复变函数联系题库参考答案

复变函数综合测试题库
（解答）
一、选择题（单选题）
1、复数z i =的幅角主值为（ C ） （A ）
3π （B ）3π- （C ）6π- （D ）6
π
2、复数1cos sin ,0z i θθθπ=-+≤≤的模为（ A ） （A ）2sin 2
θ （B ）2sin
2
θ
- （C ）22cos θ- （D ）2cos 2θ-
3、设
z =
，则z 的指数表示为（ B ） （A ）cos
sin
44z i π
π
=+ （B ）4
i z e
π⋅
= （C ）cos
sin
44
z i π
π
=- （D ）4
i z e
π-⋅
=
4、若ω是方程3
10z -=的一个非零复数根，则2
1ωω++=（ A ）
（A ）0 （B ）i （C ）2
ω （D ）ω-
5、函数()f z z =在z 平面上（ C ）
（A ）不连续 （B ）连续且可导 （C ）连续但处处不可导 （D ）以上答案都不对 6、满足11z z -=+的点z 所组成的点集为（B ）
（A ）Im 0z = （B ）Re 0z = （C ）Im 0z > （D ）Re 0z > 7、函数()f z u iv =+在区域D 内解析的充要条件是（ D ）
（A ）
,,,u u v v
x y x y
∂∂∂∂∂∂∂∂都在D 内连续 （B ）在D 内
,u v u v x y y x
∂∂∂∂==-∂∂∂∂ （C ）
,,,u u v v x y x y ∂∂∂∂∂∂∂∂都在D 内存在，且,u v u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ （D ）
,,,u u v v x y x y ∂∂∂∂∂∂∂∂都在D 内连续，且,u v u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 8、
1
(0)()n
z a dz z a ρ
ρ-=>-⎰
的值为（ A ）
（A ）当1n =时为2i π；当1n ≠时为0 （B ）0 （C ）2i π （D ）2n i π 9、
1
z
z e dz z
==⎰
（ C ） （A ）0 （B ）
2
π
（C ）2i π （D ）(2)(0,1,2,)k i k π+= 10、()f z 在复平面上解析且有界，则()f z 在平面上为（B ） （A ）0 （B ）常数 （C ）z （D ）()n
z n N ∈ 11、复级数1n n z ∞
=∑收敛的必要条件是（ D ）
（A ）对一切n ，0n z = （B ）存在一列自然数{}k n ，使得0k
n z =
（C ）lim 0n n z →∞
≠ （D ）lim 0n n z →∞
=
12、幂级数11n
n n z n
∞
=+∑的收敛半径为（A ）
（A ）+∞ （B ）0 （C ）1 （D ）2 13、0z =为()sin f z z z =-的（ D ）
（A ）极点 （B ）非孤立奇点 （C ）本性奇点 （D ）3阶零点 14、设1
()1
z
f z e =
-，则0z =是()f z 的（ A ） （A ）1阶极点 （B ）2阶极点 （C ）可去奇点 （D ）本性奇点 15、0z ≠∞是函数()f z 的可去奇点，则0Re (,)s f z =（ B ） （A ）0()f z （B ）0 （C ）2π （D ）2i π 16、若复数22z i =-，则z 的幅角主值为（ C ） （A ）
2π （B ）2π- （C ）4
π
（D ）4π-
17、复数1cos sin (0)z i θθθπ=++≤≤的模为（ A ） （A ）2cos 2
θ （B ）2cos
2
θ- （C ）22cos θ+ （D ）2sin 2θ+
18
、设z =
，则z 的指数表示为（ B ） （A ）cos
sin
4
4
z i π
π
=+ （B ）4
i z e
π⋅
= （C ）cos
sin
4
4
z i π
π
=- （D ）4
i z e
π-⋅
=
19
、若122
ω=-
+，则23ωωω++=（ A ） （A ）0 （B ）ω （C ）2
ω （D ）ω- 20、函数()Re f z z =在z 平面上（ C ）
（A ）不连续 （B ）连续且可导 （C ）连续但处处不可导 （D ）以上答案都不对 21、下列哪些点集是区域（B ） （A ）Im 0z = （B ）1
Re 2
z >
（C ）12z i ++≤ （D ）Re 0z ≥ 22、若()f z u iv =+，且在区域D 内满足
,u v u v x y y x
∂∂∂∂==-∂∂∂∂，则（ D ） （A ）()f z 在D 内解析 （B ）()f z 在D 内不解析 （C ）()f z 在D 内可微 （D ）()f z 在D 内不一定可微
23、
1
1
3
z dz z =-⎰
的值为（ B ） （A ）2i π （B ）0 （C ）1 （D ）1- 24、
1
sin z z
dz z
==⎰
（ A ） （A ）0 （B ）i π （C ）2i π （D ）2i π-
25、若区域D 内解析函数()f z u iv =+满足00u
x
u y
∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=∂⎪⎩，则()f z 在区域D 内为（B ）
（A ）0 （B ）常数 （C ）不一定为常数 （D ）0v = 26、若复级数1n n z ∞
=∑收敛，则（ D ）
（A ）对一切n ，0n z ≠ （B ）存在一列自然数{}k n ，使得0k
n z ≠
（C ）lim 0n n z →∞
≠ （D ）lim 0n n z →∞
=
27、幂级数11!
n
n z n ∞
=+∑的收敛半径为（B ）
（A ）+∞ （B ）0 （C ）1 （D ）2 28、0z =为()1cos f z z =-的（ D ）
（A ）极点 （B ）非孤立奇点 （C ）本性奇点 （D ）2阶零点
29、设函数()f z 在00z z <-<+∞内解析，且0
lim ()z z f z →=∞，则0z 是()f z 的（ B ）
（A ）非孤立奇点 （B ）极点 （C ）本性奇点 （D ）解析点 30、变换az b
w cz d
+=
+（a ，b ，c ，d 为复常数）为分式线性变换的条件是（ A ） （A ）0ad bc -≠ （B ）0ad bc -= （C ）a b
c d
= （D ）a b c d ===
31
、复数1z =的幅角主值为（ C ）
（A ）
6π （B ）6π- （C ）3
π
（D ）3π-
32、若ω是方程310z -=的一个非零复数根，则345
ωωω++=（ A ）
（A ）0 （B ）i （C ）2
ω （D ）ω-
33、下列等式正确的是（ B ）
（A ）z z z ⋅= （B ）2
z z z ⋅= （C ）2Im z z i z += （D ）2Re z z z -= 34、下列哪些函数在复平面上解析（ A ）
（A ）sin z （B ）z （C ）2
z （D ）Re z 35、满足11z z ->+的点z 所组成的点集为（B ）
（A ）Im 0z < （B ）Re 0z < （C ）Im 0z > （D ）Re 0z > 36、使函数()f z u iv =+在区域D 内解析的柯西—黎曼条件是（B ） （A ）在D 内
,u v u v x y y x ∂∂∂∂==∂∂∂∂ （B ）在D 内,u v u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ （C ）在D 内
,u v u v x y y x ∂∂∂∂=-=∂∂∂∂ （D ）在D 内,u v u v x y y x
∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂ 37、设()f z 在区域D 内解析，且0{}U z z z D δ=-<⊂，在U 上()0f z =，则在D 内
的（ D ）
（A ）()f z 不恒为零 （B ）()f z 为不为零的常数 （C ）()f z 只有惟一的零点 （D ）()0f z ≡
38、1
()
n
C
dz z a -⎰
（其中C 为包围点a 任意围线）的值为（ A ） （A ）当1n =时为2i π；当1n ≠时为0 （B ）0 （C ）2i π （D ）2n i π 39、2
1
z
z e dz z ==⎰
（ C ）
（A ）0 （B ）
2
π
（C ）2i π （D ）i π 40、()f z 在复平面上解析且Re ()f z 有界，则()f z 在平面上为（B ） （A ）0 （B ）常数 （C ）z
e （D ）ln z
41、在1z <内解析，在区间(1,1)-上具有展式0n n x ∞
=∑的函数只能是（ D ）
（A ）
1
(1)1z z <+ （B ）ln(1)(1)z z -< （C ）1(1)1z z <- （D ）1
(1)1z z
<-
42、幂级数21
121
n n z n -∞
=-∑的收敛半径为（B ）
（A ）+∞ （B ）1 （C ）0 （D ）2 43、若1
()cos
f z z i
=+，则z i =-是()f z 的（ D ） （A ）可去奇点 （B ）非孤立奇点 （C ）极点 （D ）本性奇点 44、若()
()g z f z z a
=
-，且()g z 在点a 解析，()0g a ≠，则Re (,)s f a =（ A ） （A ）()g a （B ）2()ig a π （C ）0 （D ）()g a '
45、变换(01)1z a
w a a z
-=
<<-⋅把单位圆1z <保形映射成（ B ）
（A ）上半平面Im 0z > （B ）单位圆1w < （C ）下半平面Im 0z < （D ）1w > 46、arg(34)i -+=（ C ）
（A ）3arctan
4π-（B ）3arctan 4π+ （C ）4arctan 3π- （D ）4arctan 3π+ 47、若ω是方程3
1z =的一个非零复数根，则下列哪些也是此方程的根（ A ）
（A ）ω （B ）ω- （C ）2
ω- （D ）i
48、下列等式不正确的是（ B ）
（A ）2
z z z ⋅= （B ）1212arg arg arg z z z z ⋅=+（10z ≠，20z ≠） （C ）1212rg rg rg A z z A z A z ⋅=+（10z ≠，20z ≠） （D ）arg arg (0)z z z =-≠ 49、下列哪些函数在复平面上不解析（ A ）
（A ）sin z （B ）cos z （C ）chz （D ）z
e -
50、设{Im 2,Re 3}E z z z =<<，则E 一定是（B ）
（A ）无界区域 （B ）有界单连通区域 （C ）多连通区域 （D ）闭区域 51、使函数()f z u iv =+在区域D 内解析的充要条件是（B ） （A ）u ，v 在D 内具有一阶连续的偏导数
（B ）u ，v 在D 内可微，且在D 内满足柯西—黎曼条件
（C ）u ，v 在D 内具有一阶偏导数，且在D 内满足柯西—黎曼条件 （D ）u ，v 在D 内在D 内满足柯西—黎曼条件
52、设()f z 在复平面上解析，且C 为不通过原点的围线，则()
C
f z dz z
=⎰
（ D ） （A ）2(0)i f π⋅ （B ）(0)f （C ）0 （D ）0或2(0)i f π⋅
53、
1
1
cos z dz z
==⎰
（ A ） （A ）0 （B ）1 （C ）2i π （D ）i π
54、若()f z 在区域D 内满足 ()0f z '=，则()f z 在区域D 内必为（ C ） （A ）0 （B ）z （C ）常数 （D ）z
e
55、()f z 在复平面上解析且Im ()f z 有界，则()f z 在平面上为（B ） （A ）0 （B ）常数 （C ）z
e （D ）ln z 56、在复平面上解析，在区间[0,1]上等于sin x 的函数只能是（ D ） （A ）sin(
)2
z π
+ （B ）sin()z π+
（C ）sin iz （D ）sin z
57、若幂级数1
n
n n a z ∞
=∑的收敛半径0R >，则在闭圆()z r R ≤<上1
n
n n a z ∞
=∑（B ）
（A ）不绝对收敛 （B ）一致收敛且绝对收敛 （C ）绝对收敛但不一致收敛 （D ）一致收敛但不绝对收敛 58、0z =为2
1cos ()z
f z z
-=
的（ D ） （A ）本性奇点 （B ）非孤立奇点 （C ）二阶极点 （D ）可去奇点
59、函数1
()z e f z z
-=在0z =处的留数为（ A ）
（A ）0 （B ）2i π （C ）1 （D ）i π 60、变换z i
w z i
-=
+把上半平面Im 0z >保形映射成（ B ）
（A ）上半平面Im 0z > （B ）单位圆1w < （C ）下半平面Im 0z < （D ）1w > 61、若复数1z i =-，则z 的幅角主值为（ A ）
（A ）4π-
（B ）4
π
（C ）34π- （D ）34π 62、若21z =-，则z 等于（ B ）
（A ）i - （B ）i ± （C ）i （D ）1±
63、下列点集是区域的是（ C ）
（A ）1
{Im }2z z = （B ）{1}z z = （C ）1{Im }2
z z > （D ）2{1}z z = 64、设()f z x yi =-（,x y R ∈），则（ D ）
（A ）()f z 在z 平面上解析 （B ）()f z 在0z =可导 （C ）()f z 在z 平面上处处可导 （D ）()f z 在z 平面上连续 65、设()f z u iv =+，且在区域D 内满足柯西—黎曼条件，则（ A ） （A ）()f z 在D 内不一定解析 （B ）()f z 在D 内解析 （C ）()f z 在D 内可导 （D ）()f z 在D 内一定不可导 66、下列哪些函数在z 平面上解析（B ）
（A ）z （B ）cos z （C ）z （D ）z
e 67、
1
1
cos z dz z
==⎰
（ C ） （A ）1 （B ）2i π （C ）0 （D ）1- 68、
1
z
z e dz z
==⎰
（ D ） （A ）0 （B ）1 （C ）
1
2i
π （D ）2i π 69、若()f z 在区域D 内解析，且Re ()f z =实常数，则()f z 在区域D 内为（ A ） （A ）复常数 （B ）Re z （C ）z （D ）sin z 70、若()sin f z z =，则下列结论不成立的是（B ）
（A ）()f z 为解析函数 （B ）()f z 有界 （C ）()f z 为周期函数 （D ）()f z 有零点
71、复级数0
n n i ∞
=∑（ C ）
（A ）一定收敛 （B ）等于
11i
- （C ）一定发散 （D ）以上结论都不对 72、设幂级数为00()n n n a z z ∞
=-∑，则（ D ）
（A ）00()n
n n a z z ∞=-∑仅在点0z 收敛 （B ）00()n n n a z z ∞
=-∑在全平面上收敛
（C ）00
()n
n n a z z ∞
=-∑在点0z 不收敛 （D ）00
()n n n a z z ∞
=-∑在点0z 收敛
73、幂级数1
1n n n n z ∞
=+⋅∑的收敛半径为（A ）
（A ）0 （B ）+∞ （C ）1 （D ）2 74、幂级数1n n z ∞
=∑在1z <内的和函数为（ B ）
（A ）
11z - （B ）1z z - （C ）11z + （D ）1z z
