(完整版)高中数学知识汇总——不等式

必修 5 第 3 章不等式知识汇总
一、常用的不等式的基天性质：
（ 1 ）a b b a （反对称性）
（ 2 ）a b,b c a c （传达性）
（ 3 ）a b a c b c （可加性,也叫移项法例）
（ 4 ）a b,c0ac bc （不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变！）
a b, c0ac bc （不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变！）
a b
a c
b d （同向不等式相加，不等号方向不变！）
（ 5 ）
c
d
a b0
ac bd0 （正数同向不等式相乘，不等号方向不变！）
（ 6 ）
c
d0
（ 7 ）a b0, n N , n1a n b n0 （正数乘方法例）
（ 8 ）a b0, n N , n1n a n b0 （正数开方法例）
二、一元二次不等式及其解法
1 、三个“二次”间的关系（以下a> 0）
△= b 2 - 4ac△> 0△=0△< 0
二次函数y y y
y=ax 2+bx+c
x
0x
的图象x1x20x 一元二次方程有两个不等实根x1， x2有两个相等实根
b无实根ax2+bx+c= 0的根x1< x2x1= x 2=2a
一元二次不等式b
{x|x < x1或x> x2 }R
{x|x≠}
2a
ax2+bx+c >0的解集
一元二次不等式{x|x1< x < x2 }ΦΦ
ax2+bx+c <0的解集
2 、一元二次不等式的一般解法：一看二次项的系数，二算△，三绘图并据图写解集；
3、含参数不等式的解法：分类议论；
4 、不等式恒建立问题的解决：即不等式解集为R；
5 、高次不等式的解法：数轴标根法（也叫穿针引线法）用曲线自右往左、自上往下挨次穿过，遇偶次重根穿而可是，遇奇次重根一次穿过。

三、基本不等式
1 、关于随意两个正数
a b
ab 。

a, b ，它们的算术均匀数是，几何均匀数是
2
2 、基本不等式：
关于随意 a 0, b 0 ，都有
a b
2 ab ）此中等号建立的条件是 a b 。

ab，（即： a b
2
3 、基本不等式的应用：求最值（“一正数、二定值、三相等条件” ）设 x 0, y0，则
（ 1 ）若x y s （s是常数），即两正数的和为定值，则
x y s
y 时，等号建立，xy（当 x
22
积 xy 获得最大值s2
）4
（ 2 ）若xy
x y
p （当x y 时，等号建立，p (p是常数），即两正数的积为定值，则xy
2
和 x y 获得最小值 2 p 。

）。