高一数学-徐州市2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题

徐州市2015～2016学年度第一学期期中考试
高一数学试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分,共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．
上．
． 1．全集U 是实数集,集合},52{≤<=x x A 则=A C U ▲ ．
2．已知幂函数)(x f y =的图象过点)8,2
1
(，则=-)2(f ▲ ． 3．已知,,1,lg 1,1)(2⎩
⎨⎧>≤+=x x x x x f 则=)]10([f f ▲ ． 4．函数)21ln()(x x f -=的单调区间是 ▲ ．
5．已知集合},12,3,1{--=m A 集合},3{m B =，若,A B ⊆则实数=m ▲ ．
6．函数,)(3x b ax x f +
=若,1)2(=-f 则=)2(f ▲ ． 7．已知,32)12
(+=-x x f 则=)4(f ▲ 。

8．若函数m y x +=+12的图象不经过第二象限，则m 的取值范围是 ▲
9．若方程052=-+x x 在区间)1,(+n n 上的实数根，其中n 为正整数，则n 的值为
▲ ．
10。

已知,1.1,9.0log ,9.0log 9.0117.0===c b a 则这三个数从小到大排列为 ▲ ．（用“<”
连接)
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后请将答题卡交回．
2．答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整笔迹清楚．
4．如需作图须用2B 铅笔绘、写清楚线条、符号等须加黑、加粗．
5．请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．
11．若函数,0)(1(log )(>++=a x a x f a x 且1≠a )在区间]2,0[上的最大值与最小值之和为
2a ，则a 的值为 ▲ ．
12．设,2)(,21)(22x x x g x x f -=-=若⎩
⎨⎧<≥=),()(),(),()(),()(x g x f x f x g x f x g x F ，则)(x F 的最大值为 ▲ ．
13．若直线a y 2=与函数,0(1>-=a a y x 且)1≠a 的图象有两个公共点,则a 的取值范围是
▲ ．
14．已知二次函数)(x f 的最小值为,4-,3)2()0(-==f f 且)(x f y =在区间]1,3[+a a 上
单调，则a 的取值范围是 ▲ ．
二、解答题:本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15。

（本小题满分14分)
（1)计算435log 216325lg 8lg 3
23+-+的值； （2）已知,51=+-a a 求22-+a a 和21
21-+a a 的值.
16。

（本小题满分14分） 记函数1)3lg()(-+-=x x x f 的定义域为集合,A 函数a x g x +=2)(的值域为集合.B
2. 若,2=a 求B A 和B A ；
3. 若,B B A = 求a 的取值范围。

17。

（本小题满分14分）
已知定义在R 上的奇函数)(x f ，当),0(+∞∈x 时的解析式为.34)(2-+-=x x x f
4. 求这个函数在R 上的解析式；
5. 作出)(x f 的图象，并根据图象直接写出函数)(x f 的单调区间。

18。

（本小题满分16分）
提高穿山隧道的车辆通行能力可有效改善交通状况，在一般情况下,隧道内的车流速度v （单
位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米，车流密度指每千米道路上车辆的数量）的
函数.当隧道内的车流密度达到210辆/千米时,将造成堵塞,此时车流速度为0；当车流密度不
超过30辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当21030≤≤x 时,车流速度v 是
车流密度的一次函数。

（1）当2100≤≤x 时，求函数)(x v 的表达式;
(2)当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过某观测点的车辆数，单位：辆/小时）
)()(x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值.
19. (本小题满分16分） 已知函数a
a x f x +-=241)(,0(>a 且1≠a ），是定义在),(+∞-∞上的奇函数。

6. 求a 的值；
7. 求函数)(x f 的值域；
8. 当]1,0(∈x 时，22)(-≥x x tf 恒成立，求实数t 的取值范围。

20。

(本小题满分16分） 已知函数).0(1
2)(>+=
x x x x f 8. 求证：函数)(x f 在),0(+∞上为增函数； 9. 设),(log )(2x f x g =求)(x g 的值域；
10. 对于（2）中函数)(x g ，若关于x 的方程032)()(2
=+++m x g m x g 有三个不同的实
数解，求m 的取值范围.
2015～2016学年度第一学期期中考试
高一数学试题参考答案与评分标准
一、填空题（本大题共14小题,每小题5分，计70分）
1。

),5(]2,(+∞-∞ 2.81-
3。

2 4.)2
1,(-∞ 5.1± 6. 1- 7。

23 8. ]2,(--∞ 9。

1 10. c a b << 11. 13 12。

97 13.
1(0,)2 14。

111(,2][,0][,)332-∞--说明：端点—2，- 13，1
3可开可闭 二、解答题:本大题共6小题共计90分，请在答题卡指定区域内．．．．．．．．
作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

