冀教版-数学-八年级上册-17.3 勾股定理第3课时 作业
冀教版数学八年级上册 17.3 勾股定理
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二 勾股定理的逆定理的应用
利用勾股定理逆定理判定三角形是直角三角形的一般步骤
（1）先比较三边a，b，c的大小，找到最长边；
（2）计算两短边的平方和，看它是否与最长边的平方和相等. 若相等，是直角三角形，并且最长边对应的角是直角；若不 相等，则不是直角三角形.
BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，
则BE的长为（
A.4 cm
） B
B.5 cm
C.6 cm
D.10 cm
C D
A
B
E
2．有一个高为1.5 m，半径是1 m的圆柱形油桶，在靠近边 的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外 的部分为0.5 m，问这根铁棒有多长？
解:设伸入油桶中的长度为x m,则最长时:
3.填空题 在△ABC中, ∠C=90°,AC=6,CB=8,则
△ABC的面积为___2_4_,斜边上的高CD为____4_._8.
A D
C
B
4.一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图), 这时梯脚与墙的距离是多少?
A
解：在Rt△ABC中，根据勾股
定理，得：
BC2=AB2-AC2
=2.52-2.42
问题1 如图，每一个小方格都是边长为1的小正方形，在所
围成的△ABC中，∠ACB=90°，图中以AC,BC,AB 为边的正方
形的面积分别是多少？这三个正方形的面积之间具有怎样的
初中数学冀教版八年级上册第十七章 特殊三角形17.3 勾股定理-章节测试习题(4)
章节测试题1.【答题】已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）A. 12B. 7+C. 12或7+D. 以上都不对【答案】C【分析】本题考查了勾股定理．【解答】设Rt△ABC的第三边长为x，①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，x==5，此时这个三角形的周长=3+4+5=12；②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，x=，此时这个三角形的周长=3+4+=7+．选C2.【答题】一个直角三角形的斜边长比一条直角边长多2cm，另一条直角边长6cm，那么这个直角三角形的斜边长为（）A. 4cmB. 8cmC. 10cmD. 12cm【答案】C【分析】本题考查了勾股定理．设直角三角形的斜边是xcm，则另一条直角边是（x-2）cm．根据勾股定理列方程求解即可．【解答】设直角三角形的斜边是xcm，则另一条直角边是（x-2）cm．根据勾股定理，得（x-2）2+36=x2，解得：x=10，则斜边的长是10cm．选C.3.【答题】如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A. +1B. ﹣+1C. ﹣1D.【答案】C【分析】本题考查了勾股定理．先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．【解答】图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为：，∴﹣1到A的距离是，那么点A所表示的数为：﹣1，选C.4.【答题】点M（2，3），N（-2.4）.则MN应为（）．A. 17B. 1C.D.【答案】C【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理及两点间的距离公式进行计算．【解答】解：MN=选C.5.【答题】一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高长为（）A. 13B.C.D.【答案】C【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理，先求出斜边的长，再根据等面积法，进而求解得出答案【解答】解：∵两直角边长分别为5和12∴斜边=∵S三角形=斜边上的高∴斜边上的高=选C6.【答题】已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A. 25B. 14C. 7D. 7或25【答案】D【分析】本题考查了勾股定理．【解答】已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况进行讨论解答．分两种情况：（1）3、4都为直角边，由勾股定理得第三边长的平方是25；（2）3为直角边，4为斜边，由勾股定理得第三边长的平方是7，选D.7.【答题】如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的边长为（）A. 64B. 16C. 8D. 4【答案】C【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理求出正方形A的面积，根据算术平方根的定义计算即可．【解答】解：由勾股定理得，正方形A的面积=289-225=64，∴字母A所代表的正方形的边长为=8，选C.8.【答题】“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4，则小正方形与大正方形的面积比是（）A. 1：2B. 1：4C. 1：5D. 1：10【分析】本题考查了勾股定理．【解答】∵直角三角形的两条直角边的长分别是2和4，∴小正方形的边长为2，根据勾股定理得：大正方形的边长=，∴．选C.9.【答题】已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长为（）A. 5B. 7C.D. 或5【答案】D【分析】本题考查了勾股定理．【解答】分两种情况：（1）边长为4的边为直角边，则第三边即为斜边，则第三边的长为；（2）边长为4的边为斜边，则第三边即为直角边，则第三边的长为，选D.10.【答题】如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A. +1B. -1C. -+1D. --1【分析】本题考查了勾股定理．【解答】由勾股定理得：∴数轴上点A所表示的数是选B.11.【答题】一直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边与斜边长的和是49cm，则斜边（）A. 18cmB. 20cmC. 24cmD. 25cm【答案】D【分析】本题考查了勾股定理．【解答】设另一条直角边为xcm，则斜边为（49-x）cm，然后可根据勾股定理得，解得x=24，则49-x=49-24=25cm．选D.12.【答题】一个三角形三个内角之比为1：2：1，其相对应三边之比为（）A. 1：2：1B. 1：：1C. 1：4：1D. 12：1：2【答案】B【分析】本题考查了勾股定理．根据三个内角之比，判定这个三角形为等腰直角三角形，从而求得斜边的值，故其相对应三边之比可求．【解答】设三个角的度数分别为x，2x，x，∴根据三角形内角和定理可求出三个角分别为45°，45°，90°，∴这个三角形是等腰直角三角形，∴斜边等于直角边的倍，∴相对应三边之比为1：：1．选B.13.【答题】有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（）米．A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的应用．此题可以过低树的一端向高树引垂线．则构造了一个直角三角形：其斜边是小鸟飞的路程，一条直角边是4，另一条直角边是两树相差的高度3．根据勾股定理得：小鸟飞了5米．【解答】解：如图所示，AB＝6m，CD＝3m，BC＝4m，过D作DE⊥AB于E，则DE＝BC＝4m，BE＝CD＝3m，AE＝AB﹣BE＝6﹣3＝3m，在Rt△ADE中，AD＝5m．选C.14.【答题】小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿直插到离岸边6米远的水底，竹竿高出水面2米，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（）A. 7mB. 8mC. 9mD. 10m【答案】B【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据河水的深、竹竿的长、离岸的距离三者构成直角三角形，作出图形，根据勾股定理即可求解．【解答】解：如图在直角△ABC中，AC＝6m．AB﹣BC＝2m．设河深BC＝xm，则AB＝2+x（m）．根据勾股定理得出：∵AC2+BC2＝AB2∴62+x2＝（x+2）2解得：x＝8．即河水的深度为8m，选B.15.【答题】如图，字母B所代表的正方形的面积是A. 12B. 144C. 13D. 194【答案】B【分析】本题考查了勾股定理．外围正方形的面积就是斜边和一直角边的平方，实际上是求另一直角边的平方，用勾股定理即可解答．【解答】如图，根据勾股定理我们可以得出：a2+b2＝c2a2＝25，c2＝169，b2＝169﹣25＝144，因此B的面积是144．选B.16.【答题】如图，正方形的一个顶点为A，有两个顶点对应于数轴上表示1和2的两点，以原点O为圆心，以OA为半径顺时针画弧，交数轴于点B，则点B对应的数是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理计算即可．【解答】解：∴点B所表示的实数为，选B.17.【答题】如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中最大正方形E的边长为10，则四个正方形A，B，C，D的面积之和为（）A. 24B. 56C. 121D. 100【答案】D【分析】本题考查了勾股定理．根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可．【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可知：S E=S F+S G=S A+S B+S C+S D=100；即四个正方形A，B，C，D的面积之和为100；选择：D.18.【答题】若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值为（）．A. 3B.C. 2D. 或2【答案】D【分析】本题考查了勾股定理．x可为斜边也可为直角边，因此要分类进行讨论，利用勾股定理求解．【解答】解：当x为斜边时，x2=22+42=20，∴；当4为斜边时，x2=16-4=12，选D19.【答题】如图，若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】本题考查了勾股定理．根据已知条件∠A=90°可以得出斜边为a，再利用勾股定理c2+b2=a2即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A=90°，因此斜边为a，∴c2+b2=a2，即正确；其它选项与c2+b2=a2不相符，故A、B、D错误；选C．20.【答题】一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A. 斜边长为5B. 三角形的周长为25C. 斜边长为25D. 三角形的面积为20【答案】A【分析】本题考查了勾股定理．【解答】有勾股定理得：斜边＝＝5，故A正确，C错误；三角形的周长为：3＋4＋5＝12，故B错误；三角形的面积为：×3×4＝6，故D错误．选A．。
冀教版数学八年级上册(同步练习)《17.3 勾股定理》第三课时
《勾股定理》第三课时同步练习1．若一个三角形的边长分别是12、16和20，则这个三角形最长边上的高长是_______。
2．在△ABC 中，如果AC ²+BC ²=AB ²，那么_____=90°。
3.一个三角形的三边长的比为5：12：13，且周长为60cm ，则它的面积为________。
4. 已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，且a+b+c+50=6a+8b+10c ，则△ABC 的形状为____。
5. 在△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC 的周长为_______.1．分别以下列四组为一个三角形的三边的长：①6、8、10；②5、12、13；③8、15、17；④7、8、9，其中能构成直角三角形的有（ ）。
A.4组B.3组C.2组D.1组2.下列命题中,为假命题的是 ( )。
A.三角形的三个内角度数之比为1:2:3,那么这个三角形是直角三角形;B.三角形的三个内角度数之比为1:1:2,那么这个三角形是直角三角形;C.三角形的三边长度之比为3:4:5,那么这个三角形是直角三角形;D.三角形的三边长度之比为8:16:17,那么这个三角形是直角三角形.3．△ABC 的三边为a 、b 、c ，且(a+b)(a-b)=c 2，则 ( )。
A .a 边的对角是直角 B. b 边的对角是直角C. c 边的对角是直角D. 不是直角三角形4.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是 ( )。
A. 钝角三角形;B. 锐角三角形;C. 直角三角形;D. 等腰三角形.1．如图，等腰△ABC ，AB=AC ，∠C=30°，AB ⊥AD,AD=2，求BC 的长。
2. 如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=4m ，CD=3m ，AB=13m ，BC=12m ，求这块地的面积。
D CB A答案和解析一．1. 9.62. ∠C3. 120cm²4. 直角三角形5. 42或32二．1.B 2.D 3.A 4.C 三．1. 解：∵AB=AC ∴∠B=∠C=30°∴∠ADC=60°∵∠ADC=∠DAC+∠C∴∠DAC=∠C∴AD=CD=2∵AB ⊥AD∴△ABD 是直角三角形 ∴BD=4∴BC=62.解：连接AC∵∠ADC=90°，AD=4m ，CD=3m 由勾股定理得：AC=5m ∵AB 2 BC 2+ AC 2△ABC 是直角三角形 ∴这块地的面积=S △ABC +S △ACD =36(cm 2)D CB A。
2021-2022学年冀教版八年级数学上册《17-3勾股定理》知识点分类训练(附答案)
2021-2022学年冀教版八年级数学上册《17.3勾股定理》知识点分类训练（附答案）一．勾股定理1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，且a＝7，b＝24，则c的长为（）A．26B．18C．25D．212．如图，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝36，S2＝64，则S3＝（）A．8B．10C．80D．1003．如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直边为边，分别向外作两个正方形，记为②．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的面积是．4．如图：∠C＝90°，△ABC的面积为20，在AB的同侧，分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分（即“希波克拉底月牙形”）的面积为．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，动点P从点A出发在射线AC上以2cm/s的速度运动．设运动的时间为ts．（1）直接填空：BC的长为cm；（2）当△P AB是等腰三角形时，求t的值．6．如图，∠B＝∠OAF＝90°，BO＝3cm，AB＝4cm，AF＝12cm，求：（1）AO，FO的长；（2）图中半圆的面积．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，分别以点A、B为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，求CD 的长．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；（2）若AC＝5，BC＝12，且正方形OECF的面积为4，求△ABO的面积．二．勾股定理的证明9．如图，是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果EF＝4，AH＝12，那么AB等于．10．把图1中长和宽分别为3和2的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为．三．勾股定理的逆定理11．下列长度的三条线段中，可以构成直角三角形的是（）A．6，15，17B．7，12，15C．13，15，20D．7，24，25 12．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（）A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC是直角三角形C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形D．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠A＝90°13．若△ABC的三边长分别为a，b，c．下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b ﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：12：13．