安徽省寿县第一中学2017届高三上学期第二次月考文数试题Word版含解析

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项
是符合题目要求的.
1. 已知集合}3,1,0{=A }03|{2
=-=x x x B ，则=B A （ ） A ．}0{ B ．}1,0{ C ．}3,0{ D ．}3,1,0{ 【答案】C 【解析】
试题分析：因为{}2
{|30}0,3B x x x =-==，所以{}0,3A
B =，故选C.
考点：集合的运算； 2. 已知复数i
i
z 212-+=
(i 为虚数单位)，则复数=z （ ） A ．1- B ．1 C ．i D ．i - 【答案】C 【解析】 试题分析：()()()()2122512121+25
i i i i
z i i i i +++=
===--，故选C. 考点：复数的运算.
3. =⋅-⋅
78cos 162cos 78sin 18sin （ ） A ．23-
B ．2
1
- C ．23 D ．21 【答案】D 【解析】 试题分析：
1
sin18sin 78cos162cos78sin18cos12cos18sin12sin 302
⋅-⋅=⋅︒+︒︒=︒=
,故选D. 考点：1.诱导公式；2.两角和与差的三角公式.
4. “2>x ”是“0822
>-+x x ”成立的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B. 【解析】
试题分析：2
28042x x x x +->⇔<->或,所以“2>x ”是“0822
>-+x x ”成立的充分不必要条件，故选B.
考点：1.一元二次不等式解法；2.充分条件与必要条件. 5. ABC ∆的角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若8
7
cos =A ，2=-a c ，3b =，则=a （ ） A ．2 B ．2
5 C ．3 D ．27
【答案】A 【解析】
试题分析：由2c a -=得2c a =+，所以22222
79(2)cos 826(2)
b c a a a A bc a +-++-===+，解
之得2a =，故选A. 考点：余弦定理.
6. 已知}{n a 为等差数列，156531=++a a a ，471642=++a a a ，}{n a 的前n 项和为n S ，则使得n S 达到最大值时n 是（ ）
A ．19
B ．20
C ．21
D ．22 【答案】B 【解析】
考点：1.等差数列的性质；2.等差数列前n 项和的性质.
7. 若变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥>+-≤-+1
010
3y y x y x ，则x y x z 2+=的最小值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 【答案】C 【解析】
考点：线性规划.
8. 如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111D C B A ABCD -中，点P 是平面1111D C B A 内一点，则三棱锥BCD P -的正视图与侧视图的面积之和为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．
5
【答案】A 【解析】
试题分析：该三棱锥的正视图的面积为111212S =
⨯⨯=，侧视图的面积为21
1212
S =⨯⨯=，所以其面积之和为122S S S =+=，故选A. 考点：三视图.
9. 已知向量)sin ,(cos θθ-=，)2sin ,2cos (θθ-=， ))2((ππθ，∈，若向量,的夹角为ϕ，则有（ ）
A ．θϕ=
B ．θπϕ-=
C ．πθϕ-=
D ．πθϕ2-= 【答案】C 【解析】
考点：1.向量的坐标运算；2.诱导公式.
10. 对于使不等式M x f ≤)(成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做函数)(x f 的上确界. 若+
∈R b a ,，1=+b a ，则b
a 2
21--的上确界为（ ） A ．2
9
-
B ．29
C ．41
D ．4-
【答案】A 【解析】
试题分析：由题意可知，函数()f x 的上确界为函数()f x 的最大值，因为
()121252592222222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-
-=-++=-++≤-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，当且仅当22b a a b =即2b a =时，所以122a b -
-的最大值为92
-，即b a 221--
的上确界为29
-，故选A. 考点：1.新定义问题；2.基本不等式.
【名师点睛】本题考查新定义下函数的最值问题与基本不等式相结合的问题，属中档题；对于新定义问题，要根据题意将问题进行适当适当转化，转化为熟悉的问题求解，旨在考查学生的学习新知的能力与转化能力、运算求解能力.
