高等数学微分方程总结

二阶变 y f ( x, y) 令y p( x)
系数
y f ( y, y) 令y p[ y(x)]
1.r1 r2 y c1er1x c2er2x
2.r1 r2 y er1x (c1 c2 x)
3.r1,2 i y ex (c1 cos x c2 sin x) 二阶
一阶
y py qy 0 齐次
[
Q( x)e P( x)dxdx C ]
Bernoulli y P( x) y Q( x) yn (n 0,1) 令 z y1n
全微分方程 P(xy)dx Q(xy)dy 0 dU (xy) P Q y x
1.折线积分 2.凑全微分 3.定积分
二阶线性方程 a0(x) y a1(x) y a2(x) y 0 y a1(x) y a2 (x) y f (x)
于是
F(x) e2x e2x
二、两类二阶微分方程的解法
1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法
•
d2 y dx2
f
(x)
逐次积分求解
•
d2y dx2
f
(x, dy) dx
令
p (x) dy dx
•
d2y dx2
f
(y, dy) dx
令
p(y) dy dx
d p f (x, p) dx
2. 二阶线性微分方程的解法
• 常系数情形
齐次 非齐次
代数法
y py qy 0,
y py qy f ( x)
求解二阶常系数线性方程 二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:
(1) 写出相应的特征方程
r 2 pr q 0;
(2) 求出特征方程的两个根
r1 与 r2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规则写出微分方程的通解
xx
(3)
y
2x
1
y2
调换自变量与因变量的地位 ,
化为
用线性方程通解公式求解 .
xu 1 u2 dx 2x y2, dy
(4)
y
6x3 3x 2
3xy2 y 2y3
方法 1 这是一个齐次方程 .
方法 2 化为微分形式
令u y x
( 6x3 3xy2 ) dx ( 3x2 y 2y3 ) d y 0
P 6xy Q
y
x
故这是一个全微分方程 .
二、非标准类型：
例2. 求下列方程的通解:
(1) xy y y ( ln x ln y )
(2) 2 x ln x dy y ( y2 ln x 1) dx 0 (3) y 3x2 y2 6x 3
2xy 2y (4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0
பைடு நூலகம்令t=x–1,则
dy dy dt dy dx d t dx d t
d y 3t 2 y 2 (齐次方程) dt 2ty
令y=ut
可分离变量方程求解
(4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0
变方程为 y2 x dx d y 3 y2 ( ydx xd y) 0
y Y y* c1 y1 c2 y2 y*
齐次通解
非齐特解
难点：如何求特解？
方法：待定系数法.
y py qy f ( x)
(1) f ( x) ex Pm ( x), (可以是复数）
y* xkexQm ( x);
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn ( x)sinx],
1 p
ax
C1,
利用
d y 1 , 并利用 dx 1 ax
p x0 y x0 1 得 C1 1
y x0 0 , 定常数
C2 .
思考 若问题改为求解 则求解过程中得
y
x0
0,
问开方时正负号如何确定?
思考: 设
(x) ex x 0 x ( x u ) d u, (0) 0,
提示: 对积分换元 ,
y*
x
k
e
x
[
R(1) m
(
x
)
cos
x
Rm(2)( x)sinx];
k
0 1
i 不是根, i 是单根.
(3). 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
解答提示 P353 题2 求以 提示: 由通解式可知特征方程的根为
故特征方程为 因此微分方程为
为通解的微分方程 .
P353 题3 求下列微分方程的通解
高等数学微分方程总结
一阶
齐次 y f (x, y) ( y ) 令 y u（或 x u）
xx
y
关于u一阶
可分离变量
g( y)dy h(x)dx
y p(x) y 0 齐次
一阶线性
y p(x) y Q(x) 非齐次
先求齐次通解，再常数变易
转为z的一阶线性
或公式
y
e
P ( x )dx
A
1 17
,
B
4 17
y ex ( C1 cos 2x C2 sin 2x )
思考 若 (7) 中非齐次项改为 提示:
特解设法有何变化 ?
故 y* Acos 2x B sin 2x D
P354 题4(2) 求解 提示: 令
y ay2 0
y x0 0 ,
y x0 1
则方程变为
积分得 再解
代数解法，y特征方程：r 2 pr q 0
二阶常 系数
解的结构
y py qy f (x) 非齐次
y c1 y1 c2 y2 y *
y(n) f (x) 连续积分n次
高阶
Euler方程
P348
xn y(n) p1 xn1 y(n1) pn1 y pn y f ( x) 令x et
两边乘积分因子
y2
x dx y2 dy 3( ydx xdy) 0
用凑微分法得通解:
1 x2 y1 3 xy C 2
例3. 设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞)
内满足以下条件:
f (x) g(x), g(x) f (x), 且 f (0) 0,
(1) 变量代换法 —— 代换自变量
代换因变量 代换某组合式
(2) 积分因子法 —— 选积分因子, 解全微分方程
1、一阶标准类型
例1. 求下列方程的通解
(1)
y
1 y2
e y3x
0;
(3)
y
1 2x
y2
;
(2) xy x2 y2 y ;
(4)
y
6x3 3xy2 3x2 y 2y3
.
提示: (1)
因e y3 x e y3 e x , 故为分离变量方程:
y2ey3 dy ex dx
通解
1ey3 ex C
3
(2) xy x2 y2 y
方程两边同除以 x 即为齐次方程 ,
令 y = u x ,化为分
离变量方程.
y 1 y 2 y
xx
xu 1 u2
x 0 时，y 1 y 2 y
令 t x u , 则有
解初值问题: 答案:
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提示: (1)
原方程化为
令u=xy,得 (2) 将方程改写为
d u u ln u (分离变量方程) dx x
d y 1 y y3 (伯努利方程) d x 2x ln x 2x
令 z y2
(3) y 3x2 y2 6x 3 2xy 2y
化方程为
d y 3(x 1)2 y2 d x 2y (x 1)
高阶常系数线性微分方程
y(n) p1 y(n1) pn1 y pn y 0
P338
代数特征方程 r n p1r n1 pn1r pn 0
一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解
四个标准类型:
可分离变量方程,
齐次方程,
线性方程,
全微分方程
关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解
(6) y y y2 1 0, (7) y 2 y 5y sin 2x .
提示: (6) 令
则方程变为
ypdp p2 1 0 , dy
(7) y 2 y 5y sin 2x
特征根: 齐次方程通解: 令非齐次方程特解为
Y ex ( C1 cos 2x C2 sin 2x )
代入方程可得 原方程通解为
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
F (x) 2F (x) 4e2x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F (x) e 2d x 4e2x e 2d x d x C
e2x 4e4x d x C
e2x Ce2x 将 F (0) f (0)g(0) 0 代入上式，得 C 1
特征方程的两个根 r1 ，r2
微分方程的通解
两个不相等的实根 r1，r2
y C1er1x C2er2 x
两个相等的实根 r1 r2
y (C1 C2 x)er1x
一对共轭复根 r1,2 i y ex (C1 cos x C2 sin x)
非齐 y py qy f ( x)
通解
f (x) g(x) 2ex.
(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;
(2) 求出F(x) 的表达式 .
解: (1) F (x) f (x)g(x) f (x)g(x) g 2(x) f 2(x) [g(x) f (x)]2 2 f (x)g(x) (2ex )2 2F (x)