2020-2021学年高二数学人教A版选修2-2学案：2.1.1 合情推理 Word版含解析

2．1.1合情推理
[目标] 1.结合实例，能说出合情推理的含义.2.能利用归纳和类比进行简单的推理.3.体会并认识合情推理在数学发现中的作用．[重点] 合情推理及归纳推理的定义．
[难点] 归纳推理的基本方法．
知识点一归纳推理
[填一填]
1．归纳推理的含义
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．
2．归纳推理的特征
归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
[答一答]
1．为什么归纳推理所得的结论不一定正确？什么情况下得出的结论一定正确？
提示：在归纳推理中，由于前提一般是部分的，因此根据同一个前提不同的人可能得出不同的结论，即结论不唯一．这就说明归纳推理所得的结论不一定正确．
在归纳过程中，穷尽了全部归纳对象，如果归纳的前提是真的，那么归纳所得的结论也一定是真的．这种归纳推理是一种必然性的推
理，可以用来作为严格证明的工具．
知识点二类比推理
[填一填]
1．类比推理的含义
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．2．类比推理的特征
类比推理是由特殊到特殊的推理．
[答一答]
2．类比推理适合在什么情况下使用？它得出的结论一定正确吗？
提示：当给出的是两类不同的对象，且它们具有一些类似的特征时，可以使用类比推理．它得出的结论也是猜测性的，不一定正确．3．数学中常见的类比有哪些？
提示：数学中常见的类比：直线与平面、平面与空间、方程与不等式、一元与多元、等差数列与等比数列等．
知识点三合情推理及其推理过程
[填一填]
1．合情推理的含义
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，它们统称为合情推理．
2．合情推理的思维过程
[答一答]
4．合情推理是指“合乎情理”的推理，那么由合情推理得到的结论就一定正确，对吗？
提示：不一定．合情推理包括归纳推理与类比推理，而由归纳推理与类比推理得到的结论不一定正确，所以合情推理得到的结论就不一定正确．
5．合情推理的作用是什么？
提示：合情推理是指“合乎情理”的推理．数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜想和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．
归纳推理与类比推理的异同点
类型一 数式中的归纳推理
【例1】 已知：1>12；1＋12＋13>1；1＋12＋13＋14＋15＋16＋17>3
2；1＋12＋13＋…＋1
15>2；….
根据以上不等式的结构特点，请你归纳一般结论．
【思路分析】 观察不等式左边最后一项的分母特点为2n －1，不等式右边为n
2，由此可得一般性结论．
【解】 1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，猜想不等式左边最后一项的分母为2n －1，而不等式右端依次分别为：
12，22，32，42，…，n 2. 归纳得一般结论：
1＋12＋13＋…＋12n －1>n
2(n ∈N ＋)．
根据给出的数与式，归纳一般结论的思路：
(1)观察数与式的结构特征，如数、式与符号的关系，代数式的相同或相似之处等；
(2)提炼出数、式的变化规律； (3)运用归纳推理写出一般结论.
(1)已知a n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13n
，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：
a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9
……
记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)＝( D )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1367
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1368
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫13111 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫13112 解析：该三角形每行所对应元素的个数为1,3,5……那么第10行的
最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13112
.
(2)已知f (x )＝x
1＋x ，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，
则f 2 014(x )的表达式为x
1＋2 014x
.
解析：由f 1(x )＝x 1＋x ⇒f 2(x )＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x ＝x 1＋x 1＋x 1＋x
＝x
1＋2x ；又可得f 3(x )
＝f(f2
(x))＝
x
1＋2x
1＋
x
1＋2x
＝
x
1＋3x
，故可猜想f2 014
(x)＝
x
1＋2 014x
.
类型二几何图形中的归纳推理
【例2】(1)有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()
A．26 B．31
C．32 D．36
(2)把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是________．
【解析】(1)法1：有菱形纹的正六边形个数如下表：
图案123…
个数61116…
6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.
法2：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(题中图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5
块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.故选B.
(2)第七个三角形数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.
【答案】(1)B(2)28
解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手：
(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系；
(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．
如下图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n个图形中的顶点个数为(B)
A．(n＋1)(n＋2) B．(n＋2)(n＋3)
C．n2D．n
解析：第一个图形共有12＝3×4个顶点，第二个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n个图形共有(n＋2)(n＋3)个顶点．
类型三类比推理的应用
【例3】找出圆与球的相似性质，并用圆的下列性质类比球的有关性质．
(1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦；
