6.1 平方根 课件 2023-2024学年人教版数学七年级下册
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∴1.4 < < 1.5．
②∵1.412 = 1.9881，1.422 = 2.0164，
而 1.9881 < 2 < 2.0164，
∴1.41 <
< 1.42．
③∵1.4142 = 1.999396，1.4152 = 2.002225，
而 1.999396 < 2 < 2.002225，
∴1.414 <
解：∵|a＋7|≥0， − − ≥0，
∴a＋7＝0，且2a－3b－4＝0，
解得a＝－7，b＝－6.
∴ − ＝ ＝13.
练习
1．下列说法正确的是 ( A )
A．25是625的算术平方根
B．±4是16的算术平方根
C．－6是(－6)2的算术平方根
D．0.01是0.1的算术平方根
1
1
4
2
0.36
0.6
表一：已知一个正数，求这个正数的平方．
表二：已知一个正数的平方，求这个正数．
表一和表二
中的两种运
算有什么关
系？
探究新知
填表：
正方形的面积/dm2
1
9
16
36
正方形的边长/dm
1
3
4
6
实际上是已知一个正数的平方，
求这个正数的问题.
知识归纳
算术平方根的概念
(1) 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么
关系？你从中得出什么结论？
知识归纳
平方根的概念、开平方
(1)一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做
a 的平方根或二次方根.
●这就是说 x2 = a，那么 x 叫做 a 的平方根.
(2)求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方.
思考
平方
+1
–1
+2
–2
+3
–3
开平方
1
1
4
4
9
9
+1
–1
的大正方形？
+
＝
如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直
角三角形拼在一起，就得到一个面积为2 dm2的大正方形.
思考
能根据算术平方根的意义由大正方形的面积求出大正方形
的边长吗？
设大正方形的边长为 x dm，则 x2 = 2 ，
由算术平方根的意义可知 x = ，
所以大正方形的边长是 dm.
的值说出 是多少吗？
解：依次按键：
3
＝
显示：1.732 050 808
≈ 1.732
≈ 17.32
. ≈ 0.1732
≈ 173.2
不能根据
的值说出
的值.
练习
1．下列选项中的整数， 与最接近的是（ B ）
A．3
B．4
C．5
D．6
2．比较大小.
＜
(2)因为6＞4，所以 ＞2，所以
＞
＝1.5.
小结
估计一个有理数的算术平方根的
近似值，必须先判断这个有理数
位于哪两个数的平方之间.
比较数的大小，先估计其算术平
方根的近似值.
例3 小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片，沿着边的方
向裁出一块面积为300 cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为
6
2．(1) 36的算术平方根是______，
0.7
0.49的算术平方根是______，
2 的算术平方根是______；
225
(2) 15是______的算术平方根，
是____的算术平方根，
1
____的算术平方根是1.
3．求下列各式的值：
(1) ＋
；
(2) − － + ＋ (−) ；
∴1.73< <1.74.
④∵1.7322＝2.999824，1.7332＝3.003289，
∴1.732< <1.733，
∴ ≈1.73.
例2 通过估算比较下列各组数的大小：
(1) 与1.9；
＋
(2)
与1.5.
解：(1)因为5＞4，所以 ＞2，所以 ＞1.9.
＋ ＋
根及其大小比较
估算算术平方根和比较
数的大小
用计算器计算一个正数
的算术平方根
人教版数学七年级下册
第六章 实数
6.1
平方根
第3课时 平方根
导入新课
回顾算术平方根的相关知识
1．如果一个数的平方等于 9，那么 9 的算术平方根是____．
3
2． 的平方等于 ，那么 的算术平方根是____．
（3） .
(3)
= 2.
例2 计算下列各式：
（1） ；
（2） . － . ；
解: (1) 原式 = ;
(2) 原式 = 0.9－0.2 = 0.7;
(3) 原式 = = 9.
（3） − .
例3 已知|a＋7|＋ − − ＝0，求a2－20b的算术平方根．
C． ＋ ＝2＋
B． ＝
D． − ＝13－7＝6
3．若 − ＋ − ＋ 有意义，则 x 满足的条件
x＝
是______．
思考： 有多大呢？你能比较
与2的大小吗？
探究新知
探究
1. 能否用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2
解:原式 = 4＋ = 4 ;
(3) − . ＋
；
解:原式 = 0.8＋ = ;
解:原式 = 3－10＋2 = －5 ;
(4) . － . ＋ (−) × . .
解:原式 = 0.3－0.6＋6×0.2 = 0.9 .
课堂小结
算术平方根的概念
(1) _____
；
＞
(2) 6 _____
.