其中能判断△ABC是直角三角形的是（填序号）．14．如图，已知四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，CD＝12cm，AD＝13cm，求四边形ABCD的面积cm2．15．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，BC＝24m，AB＝26m，则图中阴影部分的面积为．16．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝13，AC＝15，点D是BC边上一点，BD＝5，AD ＝12，求BC的长度．17．如图，正方形网格的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在格点上．（1）分别求出AB，BC，AC的长；（2）试判断△ABC是什么三角形，并说明理由．四．勾股数18．下列各组数中，不是勾股数的是（）A．6，8，10B．9，41，40C．8，12，15D．5k，12k，13k（k为正整数）19．5、12、m是一组勾股数，则m＝．20．观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32＝4+5；列举：5、12、13，猜想：52＝12+13；列举：7、24、25，猜想：72＝24+25；…列举：13、b、c，猜想：132＝b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b＝，c＝．参考答案一．勾股定理1．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝7，b＝24，∴c2＝a2+b2∴c＝25．故选：C．2．解：∵在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，又由正方形面积公式得S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2，∴S3＝S1+S2＝36+64＝100．故选：D．3．解：第①个正方形的面积为16，第②个正方形的面积为8，第③个正方形的面积为4，故答案为：4．4．解：由勾股定理得，AB2＝AC2+AC2，则阴影部分的面积＝π×（）2+π×（）2+S△ABC﹣π×（）2＝π×（BC2+AC2﹣AB2）+20＝20．故答案为：20．5．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，∴＝＝6．故答案为：6；（2）①如图1，当AB为底时，点P在AC上，AP＝2tcm，CP＝（8﹣2t）cm．作PD垂直平分AB，垂足为点D，交AC于点P，连接BP．由（1）得：BC＝6，∵PD垂直平分AB，∴AP＝BP＝2tcm．在Rt△BCP中，BC2+CP2＝BP2，即62+（8﹣2t）2＝（2t）2，36+64﹣32t+4t2＝4t2，解得：．②如图2，当BP1为底时，点P1在AC的延长线上，AP1＝2tcm．∵AP1＝AB，∴2t＝10，解得：t＝5．③如图2，当AP2为底时，点P2在AC的延长线上，AP2＝2tcm，P2C＝（2t﹣8）cm．∵P2B＝AB，BC⊥P2A，∴P2C＝AC（“三线合一”），即2t﹣8＝8，解得：t＝8．所以当△P AB是等腰三角形时，t的值为5或8或．6．解：（1）∵在Rt△ABO中，∠B＝90°，BO＝3cm，AB＝4cm，∴AO2＝BO2+AB2＝25，∴AO＝5cm，在Rt△AFO中，由勾股定理得FO2＝AO2+AF2＝132，∴FO＝13cm；（2）图中半圆的面积为：π×＝π×＝（cm2）．7．解：连接AD．∵PQ垂直平分线段AB，∴DA＝DB，设DA＝DB＝x，在Rt△ACD中，∠C＝90°，AD2＝AC2+CD2，∴x2＝32+（5﹣x）2，解得x＝，∴CD＝BC﹣DB＝5﹣＝，故答案为．8．解：（1）证明：过点O作OM⊥AB，∵BD是∠ABC的一条角平分线，OM⊥AB，OE⊥BC，∴OE＝OM，∵四边形OECF是正方形，∴OE＝OF，OF⊥AC，∴OM＝OF，∴点O在∠BAC的平分线上；（2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝＝13，∵正方形OECF的面积为4，∴OE＝2，∵BD是△ABC的一条角平分线，∴OM＝2，∴△ABO的面积是13×2÷2＝13．二．勾股定理的证明9．解：∵△ABH≌△BCG，∴BG＝AH＝12，∵四边形EFGH都是正方形，∴HG＝EF＝4，∴BH＝16，∴在直角三角形AHB中，由勾股定理得到：AB＝．故答案为：20．10．解：3﹣2＝1，1×1＝1．故图2中小正方形ABCD的面积为1．故答案为：1．三．勾股定理的逆定理11．解：A、∵62+152≠172，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，不符合题意；B、∵72+122≠152，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，不符合题意；C、∵132+152≠202，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，不符合题意；D、∵72+242＝252，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，符合题意；故选：D．12．解：A、如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC是直角三角形，选项正确；B、如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC是直角三角形，选项正确；C、如果a2：b2：c2＝9：16：25，满足a2+b2＝c2，那么△ABC是直角三角形，选项正确；D、如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，选项错误；故选：D．13．解：∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B，∵∠A+∠C+∠B＝180°，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，故①符合题意；∵a2＝（b+c）（b﹣c）∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形，故②符合题意；∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，∴△ABC不是直角三角形，故③不符合题意；∵a：b：c＝5：12：13，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故④符合题意；故答案为：①②④．14．解：连接AC，在Rt△ABC中，AB＝3cm，BC＝4cm，则由勾股定理得：AC＝5cm，∵AC2+CD2＝25+144＝169，又∵AD2＝132＝169，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴四边形ABCD面积＝S△ABC+S△ACD＝×3×4+＝36（cm2）．15．解：在Rt△ADC中，∵CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m，∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，∴AC＝10m，（取正值）．在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676．∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°．∴S阴影＝AC×BC﹣AD×CD＝×10×24﹣×8×6＝96（m2）．故答案是：96m216．解：在△ABD中，∵AB＝13，BD＝5，AD＝12，∴BD2+AD2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，∴BD2+AD2＝AB2∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ACD中，由勾股定理得，∴BC＝BD+CD＝5+9＝14．17．解：（1），，；（2）△ABC是直角三角形，理由如下：∵，AC2＝52＝25，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形．四．勾股数18．解：A、62+82＝102，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；B、92+402＝412，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；C、82+122≠152，不能构成直角三角形，故不是勾股数；D、（5k）2+（12k）2＝（13k）2，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；故选：C．19．解：当12是最长边时，52+m2＝122，m＝（舍去）当m是最长边时，m2＝52+122，m＝13．故答案是：13．20．解：在32＝4+5中，4＝，5＝；在52＝12+13中，12＝，13＝；…则在13、b、c中，b＝＝84，c＝＝85．。
初中数学冀教版八年级上册《勾股定理第三课时》同步练习
《勾股定理》第三课时同步练习1．若一个三角形的边长分别是12、16和20，则这个三角形最长边上的高长是_______。
2．在△ABC中，如果AC²+BC²=AB²，那么_____=90°。
3.一个三角形的三边长的比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为________。
4. 已知△ABC的三边为a，b，c，且a+b+c+50=6a+8b+10c，则△ABC的形状为____。
5. 在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为_______.1．分别以下列四组为一个三角形的三边的长：①6、8、10；②5、12、13；③8、15、17；④7、8、9，其中能构成直角三角形的有（）。
A.4组B.3组C.2组D.1组2.下列命题中,为假命题的是( )。
A.三角形的三个内角度数之比为1:2:3,那么这个三角形是直角三角形;B.三角形的三个内角度数之比为1:1:2,那么这个三角形是直角三角形;C.三角形的三边长度之比为3:4:5,那么这个三角形是直角三角形;D.三角形的三边长度之比为8:16:17,那么这个三角形是直角三角形.3．△ABC的三边为a、b、c，且(a+b)(a-b)=c2，则( )。
A .a边的对角是直角 B. b边的对角是直角C. c边的对角是直角D. 不是直角三角形4.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )。
A. 钝角三角形;B. 锐角三角形;C. 直角三角形;D. 等腰三角形.1．如图，等腰△ABC，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD,AD=2，求BC的长。
2.如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积。
D CBA◆填空题◆选择题◆解答题◆答案和解析一．1. 9.62. ∠C3. 120cm²4. 直角三角形5. 42或32二．1.B 2.D 3.A 4.C 三．1. 解：∵AB=AC ∴∠B=∠C=30°∴∠ADC=60°∵∠ADC=∠DAC+∠C ∴∠DAC=∠C∴AD=CD=2∵AB ⊥AD∴△ABD 是直角三角形 ∴BD=4∴BC=62.解：连接AC∵∠ADC=90°，AD=4m ，CD=3m 由勾股定理得：AC=5m ∵AB 2 BC 2+ AC 2△ABC 是直角三角形 ∴这块地的面积=+=36() D CB A。
冀教版八年级上册(新)数学第17章《17.3勾股定理》同步练习(word版含答案)(K12教育文档)
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17．3勾股定理练习题一、基础达标:1。
下列说法正确的是（ ）A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；B.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；C.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边, 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2；D.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边, 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2．2. Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ,则下列各式成立的是（ ）A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+3． 如果Rt △的两直角边长分别为k 2－1,2k （k 〉1）,那么它的斜边长是（ ）A 、2kB 、k+1C 、k 2－1D 、k 2+14。
已知a ，b ，c 为△ABC 三边,且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2）＝0，则它的形状为（ )A 。
直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D 。
等腰三角形或直角三角形5． 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定6． △ABC 中,AB ＝15，AC ＝13,高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33 7.※直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）（A2d （B d（C ）2d （D)d + 8、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是（3，4),则OP 的长为（ )A ：3 B ：4 C ：5 D ：79．若△ABC 中,AB=25cm,AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为（ ）A ．17 B.3 C.17或3 D 。
冀教版初中数学八年级上册 17.3 勾股定理 学案
勾股定理学习目标:1、 在经历“观察—猜想—归纳—验证”的过程中初步理解和掌握勾股定理。
2、 体会数形结合和由特殊到一般的数学思想。
3、 在探究活动中培养合作交流意识和探索精神。
学习重点：勾股定理的探究过程。
学习难点：用拼图的方法对勾股定理的验证。
学习方法：观察思考 自主探索 合理猜想 动xx 学习用具：4个全等的直角三角形 学习过程：一、独立思考，大胆猜想（一）如图是灰白相间的正方形方砖铺成的地面，每块方砖的边长为1，仔细观察图形，完成下列问题。
（1） 算一算各正方形的面积。
S 1= S 2= S 3= （2） 猜一猜S 1、S 2、S 3的数量关系。
（3） 换一换 等腰直角三角形的两直角边用a 、b表示，斜边用c 表示，用a 、b 、c 表示S 1、S 2、S 3，则S 1= S 2= S 3=（4） 写一写 请你用等腰直角三角形三边a 、b 、c 把S 1、S 2、S 3间的关系表示出来？（二）如图1-3，是边长为1（1）算一算各正方形的面积。
S 1= S 2= S 3=（2）猜一猜S 1、S 2、S 3的数量关系。
（3）换一换 直角三角形的两直角边用a 、b 表示，斜边用c 表示，用a 、b 、c 表示S 1、S 2、S 3，则S 1= S 2= S 3=(4)写一写 请你用直角三角形三边a 、b 、c 把S 1、S 2、S 3间的关系表示出来？ （三）通过上述探究，请你大胆写出你的猜想：对于直角三角形，如果两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么abc1S 2S 3S请用语言叙述你的发现：二、操作实验，验证猜想请你用手中的四个全等的直角三角形拼成如图(1)(2)所示的图形，借助你所拼出的图形的面积之间的关系，验证a2+b2=c2。
三、应用新知，解决问题1、利用勾股定理求图中各直角三角形中未知的边长。
2、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长是10米，则正方形A、B、C、D的面积之和为（）。
冀教版八年级数学 17.3 勾股定理(学习、上课课件)
感悟新知
续表 方法
加菲尔德 总统拼图
图形
知2－讲
说明 设梯形的面积为S，则 S＝12(a＋b)(a＋b)＝12a2 ＋12b2＋ab. 又因为S＝ 12ab＋12ab＋12c2＝12c2＋ab， 所以a2＋b2＝c2
感悟新知
续表 方法
毕达哥拉 斯拼图
图形
说明
知2－讲
由图①得大正方形的面
积＝c2＋4×12ab，由图 ②得大正方形的面积＝
3. 勾股定理的常见变形( a， b 分别为两直角边， c 为斜边) a2 =c2 － b2 ； b2 =c2 － a2 ； c= a2 + b2； a= c2 － b2 ； b= c2 － a2.
