离散数学关系的性质

任取<x, y>
<x, y>R<y, x>R ………..………. x=y
前提
推理过程
结论
例6 证明若 R∩R1IA , 则 R 在 A 上反对称. 证 任取<x, y>
<x, y>R <y, x>R <x, y>R <x, y>R 1
<x, y>R∩R 1 <x, y>IA x=y 因此 R 在 A 上是反对称的.
有 R)
例(18) 不判自断反下也图不中反关自系反的；性对质称, 并, 不说反明对理称由；不传递. 注任因注<和只注列任证M对因f于反<W(于W对例例考当 R证考对其o3xx1r)aat意取此意证意的取于此等对等于23察检明察于中,,[M<rrj自和iyyss,x： <有 ： ： 元 <k于 称 于 k设 G查模 GkE>>hht(任R设RRj,反==RRR=aa]xx1,R1y是31的的ll在在M在素关：关A完 式000,,)则在123ll取A>y3，＝ ＝tR算算y,,,RR和＝＝＝＝o>111和r＝ 每 每上上上记系恒系所>是M∪<,,,和A不{{=n证法法………，{{{{xR<<({一一述述述作,等,有MtAM<<<Rad3<<上[,<是aaa小小明∩：的,,,<,iaaao)上ynnnyy0,,,y+,条条等等等关的Mbbb,,,ayR,,同>是,,,,=abc反jE于于依,z>,,>]Rxx的MMM>>，ckI>边边式式式系顶>zc,A,阶反+>>}[,}<自<,关关据>}<在kkk<i传,<b,,中中中点I,a,M1[[[b的jb对ARy反,,如如系系iii]Rc,b,递,,,,RRA.Rbt1矩矩矩后c，jjj>>1单[称]]]z；>>果 果,,,i===},}上关>,R阵阵阵就整整}}空<，R111，位的k有有(2x当当当自系R]2的的的得除除1……关,,矩.,一一Ry且且且)R反,RR元元元到关关……系>M阵R32条条34仅仅仅和＝2素素素图系系……是是t＝,[不xxk当当当MIR{相相相,,G..AAA{ii,<是包包4<’jt在上在到到在上是a]加加加都a.,A含含,a的的b时时时是xx>上Mx>关关jj,反关=<,使使使A的的<的的ya系系上b对系,用用用单单b传,转a,,>的称,>逻逻逻真真向向递,其置<,关<关辑辑辑包包边 边b关中a矩,系,系ac加加加含含,,系>阵>ii,}≠≠}...关关.其jj.,, 系系则则中在在GG中中加加(2一一)条条
闭包的构造方法（续）
矩阵表示 设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系矩阵分别为M, Mr, Ms 和 Mt , 则
Mr =M+E Ms =M+M’ Mt =M+M2+M3+… 其中E 是和 M 同阶的单位矩阵, M’是 M 的转置矩阵. 注意：在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加.
闭包的构造方法（续）
RR. 一般将 R 的自反闭包记作 r(R), 对称闭包记作 s(R), 传递 闭包记作 t(R).
闭包的构造方法
集合表示 定理4.7 设R为A上的关系, 则有 (1) r(R)=R∪R0 (2) s(R)=R∪R1 (3) t(R)=R∪R2∪R3∪…
说明： 对于有穷集合A (|A|=n) 上的关系, (3)中的并最多不超过Rn. 若R 是自反的，则 r(R)=R; 若 R 是对称的，则 s(R)=R;若 R 是传递的，则 t(R)=R.
自反性证明
证明模式 证明 R 在 A 上自反
任取 x,
xA ……… ………..…. ……. <x, x>R
前提
推理过程
结论
例4 证明若 IA R ，则 R 在 A 上自反.
证 任取x,
xA <x, x> IA <x, x>R 因此 R 在 A 上是自反的.