3．用计算器计算 . ，下列按键顺序正确
的是（ A ）
0.012345 ＝
B. 0.012345
＝
A.
C. ＝ 0.012345
D. ＝
0.012345
4．已知 2＋ 的小数部分为 a，5－ 的小数部分为 b，
负数没有算术平方根.
练一练
下列各式中哪些有意义？哪些无意义？为什么？
, − ,
−,
(−)
解: , − , (−) 有意义， − 无意义，
因为 − 被开方数不是非负数.
算术平方根具有双重非负性：
a的算术平方根 ，其中 a≥0， ≥0 .
例题与练习
例1 求下列各数的算术平方根：
≈ 5.447.
（3）
.
算术平方根的规律
利用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中，
你发现了什么规律？你能说出其中的道理吗？
… .
…
0.25
.
.
0.7906
2.5
.
7.906
25
79.06
…
250
…
2
规律：被开方数的小数点向右每移动____位，它的算术平方
求 a＋b 的值.
解：∵1 < < 2，∴3 < 2+ < 4，
∴a = 2 + – 3 = – 1，
∵1 < < 2，∴3 < 5 – < 4，
∴b = 5 – – 3 = 2 – ，
∴a + b = – 1 + 2 – = 1.
课堂小结
用计算器求一个
正数的算术平方
∴小丽不能裁出符合要求的纸片.
3 就是
3× .
练一练
1．实数 的值在（ C ）
A．0 和 1 之间
B．1 和 2 之间
C．2 和 3 之间
D．3 和 4 之间
2．与 1 + 最接近的整数是（ C ）
A．1
B．2
C．3
D．4
探究新知
用计算器求一个数的算术平方根
在估计有理数的算术平方根的过程中，为
方便计算，可借助计算器求一个正有理数
a的算术平方根(或其近似数).
按键顺序：
a
＝
注意：不同的计算器的按键方式可能有所差别！
练一练
用计算器求下列各式的值(精确到0.001)：
（1） . ；
（2） ；
解： (1) . ≈ 2.392；
(2) ≈ 44.855；
(3)
3:2．她不知能否裁得出来，正在发愁．你能帮小丽算出她能
用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
解：由题意知正方形纸片的边长为20 cm.
设长方形的长为3x cm，则宽为2x cm，则有
3x·2x＝300， x2＝50， x＝ .
∴长方形的长为 3x＝3 .
∵50＞49， ∴ ＞7， ∴3 ＞21，
这个正数x叫做a的算术平方根.
(2) 由算术平方根的定义知：a≥0， ≥0，即算术平方根
的被开方数为非负数.
(3) 被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
思考
(1) 一个正数的算术平方根有几个？
一个正数的算术平方根有1个.
(2) 的算术平方有几个？
0的算术平方根有一个，是0.
(3) －1有算术平方根吗？负数有算术平方根？
人教版数学七年级下册
第六章 实数
6.1
平方根
第1课时 算术平方根
导入新课
在学校举行的绘画比赛中，欢欢同
学准备了一些正方形的画布，若知
道画布的边长，你能计算出它们的
面积吗？若知道画布的面积，你能
求出它们的边长吗？
思考
正方形的边长
表一：
正方形的面积
1
1
2
4
0.5
0.25
正方形的面积
表二：
正方形的边长
即
＝ ；
例1 求下列各数的算术平方根：
（1）100； （2） ； （3）0.0001
解: (3) 因为 0.012 = 0.0001，
所以 0.0001 的算术平方根是 0.01，
即 . = 0.01.
小结
从上面的例题可以看出：被
开方数越大，对应的算术平
7
3．展厅的地面是正方形，其面积为 49 m2，则边长为____m.
思考：还有没有平方等于9， ，49的其他数？
探究新知
1. 如果一个数的平方等于 9，这个数是多少？
∵32 ＝ 9，(－3)2 ＝ 9
2. 完成左侧
表格：
∴这个数是 3 或 －3.
x2
1
16
36
49
x
1
3
4
6
思考：一对互为相反数的两个数的平方，结果是什么
（1）100； （2） ； （3）0.0001
解: (1) 因为 102 = 100，
所以 100 的算术平方根是 10，
即 =10；
例1 求下列各数的算术平方根：
（1）100； （2） ； （3）0.0001
解: (2) 因为 = ，
所以 的算术平方根是 ，
1
根的小数点就向右移动____位；被开方数的小数点向左每移
1
2
动____位，它的算术平方根的小数点就向左移动____位.