+ 75、()1cos f z z =-以0z =为（ C ）
（A ）一阶零点 （B ）一阶极点 （C ）二阶零点 （D ）二阶极点 76、设()f z 在00z z R <-<内解析，且0
lim ()z z f z →=∞，则0z 是()f z 的（ D ）
（A ）零点 （B ）可去奇点 （C ）非孤立奇点 （D ）极点 77、若2
1cos ()z
f z z
-=
，则0z =必为()f z 的 （ A ） （A ）可去奇点 （B ）零点 （C ）本性奇点 （D ）二阶极点 78、若∞是函数()f z 的可去奇点，则Re (,)s f ∞=（ B ）
（A ）0 （B ）不一定为0 （C ）不存在 （D ）以上结论都不对 79、若1()z
f z e =，则Re (,0)s f = （ C ）
（A ）∞ （B ）0 （C ）1 （D ）以上答案都不对 80、映射3
2
2w z z =+在点z i =处的伸缩率为 （ D ）
（A （B ） （C ）25 （D ）5
81、若复数1z i =-+，则z 的幅角主值为（ A ）
（A ）
23π （B ）23π- （C ）6π- （D ）6π 82、若3
1z =且Im 0z >，则z 等于（ B ）
（A ）1 （B ）122i -
+ （C ）122
+ （D ）122--
83、下列点集不是区域的是（ C ）
（A ）{Im 0}z z > （B ）{Re 0}z z < （C ）{1}z z i ≤+ （D ）{1}z z > 84、设()f z i z =⋅，则（ D ）
（A ）()f z 在z 平面上处处不连续 （B ）()f z 在z 平面上解析 （C ）()f z 为整函数 （D ）()f z 在z 平面上处处不解析 85、设()f z u iv =+，则使得()f z 在区域D 内解析的柯西—黎曼条件是（ A ）
（A ）
,u v u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ （B ）,u v u v x y y x ∂∂∂∂=-=∂∂∂∂ （C ）
,u v u v x y y x ∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂ （D ）,u v u v x y y x
∂∂∂∂==∂∂∂∂ 86、在z 平面上处处不解析的函数是（B ）
（A ）z （B ）Im z （C ）cos z （D ）sin z
e
87、
1
3
z z
dz z ==-⎰
（ C ） （A ）2i π- （B ）2i π （C ）0 （D ）1 88、
2
1
sin z z dz z
==⎰
（ D ） （A ）2i π （B ）1 （C ）i π- （D ）0
89、若()f z 在区域D 内解析，且()f z =实常数，则()f z 在区域D 内为（ A ） （A ）复常数 （B ）0 （C ）z （D ）z
e 90、若()z
f z e =，则下列结论不成立的是（B ）
（A ）()f z 为整函数 （B ）()f z 非周期函数 （C ）()f z 无零点 （D ）()f z 无界 91、幂级数0!n
n n z ∞
=⋅∑的收敛半径为（ C ）
（A ）+∞ （B ）1
（C ）0 （D ）以上结论都不对
92、设幂级数为0n
n n a z ∞
=∑的收敛半径0R >，则此幂级数的和函数（ D ）
（A ）在z R <内不连续 （B ）在z R <内不解析 （C ）在z R <内不能逐项求导 （D ）在z R <内可逐项积分
93、在1z <内解析，且在区间(1,1)-上具有展式0
(1)n n n x ∞
=-⋅∑的函数只能为（A ）
（A ）
11z + （B ）11z - （C ）211z + （D ）2
11z
- 94、若1
()cos f z z i
=+，则z i =-为()f z 的（ B ）
（A ）极点 （B ）本性奇点 （C ）可去奇点 （D ）非孤立奇点 95、2
()(1)
z z
f z e =
-以0z =为（ C ） （A ）可去奇点 （B ）本性奇点 （C ）一阶极点 （D ）二阶极点 96、若()
()z f z z a
ϕ=
-，且()z ϕ在点a 解析，则Re (,)s f a =的（ D ）
（A ）0 （B ）()a ϕ' （C ）2()i a πϕ'⋅ （D ）()a ϕ
97、2
2()1
iz
e f z z =+在z i =的留数为 （ A ）
（A ）2i i e --
（B ）0 （C ）12i e -- （D ）112
e -- 98、ln(1)z +在0z =处的幂级数展开式为（ B ）
（A ）1n n z n ∞
=∑ （B ）11(1)n n n z n ∞-=-∑ （C ）1(1)n n n z n ∞=-∑ （D ）0!
n n z n ∞=∑
99、变换1i z i
w e
i z
θ
-=+⋅（θ为实常数）把单位圆1z <保形映射成（ C ）
（A ）上半平面Im 0z > （B ）下半平面Im 0z < （C ）1w < （D ）1w > 100、变换i z i
w e
z i
θ
-=+（θ为实常数）把上半平面Im 0z >保形映射成（ D ） （A ）左半平面Re 0z < （B ）右半平面Re 0z > （C ）上半平面Im 0z >（D ）1z <
二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）
1、
若12ω=-
是方程31z =的根，则下列哪些值不为21ωω++的值（B 、C 、D ） （A ）0 （B ）i （C ）i - （D ）2
ω 2、复数1cos sin z i θθ=-+（0θπ<<）的模为 （ A 、B ） （A ）2sin
2
θ （B
（C ）2(1cos )θ- （D ）2sin
2
θ
-
3、下列点集哪些是区域 （A 、C ） （A ）Im Re(1)z i >+ （B ）0arg 4
z π
<≤
（C ）1Im 2z << （D ）Im 3z =
4、若()Re f z z =，则下列结论正确的是（ A 、B ）
（A ）()f z 在z 平面上连续 （B ）()f z 在z 平面上处处不解析 （C ）()f z 在z 平面上解析 （D ）()f z 仅在0z =处解析 5、若1
()1f z z
=+
，则下列结论正确的是 （ A 、C 、D ） （A ）Re (,0)1s f = （B ）2
Re (,0)1s f = （C ）2
Re (,0)2s f = （D ）Re (,0)0s z f ⋅=
6、若ω不是方程31z =的虚数根，则下列哪些值也一定不是此方程的根（A 、B 、C 、） （A ）ω （B ）3
ω （C ）1- （D ）ω-
7、复数
z =
的指数表示形式为 （ A 、C ） （A ）4
i z e π-⋅
= （B ）4
i z e
π⋅
= （C ）(2)
4
i k z e
π
π-⋅+= （k Z ∈）（D ）(2)
4
i k z e
π
π⋅+= （k Z ∈）
8、设{1Im 1,1Re 1}E z z z =-<<-<<，则E 一定不能是 （B 、C ） （A ）有界单连通区域 （B ）有界闭区域 （C ）无界区域 （D ）区域
9、下列哪些函数在全平面上不解析（B 、C 、D ）
（A ）sin z （B ）z （C ）Re z （D ）2
z 10、若1
()sin
f z z
=，则0z =为()f z 的（ A 、B ） （A ）本性奇点 （B ）孤立奇点 （C ）可去奇点 （D ）极点
三、填空题（将正确的答案填在横线上）
1、复数(3)(2)
(3)(2)
i i z i i +-=
-+的模z =
1。

