基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(上课)

题型三 商的导数
例 3 求下列函数的导数． (1)y＝sxin2x； (2)y＝xx2＋ ＋33； (3)y＝tanx； (4)y＝x·sinx－co2sx.
【解析】 (1)y′＝x2′·sinsxi－ n2xx2·sinx′ ＝2xsinxs－ in2xx2·cosx. (2)y′＝x＋3′·x2＋x32＋ －3x2＋3x2＋3′ ＝x2＋3x－ 2＋2x3x2＋3＝－x2＋ x2＋ 6x3－23. (3)∵y＝tanx＝csoinsxx， ∴y′＝csoinsxx′＝sinx′cosxc－ os2sxinx·cosx′
f (x) • g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
3.两个函数的商的导数,等于第一个函数的导 数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函 数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:

f g
(x) (x)


f
(
x)
g
(x) f (
g(x)2
§1.2 导数的计算
探要点·究所然 情境导学
前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基 本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的 定义显得格外轻松.对于由四则运算符号连接的两 个或两个以上基本初等函数的导数如何求，正是本 节要研究的问题.
一、基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c,则 f ' (x) = 0 ；
【总结提升】
函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在 此点附近变化的快慢.由上述计算可
知 c′(98) 25c′(90) .它表示纯净度为98%左
右时净化费用的变化率,大约是纯净度为90% 左右时净化费用的变化率的25倍.这说明,水 的纯净度越高,需要的净化费用就越多,而且 净化费用增加的费用也越快.
解：根据基本初等函数导数公式表，
有p′（t）=1.05tln 1.05
所以 p′（10）=1.0510ln 1.05=0.08（元/年）
因此，在第10个年头，这种商品的价格约以 0.08元/年的速度上涨. 当po=5时，p（t）=5×1.05t.这时，求p关于t的导数 可以看成求函数f(t)=5与g（t）=1.05t乘积的导数.
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时 变化率; (1)90% ; (2)98% .
解： 净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.
c'x

5284 100 x
'

5284
'100
x 5284 100 x2
100

x'

0 100 x 5284 100 x2
x)
g
(
x)
(
g
(
x)

0)
由法则2:
C f (x) C ' f (x) C f (x) C f (x)
应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？ 答 (1)要准确判断函数式的结构特点，选择合适的公式和 法则； (2)求导前可以先对解析式适当化简变形，以利于求导； (3)在两个函数积与商的导数运算中，不要出现[f(x)·g(x)]′＝
∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′－1′＝3x2－2x＋1.
跟踪训练：求下列函数的导数：
1y 2x4 20 x2 40 x 1
2y 3 2x 4x2 5x3 1 x4
6
3y (2x3 1)(3x2 x)
(3)y＝3x－lg x.
反思与感悟 本题是基本函数和(差)的求导问题， 求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法 则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适 当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导 数.
2.若f(x)=xa (a∈Q*),则 f ' (x)= axa-1 ； 3.若f(x)=sinx,则 f ' (x) = cosx ；
4.若f(x)= cosx,则 f ' (x) = -sinx ；
5.若f(x)=ax,则 f '(x) = axlna(；a>0)
6.若f(x)=ex,则f′(x)=__e_x_;
1

5284
100 x2
1因为c'90
5284
100 90 2
52.84,
所以,纯净度为90%时,费用的瞬时变化率是52.84元/吨.
2因为c'98
5284
100 982
1321,
所以,纯净度为98%时,费用的瞬时变化率是1321元/吨.
把 tanx 写成csoinsxx的形式，然后利用商的导数公式进行求导．
补充： ①若y=tanx， 则(tanx)′ = sec2x; ②若y=cotx, 则(cotx) ′=-csc2x
例4: 求下列函数的导数： (1)y＝x3－2x＋3； 解 y′＝(x3)′－(2x)′＋3′＝3x2－2. (2)y＝(x2＋1)(x－1)； 解 ∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1
(3)y′＝(1x＋x22＋x33)′＝(1x)′＋(x22)′＋(x33)′
＝－x12－x43－x94.
题型二 乘积的导数
例 2 求下列函数的导数．
(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)； (2)y＝( x－2)2；
(3)y＝x－sin2xcos2x.
【解析】 (1)解法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x －1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9.
f′(x)·g′(x)以及gfxx′＝gf′′xx的错误；
(4)注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同， 积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是 “－”； (5)要注意区分参数与变量，例如[a·g(x)]′＝a·g′(x)，运 用公式时要注意a′＝0.
而导数运算法则可以帮助我们解决两个函数加、减、乘、 除的求导问题。
知识点一：导数的运算法则
1.两个函数和（差）的导数，等于这两个函 数导数的和（差），即
f (x) g(x) f (x) g(x)
2.两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘 第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 , 即:
题型一 和差的导数
例 2 求下列函数的导数：
(1)y＝x
1 3
＋x42；
(2)y＝sinx－cosx；
(3)y＝1x＋x22＋x33.
【解析】 (1)y′＝(x
1 3
＋x42)′＝(x
1 3
)′＋(4x－2)′
＝13x－
2 3
－8x－3＝
1
2
－x83.
3x 3
(2)y′＝(sinx－cosx)′＝(sinx)′－(cosx)′＝cosx＋sinx.
＝cos2cxo＋s2sxin2x＝co1s2x＝sec2x.
(4)y′＝(x·sinx)′－co2sx′ ＝(x)′·sinx＋x·(sinx)′－2′·cosxc－ os22xcosx′
＝sinx＋xcosx－2cosisn2xx.
探究 3 (1) 建议做题时把法则念出来．
(2)对பைடு நூலகம்函数 y＝tanx，因为没有相应的求导公式，所以需要
课后小结
知识点: 基本初等函数的导数公式、导数的运算法则
能力要求： （1）熟记这些公式、法则（重点）； （2）会求简单函数的导数（难点）；
例25:日常生活中的饮用水通常是经过净化的， 随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加。 已知1吨水净化到纯净度为x% 时所需费用（单 位:元）为：
c(x)= 5284 (80 x 100). 100 x
1
7.若f(x)=logax,则f′(x)=_x_l_n_a_
(a>0,且a≠1);
1
8.若f(x)=lnx,则f ′(x)=__x__。
例1 假设某国家在20年期间的年均通货膨胀
率为5%,物价p(单位:元)与时间t(单位:年)有如 下 其 么函中在数第P0为关10t系个=0:年时头的,物这p(价t种) =.商假p品0定(1的某+5价种%格商)t, 上品涨的的P0速=1度,那 大约是多少(精确到0.01)?
解法二：∵y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3， ∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9. (2)∵y＝( x－2)2＝x－4 x＋4， ∴y′＝x′－(4 x)′＋4′＝1－4·21x－12＝1－2x－12. (3)∵y＝x－sin2xcos2x＝x－12sinx， ∴y′＝x′－(12sinx)′＝1－21cosx.