土木工程力学位移法

令：i
EI 称为“线刚度”、 AB 称 为 “ 旋 转 角 ” ， 则 ： l l
f M AB 3i A 3i AB M AB
4、一端固定、另一端定向支承梁的转角位移方程
φA MAB P q t1˚C
A
φA QAB
βAB
EI
t2˚C
B B' MBA
l
f M AB i A M AB f M i M A BA BA

2. 基本结构 在刚结点1上加一限制转动的约束（附加刚臂）， A1与B1就成为基本形式，此时该 结构称为位移法 的基本结构。
3. 荷载在附加刚臂中产生的反力矩 R1F 基本结构在荷载作用上，B1杆发生虚线所示的变 形。但杆端1截面被刚臂制约，不发生角位移，使 得刚臂出现反力矩 R1F 。荷载引起的刚臂反力矩 R1F 规定以顺时针方向为正。
查载常数表
4. 刚臂转动引起的刚臂反力矩 R11 为使基本结构与原结构一致，需将刚臂（连同刚结 点）转动角度Z1，使得基本结构的结点1转角与原 R1F R1F 结构虚线所示的自然变形状态刚结点转角相同。刚 臂转动角度Z1所引起的刚臂反力矩用 R11 表示，并 规定顺时针方向为正。
R11 r11 Z1
解：（1）取结点B点的转角为Z1为基本未知量。 取基本结构如图b所示，当刚臂转动角度Z1时，基 本结构与原结构一致。
（2）作基本结构 M1 图，由结点平衡得：
r11 3i 4i
（3）绘 M F图，由结点平衡得： 1 2 R1F ql 8
（4）位移法基本方程：
r11Z1 R1F 0
r11Z1 R1F 0
R1F 5ql Z1 r11 144i
2
3 432 120 2 M 1 A 8i Z1 ql 1 2 87 2 M B1 i Z1 ql ql 432 6 432 60 2 M A1 4i Z1 ql 3 2 9 M C1 6i Z1 ql ql 2 432 16 432
（３）绘荷载弯矩图，求 R1F
R1F F
F S3A
ql
11ql R1F 8
（４）列典型方程，求未知量
r11Z1 R1F 0
（５）叠加法绘弯矩图
R1F 11ql Z1 r11 96i
3
M M 1Z1 M F
例１３-４试用位移法计算图所示刚架，并作弯矩图
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓
B
P
ql 2 12
ql 2 12
Pl 8
A q A
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓
B B
Pl 8
ql 2 8
0
P
A
l/2 l/2
B
3Pl 16
0
§13-2 位移法的基本概念
1. 基本未知量 当不计轴向变形时，刚结点1不发生线位移，只发 生解位移Z1，且杆A1和B1端发生相同的转角Z1.只 要求出转角Z1，两杆的变形和内力就完全确定。 因此刚结点1的角位移Z1就是求解该刚架的位移法 基本未知量。
查形常数表
5. 刚臂总反力矩 R1 ，位移法基本方程 荷载作用于基本结构，引起刚臂反力矩 R1F ；刚结 构转角Z1引起刚臂反力矩R11 。二者之和为总反力 矩R，即 R1 R11 R1F 在基本结构上施加原结构荷载，且令刚臂转动原结 点转角，使得受力基本结构和原结构的受力状态及 变形状态完全致。刚臂已失去约束作用。故
第十三章
§13-2 位移法的基本概念
位移法
§13-1 等截面单跨超静定梁的杆端内力
§13-3 位移法基本未知量数目的确定
§13-4 位移法典型方程
§13-5 用位移法计算超静定结构
§13-6 超静定结构的特性
§13-1 等截面单跨超静定梁的杆端内力
单跨静定梁的三种基本形式：
1 杆端力与杆端位移的正、负号规定
6i1 ql12 0 (4i1 3i 2 ) Z1 2i2 Z 2 Z 3 li 12 3i1 2 i Z (3i 4i ) Z Z3 0 0 2 1 1 2 2 l1 6i1 3i1 15i1 ql1 Z Z Z 0 1 2 3 2 l1 l1 2 l1
或
R1 0 R11 R1F 0 r 11Z1 R 1F 0
(a)
位移法的基本方程。 物理意义：基本结构由于刚臂转角Z1及外荷载共 同作用，附加刚臂的总反力矩为零。 单位弯矩图 M 1：给刚臂结点1正向单位转角 Z1 1 由形常数表查得A1、B1的弯矩如图所示。
r11Z1 R1F 0
M1B 4i1B
M1A 3i1A
M
1
0
M 1 A M 1B r11 0
r 11 M1 A M1B 3i1 A 4i1B
式中 i1 A iiBl EI i l
所以
r 11 7i
荷载弯矩图 M F：在基本结构上，荷载作用下的弯 矩图。
M
1
0
R1F
ql1 2
r11 4i1 4i2
r21 2i2
6i1 r31 l1
r12 2i2
r22 4i2 3i1
r32
3i1 l1
6i1 r13 l1
3i1 r23 l1
12i1 3i1 15i1 r33 2 2 2 l1 l1 l1
将所有系数求出后代入基本方程：
QBA l
EI EI f M 3 3 Δ M A AB AB l l2 M BA 0 3EI 3EI f Q Δ Q ab AB AB 2 3 l l Q 3EI 3EI Δ Q f AB ab BA l2 l3
R1F
1 Fl 8
1 Fl 0 8
代入基本方程
r 11Z1 R 1F 0
1 7iZ1 ( Fl ) 0 8 Fl Fl Z1 8 7i 56i
弯矩图：根据叠加法M图为 M1Z1 M F 的叠加结果
例13-1 用位移法绘制图13-9a所示两跨连续梁的 弯矩图。EI=常量。
令：i
EI 称为“线刚度”、 AB 称 为 “ 旋 转 角 ” ， 则 ： l l
f M AB 4i A 2i B 6i AB M AB
3、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
φA MAB A φA P q βAB EI t1˚C t2˚C B ΔAB B'
QAB
§13-5 用位移法计算超静定结构
例13-2 绘制下图之刚架的M图。
解（1）基本结构，图b所示
（2）作单位弯矩图 M 1
r11 8i 6i i 15i
（3）绘制荷载弯矩图。
3 2 1 2 25 2 R1F ql ql ql 16 3 48
（4）列典型方程，求未知量。
A 杆端力正、负号规定 杆端弯矩：顺时什转向为正，逆时针转向为负。对结点 而言，则逆时针转向为正，顺时针转向为负。 杆端剪力：使所研究的分离体有顺时针转动趋势为正， 有逆时针转动趋势为负。
正
负
B：杆端位移的正、负号规定
杆端转角：顺时什转向为正，逆时针转向为负 杆端相对线位移：两杆端连线发生顺时针方向转动时， 相对线位移 为正，反之为负。
这就是具有n个基本未知量的位移法典型方程，其 中 rii 为主系数。 rij 称为副系数。 RiF 为自由项 rij ：当第j个附加约束发生单位位移Z j 1时，在 第i个附加约束上产生的反力。
RiF ：基本结构在荷载作用下，第i个附加约束产 生的反力。
主系数、副系数、自由项的特征： 1，主系数与副系数与外荷载无关，为结构常数。 自由项随荷载变化而改变。 2，主系数 rii 恒为正值 ， 3，由反力互等定理知，副系数满足互等关系：
A A
A
A

