复数教学设计（省优质课）

复数教学设计（省优质课）
§5.1 数系的扩充与复数的引⼊
江西省永新县任弼时中学⽂辉
【教学⽬标】
（1）了解引进复数的必要性，理解复数的基本概念，了解复数的代数法表⽰，
理解虚数单位，理解复数相等的充要条件.
（2）了解复数的⼏何意义，理解复数模的概念，了解复数与复平⾯内的点的
对应关系.
（3）体会实际需求与数学内部的⽭盾在数学扩充过程中的作⽤，感受⼈类理
性思维在数系的扩充过程的作⽤以及数与现实世界的联系。

（4）通过复数与复平⾯内的点的对应关系，体会⼆维空间中数与形之间的内
在联系.
【教学重难点】
重点：引进虚数单位i 的必要性，对i 的规定，复数的有关概念. 难点：实数系扩充到复数系的过程的理解，复数的概念的理解.
教学⽅法：1.启发式教学法.
2.激励---探索---讨论---发现.
教具准备：多媒体，投影仪.
教学过程
Ⅰ.课题导⼊
㈠引导学⽣回顾数的变化发展过程
数的概念是从实践中产⽣和发展起来的.早在⼈类社会初期，⼈们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产⽣了1，2，3，4等数以及表⽰“没有”的数0.⾃然数的全体构成⾃然数集N 随着⽣产和科学的发展，数的概念也得到发展.
为了解决测量、分配中遇到的将某些量进⾏等分的问题，⼈们引进了分数；为了表⽰各种具有相反意义的量以及满⾜记数的需要，⼈们⼜引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q .显然N Q .如果把⾃然数集(含正整数和零)与负整数集合并在⼀起，构成整数集Z ，则有Z Q 、N Z .如果把整数看作分母为1的分数，那么﹛有理数﹜=﹛分数﹜=﹛循环⼩数﹜.
有些量与量之间的⽐值，例如⽤正⽅形的边长去度量它的对⾓线所得的结果，⽆法⽤有理数表⽰，为了解决这个⽭盾，⼈们⼜引进了⽆理数.所谓⽆理数，就是⽆限不循环⼩数.有理数集与⽆理数集合并在⼀起，构成实数集R .因为有理数都可看作循环⼩数(包括整数、有限⼩数)，⽆理数都是⽆限不循环⼩数，所以﹛实数﹜=﹛⼩数﹜.
㈡设置问题情境，探究实践
问题①：请类⽐引进2，就可以解决⽅程02x 2=-在有理数集中⽆解的问题，怎么解决⽅程01x 2=+在实数集中⽆解的问题？
意图通过类⽐，使学⽣了解扩充数系要从引⼊新数开始.
问题②：引⼊的新数i 是个什么数呢？它有什么特征？
引⼊虚数单位的概念及性质 i 2 =－1 ，强调i 不同于任何实数，它是⼀种新的数。