(2)与圆心距离相等的两弦长相等；
(3)圆的周长C＝πd(d是直径)；
(4)圆的面积S＝πr2.
【思路分析】先找出相似的性质再类比，一般是点类比线、线类比面、面类比体．
【解】圆与球有下列相似的性质：
(1)圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合；球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合．
(2)圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形；球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形．
通过与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质.
类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、比较、联想进行
归纳、类比、提出猜想，在进行类比推理时，注意比较两个对象的相似之处，从而找到可以类比的两个量，然后加以猜想，而类比结论的正确与否需证明.
类比三角形中的性质： (1)两边之和大于第三边； (2)中位线长等于对应底边的一半； (3)三内角平分线交于一点． 可得四面体的对应性质：
(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；
(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的截面面积等于第四个面面积的1
4；
(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点． 其中类比推理方法正确的有( C ) A ．(1) B ．(1)(2) C ．(1)(2)(3)
D ．都不对
解析：以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．
类比推理的结论作为推理依据致误
【例4】 已知a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2都是非零实数，不等式a 1x 2
＋b 1x ＋c 1<0，a 2x 2
＋b 2x ＋c 2<0的解集分别为M ，N ，则“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1
c 2
”
是“M ＝N ”成立的________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中的一种)．
【错解】 由a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2知两个不等式同解，即“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1
c 2
”是
“M ＝N ”成立的充要条件．
【错因分析】 错解将方程的同解原理类比到不等式中，忽略了不等式与等式的本质区别．
【正解】 当a 1a 2＝b 1b 2＝c 1
c 2
时，可取a 1＝b 1＝c 1＝1，a 2＝b 2＝c 2＝－1，
则M ＝∅，N ＝R ，故a 1a 2
＝b 1b 2
＝c 1
c 2
⇒M ＝N ；
当M ＝N ＝∅时，可取a 1＝b 1＝c 1＝1，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3，则a 1a 2≠b 1
b
2
≠c 1c 2
，即M ＝N ⇒a 1a 2
＝b 1b 2
＝c 1
c 2
.
综上知“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1
c 2
”是“M ＝N ”成立的既不充分又不必要条
件．
【答案】 既不充分又不必要
【解后反思】 类比推理是不严格的，所得结论的正确与否有待用实践来证明，解题时若直接使用类比所得结论进行推理则容易出现错误．
等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12
成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4
，T 12T 8
，T 16
T 12
成等比数列．
解析：等比数列类比等差数列时，其中积类比和，除法类比减法，于是可得类比结论为：
设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16
T 12
成等比数列．
1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于(B)
A．28 B．32
C．33 D．27
解析：由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9,3、6、9均是3的倍数，所以可猜测x－20＝12，即x＝32.验证47－32＝15符合上述规律．2．下列推理正确的是(D)
A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a y
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin y
C．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a y
D．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c
解析：选项A、B、C没有从本质上类比，是简单类比，从而出现错误．对选项D，a(b＋c)＝ab＋ac，故类比a·(b＋c)＝a·b＋a·c是正确的．
3．观察下列不等式：
1＋1
22<3 2，
1＋1
22＋1
32<
5
3，
1＋1
22＋1
32＋
1
42<
7
4，
……
照此规律，第五个不等式为1＋1
22＋1
32＋
1
42＋
1
52＋
1
62<
11
6.
解析：由前几个不等式可知
1＋1
22＋1
32＋
1
42＋…＋
1
(n＋1)2
<
2n＋1
n＋1
.
所以第五个不等式为1＋1
22＋
1
32＋
1
42＋
1
52＋
1
62<
11
6.
4．若S n是等差数列{a n}的前n项和，则有S2n－1＝(2n－1)a n，类似
地，若T n 是等比数列{b n }的前n 项积，则有T 2n －1＝b 2n －1n
. 解析：T 2n －1＝b 1·b 2·b 3·…·b 2n －1＝b 2n －1n
. 5．已知数列{a n }的第1项a 1＝1，且a n ＋1＝a n 1＋a n
(n ＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．
解：当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12
； 当n ＝3时，a 3＝12
1＋12
＝13； 当n ＝4时，a 4＝131＋13
＝14.
观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数．由此猜想，这
个数列的通项公式为a n ＝1n .
莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

每一日所付出的代价都比前一日高，因为你的生命又消短了一天，所以每一日都要更用心。

这天太宝贵，不就应为酸苦的忧虑和辛涩的悔恨所销蚀，抬起下巴，抓住这天，它不再回来。

加油！！。