宁夏石嘴山一中2017届高三第二次模拟考试数学理试卷

石嘴山市第一中学2017届高考模拟考试数学试卷（理工类）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.每小题中只有一
个选项符合题目要求.
1. 已知复数，则集合中元素的个数是
A. 4
B. 3
C. 2
D. 无数
【答案】A
【解析】试题分析：因为周期为4，所以
共四个元素，选A．
考点：复数的性质
2. 函数的图像关于直线对称，且在单调递减，，则
的解集为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：由题意得，在单调递减，在
单调递增，因此由得，解得，选B．
考点：函数性质
3. 执行如图程序框图其输出结果是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：此程序依次在循环结构中的值是，，
，，，所以输出31，故选B．
考点：循环结构
4. 已知平面，则“”是“”成立的
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】试题分析：由面面垂直性质定理知平面，可推出；当时，由于，所以，因此“”是“”成立的充要条件，选A．
考点：面面垂直性质定理
5. 某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长都是，该几何体的体积为
A. B. C. D.
【答案】A...
【解析】试题分析：该几何体是底面是等腰直角三角形的三棱锥，顶点在底面的射影是底面直角顶点，所以几何体的体积是．
考点：三视图
6. 如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数的解析式：，当时：
，则：，
当时，取得最小值.
本题选择C选项.
7. 直线被圆所截得弦的长度为，则实数
的值是
A. B. C.
1 D.
【答案】C
【解析】试题分析：由题意得：，圆心到直线
距离为，因此由垂径定理得，选B．
考点：直线与圆位置关系
8. 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图是根据环保部门某日早6点至晚9点在惠农县、平罗县两个地区附近的监测点统计的数据（单位：毫克/立方米）列出的茎叶图，惠农县、平罗县两个地区浓度的方差较小的是
A. 惠农县
B. 平罗县
C. 惠农县、平罗县两个地区相等
D. 无法确定
【答案】A
【解析】根据茎叶图中的数据可知，惠农县的数据都集中在0.06和0.07之间，数据分布比较稳定，
而平罗县的数据分布比较分散，不如惠农县数据集中，
∴惠农县的方差较小；
本题选择A选项.
9. 三棱锥中，为等边三角形，，，三棱锥
的外接球的表面积为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析：由题意得：两两相互垂直，以为边补成一个正方体，其外接球就为三棱锥的外接球，半径为，表面积为，选B．
考点：锥的外接球...
10. 设满足约束条件：，则的最小值为（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】A
【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得最小值 .
本题选择B选项.
点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大. 11. 已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则=
A. B. C. D.
【答案】B
∵抛物线方程为y2=8x，
∴焦点F（2，0），准线方程为x=-2.
∵，
∴，
∴|QN|=×4=83.
∴|QF|=|QN|= .
本题选择B选项.
12. 设函数在上存在导数，有，在上
，若，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令g(x)=f(x)−x2，
则 ，函数是奇函数，
且
，在
上，
，函数
单调递减，
由题意可得g (x )在R 递减，
∴f (4−m )−f (m )=g (4−m )+ (4−m )2−g (m )− m 2=g (4−m )−g (m )+8−4m ⩾8−4m ， ∴g (4−m )⩾g (m )， ∴4−m ⩽m ， 解得：m ⩾2，... 故选：B.
点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13. 如图,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有380粒落到阴影部分,估计阴影部分的面积为___．
【答案】
【解析】试题分析：根据几何概型的概率公式可得所以阴影部
分的面积为. 考点：几何概型.
14. 的二项展开式中，各项系数和为____.
【答案】1
【解析】试题分析：设
令
得：
，所以展开式中，各项系数和为.
考点：二项式定理.
15. 已知向量，的夹角为，，，则____________.
【答案】
【解析】试题分析：由题设,所以. 考点：向量的数量积公式及模的运算．
16. 在中，角，，所对边的长分别为，，，为边上一点，
且，又已知，，则角____．
【答案】
【解析】试题分析：因为为边的中点，又已知，所以，故是三角形外接圆的圆心，所以直径所对角，所以答案应填：．
考点：三角形外接圆的性质．
【方法点晴】本题主要考查的是三角形中外接圆的性质，涉及到向量及其运算，属于容易题．解题时一定要弄清楚条件，其实本题条件中向量条件是没有作用的，只要分析出根据条件中线等于其所对应边的长的一半，就可以知道是三角形外接圆的圆心，从而利用圆的直径所对圆周角为直角得到结论．
三、解答题：本大题共5小题，每题12分，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知各项均不为0的等差数列前项和为，满足，，数列
满足，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：
(1)利用题中所给的条件结合数列的性质可得；；
(2)利用题意错位相减可得.