正

负
2、两端固定梁的转角位移方程
φA P q MAB A φA βAB QAB t1˚C βAB EI t2˚C φB B ΔAB
B'
MBA QBA
l
EI EI EI f M 4 2 6 Δ M A B AB AB l l l2 M 2 EI 4 EI 6 EI Δ M f A b BA BA l l l2 Q 6EI 6EI 12EI Δ Q f a b AB AB l2 l2 l3 6EI 6EI 12EI f Q AB 2 a 2 b 3 Δ QBA l l l
（5）叠加法绘制弯矩图。 1 2 129 2 M M 1Z1 M F M 1B i Z1 ql ql
例13-3计算图示排架，绘M图。
解（１）确定基本结构：
（２）绘单位弯矩图，求 r11
r11 FS 3 A FS 2 B FS1C 12i r11 2 l
由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数
单跨超静定梁简图
MAB
MBA
QAB= QBA
θ=1
A A
θ=1
B B B B
1 θ=1 1
4i
2i
6i l
12i
l
2
6i
3i
l
6i
0
l
A A
3i
3i
l
3i
i
l
0
l2
A
B
－i
0
由跨间荷载引起的杆端力称为载常数 单跨超静定梁简图 mBA
mAB
q A
ql Z1 56i （5）绘弯矩图：
2
M M 1Z1 M F
M RB 1 2 ql 2 M 1Z1 M F ql 3iZ1 8 14
§13-3 位移法基本未知量数目的确定 基本未知量：结点位移——位移法的基本 未知量是结点位移。 位移 转 角 线位移
位移法基本未知量数——形成基本结构时 所需施加的约束（刚臂和支杆）的数目。
§13-4 位移法典型方程
1 位移法基本结构 加上相应的约束后，成为位移法的基本形式时， 即为形成位移法的基本结构。 2 位移法典型方程
3 荷载作用在基本结构上
4 分别发生单位变形时：
建立位移法方程的条件、位移法方程及各符号的 意义：
R1 0 R2 0 R 0 3
解出 Z1 , Z2 , Z3 后，即可用叠加法作出刚架的弯矩图：
M M 1Z1 M 2 Z2 M 3Z3 M F
对于有n个基本未知量的问题，其基本方程为：
r11Z1 r12 Z 2 r Z r Z 21 1 22 2 rn1Z1 rn 2 Z n r1n Z n R1F 0 r2 n Z n R2 F 0 rnn Z n RnF 0
r11Z1 r12 Z 2 r13 Z 3 R1F 0 r21Z1 r22 Z 2 r23 Z 3 R2 F 0 r Z r Z r Z R 0 3F 31 1 32 2 33 3
R1F
1 2 ql1 12
R2 F 0
R3 F
1、在刚结点处加上刚臂
2、在结点会发生线位移的方向上加上链杆。 3、附加刚臂与附加链杆数目的总和即为基本未知量数目。
（1）由两个已知不动点所引出 的不共线的两杆交点也是不动点。
（2）把刚架所有的刚结点（包括固定支座） 都改为铰结点，如此体系是一个几何可变体 系，则使它变为几何不变体系所需添加的链 杆数目即等于原结构的独立线位移数目。
rij rji
力法与位移法比较
1，力法是将超静定结构去掉多余联系而得到静定的基 本结构。位移法是通过加附加约束的办法将结构变成超 静定梁系而得到基本结构。 2，力法以多余未知力作为基本未知量，位移法刚以结 点位移作为基本未知量。力法中基本未知量的数目等于 结构超静定的次数。而位移法中基本未知量的数目与结 构超静定的次数无关。 3，力法的典型方程是根据原结构的位移条件建立，体 现了基本体系的变形与原结构的变形相一致。位移法的 典型方程是根据附加约束的反力矩或反力等于零建立， 反映了荷载与结点位移共同作用下，基本结构的受力和 变形状态原结构相同，附加约束不起约束作用，结点处 于平衡状态。