11. 直线t x =分别与函数1)(+=x
e x
f 的图象及12)(-=x x
g 的图象相交于B A ,两点，则
||AB 的最小值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．42ln 2-
D ．2ln 23- 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意可知点A 、B 两点的坐标为(,1)t
A t e +，(,21)
B t t -，所以
12122t t AB e t e t =+-+=-+，令()22t h t e t =-+，则()2t h t e '=-，在区间(,ln 2)
-∞上，()0h t '<，()h t 单调递减，在区间(ln 2,)+∞上，()0h t '>，()h t 单调递增，所以
ln 2min ()(ln 2)2ln 2242ln 2h t h e ==-+=-，故选C.
考点：导数与函数的单调性、最值.
【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、最值，属中档题；利用导数求函数的极值与最值是高考的热点、重点，已知函数求极值时，先求函数的导数()f x '，再解方程()0f x '=，列表检验()f x '在()0f x '=的根的附近两侧的符号，可求函数的极值.
12. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<++≥-=-0
,440,15)(2|1|x x x x x f x ，则关于x 的方程04)(5)(2
=+-x f x f 的实数根
的个数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．6
D ．7 【答案】D 【解析】
考点：函数与方程.
【名师点睛】本题考查函数与方程，属中档题；函数与方程是高考的热点与难点，通常通过函数的图象、导数等知识求解，函数图象在高中数学不等式问题中的运用，可将函数与方程问题变得形象直观，把复杂问题变得简单，把抽象问题变得具体，将数的大小问题变成形位置问题，简化解题步骤.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 不等式
12
1
≤-x 的解集是 . 【答案】(,2)[3,)-∞+∞.
【解析】 试题分析：1331002222
x x x x x x --≤⇔≤⇔≥⇔<---或3x ≥，即不等式
121
≤-x 的解集是(,2)
[3,)-∞+∞.
考点：不等式的解法.
14. 已知正方形ABCD 的边长为1，a AB =，b BC =，c AC =，则=++|| .
【答案】 【解析】
试题分析：222a b c AB BC AC AC ++=++=
=
考点：向量的几何运算．
15. 已知正项等比数列}{n a 满足5
12911012e a a a a =+，则
=+++2021ln ln ln a a a .
【答案】50 【解析】
考点：1.等比数列的性质；2.对数的运算性质.
【名师点睛】本题考查等比数列的性质、对数的运算性质，属中档题；等比数列基本量运算常见问题有：1.化基本量求通项，即求等比数列的两个基本量1,a q ，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解；
2.化基本量求特定项，利用等比数列的通项公式或等比数列的性质求解；
3.化基本量求公比，利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解；
4.化基本量求和，直接将基本量代入前n 项和公式求解.
16. 对任意实数x 均有034)3(2>-+--a e a e x x
，则实数a 的取值范围为 .
【答案】4(,]3
-∞ 【解析】
即数a 的取值范围4(,]3
-∞.
考点：1.函数与不等式；2.导数与函数的单调性.
【名师点睛】本题考查函数与不等式、导数与函数的单调性，属难题；导数在不等式应用问
题中是每年高考的必考内容，解答题中出现较多，主要考查不等式的证明与不等式恒成立问题.利用导数解决不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的范围，也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.本题就是釆用参变分离的方法求解的.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知函数1)cos (sin cos 2)(+-=x x x x f . （1）求函数)(x f 的最小正周期和单调增区间； （2）ABC ∆中，锐角A 满足1)(=A f ，2=
b ，3=
c ，求a 的值.
【答案】(1) )(x f 的最小正周期为π；单调增区间为)](8
3,8
[Z k k k ∈+
-
π
ππ
π；(2) 5=a .