对称性证明
证明模式 证明 R 在 A 上对称
图表示
设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系图分别记为G, Gr, Gs, Gt , 则Gr, Gs, Gt 的顶点集与G 的顶点集相等. 除了G 的边以 外, 以下述方法添加新的边： 考察G 的每个顶点, 如果没有环就加上一个环. 最终得到 的是Gr. 考察G 的每一条边, 如果有一条 xi 到 xj 的单向边, i≠j, 则 在G中加一条 xj 到 xi 的反方向边. 最终得到Gs. 考察G 的每个顶点 xi, 找从 xi 出发的每一条路径，如果 从 xi 到路径中的任何结点 xj 没有边，就加上这条边. 当 检查完所有的顶点后就得到图Gt .
任取<x,y>和<y,z> <x,y>R∪R2∪R3∪…. <y,z>R∪R2∪R3∪….
<x,z>R∪R2∪R3∪…. 于是，由R∪R2∪R3∪….的传递性得
t(R) R∪R2∪R3∪…
对n 进行归纳证明 Rn t(R). n=1时显然为真. 假设n=k时为真，那么对于任意<x,y> <x,y>Rk+1 <x,y>Rk∘R t (<x,t>Rk <t,y>R) t (<x,t>t(R)<t,y>t(R)) <x,y>t(R) （t(R)传递） 于是， R∪R2∪R3∪… t(R)
对称性
√ √ √ √ ×
反对称性
√ √ × √ ×
传递性
√ √ × × ×
闭包定义
定义4.17 设R是非空集合A上的关系, R 的自反 (对称或传
递) 闭包 是A上的关系R, 使得 R满足以下条件：
(1) R是自反的（对称的或传递的） (2) R R (3) 对A上任何包含R 的自反（对称或传递）关系R 有
这些路径分为两类： 第1类：只经过 V1中点 第2类：经过 k+1点 存在第1类路径：Mk[i,j]=1 存在第2类路径： Mk[i,k+1]=1Mk[k+1,j]=1
Warshall算法及其效率
算法4.1 Warshall算法 输入：M （R 的关系矩阵） 输出：Mt （t(R)的关系矩阵） 1. MtM 2. for k1 to n do
任取<x, y>
<x, y>R …… ………..…. ……. <y, x>R
前提
ห้องสมุดไป่ตู้
推理过程
结论
例5 证明若 R=R1 , 则 R 在A上对称. 证 任取<x, y>
<x, y>R <y, x>R 1 <y, x>R 因此 R 在 A 上是对称的.
反对称性证明
证明模式 证明 R 在 A 上反对称
传递性证明
证明模式 证明 R 在 A上传递
任取<x, y>，<y, z>
<x, y>R<y, z>R …..………. <x, z>R
前提
推理过程
结论
例7 证明若 R∘RR , 则 R 在 A 上传递. 证 任取<x, y>，<y, z>
<x, y>R <y, z>R <x, z>R∘R <x, z>R 因此 R 在 A 上是传递的.
关系性质判别
表达式 关系 矩阵
关系图
自反性
IAR 主对角 线元素 全是1
每个顶 点都有 环
反自反性
R∩IA= 主对角线 元素全是 0
每个顶点 都没有环
对称性
反对称性 传递性
R=R1
R∩R1 IA RRR
矩阵是对称 若rij＝1, 且
矩阵
i≠j, 则rji＝0
对M2中1所 在位置,M 中相应位置 都是1
定理4.7的证明
只证 (1) 和 (3) 证 r(R)=R∪R0 只需证明R∪R0 满足闭包定义. R∪R0包含了R 由IAR∪R0可知 R∪R0 在 A上是自反的. 下面证明R∪R0是包含R 的最小的自反关系. 假设R是包含R 的自反关系，那么IAR, RR， 因此有 R∪R0=IAR R
定理4.7的证明（续）
xj xj
到 到
xi xi
的反方向边. 的反方向边.