感悟新知
知1－练
例1 在 Rt △ ABC 中，∠ A，∠ B，∠ C 的对边分别为 a， b， c，∠ C=90° . (1)已知 a=3， b=4，求 c； (2)已知 c=19， a=13，求 b；(结果保留根号) (3)已知 a∶ b=1∶2， c=5，求 b.(结果保留根号) 解题秘方：紧扣勾股定理的特征解答 .
ab=
c2+2ab 2
.
∴
(a+b) 2
2
=
c2+22整ab个. ∴图a形2+的b2面=c积2. 等于不重叠、无空
∴ AC′ =AC=c， ∠ BAC= ∠ B′ AC′ .
感悟新知
∴∠ CAC′ = ∠ CAB′ + ∠ B′AC ′ =∠ CAB′ +∠ 知2－练
BAC=90° .
∴ S 梯形 BCC ′ D ′ =S △ ABC+S △ CAC ′ +S △ D ′ AC ′ =
17.3 第3课时 勾股定理的逆定理分层训练 2021—2022学年冀教版八年级数学上册
第3课时勾股定理的逆定理【基础练习】知识点勾股定理的逆定理1.[2020·邯郸月考]在三边长分别为下列各数的三角形中,不是直角三角形的为( )A.4,√7,5B.2,3,√5C.5,13,12D.1,√2,√32.若△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)2+|a2+b2-c2|=0,则下列对△ABC的形状描述最准确的是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形3.李老师要做一个直角三角形教具,做好后量得三边长分别是30 cm,40 cm和50 cm,则这个教具.(填“合格”或“不合格”)4.如图,一根电线杆高8 m.为了安全起见,在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6 m处加一根拉线.拉线工人发现所用线长为10.3 m(不计捆缚部分),则电线杆与地面.(填“垂直”或“不垂直”)5.如图,∠A=90°,AC=AB=8,CD=4,BD=12,则∠ACD= °.6.[2020·唐山期末]如图在△ABC中,D是BC边的中点,BC=12,AD=8,AB=10.求证:AB=AC.7.如图,在△ABC中,AB=AC,D是AC边上的一点,CD=1,BC=√5,BD=2.(1)求证:△BCD是直角三角形;(2)求△ABC的面积.【能力提升】8.如图1,在四个均由16个边长都为1的小正方形组成的网格中,各有一个△ABC(△ABC的顶点均在格点上),那么这四个三角形中,不是直角三角形的是 ( )图19.在△ABC中,AB=5,BC=12,AC=13,P是AC上一个动点,则线段BP长的最小值是( )A.6013B.5 C.3013D.1210.[2020·河北]图2是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片,面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按图中的方式组成图案,使所围成的三角形是面积最大的直角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是( )图2A.1,4,5B.2,3,5C.3,4,5D.2,2,411.如图3,在3×3的网格中,每个小正方形的边长都是1,若A,B,C都是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为.图312.阅读下列解题过程:已知a,b,c为△ABC的三边长,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状.解:∵a2c2-b2c2=a4-b4,①∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),②∴c2=a2+b2,③∴△ABC是直角三角形.上述解题过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的序号: ;错误的原因为;本题正确的结论是 .13.如图4,某住宅小区在施工过程中留下了一块空地(图中的四边形ABCD),经测量,在四边形ABCD中,AB=3 m,BC=4 m,CD=12 m,DA=13 m,∠B=90°.(1)△ACD是直角三角形吗?为什么?(2)小区为美化环境,欲在空地上铺草坪,已知草坪每平方米80元,则铺满这块空地共需花费多少元?图414.如图5所示,在△ABC中,AB∶BC∶AC=3∶4∶5,且周长为36 cm,点P从点A出发沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动;点Q从点B出发沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.若点P,Q 同时出发,求3 s后,△BPQ的面积.图5第3课时 勾股定理的逆定理1.A [解析] A.42+(√7)2≠52,不能构成直角三角形;B.22+(√5)2=32,能构成直角三角形;C.52+122=132,能构成直角三角形;D.12+(√2)2=(√3)2,能构成直角三角形. 2.C [解析] ∵(a -b)2+|a 2+b 2-c 2|=0, ∴a -b=0,a 2+b 2-c 2=0,∴a=b,a 2+b 2=c 2,∴△ABC 是等腰直角三角形. 3.合格4.不垂直 [解析] 根据勾股定理的逆定理判定电线杆、地面水平线段、拉线是否能构成直角三角形.若能,则垂直;若不能,则不垂直.5.45 [解析] ∵∠A=90°,AC=AB=8,∴BC=√82+82=8√2. ∵CD=4,BD=12,∴CD 2+BC 2=16+128=144=BD 2,∴△BCD 是直角三角形, ∴∠DCB=90°.∵AC=AB,∠A=90°,∴∠ACB=45°, ∴∠ACD=45°.6.证明:∵D 是BC 边的中点,BC=12,∴BD=6. ∵AD=8,AB=10,∴在△ABD 中,BD 2+AD 2=62+82=102=AB 2, ∴△ABD 是直角三角形,且∠ADB=90°, ∴AD⊥BC.又∵D 是BC 边的中点, ∴AD 是BC 的垂直平分线, ∴AB=AC.7.解:(1)证明:∵CD=1,BC=√5,BD=2, ∴CD 2+BD 2=BC 2,∴△BCD 是直角三角形. (2)设腰长AB=AC=x,则AD=x-1. 由(1)知∠BDC=90°,∴∠ADB=90°. 在Rt △ADB 中,∵AB 2=AD 2+BD 2, ∴x 2=(x-1)2+22,解得x=52,∴△ABC 的面积=12AC ·BD=12×52×2=52.8.A9.A [解析] ∵AB=5,BC=12,AC=13, ∴AB 2+BC 2=169=AC 2,∴△ABC 是直角三角形,∠B=90°. 当BP ⊥AC 时,BP 的长最小.此时S △ABC =12×13·BP=12×5×12,解得BP=6013,即线段BP 长的最小值是6013.10.B [解析] 设选取的三块纸片的面积分别为a,b,c(a ≤b<c),根据勾股定理可知a+b=c,所以选取的三块纸片可能为:①a=b=1,c=2,此时直角三角形的面积为12;②a=1,b=2,c=3,此时直角三角形的面积为√22;③a=1,b=3,c=4,此时直角三角形的面积为√32;④a=1,b=4,c=5,此时直角三角形的面积为1;⑤a=2,b=2,c=4,此时直角三角形的面积为1;⑥a=2,b=3,c=5,此时直角三角形的面积为√62.所以选取的三块纸片的面积分别是2,3,5时,所围成的三角形的面积最大.故选B. 11.45°12.③ a 2-b 2可能为零 △ABC 为直角三角形或等腰三角形[解析] 由c 2(a 2-b 2)=(a 2+b 2)(a 2-b 2)得到c 2=a 2+b 2是在等式的两边同时除以(a 2-b 2),所以要讨论a 2-b 2与0的关系.当a 2-b 2=0时,所给等式恒成立,所以可得a=b,即△ABC 为等腰三角形.当a 2-b 2≠0时,由c 2(a 2-b 2)=(a 2+b 2)(a 2-b 2)得到c 2=a 2+b 2,得△ABC 是直角三角形,所以从第③步开始出现错误.错误的原因是a 2-b 2可能为零.本题正确的结论是△ABC 为直角三角形或等腰三角形.13.解:(1)△ACD 是直角三角形.理由:如图,连接AC. 在Rt △ABC 中,∵AB=3 m,BC=4 m,∠B=90°, ∴AB 2+BC 2=AC 2,则AC=5 m.在△ACD 中,AC=5 m,CD=12 m,DA=13 m, ∴AC 2+CD 2=DA 2,∴△ACD 是直角三角形,且∠ACD=90°.(2)∵S △ABC =12×3×4=6(m 2),S △ACD =12×5×12=30(m 2),∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =6+30=36(m 2),则铺满这块空地共需花费36×80=2880(元). 答:铺满这块空地共需花费2880元.14.解:设AB=3x cm,BC=4x cm,AC=5x cm.∵△ABC 的周长为36 cm, ∴AB+BC+AC=36 cm, 即3x+4x+5x=36,解得x=3, ∴AB=9 cm,BC=12 cm,AC=15 cm. ∵92+122=152,∴AB 2+BC 2=AC 2, ∴△ABC 是直角三角形,∠B=90°. 3 s 后,BP=9-3×1=6(cm),BQ=2×3=6(cm), ∴S △BPQ =12BP ·BQ=12×6×6=18(cm 2).。
冀教版八年级上册数学第17章 特殊三角形 勾股定理
第17章 特殊三角形
17.3 勾股定理
第1课时 勾股定理
1D 2A 3D 4B 5B
提示：点击 进入习题
6A 7A 8A 9D 10 B
答案显示
11 C 12 17 13 B 14 D 15 B
答案显示
16
15
3或 10
3
17 20
18 见习题
1．下列说法正确的是( ) D A．若a，b，c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2 B．若a，b，c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2 C．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2 D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则c2＋b2＝a2
∴S△FAM＝S△ABN，∴S△ABC＝S四边形FNCM. ∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2＋BC2＝AB2. ∵AC＋BC＝6，∴(AC＋BC)2＝AC2＋BC2＋2AC·BC＝36， ∴AB2＋2AC·BC＝36. ∵AB2－2S△ABC＝10.5，∴AB2－AC·BC＝10.5， ∴3AB2＝57，
直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是( )
A．1，4，5
B．2，4
B
11．【2019·浙江宁波】勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀 算经》中早有记载．如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把 较小的两个正方形按图②的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面 积，则一定能求出( ) A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积 C．较小两个正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和 C
解得 AB＝ 19(负值舍去) .
