6.1 平方根 课件 2023-2024学年人教版数学七年级下册

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∴1.4 < < 1.5.
②∵1.412 = 1.9881,1.422 = 2.0164,
而 1.9881 < 2 < 2.0164,
∴1.41 <
< 1.42.
③∵1.4142 = 1.999396,1.4152 = 2.002225,
而 1.999396 < 2 < 2.002225,
∴1.414 <
解:∵|a+7|≥0, − − ≥0,
∴a+7=0,且2a-3b-4=0,
解得a=-7,b=-6.
∴ − = =13.
练习
1.下列说法正确的是 ( A )
A.25是625的算术平方根
B.±4是16的算术平方根
C.-6是(-6)2的算术平方根
D.0.01是0.1的算术平方根
1
1
4
2
0.36
0.6
表一:已知一个正数,求这个正数的平方.
表二:已知一个正数的平方,求这个正数.
表一和表二
中的两种运
算有什么关
系?
探究新知
填表:
正方形的面积/dm2
1
9
16
36
正方形的边长/dm
1
3
4
6
实际上是已知一个正数的平方,
求这个正数的问题.




知识归纳
算术平方根的概念
(1) 一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么
关系?你从中得出什么结论?
知识归纳
平方根的概念、开平方
(1)一般地,如果一个数的平方等于 a,那么这个数叫做
a 的平方根或二次方根.
●这就是说 x2 = a,那么 x 叫做 a 的平方根.
(2)求一个数 a 的平方根的运算,叫做开平方.
思考
平方
+1
–1
+2
–2
+3
–3
开平方
1
1
4
4
9
9
+1
–1
的大正方形?
+

如图,把两个小正方形分别沿对角线剪开,将所得的4个直
角三角形拼在一起,就得到一个面积为2 dm2的大正方形.
思考
能根据算术平方根的意义由大正方形的面积求出大正方形
的边长吗?
设大正方形的边长为 x dm,则 x2 = 2 ,
由算术平方根的意义可知 x = ,
所以大正方形的边长是 dm.
的值说出 是多少吗?
解:依次按键:
3

显示:1.732 050 808
≈ 1.732
≈ 17.32
. ≈ 0.1732
≈ 173.2
不能根据
的值说出
的值.
练习
1.下列选项中的整数, 与最接近的是( B )
A.3
B.4
C.5
D.6
2.比较大小.

(2)因为6>4,所以 >2,所以

=1.5.


小结
估计一个有理数的算术平方根的
近似值,必须先判断这个有理数
位于哪两个数的平方之间.
比较数的大小,先估计其算术平
方根的近似值.
例3 小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片,沿着边的方
向裁出一块面积为300 cm2的长方形纸片,使它的长宽之比为
6
2.(1) 36的算术平方根是______,
0.7
0.49的算术平方根是______,


2 的算术平方根是______;


225
(2) 15是______的算术平方根,



是____的算术平方根,
1
____的算术平方根是1.
3.求下列各式的值:
(1) +



(2) − - + + (−) ;
∴1.73< <1.74.
④∵1.7322=2.999824,1.7332=3.003289,
∴1.732< <1.733,
∴ ≈1.73.
例2 通过估算比较下列各组数的大小:
(1) 与1.9;

(2)
与1.5.

解:(1)因为5>4,所以 >2,所以 >1.9.
+ +
根及其大小比较
估算算术平方根和比较
数的大小
用计算器计算一个正数
的算术平方根
人教版数学七年级下册
第六章 实数
6.1
平方根
第3课时 平方根
导入新课
回顾算术平方根的相关知识
1.如果一个数的平方等于 9,那么 9 的算术平方根是____.
3




2. 的平方等于 ,那么 的算术平方根是____.


(3) .
(3)
= 2.
例2 计算下列各式:
(1) ;

(2) . - . ;

解: (1) 原式 = ;
(2) 原式 = 0.9-0.2 = 0.7;
(3) 原式 = = 9.
(3) − .
例3 已知|a+7|+ − − =0,求a2-20b的算术平方根.




C. + =2+




B. =



D. − =13-7=6
3.若 − + − + 有意义,则 x 满足的条件

x=
是______.

思考: 有多大呢?你能比较
与2的大小吗?
探究新知
探究
1. 能否用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2


解:原式 = 4+ = 4 ;
(3) − . +




解:原式 = 0.8+ = ;

解:原式 = 3-10+2 = -5 ;
(4) . - . + (−) × . .
解:原式 = 0.3-0.6+6×0.2 = 0.9 .
课堂小结
算术平方根的概念
(1) _____


(2) 6 _____
.
3.用计算器计算 . ,下列按键顺序正确
的是( A )
0.012345 =
B. 0.012345

A.
C. = 0.012345
D. =
0.012345
4.已知 2+ 的小数部分为 a,5- 的小数部分为 b,
负数没有算术平方根.
练一练
下列各式中哪些有意义?哪些无意义?为什么?
, − ,
−,
(−)
解: , − , (−) 有意义, − 无意义,
因为 − 被开方数不是非负数.
算术平方根具有双重非负性:
a的算术平方根 ,其中 a≥0, ≥0 .
例题与练习
例1 求下列各数的算术平方根:


≈ 5.447.
(3)


.
算术平方根的规律
利用计算器计算下表中的算术平方根,并将计算结果填在表中,
你发现了什么规律?你能说出其中的道理吗?
… .