15．解：（1）原式=2lg 22lg52582lg101715+-+=-=- ……………………6分
(2）2212()2a a a a --+=+-23= ………………………………10分
∵1
1212
2()27a a a a --+=++= …………………………12分
∴由1
1
220a a -+>得1
1
22a a -+= …………………………14分
16。

解：（1)由⎩
⎨⎧≥->-0103x x ，解得31<≤x ,所以).3,1[=A …………………2分 若,2=a 则),2(+∞=B ……………………………………4分
所以，).,1[).3,2(+∞==B A B A ……………………………………8分
(2)).3,1[=A ),(+∞=a B ……………………………………10分
B A B B A ⊆∴=, ， ……………………………………12分
1<∴a ，则a 的取值范围是).1,(-∞ …………………… …………14分
17。

解：（1）当0x <时，0x ->，∵()f x 为R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-，
∴22()()[()4()3]43f x f x x x x x =--=---+--=++
即0x <时，2()43f x x x =++ ……………………………5分
当0x =时，由()()f x f x -=-得：(0)0f = ……………………………6分
所以2243,0()0,043,0x x x f x x x x x ⎧-+->⎪= =⎨⎪++ <⎩
． …………………………7分
（2)作出()f x 的图象（如图所示）
…………………12分
(注:(0)0f =的点或两空心点不标注扣1分，不要重复扣分）
减区间:)2,(--∞和),2(+∞。

…………………14分
18。

解：（Ⅰ）由题意知，当300≤≤x 时，60)(=x v ；
当21030≤≤x 时，设 ,)(b ax x v += ……………………2分
由已知可得,02106030⎩⎨⎧=+=+b a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=70
31b a ． 所以函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-≤≤=21030,703
1300,60)(x x x x v ． ………………6分 （2）由(1)可知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-≤≤=21030,703
1300,60)(2x x x x x x f 当300≤≤x 时，x x f 60)(= x 为增函数,∴当30=x 时，其最大值为1800．…10分 当21030≤≤x 时，3675)105(3
17031)(22+--=+-=x x x x f
当105=x 时，其最大值为3675． ……………………………14分 综上,当车流密度为105辆/千米时，车流量最大，最大值为3675辆． ………16分
19。

解:(1）因为()f x 是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，所以()().f x f x -=-
令0x =，得04(0)10,2f a a
=-=⨯+所以 2.a = ……………………………3分 （2）记(),y f x =即21,21x x y -=+所以12,1x y y
+=- 由20,x >所以10,1 1.1y y y
+>-<<- 所以()f x 的值域为(1,1).- ……………………………9分
（3）原不等式()22x
tf x ≥-即为222,21x x x t t -≥-+即2(2)(1)220.x x t t -++-≤……10分 设2x
u =,因为(0,1],x ∈所以(1,2].u ∈
即当(1,2].u ∈2(1)20u t u t -++-≤恒成立。

所以221(1)120,2(1)220,
t t t t ⎧-+⨯+-≤⎪⎨-+⨯+-≤⎪⎩解之得0t ≥。

……………………………16分
20．
（1）22()211
x f x x x ==-++,设12,x x 是(0,)+∞上的任意两个数,且12x x <，……2分 则12121212122()2222()()(2)(2)1111(1)(1)
x x f x f x x x x x x x --=---=-+=++++++……4分 因为12x x <，∴120x x -<，∴
12122()0(1)(1)x x x x -<++即12()()f x f x < 所以()f x 在(0,)+∞上为增函数， …………………………6分
（2）22()211
x f x x x ==-++， 因为0x >，所以11x +>,所以2021x <
<+， 即0()2f x << ………………………………8分 又因为0x >时,()f x 单调递增,2log y t =单调递增，
所以2log ()y f x =单调递增,所以()g x 值域为(,1)-∞ …………………………10分
（3）由(2）可知()y g x =大致图象如右图所示， 设()g x t =，则2()()230g x m g x m +++=有三个不同的实数解，即为2230t mt m +++=有两个根,且一个在(0,1)上,一个在[1,)+∞上，设2()23h t t mt m =+++ ………12分 ①当有一个根为1时， 2(1)1230h m m =+++=,43m =-，此时另一根为13适合题意; ………………13分 ②当没有根为1时，(0)0(1)0h h >⎧⎨<⎩，得22301230
m m m +>⎧⎨+++<⎩，∴3423m -<<- ∴m 的取值范围为34(,]23
-
- …………………………16分。