【解析】
试题分析：(1)由二倍角公式及两角和与差公式化简函数的解析式得())4
f x x π
=-，
由22
T ππ=
=可求该函数的最小正周期，由)(224222Z k k x k ∈+≤-≤+-ππ
πππ可求函
数的单调递增区间；（2）由()1f A =先求出角4
A π
=
，再利用正弦定理即可求a .
由余弦定理得54
cos
322922
=⨯⨯-+=π
a ，∴5=a .
考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的图象与性质；3.余弦定理.
【名师点睛】本题考查.三角恒等变换、三角函数的图象与性质、余弦定理，属中档题；利用
同角三角函数基本关系化简的基本方法是切化弦，角的表示与化为一个角的三角函数是解本题的关键，熟练掌握公式是解题的基础.
18. （本小题满分12分）设数列}{n a 满足21=a ， 121+-=+n a a n n ，*
∈N n .
（1）证明：数列}{n a n -为等比数列，并求}{n a 的通项公式； （2）若数列)
12(1
1+-=
-n n n a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n S .
【答案】(1)证明见解析，n a n n +=-1
2；(2)1
n n S n =
+. 【解析】
试题分析：(1) 在已知式两边同减去1n +得)(2)1(12)1(1n a n n a n a n n n -=+-+-=+-+，即
2)
1(1=-+-+n
a n a n n ，再求出首项111=-a 即可证明该数列为等比数列，由等比数列的通项
公式先求出数列{}n a n -的通项公式，即可求数列{}n a 的通项公式；(2)将数列{}n a 的通项公式代入n b 的表达式得1
1
1)1(1)12(11+-=+=+-=
-n n n n a n b n n n ，代入n S 即可.
试题解析：（1）证明：由已知得)(2)1(12)1(1n a n n a n a n n n -=+-+-=+-+，即
2)
1(1=-+-+n
a n a n n ，
∴数列}{n a n -为等比数列，公比为2，首项为111=-a ，∴12-=-n n n a ，∴n a n n +=-1
2.
（2）解：1
1
1)1(1)12(11
+-=+=+-=-n n n n a n b n n n ， ∴1
1111113121211+=
+-=+-++-+-
=n n
n n n S n . 考点：等比数列的定义与性质；2.裂项相消法求和.
19. （本小题满分12分）解关于x 的不等式01)1(2
>++-x a ax （a 为常数且0≠a ）. 【答案】0<a 时不等式的解集为)1,1
(a ； 10<<a 时不等式的解集为),1()1,(+∞-∞a
；
1=a 时不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ ；1>a 时不等式的解集为),1()1
,(+∞-∞ a
.
若1>a ，110<<a ，不等式的解集为),1()1
,(+∞-∞ a
【解析】
若1=a ，不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ ； 若1>a ，110<<
a ，不等式的解集为),1()1
,(+∞-∞ a
； 考点：1.一元二次不等式的解法；2.含参不等式的解法.
20. （本小题满分12分）某化工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂厂家的生产成本有以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴所有职工20元组成；③后续保养的平均费用是每单位)30600
(-+
x
x 元（试剂的总产量为x 单位，20050≤≤x ）. （1）把生产每单位试剂的成本表示为x 的函数关系)(x P ，并求)(x P 的最小值； （2）如果产品全部卖出，据测算销售额)(x Q （元）关于产量x （单位）的函数关系为
3
30
11240)(x x x Q -
=，试问：当产量为多少时生产这批试剂的利润最高？ 【答案】（1）8100
()40P x x x =++，)(x P 的最小值为220元；
（2）产量为100单位时生产这批试剂的利润最高. 【解析】
考点：1.函数建模问题；2.基本不等式；3.导数与函数的单调性、极值、最值.
21. （本小题满分12分）已知函数x ax x x x f --=2ln )(.
（1）当2
1=a 时，证明：)(x f 在定义域上为减函数； （2）若R a ∈时，讨论函数)(x f 的零点情况.