【答案】B
16．【易错：未分类讨论导致漏解】已知△ABC中，AB＝10，AC＝2，∠B＝ 30°，则△ABC的面积等于________________．
冀教版数学八年级上册_《勾股定理》补充习题(三)
17.3勾股定理补充习题（三）
1．在三边分别为下列长度的三角形中，哪些不是直角三角形（）
A．5，13，12B．2，3，C．4，7，5D．1，
2．下列命题中假命题是（）
A．三个角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形
B．三个角的度数之比为1：：2的三角形是直角三角形
C．三边长度之比为1：：2的三角形是直角三角形
D．三边长度之比为：2的三角形是直角三角形
3．已知一个三角形的三边分别为3k，4k，5k（k为自然数），则这个三角形为＿＿＿三角形。
4．如果三角形三边满足，则三角形为＿＿＿＿。
5．如图，已知：CD⊥AB于D，且有
求证：△ACB为直角三角形。
6．如图，ABCD是正方形，，求证：DE⊥EF
7．已知：在△ABC中，三条边长分别为a、b、c，a=n2－1，b=2n，c=n2+1（n＞1）求证：∠C=90°。
答案
1．答：C
2．答：B
3．答：直角三角形
4．提示
答：直角三角形
5．证明：∵CD⊥AB
∴
又∵
∴
∴△ABC为直角三角形。
6．提示：连结DE，可得△EFD是直角三角形7．证明：∵a2+b2
=（n2－1）2+（2n）2
=n4－2n2+1+4n2
=n4+2n2+1
=（n2+1）2=c2
∴∠C=90°（勾股定理的逆定理）。
2021-2022学年冀教版八年级数学上册《17-3勾股定理》同步达标训练(附答案)
2021-2022学年冀教版八年级数学上册《17.3勾股定理》同步达标训练（附答案）1．在直角三角形中，若两条边的长分别是1cm、2cm，则第三边的长为（）A．3cm B．cm C．2cm或cm D．cm或cm 2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4等于（）A．20B．18C．16D．143．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形边长为1，大正方形边长为5，则一个直角三角形的周长是（）A．6B．7C．12D．154．已知如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB＝10，则图中阴影部分的面积为（）A．50B．C．100D．5．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法错误的是（）A．如果∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2＝b2﹣a2，则△ABC是直角三角形C．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形D．如果a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形6．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6．按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧交于点E；③作射线AE；④以同样的方法作射线BF，AE交BF于点O，连接OC，则OC为（）A．2B．2C．D．17．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（）A．5m B．6m C．3m D．7m8．如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A、B处距河岸DC的距离AC、BD的长分别为500m和700m，且C，D两点的距离为500m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边饮水再回家，那么牧童最少要走的距离为（）A．1000m B．1200m C．1300m D．1700m9．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4cm的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15cm，则该圆柱底面周长为（）cm．A．9B．10C．18D．2010．直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为7cm2，8cm2，则以斜边为边长的正方形的面积为cm2．11．AD是△ABC的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，则BD＝．12．如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形围成的，若CF＝5，AB＝13，则EF 的长为．13．面积为48的等腰三角形底边上的高为6，则腰长为．14．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ADB的面积大小关系为：S△ABC S△ADB（填“＞”“＝”或“＜”）．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥AB交AB于点E，过C作CF∥BD交ED于F．（1）若∠A＝36°，求∠CFD的度数；（2）若BC＝5，AB＝13，求AD的长度．16．如图是5×6的网格．（1）如图（1），A，B，C是网格中的三个格点（即小正方形的顶点），判断AC与BC的数量和位置关系，直接写出结论，不需要说明理由；（2）如图（2），求∠1+∠2的度数（要求：画出示意图并给出推导过程）．17．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下如图（1）∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF＝b﹣aS四边形ADCB＝S△ADC+S△ABC＝﹣b2+abS四边形ADCB＝S△ADB+S△BCD＝c2+a（b﹣a）∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）化简得：a2+b2＝c2请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明如图（2）中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c218．如图，每小个正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点称格点，△ABC的顶点都是在格点上．（1）求△ABC的周长；（2）求△ABC的面积．19．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图①，若∠C＝90°，则有a2+b2＝c2．若△ABC为锐角三角形时，小明猜想：a2+b2＞c2．理由如下：如图②，过点A作AD⊥CB于点D，设CD＝x．在Rt△ADC中，AD2＝b2﹣x2，在Rt△ADB中，AD2＝c2﹣（a﹣x）2，∴a2+b2＝c2+2ax．∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴a2+b2＞c2，∴当△ABC为锐角三角形时，a2+b2＞c2．小明的猜想是正确的．（1）请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系．（温馨提示：在图③中，作BC边上的高）（2）证明你猜想的结论是否正确．20．如图，△ABC中，D是BC上的一点，若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求△ABC 的面积．21．勾股定理是数学中最常见的定理之一，熟练的掌握勾股数，对迅速判断、解答题目有很大帮助，观察下列几组勾股数：a b c13＝1+24＝2×1×25＝2×2+125＝2+312＝2×2×313＝4×3+137＝3+424＝2×3×425＝6×4+149＝4+540＝2×4×541＝8×5+1…………n a＝b＝c＝（1）你能找出它们的规律吗？（填在上面的横线上）（2）你能发现a，b，c之间的关系吗？（3）你能用以上结论解决下题吗？20192+20202×10092﹣（2020×1009+1）2参考答案1．解：①若直角边长分别为1cm、2cm，则由勾股定理可得斜边长为：＝（cm）；②若斜边为2cm，则第三边为直角边，由勾股定理得：＝（cm）．综上，第三边的长为cm或cm．故选：D．2．解：连接PF，过点F作FD⊥AK于点D，∵AB＝EB，∠ACB＝∠ENB＝90°，而∠CBA+∠CBE＝∠EBN+∠CBE＝90°，∴∠CBA＝∠EBN，∴△CBA≌△NBE（AAS），故S4＝S△ABC；又∵F A＝AB，∠FDA＝∠ACB＝90°，而∠F AD+∠CAB＝∠CAB+∠ABC＝90°，∴∠F AD＝∠ABC，∴△F AD≌△ABC（AAS），同理可证△ACT≌△FDK，∴S2＝S△FDA＝S△ABC，同理可证△TPF≌△KME，△AQF≌△ABC，∴S1+S3＝S△ADF＝S△ABC，综上所证：S1+S2+S3+S4＝3S△ABC＝3×＝18．故A、C、D错误，3．解：设直角三角形两条直角边长分别为a和b，由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b＝1，根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可知：25＝4×ab+1，所以2ab＝24，根据勾股定理，得a2+b2＝52，所以（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25+24＝49，因为a+b＞0，所以a+b＝7，所以7+5＝12．所以一个直角三角形的周长是12．故选：C．4．解：∵△AHC为等腰直角三角形，∴∠AHC＝90°，AH＝CH，由勾股定理得：AH2+CH2＝AC2，∴AH＝CH＝AC，同理：CF＝BF＝BC，AE＝BE＝AB，∵AC2+CB2＝AB2＝100，∴图中阴影部分的面积＝×AH2+×CF2+×AE2＝××（AC2+CB2+AB2）＝50，故选：A．5．解：A、∠C﹣∠B＝∠A，即∠A+∠B＝∠C，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，那么△ABC是直角三角形，说法正确；B、c2＝b2﹣a2，即a2+c2＝b2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90，说法正确；C、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，说法正确；D、a＝3，b＝5，c＝4，32+52≠42，但是32+42＝52，则△ABC可能是直角三角形，故原来说法错误．6．解：过点O作OD⊥BC，OG⊥AC，垂足分别为D，G，由题意可得：O是△ACB的内心，∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴四边形OGCD是正方形，∴DO＝OG＝＝2，∴CO＝2．故选：A．7．解：设BO＝xm，由题意得：AC＝1m，BD＝1m，AO＝4m，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝42+x2，在Rt△COD中，根据勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（4﹣1）2+（x+1）2，∴42+x2＝（4﹣1）2+（x+1）2，解得：x＝3，∴AB＝＝＝5（m），即梯子AB的长为5m，故选：A．8．解：作A点关于河岸的对称点A′，连接BA′交河岸与P，连接A′B′，连接P A，过A'作A'B'⊥BD于B'，则PB+P A＝PB+P A′＝BA′最短，故牧童应将马赶到河边的P地点．∴B'D＝A'C＝CA＝500m，∴BB′＝BD+BD′＝700+500＝1200（m），∵A'B'＝CD＝500m，∴BA'＝＝＝1300（m）．即牧童至少要走的距离为1300m，故选：C．9．解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF 的长，即AF+BF＝A'B＝15cm，延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，∵AE＝A'E＝DG＝4cm，∴BD＝12cm，Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D＝＝9cm，∴则该圆柱底面周长为18cm．故选：C．10．解：设直角三角形ABC的两直角边是a和b，斜边是c，则由勾股定理得：a2+b2＝c2，则分别以ab为边长的两个正方形的面积之和是a2+b2＝7cm2+8cm2＝15cm2，以斜边c为边长的正方形的面积是S＝c2＝a2+b2＝15cm2，故答案为：15．11．解：设BD＝x，在Rt△ABD中，AD2＝42﹣x2＝16﹣x2，在Rt△ADC中，AD2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2，所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，解得，x＝，故答案为：．12．解：如图，∵正方形ABCD是由四个全等的直角三角形围成的，∴AH＝BE＝CG＝DF，AE＝BG＝CF＝DH，∴EG＝GF＝GH＝HE，∴四边形EGFH为菱形，∵△ABE为直角三角形，∴∠AEB＝∠GEH＝90°，∴四边形EGFH为正方形，∵四边形ABCD为正方形，∴CD＝AB＝13，在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，CF＝5，根据勾股定理得，DF＝12，∴GF＝DF﹣DH＝GC﹣FC＝7，在△GEF中，GE＝GF＝7，∠EGF＝90°，根据勾股定理得，EF＝＝7．故答案为：7．13．解：如图所示：△ABC中，AB＝AC，AD是底边BC上的高，则BC•AD＝48，BD＝CD，即BC×6＝48，∴BC＝16，∴BD＝BC＝8，∴AB＝＝＝10，故答案为：10．14．解：∵AB2＝8，BC2＝2，AC2＝10，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC＝××2＝2，S△ABD＝×2×2＝2，∴S△ABC＝S△ABD，故答案为：＝．15．