此时学⽣解决了⽅程⽆解问题.
Ⅱ.新课讲授
研习点（1）
1.请同学们阅读课本相关内容，⾃主完成填空题.
⑴虚数单位：数____________叫做虚数单位，具有下⾯的性质：
①_______________________,
②实数可以与i 进⾏四则运算，进⾏四则运算时，原有的加、乘运算律_______.（填成⽴或不成⽴）
⑵复数：形如______________________________叫做复数，常⽤字母________表⽰，即复数的代数形式为
___________________，其中______叫做复数的实部, ___叫做复数的虚部，复数的实部和虚部都___数．全体复数构成的集合叫做________，常⽤字母____表⽰．
2.探讨
⑴复数集C 与数集N 、Z 、Q 、R 之间有什么关系?
⑵如何对复数a+bi(a,b∈R)进⾏分类?
⑶复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可以⽤图表⽰出来吗？
⑷你认为两个复数a+bi 与c+di 相等的充要条件是什么？
a+bi=c+di (a,b,c,d ∈R)当且仅当a=c 且b=d.
特别地，a+bi=0 (a,b ∈R)当且仅当a=b=0.
两个不全是实数的复数不可以⽐较⼤⼩，只有相等与不相等之分
.
a bi ??+??≠??≠??实数（b=0）复数纯虚数（a=0）虚数(
b 0)⾮纯虚数（a 0）
3.巩固练习：说出下列三个复数的实部与虚部，并指出它们是实数还是虚数，如果是虚数指出是否为纯虚数： (1)4+3i; (2)-5i (3)
()()()()1
11231x x x i ++- 、当实数分别取什么值时，复数z=是实数;虚数;纯虚数.
例1-1.
x x x x ∈+ 分析与探究：因为R ，所以、都是实数，由复
数z=a+bi 是实数、虚数、纯虚数的条件可以确定实数
解：
练习 A.-1 B.0 C.1 D.-1或1
答案：A
.
∈、设x,ｙR ，并且(x+2)-2xi=-3y+(y-1)i ，求x,y 的值例2 分析与探究：根据复数相等的充要条件
a+bi=c+di(a,b,c,d ∈R)当且仅当a=c,b=d
巩固练习：求适合下列⽅程中实数x,y 的值：
(1)(-2x+3)+(y-4)i=0;
(2)(3x-2y)-(x+2y)i=3-6i.
()()()1
-1=0=1.2-10 1.3+1=0-10=-1.
x x x x x x x x x x ≠≠≠要使z 是实数，需满⾜，解得要使z 是虚数，需满⾜，解得要使z 是纯虚数，需满⾜且，解得22i 21(1)
(1)z x x i x =-+-、若复数为纯虚数，
则实数的值为 ( )2321
11.x y x y x y +=-??-=-?=??=-?解由复数相等的充要条件，得，解这个⽅程组，得
研习点(2)（⽬的：掌握复数的⼏何意义）
1、复平⾯的概念
把建⽴的直⾓坐标系来表⽰复
数的平⾯叫做复平⾯，x 轴称为实
轴，y 轴称为虚轴。

实轴上的点都
表⽰实数；虚轴上的点除原点外都
表⽰纯虚数。

2练习：在复平⾯内表⽰下列复数，并分别求出它们的模： ()()()()1
2341312323412
z i z i =-=-+； z =+i; z =-3-i ;
()2,(3)OZ z z a bi =+=点Z(a,b)到原点的距离叫作复数z 的模或绝对值，记作两个复数⼀般不能⽐较⼤⼩，但可以⽐较它们的模的⼤⼩.
Ⅲ.变式体验（触类旁通，学以致⽤，让我们⼀起来吧！）
拓展*变式
分析：复数z=a+bi (a,b∈R )的在复平⾯的位置完全取决于
它的实部与虚部所满⾜的要求条件.
Ⅳ.课堂⼩结：
1、了解数的概念发展和数系扩充的过程，了解引进虚数单位i 的必要性和作⽤，体会数学发现和创造的过程，以及数学发⽣、发展的客观需求；
2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；
3、理解并掌握复数的代数形式和了解复数的⼏何意义。

Ⅴ.布置作业：
1.下列类⽐推理
()
()()()22lg 223212.
z m m m m i =--+++ 当实数m 满⾜何条件时，复数分别是：z>0；对应的点在复平⾯内的第四象限内 222213203122120m m m m m m m m m m z ?-->??++=?><-??=-?=-=-?=->解：（1）或，或即当时，.2222121,32021m m m m m m ?-->?-<<-?++
()
()()22221,0,02,00,00;3,0,0a b R a b a b a b C a b a b a b R a b a b a b C a b a b a b R a b a b a b C a b a b ∈-=?=∈-=?=∈+=? ==∈+=?==∈->?>∈->?>“若、则”类⽐推出“若、则”；“若、则”类⽐推出“若、则”“若、则”类⽐推出“若、则”.其中类⽐结论正确的是_____________________.
2.
Ⅵ.教学反思
要使学⽣真正参与到学习中来，发挥他们在学习中的主体作⽤，教学应从学⽣的已有认知基础出发，同时注意到他们的⽣活经验和情感需求，在设计时要充分地运⽤学⽣对已有的数的扩充规律，可以启发学⽣的思维。

为了使学习层层深⼊，突出⽤数学知识求解问题的原则，我们⽤到了类⽐的⽅法引导学⽣从实数集到复数系的扩充，彰显了⽤数学思考问题的⽅法。

()()()()()()22lg 22321234z m m m m i =--+++ 当实数m 满⾜何条件时，复数分别是：零；纯虚数；对应的点在复平⾯的实轴上；
在实轴下⽅（不包括实轴）.。