复数的概念及运算练习卷(含答案详解)

复数的概念及运算
[基础巩固]
1．已知复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝3＋(a 2－7)i ，a ∈R ，若z 1＝z 2，则a ＝( )
A ．2
B ．3
C ．－3
D ．9 解析 因为
z 1＝a ＋2i ，z 2＝3＋(a 2－7)i ，且z 1＝z 2，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，a 2－7＝2，解得a ＝3.故选
B.
答案 B
2．若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，a ＋2022i ＝2－b i ，则a 2＋b i ＝( )
A ．2022＋2i
B ．2022＋4i
C ．2＋2022i
D ．4－2022i 解析 因为a ＋2022i ＝2－b i ，所以a ＝2，－b ＝2022，即a ＝2，b ＝－2022，所以a 2＋b i ＝4－2022i.
答案 D
3．(多选题)下列命题错误的是( )
A ．若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1
B ．纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集
C ．若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3
D ．若实数a 与a i 对应，则实数集与复数集一一对应
解析 A 取x ＝i ，y ＝－i ，则x ＋y i ＝1＋i ，但不满足x ＝y ＝1，故A 错误；B ，C 错误；对于D ，a ＝0时，a i ＝0，D 错误．
答案 ABCD
4．若复数z ＝a 2－3＋2a i 的实部与虚部互为相反数，则实数a ＝________. 解析 由条件知a 2－3＋2a ＝0，解得a ＝1或a ＝－3.
答案 1或－3
5．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞1，则实数m ＝____________.
解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
m 2－2m ＝0，m 2－1＞1，解得m ＝2. 答案 2
6．分别求满足下列条件的实数x ，y 的值．
(1)2x －1＋(y ＋1)i ＝x －y ＋(－x －y )i ；
(2)x 2－x －6x ＋1
＋(x 2－2x －3)i ＝0. 解析 (1)∵x ，y ∈R ，
∴由复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝x －y ，y ＋1＝－x －y ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3，y ＝－2. (2)∵x ∈R ，
∴由复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3或x ＝－2，且x ≠－1，x ＝3或x ＝－1，∴x ＝3. [能力提升]
7．i 2021的虚部为( )
A ．1
B ．－1
C ．i
D ．－i
解析 直接利用i 4＝1，化简i 2021，再得到其虚部．
因为i 2021＝(i 4)505·i ＝i ，
∴i 2021的虚部为1.故选A ．
答案 A
8．已知z 1＝(－4a ＋1)＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R .若z 1＞z 2，则a 的取值集合为________．
解析 ∵z 1＞z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，
－4a ＋1＞2a ，
∴a ＝0，故所求a 的取值集合为{0}．
答案 {0}
9．若复数z 1＝m 2＋1＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝4m －2＋(m 2－5m )i ，m 为实数，且z 1>z 2，则实数m 的取值集合为________．
解析 ∵z 1>z 2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 3＋3m 2＋2m ＝0，m 2－5m ＝0，
m 2＋1>4m －2，解得m ＝0，
∴实数m 的取值集合为{0}． 答案 {0}
10．已知复数z 1＝4－m 2＋(m －2)i ，z 2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i 是虚数单位，m ，λ，θ∈R )．
(1)若z 1为纯虚数，求实数m 的值；
(2)若z 1＝z 2，求实数λ的取值范围． 解析 (1)∵z 1为纯虚数， 则⎩
⎪⎨⎪⎧ 4－m 2＝0，m －2≠0，解得m ＝－2. (2)由z 1＝z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧
4－m 2＝λ＋2sin θ，m －2＝cos θ－2， ∴λ＝4－cos 2θ－2sin θ＝sin 2θ－2sin θ＋3 ＝(sin θ－1)2＋2.
∵－1≤sin θ≤1，
∴当sin θ＝1时，λmin ＝2， 当sin θ＝－1时，λmax ＝6， ∴实数λ的取值范围是[2,6]．
[探索创新]
11．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪
a
b c d ＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1，求实数x ，y 的值． 解析 由定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，
得⎪⎪⎪⎪
⎪⎪3x ＋2y i －y 1＝3x ＋2y ＋y i ， 故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i.
因为x ，y 为实数，所以有⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋y ＝0，x ＋3＝y ，得x ＝－1，y ＝2.。