2、函数()f z 在区域D 内解析是指 f (z )在区域D 内每一点可导 。

3、
11
1
3
z dz z -==+⎰。

4、刘维尔定理是指 有界整函数必为常数 。

5、幂级数02
n
n n n z ∞
=⋅∑的收敛半径R =
1，收敛圆为2z <。

6、函数1
()1f z z =-在0z =处的幂级数展式为
()n n f z z ∞
==∑。

7、设2()1i z e f z z ⋅=+，则Re (,)s f i =1
12
e i --。

8、分式线性变换的一般形式为
(0)
az b
w ad bc cz d
+=
-≠+。

9、设非零复数z 的幅角为θ，则z 的三角表示式为(cos sin )
z z i θθ=+。

10、满足等式2
i k
e
i π⋅=的最小正整数k =1。

11、()Re f z z z =的可导点为0z =。

12、设()f z 在闭区域{12}z z ≤≤上解析，且
1
()z f z dz π==⎰
，则
2
()z f z dz ==⎰
π。

13、函数()f z 在区域D 内解析是指 f (z )在区域D 内可导（或每一点可导） 。

14、1()z
f z e =在0z <<+∞内的罗郎展式为
011()!n
n f z n z
∞
==⋅∑。

15、设0z ≠∞为()f z 的可去奇点，则0Re (,)s f z =。

16、设()f z 在区域D 内解析，且()f z 在区域D 内的某一点达到最大值，则()f z 在区域D 内为 常数 。

17、若复数5sin1z i =+，则Re()iz =sin1-。

18、设z x iy =+，x ，y 为实数，0x >，则arg z =
arctan
y
x。

19、若()(1)f z i u =+在区域D 内解析，u 为x ，y 的二元实函数，则在区域D 内
u x
∂=∂ 0，u = 常数 。

20、设函数()f z 在复平面上解析，且有界，则()f z 在复平面上为 常数 。

21、若函数()f z 在点0z 解析，则()f z 在点0z 必有 导数。

22、函数2
1
()1f z z =-在0z =处的幂级数展式为20
(),1n n f z z z ∞
==<∑。

23、设0z 为()f z 的孤立奇点，且()f z 在00z z R <-<内有罗郎展式
00
()()n n n f z c z z ∞
==-∑
则0z 必为()f z 的 可去 奇点。

24、设2()1i z
e f z z ⋅=+，则Re (,)s f i -=
1
2
e i ⋅。

25、对任意的非零复数z ，Argz 是多值的，彼此相差2π的整数倍。

26、设1z ，2z 是互为共轭的非零复数，则
1
2
z z =1。

27、若区域D 内解析的函数()f z ，在区域D 内满足Re ()Im ()f z f z =，则在区域D 内
()f z = 常数 。

28、设函数()f z 在长度为l 的光滑曲线C 上可积，且在C 上，()f z M ≤，则
()C
f z dz ≤⎰
M l ⋅。

29、在复平面上，n 次多项式()P z 的零点个数为 n 个（几阶零点要算几个零点）。

30、函数2
()z f z e =在0z =处的幂级数展式为
20(),!
n
n z f z z n ∞
==<+∞
∑。

31、1()(1)f z z z =-在01z <<内的罗郎展式为0
1()n
n f z z z ∞==+∑。

32、一般分式线性变换是由 平移变换 、 伸缩变换 、 旋转变换 、 反演变换 四种更
简单的分式线性变换复合而成。

33、若复数2006cos2005z i =+，则Re()iz =
cos 2005
-。

34、设()f z 在z 平面上解析，且有界，则()f z 在z 平面上为 常数 。

35、()sin f z z =在0z =处的幂级数展式为211
1
(1)
(21)!
n n n z n -∞
-=--∑。

36、设()f z 在闭区域1100z ≤≤上解析，且
100
()100z f z dz ==⎰
，
则1
()z f z dz ==⎰
100。

37、设2
()1i z e f z z -⋅=+，则Re (,)s f i =1
2
e i -⋅。

38、若复数20062005z i =+⋅，则Im()iz =2006。

39、设()f z 是以∞为可去奇点的整函数，则()f z 必为 常数 。

40、()cos f z z =在0z =处的幂级数展式为20
()(1)(2)!n
n
n z f z n ∞
==-∑。

41、设()f z 在z a R -<内解析，且以点a 为非孤立零点，则在z a R -<内()f z =0。

42、设sin ()z
f z e =，则Re (,0)s f =0。

四、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）
1、设1z 和2z 是两个不相等的复数，则1z 和2z 必可比较大小。