0.25
.
.
0.7906
2.5
.
7.906


25
79.06

250

2
规律:被开方数的小数点向右每移动____位,它的算术平方
求 a+b 的值.
解:∵1 < < 2,∴3 < 2+ < 4,
∴a = 2 + – 3 = – 1,
∵1 < < 2,∴3 < 5 – < 4,
∴b = 5 – – 3 = 2 – ,
∴a + b = – 1 + 2 – = 1.
课堂小结
用计算器求一个
正数的算术平方
∴小丽不能裁出符合要求的纸片.
3 就是
3× .
练一练
1.实数 的值在( C )
A.0 和 1 之间
B.1 和 2 之间
C.2 和 3 之间
D.3 和 4 之间
2.与 1 + 最接近的整数是( C )
A.1
B.2
C.3
D.4
探究新知
用计算器求一个数的算术平方根
在估计有理数的算术平方根的过程中,为
方便计算,可借助计算器求一个正有理数
a的算术平方根(或其近似数).
按键顺序:
a

注意:不同的计算器的按键方式可能有所差别!
练一练
用计算器求下列各式的值(精确到0.001):
(1) . ;
(2) ;
解: (1) . ≈ 2.392;
(2) ≈ 44.855;
(3)
3:2.她不知能否裁得出来,正在发愁.你能帮小丽算出她能
用这块纸片裁出符合要求的纸片吗?
解:由题意知正方形纸片的边长为20 cm.
设长方形的长为3x cm,则宽为2x cm,则有
3x·2x=300, x2=50, x= .
∴长方形的长为 3x=3 .
∵50>49, ∴ >7, ∴3 >21,
这个正数x叫做a的算术平方根.
(2) 由算术平方根的定义知:a≥0, ≥0,即算术平方根
的被开方数为非负数.
(3) 被开方数越大,对应的算术平方根也越大.
思考
(1) 一个正数的算术平方根有几个?
一个正数的算术平方根有1个.
(2) 的算术平方有几个?
0的算术平方根有一个,是0.
(3) -1有算术平方根吗?负数有算术平方根?
人教版数学七年级下册
第六章 实数
6.1
平方根
第1课时 算术平方根
导入新课
在学校举行的绘画比赛中,欢欢同
学准备了一些正方形的画布,若知
道画布的边长,你能计算出它们的
面积吗?若知道画布的面积,你能
求出它们的边长吗?
思考
正方形的边长
表一:
正方形的面积
1
1
2
4
0.5
0.25
正方形的面积
表二:
正方形的边长





= ;


例1 求下列各数的算术平方根:

(1)100; (2) ; (3)0.0001

解: (3) 因为 0.012 = 0.0001,
所以 0.0001 的算术平方根是 0.01,
即 . = 0.01.
小结
从上面的例题可以看出:被
开方数越大,对应的算术平


7
3.展厅的地面是正方形,其面积为 49 m2,则边长为____m.

思考:还有没有平方等于9, ,49的其他数?

探究新知
1. 如果一个数的平方等于 9,这个数是多少?
∵32 = 9,(-3)2 = 9
2. 完成左侧
表格:
∴这个数是 3 或 -3.
x2
1
16
36
49
x
1
3
4
6




思考:一对互为相反数的两个数的平方,结果是什么

(1)100; (2) ; (3)0.0001

解: (1) 因为 102 = 100,
所以 100 的算术平方根是 10,
即 =10;
例1 求下列各数的算术平方根:

(1)100; (2) ; (3)0.0001


解: (2) 因为 = ,


所以 的算术平方根是 ,
1
根的小数点就向右移动____位;被开方数的小数点向左每移
1
2
动____位,它的算术平方根的小数点就向左移动____位.
小结
被开方数的小数点向左或向右移
动 2n 位时立方根的小数点就相
应的向左或向右移动 n 位(n 为
正整数).
探究
用计算器计算 (精确到0.001),并利用上面发现的规
律说出 . , , 的近似值,你能根据
方根也越大.
这个结论对所有正数都成立.
练习
1. 求下列各数的算术平方根:
(1)0.0025;
(2)81;
解: (1) . = 0.05;
(2) = 9;
2. 求下列各式的值:

(1) ;
(2) ;

解: (1)
= 1;
(2)

= ;



(3)32.
(3) = 3.
小正方形的对角线长是多少?
探究
2. 有多大呢?能不能得到 的更精确的范围?
思考:你是怎样判断出 大于 1 而小于 2 的?
因为12 = 1,22 = 4,
而 1 < 2 < 4,
所以 1 < < 2.

用夹逼法求一个数的算术平方根的近似值
①∵1.42 = 1.96,1.52 = 2.25,而 1.96 < 2 < 2.25,
算术平方根
求一个数的算术平方根
算术平方根非负性的运用
人教版数学七年级下册
第六章 实数
6.1
平方根
第2课时 用计算器求一个正数
的算术平方根及其大小比较
导入新课
回顾算术平方根的相关知识
1.什么叫正数a的算术平方根?如何表示正数a的算术平方根?
2.下列各式中,计算正确的是 ( B )
A.

( ) =
+2
–2
+3
–3
两图中的运算有什么关系? 平方与开平方互为逆运算
练一练
(1) 1. 144的平方根是什么? ±12


(2) 的平方根是什么? ±
进行下去,在精确度范围内逐步确定出正数的算术平
方根的取值范围,这种方法叫做夹逼法.
例题与练习
例1 估算 的大小(结果保留两位小数).
解:①∵12=1,22=4,∴1< <2.
②∵1.72=2.89,1.82=3.24,∴1.7< <1.8.
③∵1.732=2.9929,1.742=3.0276,
< 1.415.
如此进行下去,可以得到 的更精确的近似值.事实上
= 1.414 213 562 373 …,它是一个无限不循环小数.
2
无限不循环小数是指小
数位数无限,且小数部
分不循环的小数.
知识归纳
夹逼法
估算:在确定一个正数的算术平方根时,可以通过每
次增加一位小数计算平方与被开方数比较大小,如此
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