试题解析：...
解：（I）
则；；
（II），
则
点睛：一般地，如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，求数列{a n·b n}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n}的公比，然后作差求解．
18. 某网络营销部门为了统计某市网友2016年11月11日在某网店的网购情况，随机抽查了该市100名网友的网购金额情况，得到如下频率分布直方图.
（1）估计直方图中网购金额的中位数；
（2）若规定网购金额超过15千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过15千元的顾客定义为“非网购达人”；若以该网店的频率估计全市“非网购达人”和“网购达人”的概率，从全市任意选取3人，则3人中“非网购达人”与“网购达人”的人数之差的绝对值为，求的分布列与数学期望.
【答案】（1）13（2）分布列见解析，期望1.74
试题解析：（1）由初步判定中位数在第二组，设中位数为
，则解得，则
中位数是；
（2）依题意，从全市任取的三人中“网购达人”的人数服从，所以可能取值为，且,
所以的分布列为
数学期望.
考点：1、利用直方图求中位数；2、二项分布的分布列及期望.
19. 如图，在三棱柱中，面为矩形，，D为
的中点，BD与交于点O，面．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：
(1)利用题意可证得平面，结合线面垂直的定义可得；
(2)由题意建立空间直角坐标系，结合平面向量的法向量可得二面角
的余弦值为.
试题解析：...
（1）由与相似，知，又平面，，
平面，；
（2）以为坐标原点、、所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标
系，则，，，，
，，，
设平面，平面的法向量分别为，，
则，；
，，
，二面角的余弦值为．
20. 已知椭圆：，斜率为的动直线l与椭圆交于不同的两点、.
（1）设为弦的中点，求动点的轨迹方程；
（2）设、为椭圆的左、右焦点，是椭圆在第一象限上一点，满足
，求面积的最大值.
【答案】（1），（2）
【解析】试题分析：
(1)设出点的坐标，结合中点坐标公式和题意可得动点的轨迹方程为
，.
(2)由题意可得面积函数的解析式：，结合均值不等
式的结论可得当时，.
试题解析：
解：（Ⅰ）设，（1）
（2）
（1）-（2）得：，即
又由中点在椭圆内部得，
所以点的轨迹方程为,
（Ⅱ）由，得点坐标为，
设直线的方程为，代入椭圆方程中整理得：
，由得
则
，
所以
，当时，
21. 已知函数
（Ⅰ）若，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若对任意都有恒成立，求实数的取值范围；...
（Ⅲ）设函数，求证：
．
【答案】（1）（2）（3）见解析
【解析】试题分析：（1）由于，导函数的零点不能直接求出，考虑二次求导，求出的最值，从而判断出函数的单调性；（2）由题意可知当时，
，可通过讨论研究导函数的单调性和最值，得到的最小值，得到参数的取值范围；（3）由题意可得，可考虑证明两个和为的自变量对应的函数值的积为定值，通过整理并放缩可实现上述设想，最终得证.
试题解析：(1),令,则,
则当时,单调递减,当时,单调递增.
所以有,所以
(2)当时,,令,则,则单调递
增,
当即时,,成立;
当时,存在,使,则减,则当
时,,不合题意.综上
(3），
，
,……,．
由此得，
故（）
考点：利用导数研究函数的单调性和极值、最值.
【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，极值和最值以及放缩法证明不等式等问题，综合性较强属于难题.本题第（1）问导函数零点不能直接求出，应该通过二次求导判断出导函数的符号，从而确定出其单调性；第（2）问通过分类讨论确定出导函数的单调性求出其最值点，从而求出原函数满足当时，成立，这对否定
起到启发诱导作用；第（3）问先通过结论中的左右两边的项数关系联想证明
，应用放缩得到上面的结论，为最后的证明排除障碍.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
已知点，，点在曲线：上.
（Ⅰ）求点的轨迹方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）求的最小值.
【答案】（1），（2）
【解析】试题分析：
(1)利用题中所给的条件求解点的轨迹方程和曲线的直角坐标方程即可；
(2)求解直线与圆心距离的最小值，然后减去半径可得的最小值为
.
试题解析：
（1）由题意可知点P的轨迹方程为：
（2）...
23. 选修4-5：不等式选讲
已知正实数，满足：.
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）设函数，对于（Ⅰ）中求得的，是否存在
实数，使得成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：
(1)利用均值不等式的结论可得的最小值；
(2)利用绝对值不等式的性质可得.
试题解析：
（1），
．
（2），
当且仅当时成立，此时，
存在使成立．。