证明：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，∠A＝36°，∴∠ABD＝∠DBC＝27°，∴∠BDC＝63°，∵CF∥BD，∴∠DCF＝∠BDC＝63°．∵∠CDF＝∠ADE＝54°，∴∠CFD＝180°﹣∠DCF﹣∠CDF＝63°．（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AB＝13，∴AC＝12，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴DC＝DE，∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∴∠AED＝∠ACB，∵∠A＝∠A，∴Rt△AED∽Rt△ACB，∴DE：AD＝BC：AB＝，∴AD＝12×＝．16．解：（1）AC＝BC且AC⊥BC．理由：如图（1），∵CD＝BE，∠ADC＝∠CEB＝90°，AD＝CE，∴△ACD≌△CBE（SAS），∴AC＝CB，∠ACD＝∠CBE，又∵∠CBE+∠BCE＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°，∴AC⊥BC；（2）如图（2），作△ABC，△DEF，∵BC＝FE，∠ABC＝∠DFE，AB＝DF，∴△ABC≅△DFE（SAS），∴∠ACB＝∠DEF＝∠2．由图，结合勾股定理，得，，AD＝5，∴AC2+DC2＝5+20＝25＝AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°．∵∠2+∠ACD+∠1＝180°，∴∠1+∠2＝180°﹣∠ACD＝180°﹣90°＝90°．17．证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABE+S△ADE＝ab+b2+ab，又∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△BDE＝ab+c2+a（b﹣a），∴ab+b2+ab＝ab+c2+a（b﹣a），∴a2+b2＝c2．18．解：（1）由勾股定理得：，，，∴△ABC的周长＝；（2）由（1）可知，AC2+AB2＝（）2+（）2＝20，BC2＝（2）2＝20，∴AC2+AB2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∴．19．解：（1）当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系为：a2+b2＜c2；（2）如图③，过点A作AD⊥BC于点D，设CD＝x，在Rt△ADC中，AD2＝b2﹣x2，在Rt△ADB中，AD2＝c2﹣（a+x）2，∴b2﹣x2＝c2﹣（a+x）2，∴a2+b2＝c2﹣2ax，∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴a2+b2＜c2即当△ABC为钝角三角形时，a2+b2＜c2．20．解：∵BD2+AD2＝62+82＝102＝AB2，∴△ABD是直角三角形，∴AD⊥BC，在Rt△ACD中，，∴S△ABC＝，因此△ABC的面积为84．答：△ABC的面积是84．21．解：（1）由表中数据可得：a＝2n+1，b＝2n（n+1），c＝2n（n+1）+1，故答案为：2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1；（2）a2+b2＝c2，理由是：∵a＝2n+1，b＝2n（n+1），c＝2n（n+1）+1，∴a2+b2＝（2n+1）2+[2n（n+1）]2＝[2n（n+1）]2+4n（n+1）+1c2＝[2n（n+1）+1]2＝[2n（n+1）]2+4n（n+1）+1∴a2+b2＝c2；（3）当2n+1＝2019时，n＝1009，∴当n＝1009时，a2＝20192，b2＝[2n（n+1）]2＝20202×10092，c2＝[2n（n+1）+1]2＝[2020×1009+1]2，∵a2+b2＝c2；∴20192+20202×10092﹣（2020×1009+1）2＝0．。
冀教版八年级上册17.3.1勾股定理同步练习试题(有答案)
17.3.1勾股定理同步练习题1．下列说法正确的是(D)A．若a，b，c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2B．若a，b，c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2C．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠C＝90°，则a2＋b2＝c22．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为(A)A．5 B．6 C．7 D．83．在Rt△ABC中，斜边BC＝10，则AB2＋AC2＝(D)A．10 B．20 C．50 D．1004．三个正方形围成如图所示的图形，已知两个正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是(C)A．125 B．135 C．144 D．1605．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为(C)A．5 B．6 C．8 D．106．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB 的长度为(A)A．5 B．6 C．7 D．257．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝2．8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中S A＝10，S B＝8，S C＝9，S D＝4，则S＝(B)A．25 B．31 C．32 D．409．如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D 重合，折痕为MN，则线段BN的长为(C)A.53B.52C．4 D．510．已知直角三角形的两边的长分别是6和8，则第三边长为11．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，则AC等于(B) A．6 B. 6 C. 5 D．412．如图，数轴上点A ，B 分别对应1，2，过点B 作PQ ⊥AB ，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交PQ 于点C ，以原点O 为圆心，OC 长为半径画弧，交数轴于点M ，则点M 对应的数是(B)A. 3B. 5C. 6D.713．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b.若ab ＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为(D)A ．9B ．6C ．4D ．314．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，DE 垂直平分AC ，垂足为O ，AD ∥BC ，且AB ＝3，BC ＝4，则AD 的长为258．15．已知在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝27，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于 16．在一张纸上画两个全等的直角三角形，并把它们拼成如图形状，请用两种方法表示这个梯形的面积．利用你的表示方法，你能得到勾股定理吗？解：∵梯形的面积为12(a ＋b)(a ＋b)＝12ab ＋12ab ＋12c 2，∴a 2＋2ab ＋b 2＝ab ＋ab ＋c 2. ∴a 2＋b 2＝c 2.17．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10 cm ，BC ＝6 cm ，CD ⊥AB 交AB 于点D ，求：(1)AC 的长； (2)△ABC 的面积； (3)CD 的长．解：(1)∵∠ACB ＝90°，AB ＝10 cm ，BC ＝6 cm ， ∴在Rt △ACB 中，AC ＝AB 2－BC 2＝8 cm. (2)S △ABC ＝12BC ·AC ＝12×6×8＝24(cm 2)．(3)∵S △ABC ＝12BC ·AC ＝12CD ·AB ，∴CD ＝BC ·AC AB ＝245cm.18．(益阳中考)如图，在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．作AD ⊥BC 于点D ，设BD ＝x ，用含x 的代数式表示CD.→根据勾股定理，利用AD 作为“桥梁”，建立方程模型求出x.→利用勾股定理求出AD 的长，再计算三角形的面积.解：设BD ＝x ，则CD ＝14－x.由勾股定理，得AD 2＝AB 2－BD 2＝152－x 2，AD 2＝AC 2－CD 2＝132－(14－x)2. 故152－x 2＝132－(14－x)2. 解得x ＝9.∴AD ＝152－92＝12.∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×14×12＝84.。
初中数学冀教版八年级上册第十七章 特殊三角形17.3 勾股定理-章节测试习题(1)
章节测试题1.【答题】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则点C到AB的距离是（）A.B.C.D.【答案】C【分析】本题主要考查的就是直角三角形的勾股定理的应用以及等积法的应用. 【解答】根据勾股定理可得：AB=5，根据三角形的面积法则可得：3×4÷2=5×h÷2，则h=，即点C到AB的距离为.2.【答题】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm【答案】B【分析】根据勾股定理解答即可。
【解答】根据翻折的性质可知：AC=AE=6，CD=DE，设CD=DE=x，在Rt△DEB中利用勾股定理解决．在Rt△ABC中，∵AC=6，BC=8，∴AB===10，△ADE是由△ACD翻折，∴AC=AE=6，EB=AB﹣AE=10﹣6=4，设CD=DE=x，在Rt△DEB中，∵DE2+EB2=DB2，∴x2+42=（8﹣x）2,∴x=3，∴CD=3．选B.3.【答题】如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A.5B.6C.8D.10【答案】C【分析】根据勾股定理解答即可。
【解答】∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∵AB=5，AD=3，∴BD==4，∴BC=2BD=8，选C.4.【答题】如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（）步路（假设2步为1m），却踩伤了花草（）A.4B.6C.7D.8【答案】D【分析】根据勾股定理解答即可。
【解答】根据勾股定理可得斜边长是=10m.则少走的距离是6+8−10=4m，∵2步为1米，∴少走了8步，故答案为D.5.【答题】若一个直角三角形两边长为12和5，第三边长为______。
八年级数学上册 第十七章 直角三角形和勾股定理专题练
直角三角形和勾股定理专题一勾股定理与方程1．如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（）A．6 B．3 C． D．2．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A ＝30°,∠B＝90°,BC＝6米. 当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE＝米时,有DC2＝AE2＋BC2.专题二构造直角三角形3.如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝23，求AB的长．4．如图，在四边形ABCD中，AB:BC:CD:DA=2:2:3:1，且∠ABC=90°，求∠DAB的度数.专题三勾股定理中的分类讨论思想5.在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是．6.在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为_______.7. 在△ABC中， AB=25，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．参考答案1.C 解析：由折叠可知BC=BA=6，DE=AE，∵BC=3，∴CD=BC=3，∴BE=DE=AE，由勾股定理可得AC=DE=AE=BE=x，在Rt△BCE中，32＋()2x=x2，解得x=DE的长度为.2.143解析：因为∠A＝30°,∠B＝90°,BC＝6米，所以AC ＝12米.设当AE 为 x 时，所以EC ＝ 12－x ，由DC 2＝AE 2＋BC 2及DC 2＝DE 2＋EC 2，所以有22＋（12－x ）2＝x 2＋36，解得x ＝143. 3.解：过C 作CD ⊥AB 于D ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°，∵∠B ＝45°，∴∠BCD ＝∠B ＝45°，∴CD ＝BD .∵∠A ＝30°，AC ＝CD∴BD ＝CD由勾股定理得：AD 3，∴AB ＝AD ＋BD ＝3答：AB 的长是34．解：连结AC.设AB 、BC 、CD 、DA 分别为2x ，2x ，3x ，x ，则2222228,,9A C x A D x C D x ===，∴222AC AD CD +=，∴∠DAC=90°，∴∠DAB=90°+45°=135°.4解析：（1）如图①，当AB=AC 时，∵∠A=30°，∴CD=12AC=12×8=4；（2）如图②，当AB=BC 时，则∠A=∠ACB=30°，∴∠ACD=60°，∴∠BCD=30°，∴BD=1=42BC ，∴CD =（3）如图③，当AC=BC 时，则AD=4，设CD=x ，则AC=2x. 则2222)4x x -=（，解得4． 6.42或32 解析：当△ABC 是锐角三角形时，如图①，根据勾股定理可得BD=9，DC=5,∴BC=14,此时△ABC 的周长为15+13+14=42；当△ABC 是钝角三角形时，如图②，根据勾股定理可得BD=9，DC=5,∴BC=9-5=4,此时△ABC 的周长为15+13+4=32.8.解：∵AC=4，BC=2，AB=2+BC 2=AB 2，∴△ACB 为直角三角形，∠ACB=90°．分三种情况如图(1)，过点D 作DE⊥CB，垂足为点E ．易证△ACB≌△BED，易求如图(2)，过点D 作DE⊥CA，垂足为点E ．易证△ACB≌△DEA，易求 如图(3)，过点D 作DE⊥CB，垂足为点E ，过点A 作AF⊥DE ，垂足为点F ．易证△AFD≌△DEB，易求.∴CD 的长为.。