【答案】（1）见解析；（2）当21e a >
时，函数)(x f 没有零点； 当21e a =或0≤a 时，函数)(x f 有一个零点；当2
10e a <
<时，函数)(x f 有两个零点. 【解析】
试题分析：（1）先求函数)(x f 的定义域，再求函数)(x f 的导数'()ln f x x x =-，令令x x x g -=ln )(，则1'()x g x x
-=
，由此可得1)1()(max -==g x g ，即即0ln )(<-=x x x g ，0)('<x f ，可证结论成立；（2）0ln 2=--x ax x x ⇔x
x a 1ln -=，构造函数x x x h 1ln )(-=，求函数()h x 的导数22ln '()x h x x -=，由导数研究函数的单调性，画出函数的图象，数形结合零点情况.
试题解析： （1）由题意可知函数)(x f 的定义域为),0(+∞
x x x x x f -=--+=ln 11ln )('.
令x x x g -=ln )(，则x
x x x g -=-=111)('， 当10<<x 时，0)('>x g ；当1>x 时，0)('<x g ；
∴)(x h 的图象大致如图示：
当21e a >时，方程x
x a 1ln -=没有根， 当21e
a =或0≤a 时，方程x x a 1ln -=有一个根， 当210e a <<时，方程x
x a 1ln -=有两个根. ∴当21e
a >时，函数)(x f 没有零点； 当21e
a =或0≤a 时，函数)(x f 有一个零点； 当210e a <<时，函数)(x f 有两个零点. 考点：1.导数与函数的单调性、极值、最值；2.函数与方程.
【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、极值、最值、函数与方程,属难题；求函数的单调区间的步骤：①确定函数()y f x =的定义域；②求导数()y f x ''=，令()0f x '=，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；③把函数()y f x =的间断点(即()y f x =的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()y f x =的定义区间分成若干个小区间；④确定()f x '在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的角平分线，ACD ∆的外接圆交BC 于点E ，AC AB 2=.
（1）求证：AD BE 2=；
（2）当1=AC ，2=EC 时，求AD 的长.
【答案】(1)见解析；(2)
12
. 【解析】
CBA DBE ∠=∠，
∴DBE ∆∽CBA ∆，即有CA
DE BA BE =. 又AC AB 2=，∴DE BE 2=. 又CD 是ACB ∠的角平分线，∴DE AD =，从而AD BE 2=.
（2）解：∵1=AC ，2=EC ，∴22==AC AB ，设t AD =，由割线定理得，BC BE BA BD ⋅=⋅，
即)2(2)(CE AD AD BA AD AB +⋅=⋅-，∴)22(22)2(+=⨯-t t t ，即02322=-+t t ， 解得21=t 或2-=t （舍去），即2
1=AD . 考点：1.圆的性质；2.三角形相似.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θ
θsin 2cos 22y x （θ为参数），在极坐
标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l 的极坐标方程为22)4sin(=+π
θρ.
（1）求曲线C 在极坐标系中的方程；
（2）求直线l 被曲线C 截得的弦长.
【答案】(1)θρcos 4=；(2).
【解析】
（2）直线l 的直角坐标方程为04=-+y x .
由⎩
⎨⎧=-+=-+040422y x x y x 得直线l 与曲线C 的交点坐标为)2,2(，)0,4(，
∴弦长为22)02()42(22=-+-.
考点：1.直角坐标方程与极坐标方程的相互转化；2.直线与圆的位置关系.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数2|||12|)(--+=x x x f .
（1）解不等式0)(≥x f ；
（2）若存在实数x ，使得a x x f +≤||)(，求实数a 的取值范围.
【答案】(1) ),1[]3,(+∞--∞ ；(2)3a ≥-.
【解析】
（2）21|||21|2||2|12|||)(a x x a x x a x x f +≤-+
⇒+≤-+⇒+≤ 由21|||21|21≤-+≤-x x ，只需32
121-≥⇒+≤-a a . 考点：1.含绝对值不等式的解法；2.绝对值不等式的性质.。