（ × ）
2、()f z 在点a 解析是指()f z 在点a 可导。

（ × ）
3、在复数范围内，31z =的充要条件是1z =。

（ × ）
4、若()f z 在以围线C 为边界的单连通区域D 内解析，且在D D C =+上连续，则
()0C
f z dz =⎰。

（ √ ）
5、若0Re (,)s f z a =，则2
2
0Re (,)s f z a =。

（ × ） 6、若复数z 与其共轭复数z 相等，则z 必为纯虚数。

（ × ） 7、()f z 在点a 点可导，则()f z 在点a 解析。

（ × ） 8、存在函数()f z 在复平面上处处连续，但处处不可导。

（ √ ） 9、设1()f z z
=
，则Re (,0)1s f =，从而22
Re (,0)11s f ==。

（ × ） 10、如果()w f z =在区域D 内解析，则()w f z =是区域D 内的保形映射。

（ × ） 11、因为12<，则2i i <。

（ × ）
12、复数0的模和幅角都没有意义。

（ × ）
13、若()f z u iv =+在区域D 内解析，则()g z v i u =-+⋅也在区域D 内解析。

（ √ ）
14、若解析函数()f z 以0z 为零点，则存在0z 的某邻域，使得0z 为()f z 在此邻域内的惟一的零点。

（ × ）
15、设()f z 在00z z R <-<内解析，则0z 为()f z 的可去奇点⇔ 0
lim ()z z f z →存在。

（ × ）
16、在复数范围内，2
1z z i =-⇔=。

（ × ）
17、若函数()f z 在区域D 内的每一点都可导，则()f z 在D 内不一定解析。

（ × ） 18、2
()f z z =在复平面上连续，但在复平面上处处不可导。

（ × ）
19、若函数()f z 在有界区域D 内解析，在闭区域D D C =+上连续，则()f z 在边界C 上且只在边界C 达到最大模。

（ × ） 20、分式线性变换(0)az b
w ad bc cz d
+=
-≠+在扩充z 平面上是保形的。

（ √ ）
21、任意两个复数必可比较大小。

（ × ）
22、若()f z 在点0z 可导，则()f z 在点0z 不一定解析。

（ √ ） 23、不存在在z 平面上处处连续处处不可导的复变函数。

（ × ） 24、设1()f z z
=
，则Re (,0)1s f =，22
Re (,0)11s f ==。

（ × ） 25、若()w f z =是区域D 内的解析函数，则()f D 也必为区域。

（ × ） 26、0z z -=是z 为实数的充要条件。

（ √ ）
27、若()f z 在点0z 解析，则()f z 在点0z 一定可导。

（ √ ） 28、2
()f z z =在z 平面上处处不可导。

（ × ） 29、若∞为()f z 的可去奇点，则Re (,)0s f ∞=。

（ × ）
30、若()w f z =是区域D 内的单叶解析函数，则()f D 不一定为区域。

（ × ）
五、计算题
1、将复数2
(1cos sin )(0)z i ϕϕϕπ=++≤<化为指数形式。

解： 2
2
(1cos sin )4cos
(0)2
i z i e ϕϕ
ϕϕϕπ=++=⋅≤<
2、在复数范围内解方程4
4
0(0)z a a +=>。

解：由原方程可得 444i z a a e π
=-=⋅
所以 方程的解为 (21)
4
0,1,2,3k i k z a e k π+=⋅=。

3、计算积分C
z dz ⎰，其中（1）C 是从1-到1的直线段；（2）C 是从1-到1的上半单位圆
周：1z =。

解：（1）C 的参数方程为(11)z t t =-≤≤，所以
1
1
1
21C
z dz t dt tdt -===⎰⎰⎰。

（2）因为在C 上，1z =，所以1(1)2C
C
z dz dz ==--=⎰⎰。

4、求22
C
z dz z z
--⎰
，其中C 是圆周：2z =。

解：2
22121
()42211
C
C C C z dz dz dz dz i i i z z z z z z πππ-=-=-=-=---⎰
⎰⎰⎰。

5、求下列函数在0z =处的幂级数展开式
（1）2
0z
e d ξξ⎰； （2）
2
1
(1)
z -。

解：（1）2
221
00
0!(21)!
n
n z
z
n n z e d d n n n ξξξξ+∞
∞
====+∑
∑⎰⎰
，z <+∞。

（2）12
01
11()()(1)1n
n n n z nz z z ∞∞
-==''===--∑∑，1z <。

6、求实积分
2
sin 1x x
dx x
+∞
-∞
+⎰。

解：因
22sin Im[]11ix x x x dx e dx x x +∞
+∞
-∞
-∞
=++⎰
⎰，而2
1z
z +在上半平面内仅有一个一阶极点z i =， 且在实数范围内 2
10z +≠
所以 11
22
12Re (,)2112
ix iz x z e dx i s e i i e e i x z πππ+∞
---∞
==⋅=++⎰
，
故
1
22
sin Im[]11ix x x x dx e dx e x x
π+∞
+∞
--∞
-∞==++⎰
⎰。

7、试求把单位圆盘1z <保形映射成单位圆盘1w <，并且把1z <内的一点00z ≠变成0的分式线性变换。

解：根据分式线性变换的保圆周性和保对称点性，可设所求的分式线性变换为
00
000
11z z z z w k k z z z z z --=⋅
=-⋅-⋅- 再由保圆周性得，当1z =时，0
000
111z k z k z z -=-⋅
=--，即0i k z e α-=。