冀教版初中数学八年级上册《17.3 勾股定理》同步练习卷
冀教新版八年级上学期《17.3 勾股定理》同步练习卷一．选择题（共13小题）1．下列各组数能构成勾股数的是（）A．2，，B．3，4，5C．，，D．32，42，52 2．如图，直角三角形三边上的等边三角形的面积从小到大依次记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（）A．S1+S2＞S3B．S1+S2＜S3C．S1+S2＝S3D．S12+S22＞S323．如图，正方形的面积是（）A．5B．7C．25D．104．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（）A．7，24，25B．，，C．1.5，2，2.5D．15，8，17 5．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③x+y＝9；④2xy+4＝49；其中说法正确的是（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④6．下列各组数中是勾股数的是（）A．4，5，6B．0.3，0.4，0.5C．1，2，3D．5，12，137．下列各组数据，是勾股数的是（）A．，，B．32，42，52C．0.5，1.2，1.3D．12，16，208．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（）A．B．C．D．9．如图，△ABC中，CD是AB边上的高，若AB＝1.5，BC＝0.9，AC＝1.2，则CD的值是（）A．0.72B．2.0C．1.125D．不能确定10．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC 于点D，则BD的长为（）A．B．C．D．11．如图，由边长为1的正方形组成的6×5网格中，一块含45°的三角板ABC 的斜边AB始终经过格点N，AC始终经过格点M，点A在MN下方运动，格点P到A的距离最小值为（）A．1B．C．﹣1D．2﹣2 12．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8cm，则图中所有正方形的面积的和是（）A．64B．81C．128D．19213．满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（）A．BC＝1，AC＝2，AB＝B．BC＝1，AC＝2，AB＝C．BC：AC：AB＝3：4：5D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5二．填空题（共15小题）14．若三角边三边长分别为15，12，9，则这个三角形最长边上的高是．15．在△ABC中，AB＝8，BC＝2，AC＝6，D是AB的中点，则CD＝．16．若△ABC中，AB＝7，AC＝10，高AD＝6，则BC的长是．17．已知：如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝1，CD＝，AD＝1，且∠B＝90°．则四边形ABCD的面积为．（结果保留根号）18．已知△ABC的面积为24，∠C＝90°，若AC与BC的长的和是14，则AB 的长是．19．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝135°，CD＝6，AB＝2，则四边形ABCD的面积为．20．如图，在5×5的正方形（每个小正方形的边长为1）网格中，格点上有A、B、C、D、E五个点，如果要求连接两个点之后线段的长度大于3且小于4，则可以连接（写出一个答案即可）21．已知任意直角三角形的两直角边a，b和斜边c之间存在关系式：a2+b2＝c2．如图Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边c＝6，a+b＝8，则△ABC的面积为22．在Rt△ABC中，直角边的长分别为a，b，斜边长c，且a+b＝3，c＝5，则ab的值为．23．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C均在正方形的顶点上，则C 点到AB的距离为．24．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝12，则阴影部分的面积是．25．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC+BC＝6，△ABC的面积为cm2，则斜边AB的长是cm．26．已知：如图，△ACB的面积为30，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，正方形ADEB 的面积为169，则（a﹣b）2的值为．27．已知在△ABC中，AB＝9，AC＝10，BC＝17，那么边AB上的高等于．28．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5，则BD的长为．三．解答题（共11小题）29．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，若AB＝2，CD＝4，BC＝8，求四边形ABCD的面积．30．已知：如图，△ABC中，CD⊥AB，AB＝2，BC＝2，AC＝4．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）求CD的长．31．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足P A＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值．32．将Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的三条边．（1）已知a＝，b＝3，求c的长．（2）已知c＝13，b＝12，求a的长．33．如图，每个小正方形的边长都为1，四边形ABCD的顶点都在小正方形的顶点上．（1）求四边形ABCD的面积；（2）∠BCD是直角吗？说明理由．34．如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，CD＝（1）求AD的长；（2）求证：△ABC是直角三角形．35．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2﹣，BC＝+2，（1）求AB的长；（2）求Rt△ABC的面积．36．如图，在△ABC中，E点为AC的中点，且有BD＝1，CD＝3，BC＝，AD＝．求DE的长．37．已知四边形ABCD中，AB＝10，BC＝8，，∠DAC＝45°，∠DCA ＝15°．（1）求△ADC的面积．（2）若E为AB中点，求线段CE的长．38．如果一个三角形的三边长分别为a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2（m＞n），则这三角形是直角三角形．39．如图，在△ABC中，AC＝3，D为BC上一点，CD＝4，AD＝5，BD＝2，求AB的长．冀教新版八年级上学期《17.3 勾股定理》2018年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．下列各组数能构成勾股数的是（）A．2，，B．3，4，5C．，，D．32，42，52【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A、22+（）2＝（）2，但不是正整数，故选项错误；B、32+42＝52，能构成直角三角形，是整数，故选项正确；C、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故选项错误；D、（32）2+（42）2≠（52）2，不能构成直角三角形，故选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．2．如图，直角三角形三边上的等边三角形的面积从小到大依次记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（）A．S1+S2＞S3B．S1+S2＜S3C．S1+S2＝S3D．S12+S22＞S32【分析】根据等边三角形的面积和勾股定理解答即可．【解答】解：设三个等边三角形的边长为a1、a2、a3，所以三个等边三角形的面积分别为：，∵，∴S1+S2＝S3，故选：C．【点评】本题主要考查运用勾股定理结合图形求面积之间的关系，关键在于根据题意找出直角三角形，运用勾股定理求出三个等边三角形的边长之间的关系．3．如图，正方形的面积是（）A．5B．7C．25D．10【分析】根据勾股定理得出正方形的边长，进而得出正方形的面积．【解答】解：由勾股定理可得：正方形的边长＝，所以正方形的面积＝25，故选：C．【点评】此题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．4．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（）A．7，24，25B．，，C．1.5，2，2.5D．15，8，17【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可．【解答】解：A、∵72+242＝252，∴此三角形是直角三角形，不符合题意；B、∵（）2+（）2≠（）2，∴此三角形不是直角三角形，符合题意；C、∵1.52+22＝2.52，∴此三角形是直角三角形，不符合题意；D、∵82+152＝172，∴此三角形是直角三角形，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．5．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③x+y＝9；④2xy+4＝49；其中说法正确的是（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【分析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答．【解答】解：①∵△ABC为直角三角形，∴根据勾股定理：x2+y2＝AB2＝49，故本选项正确；②由图可知，x﹣y＝CE＝＝2，故本选项正确；③由2xy+4＝49可得2xy＝45①，又∵x2+y2＝49②，∴①+②得，x2+2xy+y2＝49+45，整理得，（x+y）2＝94，x+y＝≠9，故本选项错误；④由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，列出等式为4××xy+4＝49，即2xy+4＝49；故本选项正确．∴正确结论有①②④．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键．6．下列各组数中是勾股数的是（）A．4，5，6B．0.3，0.4，0.5C．1，2，3D．5，12，13【分析】根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案．【解答】解：A、∵52+42≠62，∴这组数不是勾股数；B、∵0.32+0.42＝0.52，但不是整数，∴这组数不是勾股数；C、∵12+22≠32，∴这组数不是勾股数；D、∵52+122＝132，∴这组数是勾股数．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．7．下列各组数据，是勾股数的是（）A．，，B．32，42，52C．0.5，1.2，1.3D．12，16，20【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；B、92+162≠252，不能构成直角三角形，是整数，故错误；C、0.52+1.22＝1.32，能构成直角三角形，但不是整数，故错误；D、122+162＝202，能构成直角三角形，故正确．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．8．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（）A．B．C．D．【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．【解答】解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；D、∵4×+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．9．如图，△ABC中，CD是AB边上的高，若AB＝1.5，BC＝0.9，AC＝1.2，则CD的值是（）A．0.72B．2.0C．1.125D．不能确定【分析】先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，根据计算直角三角形的面积的两种计算方法求出斜边上的高CD．【解答】解：∵AB＝1.5，BC＝0.9，AC＝1.2，∴AB2＝1.52＝2.25，BC2+AC2＝0.92+1.22＝2.25，∴AB2＝BC2+AC2，∴∠ACB＝90°，∵CD是AB边上的高，∴S＝，△ABC1.5CD＝1.2×0.9，CD＝0.72，故选：A．【点评】该题主要考查了勾股定理的逆定理、三角形的面积公式及其应用问题；解题的方法是运用勾股定理首先证明△ABC为直角三角形；解题的关键是灵活运用三角形的面积公式来解答．10．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC 于点D，则BD的长为（）A．B．C．D．【分析】根据图形和三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：如图所示：S△ABC＝×BC×AE＝×BD×AC，∵AE＝4，AC＝＝5，BC＝4即×4×4＝×5×BD，解得：BD＝．故选：C．【点评】本题主要考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求出AC 的长，此题难度一般．11．如图，由边长为1的正方形组成的6×5网格中，一块含45°的三角板ABC 的斜边AB始终经过格点N，AC始终经过格点M，点A在MN下方运动，格点P到A的距离最小值为（）A．1B．C．﹣1D．2﹣2【分析】根据勾股定理解答即可．