小结
被开方数的小数点向左或向右移
动 2n 位时立方根的小数点就相
应的向左或向右移动 n 位（n 为
正整数）.
探究
用计算器计算 （精确到0.001），并利用上面发现的规
律说出 . ， ， 的近似值，你能根据
方根也越大.
这个结论对所有正数都成立.
练习
1. 求下列各数的算术平方根：
（1）0.0025；
（2）81；
解: (1) . = 0.05;
(2) = 9;
2. 求下列各式的值：
（1） ；
（2） ；
解: (1)
= 1;
(2)
= ;
（3）32.
(3) = 3.
小正方形的对角线长是多少？
探究
2. 有多大呢？能不能得到 的更精确的范围？
思考：你是怎样判断出 大于 1 而小于 2 的？
因为12 = 1，22 = 4，
而 1 < 2 < 4，
所以 1 < < 2．
用夹逼法求一个数的算术平方根的近似值
①∵1.42 = 1.96，1.52 = 2.25，而 1.96 < 2 < 2.25，
算术平方根
求一个数的算术平方根
算术平方根非负性的运用
人教版数学七年级下册
第六章 实数
6.1
平方根
第2课时 用计算器求一个正数
的算术平方根及其大小比较
导入新课
回顾算术平方根的相关知识
1．什么叫正数a的算术平方根？如何表示正数a的算术平方根？
2．下列各式中，计算正确的是 ( B )
A．
( ) ＝
+2
–2
+3
–3
两图中的运算有什么关系？ 平方与开平方互为逆运算
练一练
(1) 1. 144的平方根是什么？ ±12
(2) 的平方根是什么？ ±
进行下去，在精确度范围内逐步确定出正数的算术平
方根的取值范围，这种方法叫做夹逼法．
例题与练习
例1 估算 的大小（结果保留两位小数）．
解：①∵12＝1，22＝4，∴1< <2.
②∵1.72＝2.89，1.82＝3.24，∴1.7< <1.8.
③∵1.732＝2.9929，1.742＝3.0276，
< 1.415．
如此进行下去，可以得到 的更精确的近似值．事实上
= 1.414 213 562 373 …，它是一个无限不循环小数．
2
无限不循环小数是指小
数位数无限，且小数部
分不循环的小数.
知识归纳
夹逼法
估算：在确定一个正数的算术平方根时，可以通过每
次增加一位小数计算平方与被开方数比较大小，如此
②∵1.412 = 1.9881，1.422 = 2.0164，
而 1.9881 < 2 < 2.0164，
∴1.41 <
< 1.42．
③∵1.4142 = 1.999396，1.4152 = 2.002225，
而 1.999396 < 2 < 2.002225，
∴1.414 <
解：∵|a＋7|≥0， − − ≥0，
∴a＋7＝0，且2a－3b－4＝0，
解得a＝－7，b＝－6.
∴ − ＝ ＝13.
练习
1．下列说法正确的是 ( A )
A．25是625的算术平方根
B．±4是16的算术平方根
C．－6是(－6)2的算术平方根
D．0.01是0.1的算术平方根
1
1
4
2
0.36
0.6
表一：已知一个正数，求这个正数的平方．
表二：已知一个正数的平方，求这个正数．
表一和表二
中的两种运
算有什么关
系？
探究新知
填表：
正方形的面积/dm2
1
9
16
36
正方形的边长/dm
1
3
4
6
实际上是已知一个正数的平方，
求这个正数的问题.
知识归纳
算术平方根的概念
(1) 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么
关系？你从中得出什么结论？
知识归纳
平方根的概念、开平方
(1)一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做
a 的平方根或二次方根.
●这就是说 x2 = a，那么 x 叫做 a 的平方根.
(2)求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方.
思考
平方
+1
–1
+2
–2
+3
–3
开平方
1
1
4
4
9
9
+1
–1
的大正方形？
+
＝
如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直
角三角形拼在一起，就得到一个面积为2 dm2的大正方形.
思考
能根据算术平方根的意义由大正方形的面积求出大正方形
的边长吗？
设大正方形的边长为 x dm，则 x2 = 2 ，
由算术平方根的意义可知 x = ，
所以大正方形的边长是 dm.
的值说出 是多少吗？
解：依次按键：
3
＝
显示：1.732 050 808
≈ 1.732
≈ 17.32
. ≈ 0.1732
≈ 173.2
不能根据
的值说出
的值.
练习
1．下列选项中的整数， 与最接近的是（ B ）
A．3
B．4
C．5
D．6
2．比较大小.
＜
(2)因为6＞4，所以 ＞2，所以
＞
＝1.5.