所以所求的分式线性变换为 001i z z w e z z
α
α-=⋅
-⋅为实常数。

8、在复数范围内解方程8
10z +=。

解：由原方程可得 81i z e π
=-=
所以 方程的解为 (21)
8
0,1,2,3,4,5,6,7k i k z e k π+==。

9、计算积分
1
()
n
z a R
dz z a -=-⎰
，其中n 为整数，0R >。

解：令02i z a R e θ
θπ=+⋅≤≤，由复积分的参数方程计算公式得
2(1)1
2,
111
0,
1
()i n n n z a R
i n dz e d n z a R π
θπθ---==⎧=
=⎨
≠-⎩⎰
⎰。

10、计算积分
2
5
52
1
z z dz z =--⎰。

解：25
555
52
2511()25410141
11z z z z z dz dz dz dz i i i z z z z z πππ====-=+=+=+=---⎰
⎰⎰⎰。

11、设3
()e f z d z
ξξξ
ξξ=-=
-⎰
，求()f i '。

解：由柯西积分公式以及柯西积分定理得
3
2(),3
()0,
3
z
i e z z e f z dz z z ξξ
πξξ=⎧-<-⎪=
=⎨>-⎪⎩⎰
所以 2(1),3
()0,
3
z i e z f z z π⎧-<⎪
'=⎨
>⎪⎩
从而 ()2(1)i
f i i e π'=- （因为13i =<）。

12、设2
1
(1)()z f z e
-=，求Re (,1)s f 。

解：因为在01z <-<+∞内
2
1(1)2011()!(1)z n
n f z e
n z ∞
-===⋅-∑
，显然其中不含11
z -这样的项， 所以 Re (,1)0s f =。

13、求1
()(1)(2)
f z z z =
--在圆环011z <-<内的罗郎展式。

解：因为 111
()(1)(2)21
f z z z z z =
=-----
所以 在011z <-<内，
11111
()(1)211111n n f z z z z z z z ∞
==-=-=---------∑。

14、利用留数计算实积分20
sin 54cos x
I dx x
π
=+⎰。

解：20
sin 54cos x
I dx x
π
=+⎰
11
sin 2
22
2122cos 2
1sin (1)5254cos 16(1)2
z z i z z z i z d dz z z z θπ
θπθθθ
---=
=+=
--==
⋅+++⎰⎰
12[Re (,0)Re (,)]1628
i i s f s f ππ=
⋅+-=
15、试求把单位圆盘1z <保形映射成单位圆盘1w <的分式线性变换()w L z =，并且
1()02L =，1(0)2
L =-。

:解：由题设可设所求的分式线性变换为
1
212()1212
i i z z w L z e e z z αα-
-==⋅=⋅-- 又 11(0)22
i L e α--==⋅，即1i e α
=，所以所求的分式线性变换为
2112()122z z
w L z z z
--==-⋅=
--。

16、将复数2
(1cos sin )(0)z i ϕϕϕπ=-+≤<化为指数形式。

解：2
2
2(1cos sin )4sin
[cos(
)sin(
)]222z i i ϕ
πϕ
πϕ
ϕϕ--=-+=⋅+
2()4sin (0)2
i e πϕϕ
ϕπ-=⋅≤<
17、求积分2
1
C
dz z z
-⎰
，其中C 是圆周：2z =。

解： 211111
()22011C
C C C
dz dz dz dz i i z z z z z z ππ=-=-=-=---⎰
⎰⎰⎰。

18、计算积分
2
2
sin 9
z z e z
dz z =-⎰。

解：因为被积函数的不解析点32z z =±∉≤，所以被积函数在2z ≤上解析。

由柯西积分定理得
2
2
sin 09
z z e z
dz z ==-⎰。

19、设23
371
()f z dz z
ξξξξ=++=
-⎰
，求(1)f i '+和(33)f i '+。

解：由柯西积分公式和柯西积分定理得
2
23
2(571),3371()0,3i z z z f z dz z z ξπξξξ=⎧++<++⎪=
=⎨>-⎪⎩
⎰
所以 2(107),3
()0,
3
i z z f z z π⎧+<⎪'=⎨
>⎪⎩
故(1)2(1710)2(1017)f i i i i ππ'+=+=-+，(33)0f i '+=。

（因为12i +=<
，333i +=>）
20、设1
()sin
f z z
=，求Re (,0)s f 。

解：因为在0z <<+∞内
1211111()sin (1)(21)!n n n f z z n z ∞--===-⋅-∑，显然其中1
z
这一项的系数为1，
所以 Re (,0)1s f =。

21、求1
()(1)(2)
f z z z =
--在圆环12z <<内的罗郎展式。

解：因为 1111111
()1
(1)(2)212112f z z z z z z z z
=
=-=-⋅-⋅
------ 所以 在12z <<内，
110011111
()122112n n n n n z f z z z z
z
∞∞
++===-⋅-⋅=----∑∑。

22、利用留数计算实积分20
1
2cos I d π
θθ
=
+⎰。

解：令i z e θ
=，则
220
1
12
1
2cos 41
z d dz i
z z π
θθ==
+++⎰
⎰
显然被积函数在单位圆内仅有一个一阶极点2z =-+ 所以 由留数定理
220
1
12
1
2cos 41
z d dz i
z z π
θθ==
+++⎰
⎰
2212Re (,241i s i z z π=⋅⋅-=++
23、试求把上半平面Im 0z >保形映射成单位圆盘1w <的分式线性变换()w L z =，并且满足()0L i =，(0)1L =-。

解：由题设可设所求的分式线性变换为
()i z i
w L z e z i
α-==⋅
+ 又 1(0)(1)i L e α
-==⋅-，即1i e α
=，所以所求的分式线性变换为
()z i
w L z z i
-==
+。

24、求复数(20052006)(20032004)
(20052006)(20032004)
i i z i i +-=
-+的模。

解：因 2005200620052006,2003200420032004i i i i +=--=+ 所以 2005200620032004(20052006)(20032004)1(20052006)(20032004)2005200620032004i i
i i z i i i i
+⋅-+-===-+-⋅+。

25、求积分21
22
C
dz z z ++⎰
，其中C 是圆周：1z =。

解：因被积函数的不解析点为11z i z =-±∉≤，所以 被积函数在闭圆1z ≤上解析。

由柯西积分定理得 2
1
022
C
dz z z =++⎰。

26、计算积分
2
2
(9)()
z z
dz z z i =-+⎰。

解：因为
2
9
z
z -在2z ≤上解析， 所以 由柯西积分公式得
2222
2
92(9)()
9
5
z i
z z z
z
z z dz dz i z z i z i z π
π=-==-=
=⋅=-
-++-⎰
⎰
27、用复积分和留数定理两种方法计算积分
22
2
(1)
z
z e dz z =+⎰。