【解答】解：当AC与CM重合，AB与BN重合时，格点P到A的距离最小，由运动可得：点A的轨迹为圆弧，此时P A＝，故选：B．【点评】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出P A的值．12．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8cm，则图中所有正方形的面积的和是（）A．64B．81C．128D．192【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，利用四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积进而求出即可．【解答】解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，∴正方形A的面积＝a2，正方形B的面积＝b2，正方形C的面积＝c2，正方形D的面积＝d2，又∵a2+b2＝x2，c2+d2＝y2，∴正方形A、B、C、D的面积和＝（a2+b2）+（c2+d2）＝x2+y2＝82＝64（cm2），则所有正方形的面积的和是：64×3＝192（cm2）．故选：D．【点评】本题主要考查了勾股定理，根据数形结合得出正方形之间面积关系是解题关键．13．满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（）A．BC＝1，AC＝2，AB＝B．BC＝1，AC＝2，AB＝C．BC：AC：AB＝3：4：5D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5【分析】先求出两小边的平方和和最长边的平方，看看是否相等即可．【解答】解：A、∵12+（）2＝22，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵12+22＝（）2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵32+42＝52，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠A＝45°，∠5＝60°，∠C＝75°，∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．二．填空题（共15小题）14．若三角边三边长分别为15，12，9，则这个三角形最长边上的高是．【分析】首先根据三角形的三边长证明三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式计算出斜边上的高即可．【解答】解：∵92+122＝152，∴此三角形是直角三角形，设最长边上的高为hcm，×9×12＝×15×h，解得：h＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及直角三角形的面积计算，关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．15．在△ABC中，AB＝8，BC＝2，AC＝6，D是AB的中点，则CD＝4．【分析】先运用勾股定理逆定理得出△ABC是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CD的长．【解答】解：在△ABC中，AB＝8，BC＝2，AC＝6，，所以AB2＝BC2+AC2，所以△ABC是直角三角形，∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝4，故答案为：4【点评】本题考查了勾股定理，关键是根据勾股定理逆定理及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质解答．16．若△ABC中，AB＝7，AC＝10，高AD＝6，则BC的长是+8或8﹣．【分析】分两种情况考虑，如图所示，分别在直角三角形ABC与直角三角形ACD 中，利用勾股定理求出BD与CD的长，即可求出BC的长．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，如图1所示，AB＝7，AC＝10，高AD＝6，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得：BD＝＝，CD＝＝8，此时BC＝BD+CD＝+8；如图2所示，AB＝7，AC＝10，高AD＝6，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得：BD＝＝，CD＝＝8，此时BC＝BD﹣CD＝8﹣，则BC的长为+8或8﹣．故答案为：+8或8﹣．【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 17．已知：如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝1，CD ＝，AD ＝1，且∠B ＝90°．则四边形ABCD 的面积为+．（结果保留根号）【分析】连接AC ，由勾股定理求出AC 的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD 的形状，可知△ABC 和△ADC 是Rt △，再根据S四边形ABCD＝S △ABC +S △ADC 即可得出结论．【解答】解：连接AC ， ∵AB ＝BC ＝1，∠B ＝90° ∴AC ＝， 又∵AD ＝1，DC ＝， ∴（）＝12+（）2即CD 2＝AD 2+AC 2 ∴∠DAC ＝90°，可知△ABC 和△ADC 是Rt △， ∴S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ADC ＝1×1×+1××＝+．故答案为：+．【点评】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．18．已知△ABC的面积为24，∠C＝90°，若AC与BC的长的和是14，则AB 的长是10．【分析】根据题意得到AC2+2AC•BC+BC2＝196，根据三角形的面积公式得到AC•BC＝24，根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵AC+BC＝14，∴（AC+BC）2＝AC2+2AC•BC+BC2＝196，∵△ABC的面积为24，∴AC•BC＝24，∴2AC•BC＝96，∴AB＝＝10，故答案为：10【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．19．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝135°，CD＝6，AB＝2，则四边形ABCD的面积为16．【分析】延长AB和DC，两线交于O，求出OB＝BC，OD＝OA，OA＝AD，BC＝OC，设BC＝OC＝x，则BO＝x，解直角三角形得出方程，求出x，再分别求出△AOD和△BOC的面积即可．【解答】解：延长AB 和DC ，两线交于O ，∵∠C ＝90°，∠ABC ＝135°，∴∠OBC ＝45°，∠BCO ＝90°，∴∠O ＝45°，∵∠A ＝90°，∴∠D ＝45°，则OB ＝BC ，OD ＝OA ，OA ＝AD ，BC ＝OC ，设BC ＝OC ＝x ，则BO ＝x ， ∵CD ＝6，AB ＝2，∴6+x ＝（x +2），解得：x ＝6﹣2， ∴OB ＝x ＝6﹣4，BC ＝OC ＝6﹣2，OA ＝AD ＝2+6﹣4＝6﹣2， ∴四边形ABCD 的面积S ＝S △OAD ﹣S △OBC ＝×OA ×AD ﹣＝×（6﹣2）×﹣＝16，故答案为：16． 【点评】本题考查了勾股定理和三角形的面积，能解直角三角形求出BC 的长度是解此题的关键．20．如图，在5×5的正方形（每个小正方形的边长为1）网格中，格点上有A 、B 、C 、D 、E 五个点，如果要求连接两个点之后线段的长度大于3且小于4，则可以连接 AD （写出一个答案即可）【分析】根据勾股定理求出AD，根据算术平方根的大小比较方法解答．【解答】解：由勾股定理得，AD＝＝，3＜＜4，故答案为：AD．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．21．已知任意直角三角形的两直角边a，b和斜边c之间存在关系式：a2+b2＝c2．如图Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边c＝6，a+b＝8，则△ABC的面积为7【分析】根据勾股定理得到a2+b2＝c2＝36，根据完全平方公式求出2ab，根据直角三角形的面积公式计算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，斜边c＝6，∴a2+b2＝c2＝36，∵a+b＝8，∴（a+b）2＝64，即a2+2ab+b2＝64，∴2ab＝64﹣36＝28，∴△ABC的面积＝ab＝7，故答案为：7．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．22．在Rt△ABC中，直角边的长分别为a，b，斜边长c，且a+b＝3，c＝5，则ab的值为10．【分析】先根据勾股定理得出a2+b2＝c2，利用完全平方公式得到（a+b）2﹣2ab ＝c2，再将a+b＝3，c＝5代入即可求出ab的值．【解答】解：∵在Rt△ABC中，直角边的长分别为a，b，斜边长c，∴a2+b2＝c2，∴（a+b）2﹣2ab＝c2，∵a+b＝3，c＝5，∴（3）2﹣2ab＝52，∴ab＝10．故答案为10．【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．也考查了完全平方公式以及代数式求值．23．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C均在正方形的顶点上，则C 点到AB的距离为．＝4，根据勾股定理求出AB＝【分析】连接AC、BC．利用割补法求出S△ABC＝，设C点到AB的距离为h，根据S＝AB•h＝4，即可求出h的值．△ABC【解答】解：如图，连接AC、BC．S△ABC＝3×3﹣×3×1﹣×3×1﹣×2×2＝4，AB＝＝，设C点到AB的距离为h，＝AB•h＝4，∵S△ABC∴h＝＝．故答案为．【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了三角形的面积．24．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝12，则阴影部分的面积是12．【分析】根据等腰直角三角形的性质求出AC、BC，根据正切的概念求出CM，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝45°，∴CA＝CB＝AB＝6，∵∠ACB＝90°，∠ADE＝90°，∴BC∥DE，∴∠AMC＝∠E＝60°，∴CM＝＝2，∴阴影部分的面积＝×6×2＝12，故答案为：12．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．25．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC+BC＝6，△ABC的面积为cm2，则斜边AB的长是5cm．【分析】根据题意得到AC2+2AC•BC+BC2＝36，根据三角形的面积公式得到AC •BC＝，根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵AC+BC＝6，∴（AC+BC）2＝AC2+2AC•BC+BC2＝36，∵△ABC的面积为，∴AC•BC＝，∴2AC•BC＝11，∴AB＝＝5，故答案为：5．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．26．已知：如图，△ACB的面积为30，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，正方形ADEB 的面积为169，则（a﹣b）2的值为49．【分析】首先利用勾股定理和正方形面积公式计算出a2+b2，然后再利用三角形的面积公式可得ab，再根据完全平方公式将（a﹣b）2变形即可得到答案．【解答】解：∵△ACB的面积为30，∴ab＝30，∵∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，正方形ADEB的面积为169，∴a2+b2＝169，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝169﹣120＝49．故答案为：49．【点评】考查了勾股定理，关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．同时考查了三角形面积计算．27．已知在△ABC中，AB＝9，AC＝10，BC＝17，那么边AB上的高等于8．【分析】作CD⊥AB延长线于D点，根据直角△ADC和直角△BDC中关于CD 的计算方程求AD，CD；CD即AB边上的高．【解答】解：作CD⊥AB延长线于D点，设CD＝x，AD＝y，在直角△ADC中，AC2＝x2+y2，在直角△BDC中，BC2＝x2+（y+AB）2，解方程得y＝6，x＝8，即CD＝8，∵CD即AB边上的高，∴AB边上的高等于8．故答案为8．【点评】本题考查了勾股定理的正确运用，设x、y两个未知数，根据解直角△ADC和直角△BDC求得x、y的值是解题的关键．28．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5，则BD的长为．【分析】作DM⊥BC，交BC延长线于M，由勾股定理得出AC2＝AB2+BC2＝25，求出AC2+CD2＝AD2，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD ＝90°，证出∠ACB＝∠CDM，得出△ABC≌△CMD，由全等三角形的性质求出CM＝AB＝3，DM＝BC＝4，得出BM＝BC+CM＝7，再由勾股定理求出BD即可．【解答】解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，如图所示：则∠M＝90°，∴∠DCM+∠CDM＝90°，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC2＝AB2+BC2＝25，∴AC＝5，∵AD＝5，CD＝5，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCM＝90°，∴∠ACB＝∠CDM，∵∠ABC＝∠M＝90°，在△ABC和△CMD中∴△ABC≌△CMD，∴CM ＝AB ＝3，DM ＝BC ＝4，∴BM ＝BC +CM ＝7，∴BD ＝＝＝，故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握全等三角形的判定与性质，由勾股定理的逆定理证出△ACD 是直角三角形是解决问题的关键．