小结
估计一个有理数的算术平方根的
近似值，必须先判断这个有理数
位于哪两个数的平方之间.
比较数的大小，先估计其算术平
方根的近似值.
例3 小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片，沿着边的方
向裁出一块面积为300 cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为
6
2．(1) 36的算术平方根是______，
0.7
0.49的算术平方根是______，
2 的算术平方根是______；
225
(2) 15是______的算术平方根，
是____的算术平方根，
1
____的算术平方根是1.
3．求下列各式的值：
(1) ＋
；
(2) − － + ＋ (−) ；
∴1.73< <1.74.
④∵1.7322＝2.999824，1.7332＝3.003289，
∴1.732< <1.733，
∴ ≈1.73.
例2 通过估算比较下列各组数的大小：
(1) 与1.9；
＋
(2)
与1.5.
解：(1)因为5＞4，所以 ＞2，所以 ＞1.9.
＋ ＋
根及其大小比较
估算算术平方根和比较
数的大小
用计算器计算一个正数
的算术平方根
人教版数学七年级下册
第六章 实数
6.1
平方根
第3课时 平方根
导入新课
回顾算术平方根的相关知识
1．如果一个数的平方等于 9，那么 9 的算术平方根是____．
3
2． 的平方等于 ，那么 的算术平方根是____．
（3） .
(3)
= 2.
例2 计算下列各式：
（1） ；
（2） . － . ；
解: (1) 原式 = ;
(2) 原式 = 0.9－0.2 = 0.7;
(3) 原式 = = 9.
（3） − .
例3 已知|a＋7|＋ − − ＝0，求a2－20b的算术平方根．
C． ＋ ＝2＋
B． ＝
D． − ＝13－7＝6
3．若 − ＋ − ＋ 有意义，则 x 满足的条件
x＝
是______．
思考： 有多大呢？你能比较
与2的大小吗？
探究新知
探究
1. 能否用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2
解:原式 = 4＋ = 4 ;
(3) − . ＋
；
解:原式 = 0.8＋ = ;
解:原式 = 3－10＋2 = －5 ;
(4) . － . ＋ (−) × . .
解:原式 = 0.3－0.6＋6×0.2 = 0.9 .
课堂小结
算术平方根的概念
(1) _____
；
＞
(2) 6 _____
.
3．用计算器计算 . ，下列按键顺序正确
的是（ A ）
0.012345 ＝
B. 0.012345
＝
A.
C. ＝ 0.012345
D. ＝
0.012345
4．已知 2＋ 的小数部分为 a，5－ 的小数部分为 b，
负数没有算术平方根.
练一练
下列各式中哪些有意义？哪些无意义？为什么？
, − ,
−,
(−)
解: , − , (−) 有意义， − 无意义，
因为 − 被开方数不是非负数.
算术平方根具有双重非负性：
a的算术平方根 ，其中 a≥0， ≥0 .
例题与练习
例1 求下列各数的算术平方根：
≈ 5.447.
（3）
.
算术平方根的规律
利用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中，
你发现了什么规律？你能说出其中的道理吗？
… .
…
0.25
.
.
0.7906
2.5
.
7.906
25
79.06
…
250
…
2
规律：被开方数的小数点向右每移动____位，它的算术平方
求 a＋b 的值.
解：∵1 < < 2，∴3 < 2+ < 4，
∴a = 2 + – 3 = – 1，
∵1 < < 2，∴3 < 5 – < 4，
∴b = 5 – – 3 = 2 – ，
∴a + b = – 1 + 2 – = 1.
课堂小结
用计算器求一个
正数的算术平方
∴小丽不能裁出符合要求的纸片.
3 就是
3× .
练一练
1．实数 的值在（ C ）
A．0 和 1 之间
B．1 和 2 之间
C．2 和 3 之间
D．3 和 4 之间
2．与 1 + 最接近的整数是（ C ）
A．1
B．2
C．3
D．4
探究新知
用计算器求一个数的算术平方根
在估计有理数的算术平方根的过程中，为
方便计算，可借助计算器求一个正有理数
a的算术平方根(或其近似数).
按键顺序：
a
＝
注意：不同的计算器的按键方式可能有所差别！
练一练
用计算器求下列各式的值(精确到0.001)：
（1） . ；
（2） ；
解： (1) . ≈ 2.392；
(2) ≈ 44.855；
(3)
3:2．她不知能否裁得出来，正在发愁．你能帮小丽算出她能
用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
解：由题意知正方形纸片的边长为20 cm.
设长方形的长为3x cm，则宽为2x cm，则有
3x·2x＝300， x2＝50， x＝ .