解：（复积分的方法）在2z =内分别以z i =和z i =-为心，
1
2
为半径作圆周 11:2C z i -=
和21:2
C z i += 显然1C 和2C 都属于2z <，且互不相交也互不包含，于是由复合闭路原理得
1
2
22
2222
2
()()(1)()()z z
z
z C
C
e e e z i z i dz dz dz z z i z i =+-=++-+⎰
⎰⎰ 再由解析函数的高阶导数公式得
1
2
22
22
222
2
2
()()2[()()]
(1)()()
()()
z z
z
z z
z i z i
z C
C e e e e e z i z i dz dz dz i z z i z i z i z i π==-=+-''=+=++-++-⎰
⎰⎰ 2[(1)(1)][(1)(1)]442
i
i i i i i i e i e i e i e i π
π--=-+
+=--++。

（留数定理的方法）因为被积函数在2z =内仅有两个孤立奇点z i =±，且都是二阶极点， 所以 由留数定理得
222222
2
2{Re [,]Re [,]}(1)(1)(1)z z z
z e e e dz i s i s i z z z π==-++++⎰
2
2
2[()()]()()
z
z
z i z i
e e i z i z i π==-''=++-
2[(1)(1)][(1)(1)]442
i i i i i i i e i e i e i e i π
π--=-++=--++。

28、设2
()(1)(1)
z
f z z z =
-+，求Re (,1)s f -和Re (,)s f ∞。

解：因为1z =-是()f z 的二阶极点，1z =是()f z 的一阶极点，且()f z 在扩充平面上仅有三个奇点1z =±和z =∞，且都是孤立奇点。

所以 由推广的留数定理得
Re (,1)Re (,1)Re (,)0s f s f s f -++∞=
又 1
1
21
1Re (,1)(
)1
(1)4
z z z s f z z =-=-'-==-=---
1
2
1
Re (,1)(1)4
z z s f z ==
=+ 所以 11Re (,)[Re (,1)Re (,1)][]044
s f s f s f ∞=-+-=--=
29、求1
()(1)(2)
f z z z =
--在圆环2z <<+∞内的罗郎展式。

解：在圆环2z <<+∞内，
1011111121
()212111n n n f z z z z z z z z
∞
+=-=-=⋅-⋅=----∑。

30
、利用留数计算实积分20
I π
θ=⎰。

解：令i z e θ
⋅=，则
1sin 220
1
2z z i
z I θπ
θ
--=
==
=
⎰
⎰
显然被积函数在单位圆内仅有一个一阶极点(2)z i =。

所以 由留数定理
1sin 220
1
2z z i
z I θπ
θ
--=
==
=
⎰
⎰
22Re 2))i s i ππ=⋅⋅=
31、试求把带形区域0Im z π<<映射成单位圆盘1w <的保形映射变换()w f z =。

解：先作指数函数变换z
e ξ=将带形区域0Im z π<<映射成上半平面Im 0ξ>；
再作分式线性变换i
w i
ξξ-=
+将上半平面Im 0ξ>映射成单位圆盘1w <。

复合上述的两个变换即可得满足要求的一个保形变换为
z z e i w e i
-=+
32、在复数范围内解方程6
6
0(0)z a a +=>。

解：由原方程可得 666i z a a e π
=-=⋅
所以 方程的解为 (21)
6
0,1,2,3,4,5k i k z a e k π+=⋅=。

33、计算复积分
21
(2)
n
z R
dz z -=-⎰
，其中1n ≥为自然数，0R >。

解：令202i z R e
θ
θπ=+⋅≤≤，由复积分的参数方程计算公式得
2(1)1
20
2,
111
0,
1
(2)i n n n z R
i n dz e d n z R π
θπθ---==⎧=
=⎨
≠-⎩⎰
⎰。

34、设22
1
()e f z dz z
ξξξξ=--=
-⎰
，求()f i '，(2)f i '+。

解：由柯西积分公式以及柯西积分定理得
2
22
2(1),2
1()0,
2
z i e z z e f z dz z z ξξ
πξξ=⎧--<--⎪=
=⎨
>-⎪⎩⎰
所以 2(2),
2
()0,
2
z
i e z z f z z π⎧-<⎪'=⎨
>⎪⎩
从而 ()2(2)i
f i i e i π'=-， (2)0f i '+=
（因为12,22i i =<+>）。

35、求出函数1
()(1)(2)
f z z z =
--在扩充平面上的所有孤立奇点的去心邻域内的罗郎展式。

解：因为111
()(1)(2)21
f z z z z z =
=-----在扩充平面上的孤立奇点为1z =，2z =，
z =∞。

所以 在1z =的最大的去心邻域011z <-<内，
11111
()(1)211111n n f z z z z z z z ∞
==-=-=---------∑
在2z =的最大的去心邻域021z <-<内，
11111
()(1)(2)212212n n n f z z z z z z z ∞==-=-=--------+-∑
在z =∞的最大的去心邻域2z <<+∞内，
1
011111121
()212111n n n f z z z z z z z z
∞
+=-=-=⋅-⋅=----∑
36、用留数计算实积分0
1
2cos d π
θθ
+⎰。

解：令i z e θ
=，则
20
111111
2cos 22cos 41
z d d dz i z z π
ππθθθθ-===++++⎰
⎰⎰
显然被积函数在单位圆内仅有一个一阶极点2z =-+ 所以 由留数定理
20
111111
2cos 22cos 41
z d d dz
i z z π
ππθθθθ-===++++⎰
⎰⎰
2112Re (,241i s i z z π=⋅⋅-=++37
、设复数z =
，求z 。

解：因z =
并注意到
11,sin i i i i == 所以 1z =。

38、计算复积分
2
1
1
45
z dz z z =++⎰。

解：因被积函数的不解析点为21z i z =-±∉≤，所以 被积函数在闭圆1z ≤上解析。

由柯西积分定理得 21
1
045
z dz z z ==++⎰。

39、设222
593
()f z dz z
ξξξξ=++=
-⎰
，求()f i '，(12)f i '+。

解：由柯西积分公式和柯西积分定理得
32
322
2(593),2
593()0,
2i z z z f z dz z z ξπξξξ=⎧++<++⎪=
=⎨
>-⎪⎩⎰
所以 2
2(1518),
2
()0,
2
i z z z f z z π⎧+<⎪'=⎨
>⎪⎩
故()2(1518)2(1815)f i i i i ππ'=-+=--，(12)0f i '+=。

