)a
上单调递减；
当1a =时，()0f x '≥恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增．
综上，当0a ≤时，函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；当01a <<时，函数()f x 在(0,1)，1(,)
a
+∞上单调递增，在1
(1,)a
上单调递减；当1a =时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增．
（2）方法一：当1a =时，2323412312
()()2ln F x f x x x x x x x x x
=+
+-=-++-，[1,2]x ∈， 设()2ln g x x x =-，[1,2]x ∈，则22
()10x g x x x
-'=-
=≤， 所以函数()g x 在[1,2]上单调递减，所以()(2)22ln 2g x g ≥=-，当且仅当2x =时取等号．当[1,2]x ∈时，设
1
t x
=，则1[,1]2
t ∈，所以
2323312
32t t t x x x
+-=+-， 设23()32h t t t t =+-，1[,1]2t ∈，则2
2119()3266()66h t t t t '=+-=--+，
所以函数()h t '在1[,1]2
上单调递减，且15
()022h '=>，(1)10h '=-<，
所以存在01(,1)2t ∈，使得0()0h t '=，所以当012t t ≤<时，()0h t '>；当01t t <≤时，()0h t '
<，
所以函数()h t 在01
(,)2
t 上单调递增，在0(,1)t 上单调递减，
因为13()22h =，(1)2h =，所以13()()22h t h ≥=，所以233123
2
x x x +-≥，当且仅当2x =时取等号．所以当2x =时，函
数()F x 取得最小值，且min 37
()22ln 22ln 222
F x =-+=-， 故函数()F x 的最小值为7
2ln 22
-．
方法二：当1a =时，2323412312
()()2ln F x f x x x x x x x x x
=+
+-=-++-，[1,2]x ∈， 则322344
2326(1)(46)
()1x x x x F x x x x x x ----'=---+=，
令32()46g x x x x =---，[1,2]x ∈，则2
2113()3243()33
g x x x x '=--=--，
所以函数()g x '在[1,2]上单调递增，
又(1)3,(2)4g g ''=-=，所以存在0(1,2)x ∈，使得00()g x '=， 所以函数()g x 在0[1,)x 上单调递减，在0[,2]x 上单调递增，
因为(1)100,(2)100g g =-<=-<，所以当[1,2]x ∈时，()0<g x 恒成立， 所以当[1,2]x ∈时，()0F x '
≤恒成立，所以函数()F x 在[1,2]上单调递减，
所以函数()F x 的最小值为233127
(2)22ln 22ln 22222
F =-++-=-． 22．（1）()(),04,-∞+∞（2）证明见解析
【解析】 （1）将不等式62f π⎛⎫
>
⎪⎝⎭
化为|3||1|4a a -+->，利用零点分段法，求得不等式的解集. （2）将要证明的不等式转化为证x R ∀∈，1
2sin |1|1x a a
≥---
+恒成立，由2sin x 的最小值为2-，得到只要证12|1|1a a -≥---
+，即证1
|1|12a a
-++≥，利用绝对值不等式和基本不等式，证得上式成立. 【详解】
（1）∵62f π⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，∴2|3||1|6a a +-+->，即|3||1|4a a -+-> 当3a ≥时，不等式化为314
3a a a -+->⎧⎨
≥⎩
，∴4a >
当13a <<时，不等式化为(3)(1)4
13
a a a -+->⎧⎨<<⎩，此时a 无解
当1a ≤时，不等式化为(3)(1)4
1a a a -+->⎧⎨
≤⎩
，∴0a <
综上，原不等式的解集为()(),04,-∞+∞
（2）要证x R ∀∈，1
()|3|1f x a a
≥--
+恒成立 即证x R ∀∈，1
2sin |1|1x a a
≥---
+恒成立 ∵2sin x 的最小值为－2，∴只需证12|1|1a a -≥---
+，即证1
|1|12a a
-++≥
又11|1|111a a a a -+
+≥-++11||2a a a a =+=+≥= ∴1
|1|12a a
-++≥成立，∴原题得证 【点睛】
本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化，分类与整合思想.。