∴长方形的长为 3x＝3 .
∵50＞49， ∴ ＞7， ∴3 ＞21，
这个正数x叫做a的算术平方根.
(2) 由算术平方根的定义知：a≥0， ≥0，即算术平方根
的被开方数为非负数.
(3) 被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
思考
(1) 一个正数的算术平方根有几个？
一个正数的算术平方根有1个.
(2) 的算术平方有几个？
0的算术平方根有一个，是0.
(3) －1有算术平方根吗？负数有算术平方根？
人教版数学七年级下册
第六章 实数
6.1
平方根
第1课时 算术平方根
导入新课
在学校举行的绘画比赛中，欢欢同
学准备了一些正方形的画布，若知
道画布的边长，你能计算出它们的
面积吗？若知道画布的面积，你能
求出它们的边长吗？
思考
正方形的边长
表一：
正方形的面积
1
1
2
4
0.5
0.25
正方形的面积
表二：
正方形的边长
即
＝ ；
例1 求下列各数的算术平方根：
（1）100； （2） ； （3）0.0001
解: (3) 因为 0.012 = 0.0001，
所以 0.0001 的算术平方根是 0.01，
即 . = 0.01.
小结
从上面的例题可以看出：被
开方数越大，对应的算术平
7
3．展厅的地面是正方形，其面积为 49 m2，则边长为____m.
思考：还有没有平方等于9， ，49的其他数？
探究新知
1. 如果一个数的平方等于 9，这个数是多少？
∵32 ＝ 9，(－3)2 ＝ 9
2. 完成左侧
表格：
∴这个数是 3 或 －3.
x2
1
16
36
49
x
1
3
4
6
思考：一对互为相反数的两个数的平方，结果是什么
（1）100； （2） ； （3）0.0001
解: (1) 因为 102 = 100，
所以 100 的算术平方根是 10，
即 =10；
例1 求下列各数的算术平方根：
（1）100； （2） ； （3）0.0001
解: (2) 因为 = ，
所以 的算术平方根是 ，
1
根的小数点就向右移动____位；被开方数的小数点向左每移
1
2
动____位，它的算术平方根的小数点就向左移动____位.
小结
被开方数的小数点向左或向右移
动 2n 位时立方根的小数点就相
应的向左或向右移动 n 位（n 为
正整数）.
探究
用计算器计算 （精确到0.001），并利用上面发现的规
律说出 . ， ， 的近似值，你能根据
方根也越大.
这个结论对所有正数都成立.
练习
1. 求下列各数的算术平方根：
（1）0.0025；
（2）81；
解: (1) . = 0.05;
(2) = 9;
2. 求下列各式的值：
（1） ；
（2） ；
解: (1)
= 1;
(2)
= ;
（3）32.
(3) = 3.
小正方形的对角线长是多少？
探究
2. 有多大呢？能不能得到 的更精确的范围？
思考：你是怎样判断出 大于 1 而小于 2 的？
因为12 = 1，22 = 4，
而 1 < 2 < 4，
所以 1 < < 2．
用夹逼法求一个数的算术平方根的近似值
①∵1.42 = 1.96，1.52 = 2.25，而 1.96 < 2 < 2.25，
算术平方根
求一个数的算术平方根
算术平方根非负性的运用
人教版数学七年级下册
第六章 实数
6.1
平方根
第2课时 用计算器求一个正数
的算术平方根及其大小比较
导入新课
回顾算术平方根的相关知识
1．什么叫正数a的算术平方根？如何表示正数a的算术平方根？
2．下列各式中，计算正确的是 ( B )
A．
( ) ＝
+2
–2
+3
–3
两图中的运算有什么关系？ 平方与开平方互为逆运算
练一练
(1) 1. 144的平方根是什么？ ±12
(2) 的平方根是什么？ ±
进行下去，在精确度范围内逐步确定出正数的算术平
方根的取值范围，这种方法叫做夹逼法．
例题与练习
例1 估算 的大小（结果保留两位小数）．
解：①∵12＝1，22＝4，∴1< <2.
②∵1.72＝2.89，1.82＝3.24，∴1.7< <1.8.
③∵1.732＝2.9929，1.742＝3.0276，
< 1.415．
如此进行下去，可以得到 的更精确的近似值．事实上
= 1.414 213 562 373 …，它是一个无限不循环小数．
2
无限不循环小数是指小
数位数无限，且小数部
分不循环的小数.
知识归纳
夹逼法
估算：在确定一个正数的算术平方根时，可以通过每
次增加一位小数计算平方与被开方数比较大小，如此