（因为12i =<
，122i +=>）
40、求出函数1
()(1)
f z z z =
-在扩充平面上的所有孤立奇点的去心邻域内的罗郎展式。

解：因为111
()(1)1f z z z z z
=
=---在扩充平面上的孤立奇点为1z =，0z =，
z =∞。

所以 在1z =的最大的去心邻域011z <-<内，
11111
()(1)(1)11111n n n f z z z z z z z ∞
==-=-=------+-∑
在0z =的最大的去心邻域01z <<内，
11111()11n
n f z z z z z z z ∞==-=--=----∑。

在z =∞的最大的去心邻域1z <<+∞内，
101111111()111n n f z z z z z z z z
∞+==-=⋅-=-+--∑。

41、用留数计算实积分2
20
1
1cos d π
θθ
+⎰。

解：2
2
2222
02
2
1111211
1cos 21cos 23cos 223cos u d d d du u π
π
π
πθπππθθθθθθ=---
=⋅=⋅=⋅++++⎰⎰⎰⎰ 令i u
z e =，则
21
12
1
3cos 61
z du dz u i
z z π
π
-==
+++⎰
⎰
显然被积函数在单位圆内仅有一个一阶极点3z =-+。

所以 由留数定理
2
1
12
13cos 61z du dz u i
z z π
π
-==
+++⎰
⎰
2212Re (,361i s i z z π=⋅⋅-+=++从而
2
20
1111cos 23cos d du u π
ππθθ-=⋅=++⎰
⎰。

六、证明题
1、证明：2222
1212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。

证明：因 222
1212121212121212()()()()z z z z z z z z z z z z z z z z +=++=++=+++ 而 1212122Re[]z z z z z z +=
所以 222
1212122Re[]z z z z z z +=++ 同理可得 222
1212122Re[]z z z z z z -=+- 两式相加得 2222
1212122()z z z z z z ++-=+
它表明以1z 和2z 为两邻边的平行四边形的对角线的平方和等于它的两邻边的平方和的两倍。

2、设3
2
(,)3u x y x xy =-，证明： （1）(,)u x y 是z 平面上的调和函数；
（2）求以(,)u x y 为实部的解析函数()f z ，使得(0)f i =。

证明：（1）因
222
233,6u u x y x x x
∂∂=-=∂∂，226,6u u xy x y y ∂∂=-=-∂∂ 2222
6(6)0u u
x x x y ∂∂+=+-=∂∂ 所以 (,)u x y 是z 平面上的调和函数。

（2）设所求的解析函数为()f z u iv =+，因2
2222()3363z z x z z
y i
u u
f z i x y xyi z x y
+=
-=∂∂'=
-=-+=∂∂
所以 3
()f z z c =+。

又 由(0)f i =可得 c i =，所以 所求的解析函数为 3
()f z z i =+。

3、（1）证明：1
02
C
dz z =+⎰
，其中:1C z =； （2）利用（1）的结果证明0
12cos 054cos d π
θ
θθ
+=+⎰。

（1）证明：因为被积函数的不解析点21z z =-∉≤，所以由柯西积分定理得
1
02
C
dz z =+⎰
（2）解：令,()i z e θ
πθπ=-≤≤，由复积分的参数方程计算公式得
1cos sin 2cos 12sin 022cos sin 54cos C
i i dz d d z i ππ
ππ
θθθθθθθθθ--+++===++++⎰
⎰⎰ 2cos 1sin 254cos 54cos d i d π
π
π
π
θθ
θθθθ--+=
+++⎰
⎰
比较两边的实部和虚部得
12cos 054cos d π
π
θ
θθ
-+=+⎰
再注意到被积函数是偶函数得
12cos 112cos 054cos 254cos d d π
ππθθ
θθθθ
-++=⋅=++⎰
⎰。

4、若()f z 在区域D 内解析，在区域D 内，Re z e =，则在区域D 内()f z e ic =+，其中
c 为是实常数。

证明：设()f z u iv =+，则 u e =。

由题设()f z 在区域D 内解析，由柯西黎曼条件得
0u v x y ∂∂=
=∂∂，0u v
y x
∂∂==-∂∂，
从而由数学分析的知识得 v c =，c 为是实常数 所以 在区域D 内 ()f z e ic =+，其中c 为是实常数。

5、设()f z 在闭区域0(0)z z R R -≤>上解析，令0()max ()z z R
M R f z -==，证明：
()
0!()
()(0,1,2,)n n
n M R f
z n R ⋅≤
= ---------- 柯西不等式。

证明：由解析函数的高阶导数公式得
0()01
0!()
()(0,1,2,)2()n n z z R
n f z f z dz n i
z z π+-==
=-⎰
在0z z R -=上，11
0()()
()n n f z M R z z R ++≤
- 由积分的估值性得
0()0110!
()!()!()
()2(0,1,2,)2()2n n n n
z z R
n f z n M R n M R f z dz R n z z R R
ππ
π++-==
≤⋅⋅==-⎰
6、若()f z 在区域D 内解析，在区域D 内，Im 1z =，则在区域D 内()f z c i =+，其中c 为是实常数。

证明：设()f z u iv =+，则 1v =。

由题设()f z 在区域D 内解析，由柯西黎曼条件得
0u v x y ∂∂==∂∂，0u v y x
∂∂=-=∂∂， 从而由数学分析的知识得 u c =，c 为是实常数 所以 在区域D 内 ()f z c i =+，其中c 为是实常数。

7、设()f z 在闭区域(0)z R R <>上解析，并且具有泰勒展式
01()n n f z a a z a z =++
++
，
令()max ()z r
M r f z ==，证明：
()
(0,1,2,,0)n n
M r a n r R r ≤
=<< 。

证明：由泰勒系数的计算公式得
0()01
0()1()
(0,1,2,,0)!2()
n n n z z r
f z f z a dz n r R n i
z z π+-===
=<<-⎰
在0z z r -=上，11
0()()
()n n f z M r z z r
++≤-。