(3)
(2) 反自反, 不是自反；反对称, 不是对称；传递. (2) 反自反, 不是自反；
(3) 自反，不是反自反；反对称，不是对称；不传递.
运算与性质的关系
R11 R1∩R2 R1∪R2 R1R2 R1∘R2
自反性
√ √ √ × √
反自反性
√ √ √ √ ×
实例
例1 设A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<d,b>}, R和 r(R), s(R), t(R)的关系图如下图所示.
R
r(R)
s(R)
t(R)
传递闭包的计算——Warshall算法
算法思路： 考虑 n+1个矩阵的序列M0, M1, …, Mn, 将矩阵 Mk 的 i 行 j 列的元素记作Mk[i,j]. 对于k=0,1,…,n, Mk[i,j]=1当且仅当在 R 的关系图中存在一条从 xi 到 xj 的路径，并且这条路径 除端点外中间只经过{x1, x2, …, xk}中的顶点. 不难证明M0 就是R 的关系矩阵，而 Mn 就对应了R 的传递闭包.
传递性
定义4.16 设R为A上的关系, 若 xyz(x,y,z∈A∧<x,y>∈R∧<y,z>∈R→<x,z>∈R),
则称R是A上的传递关系. 实例：A上的全域关系 EA, 恒等关系 IA 和空关系 , 小 于等于关系, 小于关系, 整除关系, 包含关系, 真包含关系
例3 设A＝{a, b, c}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中 R1＝{<a,a>,<b,b>} R2＝{<a,b>,<b,c>} R3＝{<a,c>}
3. for i1 to n do
4. for j1 to n do
5.
Mt[i, j] Mt[i, j] + Mt[i, k]Mt[k, j]
时间复杂度 T(n)=O(n3)
如果两个顶 如果两点之 如果顶点xi
点之间有边, 间有边, 一定 到xj有边, xj
一定是一对 是一条有向 到xk有边,则
方向相反的 边(无双向边) 从xi到xk也
边(无单边)
有边
实例 证 任取<x, y>，<y, z>
(例前 证前<3x)8提明提,y对>判 模A断式上R下k任证+图1何明中包推R<关含x推 理在,系Ry理 过>A的的过程上性自R程反k质反∘对R,（并称对说结称明结论t或(理论<传x由,t递> ）R关k系R<t,y>
Warshall算法： 从M0开始，顺序计算 M1, M2, …, 直到 Mn 为止.
Warshall算法的依据
从 Mk [i, j] 计算 Mk+1[i, j]: i, jV. 顶点集 V1={1,2, …, k}, V2={k+2, …, n},V=V1{k+1}V2， Mk+1[i,j]=1 存在从i 到 j 中间只经过V1{k+1}中点的路径
例2 设A＝{a,b,c}, R1, R2, R3和R4都是A上的关系, 其中 R1＝{<a,a>,<b,b>}， R2＝{<a,a>,<a,b>,<b,a>} R3＝{<a,b>,<a,c>}， R4＝{<a,b>,<b,a>,<a,c>}
R1 对称、反对称. R2 对称，不反对称. R3 反对称，不对称. R4 不对称、也不反对称
R1 和 R3 是A上的传递关系, R2不是A上的传递关系.
关系性质的充要条件
设 R 为 A 上的关系, 则 (1) R 在 A 上自反当且仅当 IA R (2) R 在 A 上反自反当且仅当 R∩IA= (3) R 在 A 上对称当且仅当 R=R1 (4) R 在 A 上反对称当且仅当 R∩R1IA (5) R 在 A 上传递当且仅当 R∘RR
对称性与反对称性
定义4.15 设R为A上的关系, (1) 若xy(x,y∈A∧<x,y>∈R→<y,x>∈R), 则称R为A上
对称的关系. (2) 若xy(x,y∈A∧<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y), 则称R
为A上的反对称关系. 实例 对称：A上的全域关系EA, 恒等关系IA和空关系
反对称：恒等关系IA，空关系是A上的反对称关系