三．解答题（共11小题）29．如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，若AB ＝2，CD ＝4，BC ＝8，求四边形ABCD 的面积．【分析】首先根据勾股定理求出BD ，再根据勾股定理的逆定理证明∠BDC ＝90°，根据S 四边形ABCD ＝S △ABD +S △DCB 计算即可解决问题；【解答】解：在Rt △ABD 中，AB ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∴BD ＝＝4， ∵CD ＝4，BC ＝8， ∴BC 2＝BD 2+CD 2，∴∠BDC ＝90°，∴S 四边形ABCD ＝S △ABD +S △DCB ＝×2×2+×4×4＝4+8．【点评】本题考查勾股定理以及逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．30．已知：如图，△ABC 中，CD ⊥AB ，AB ＝2，BC ＝2，AC ＝4．（1）求证：△ABC 是直角三角形；（2）求CD 的长．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；（2）利用三角形的面积公式解答即可．【解答】证明：（1）∵AB＝2，BC＝2，AC＝4．∵AC2+BC2＝20＝AB2，∴△ABC是直角三角形；（2）∵△ABC是直角三角形，∴CD＝．【点评】此题考查勾股定理逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出△ABC 是直角三角形．31．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足P A＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值．【分析】（1）设存在点P，使得P A＝PB，此时P A＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，根据勾股定理列方程即可得到结论；（2）当点P在∠CAB的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，根据勾股定理列方程即可得到结论；【解答】解：（1）设存在点P，使得P A＝PB，此时P A＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，解得：t＝，∴当t＝时，P A＝PB；（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，即：（2t﹣4）2+12＝（7﹣2t）2，解得：t＝，∴当t＝时，或t＝6时，P在△ABC的角平分线上．【点评】本题考查了勾股定理，关键是根据等腰三角形的判定，三角形的面积解答．32．将Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的三条边．（1）已知a＝，b＝3，求c的长．（2）已知c＝13，b＝12，求a的长．【分析】（1）利用勾股定理计算c边的长；（2）利用勾股定理计算a边的长；【解答】解：（1）∵∠C＝90°，a＝，b＝3．∴c＝＝4（2））∵∠C＝90°，c＝13，b＝12，∴a＝＝5【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，属于基础题．33．如图，每个小正方形的边长都为1，四边形ABCD 的顶点都在小正方形的顶点上．（1）求四边形ABCD 的面积；（2）∠BCD 是直角吗？说明理由．【分析】（1）根据四边形ABCD 的面积＝S矩形AEFH ﹣S △AEB ﹣S △BFC ﹣S △CGD ﹣S 梯形AHGD 即可得出结论； （2）先根据锐角三角函数的定义判断出∠FBC ＝∠DCG ，再根据直角三角形的性质可得出∠BCF +∠DCG ＝90°，故可得出结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD 的面积＝S 矩形AEFH ﹣S △AEB ﹣S △BFC ﹣S △CGD ﹣S 梯形AHGD＝5×5﹣×1×5﹣×2×4﹣×1×2﹣（1+5）×1＝25﹣＝14；（2）是．理由：∵tan ∠FBC ＝＝，tan ∠DCG ＝，∴∠FBC ＝∠DCG ，∵∠FBC +∠BCF ＝∠DCG +∠CDG ＝90°，∴∠BCF +∠DCG ＝90°，∴∠BCD 是直角．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知勾股定理及直角三角形的性质是解答此题的关键．34．如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，CD＝（1）求AD的长；（2）求证：△ABC是直角三角形．【分析】（1）依据∠ADC＝90°，利用勾股定理可得AD＝；（2）依据勾股定理的逆定理，可得BC2+AC2＝AB2，即可得到△ABC是直角三角形．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴AD＝＝＝；（2）证明：由上题知AD＝，同理可得BD＝，∴AB＝AD+BD＝5，∵32+42+52，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，根据图形判断出所求的边所在的直角三角形是解题的关键．35．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2﹣，BC＝+2，（1）求AB的长；（2）求Rt△ABC的面积．【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AB即可；（2）根据三角形面积公式可求Rt△ABC的面积．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2﹣，BC＝+2，由勾股定理得：AB＝＝6；（2）Rt△ABC的面积为×（2﹣）（+2）＝3．【点评】本题考查了三角形面积，勾股定理；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．36．如图，在△ABC中，E点为AC的中点，且有BD＝1，CD＝3，BC＝，AD＝．求DE的长．【分析】根据勾股定理的逆定理求出∠BDC＝90°，求出线段AC长，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．【解答】解：∵，∴BD2+CD2＝BC2，∴△BDC为直角三角形，∠BDC＝90°，在Rt△ADC中，∵CD＝3，AD＝，∴，∴AC＝4，∵E点为AC的中点，∴＝2．【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、直角三角形斜边上中线性质等知识点，能求出△ADC是直角三角形是解此题的关键．37．已知四边形ABCD中，AB＝10，BC＝8，，∠DAC＝45°，∠DCA ＝15°．（1）求△ADC的面积．（2）若E为AB中点，求线段CE的长．【分析】（1）过点C作CF⊥AD，交AD延长线于点F，构造含有30度角的直角△CFD，通过解该直角三角形求得DF、CF的长度，进而利用等腰直角△ACF的性质求得AD的长度，结合三角形的面积公式解答即可；（2）由勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”解答．【解答】解：（1）过点C作CF⊥AD，交AD延长线于点F，∵∠DAC＝45°，∠DCA＝15°，∴∠CDF＝∠DAC+∠DCA＝45°+15°＝60°，在Rt△CFD中，，∴，，∴，∴＝＝．（2）在Rt△AFC中，∵∠DAC＝45°，，∴，在△ABC中，∵AC2+BC2＝62+82＝AB2∴△ABC是直角三角形，又∵E为AB中点，∴．【点评】考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．注意：辅助线的作法与目的．38．如果一个三角形的三边长分别为a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2（m＞n），则这三角形是直角三角形．【分析】判断一组数能否成为直角三角形的三边，就是看是否满足两较小边的平方和等于最大边的平方．【解答】解：∵（m2﹣n2）2+（2mn）2＝m4+n4﹣2m2n2+4m2n2＝m4+n4+2m2n2＝（m2+n2）2，∴a2+b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，在应用时注意是两较短边的平方和等于最长边的平方．39．如图，在△ABC中，AC＝3，D为BC上一点，CD＝4，AD＝5，BD＝2，求AB的长．【分析】根据勾股定理的逆定理求出△ADC是直角三角形，再根据勾股定理求出AB即可．【解答】解：∵AC＝3，CD＝4，AD＝5，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ADC是直角三角形，∴∠C＝90°，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝＝3．【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能求出△ADC是直角三角形是解此题的关键．。
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7cm
D
C
B A
17.3 勾股定理第3课时
1.有五组数：①25，7，24；②16，20，12；③9，40，41；④4，6，8；⑤32,42,52，以各组数为边长，能组成直角三角形的个数为( ). A.1 B.2 C.3 D.4
2.三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( ) A.6 B.4.5 C.2.4 D.8
3.下列各组线段中的三个长度①9.12.15；②7.2
4.25；③32.42.52；④3A.4A.5a （a>0）；⑤m2-n2.2mn 、m2+n2（m 、n 为正整数，且m>n ）其中可以构成直角三角形的有（） A. 5组； B. 4组；C. 3组；D. 2组
4.在同一平面上把三边BC=3，AC=4.AB=5的三角形沿最长边AB 翻折后得到△ABC′，则CC′的长等于（）
A. 125 ；
B. 135 ；
C. 56 ；
D.245
5. 下列说法中, 不正确的是 ( )
A. 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形
B. 三个角的度数之比为3:4:5的三角形是直角三角形
C. 三边长度之比为3:4:5的三角形是直角三角形
D. 三边长度之比为5:12:13的三角形是直角三角形
6.如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB.CD.EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（） A. CD.EF 、GH
B. AB.EF 、GH
C. AB.C
D.GH
D. AB.CD.EF
7.如图所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D 的面积的和是_______cm2.
8．已知2条线段的长分别为3cm 和4cm
，当第三条线段的长为
（第6题）
C
A
B _______cm 时，这3条线段能组成一个直角三角形．
9.在△ABC 中，若其三条边的长度分别为9.12.15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是________．
10. 传说,古埃及人曾用＂拉绳”的方法画直角,现有一根长24厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为_______厘米,______厘米,________厘米,其中的道理是______________________.
11．小芳家门前有一个花圃，呈三角形状，小芳想知道该三角形是不是一个直角三角形，请问她可以用什么办法来作出判断？你能帮她设计一种方法吗？ 12.给出一组式子:32+42=52,82+62=102,152+82=172,242+102=262…… (1)你能发现上式中的规律吗? (2)请你接着写出第五个式子. 13．观察下列各式，你有什么发现？
32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41……
这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？请你结合有关知识进行研究．如果132=b+c ，则B.c 的值可能是多少
14．如图，是一块由边长为20cm 的正方形地砖铺设的广场，一只鸽子落在点A 处，它想先后吃到小朋友撒在B.C 处的鸟食，则鸽子至少需要走多远的路程？
15．如图，在△ABC 中，AB=AC=13，点D 在BC 上，AD=12，BD=5，试问AD 平分∠BAC 吗？为什么？
16．如图，是一个四边形的边角料，东东通过测量，获得了如下数据：AB=3cm ，BC=12cm ，CD=13cm ，AD=4cm ，东东由此认为这个四边形中∠A 恰好是直角，你认为东东的判断正确吗？如果你认为他正确，请说明其中的理由；如果你认为他不正确，那你认为需要什么条件，才
可以判断∠A 是直角？
参考答案
1.C
2.D
3.B
4.D
5.B
6.B
7.49 8．5cm
cm 9. 108 10. 6,6,10 勾股定理的逆定理 11．方法不惟一．如：分别测量三角形三边的长A.B.c （a≤b≤c）， 然后计算是否有a2+b2=c2，确定其形状. 12.(1)(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2(n>1). (2)352+122=372.
13．其中的一个规律为（2n+1）=2n （n+1）+． 当n=6时，2n （n+1）、的值分别是84.85 . 14．AB=5cm ，BC=13cm ．所以其最短路程为18cm.
15．AD 平分∠BAC ．因为BD2+AD2=AB2， 所以AD ⊥BC ，又AB=AC ，所以结论成立.
16．不正确．增加的条件如：连接BD ，测得BD=5cm ．
D
C
A B。