江苏省2012届高三数学二轮专题训练：解答题(40)

江苏省2012届高三数学二轮专题训练：解答题（40）
本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1．（本题满分14分)
已知二次函数f (x )=x 2+mx+n 对任意x ∈R，都有f (－x ） = f (2＋x ）成立，设向量
错误!
= （ sinx ， 2 ) ，错误!= (2sinx , 错误!)，错误!= ( cos 2x , 1 ），错误!=（1,2），
（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；
（Ⅱ）当x ∈[0,π］时，求不等式f （错误!·错误!）＞f （错误!·错误!）
的解集。

2．（本题满分14分)
在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥，//AD EF ，//EF BC ，
24BC AD ==,3EF =,2AE BE ==,G 是BC 的中点．
(Ⅰ) 求证：//AB 平面DEG ； （Ⅱ） 求证：BD EG ⊥；
（Ⅲ）求多面体ADBEG 的体积。

A
D
F
E B G C
A 1
2
3．(本题满分14分)
已知双曲线2
212
x y -=的两焦点为12,F F ,P 为动点，若124PF PF +=．
（Ⅰ)求动点P 的轨迹E 方程；
（Ⅱ）若1
2
(2,0),(2,0),(1,0)A A M -，设直线l 过点M ，且与轨迹E 交于R 、Q 两
点，直线1
A R 与2
A Q 交于点S ．试问：当直线l 在变化时，点S 是否恒在
一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是,请说明理由．
4．（本题满分16分）
如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离)(OB 即为2m ，在圆环上设置三个等分点A 1，A 2，A 3.点C 为OB 上一点（不包含端点O 、B )，同时点C 与点A 1，A 2,A 3，B 均用细绳相连接，且细绳CA 1，CA 2,CA 3的长度相等。

设细绳的总长为y
（1）设∠CA 1O = θ （rad )，将y 表示成θ的函数关系式；
（2）请你设计θ,当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时 BC 应为多长。

5．(本题满分16分）
已知，数列{}n
a 有p
a a a
==21
,（常数
>p )，对任意的正整数
n n a a a S n +++= 21,，并有n S 满足2
)
(1a a n S n n -=。

（1）求a 的值；
（2）试确定数列{}n
a 是不是等差数列，若是，求出其通项公式。

若
不是,说明理由； (3）令2
1
12+++++=
n n n n n
S S S S p
，是否存在正整数M ，使不等式1
2
2n p p
p n M ++
+-≤恒
成立,若存在，求出M 的最小值，若不存在，说明理由。

6．(本小题满分16分） 已知函数()x
x x f ln =
（1）求()x f 的单调区间；
(2)若关于x 的不等式mx x <ln 对一切[]()02,>∈a a a x 都成立,求m 范围； (3)某同学发现：总存在正实数(),,b a b a <使a b
b a =，试问:他的判断是否正
确；
若正确,请写出a 的范围；不正确说明理由．
1．解;（1）设f（x）图象上的两点为A(－x,y1）、B（2＋x, y2），因为错误!=1
f (－x) = f (2＋x）,所以y1= y2
由x的任意性得f（x)的图象关于直线x=1对称,
∴x≥1时，f(x）是增函数；x≤1时，f(x)是减函数。

(2）∵错误!·错误!=（sinx,2)·（2sinx, 错误!)=2sin2x＋1≥1，→c·
错误!=（cos2x，1）·(1,2）=cos2x＋2≥1，
∵f(x）在是［1,+∞）上为增函数，∴f （错误!·错误!）＞f （错误!·错误!）⇔f(2sin2x＋1)＞f（cos2x＋2）
⇔2sin2x＋1＞cos2x＋2⇔1－cos2x＋1＞cos2x＋2
⇔cos2x＜0⇔2kπ＋2π＜2x＜2kπ＋23π,k∈z
⇔kπ＋4π＜x＜kπ＋43π, k∈z∵0≤x≤π ∴4π＜x＜43π
π＜综上所述,不等式f (错误!·错误!）＞f (错误!·错误!）的解集是：{ x|
4
x＜
3π｝。

4
2．解：(Ⅰ）证明：∵//,//
AD BC。

AD EF EF BC,∴//
又∵2
BC AD
=，G是BC的中点，∴//
AD BG，
∴四边形ADGB是平行四边形，∴ //
AB DG.
∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG,∴//
AB平面DEG.
(Ⅱ）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，∴EF AE
⊥,
又,
⊥=，,EB EF⊂平面BCFE,∴AE⊥平面BCFE。

AE EB EB EF E
过D 作//DH AE 交EF 于H ,则DH ⊥平面BCFE . ∵EG ⊂平面BCFE ， ∴DH EG ⊥。

∵//,//AD EF DH AE ，∴四边形AEHD 平行四边形，∴2EH AD ==, ∴2EH BG ==,又//,EH BG EH BE ⊥,
∴四边形BGHE 为正方形,∴BH EG ⊥, 又,BH
DH H BH =⊂平面BHD ，DH ⊂平面BHD ,∴EG ⊥平面BHD 。

∵BD ⊂平面BHD , ∴BD EG ⊥。

（Ⅲ） ∵EF ⊥平面AEB ,//AD EF ，∴⊥EF 平面AEB ，
由(2）知四边形BGHE 为正方形，∴BC BE ⊥. ∴BEC D AEB D AD BEG
V V V
--+=AE S AD S BCE ABE ⋅+⋅=∆∆31313
8
3434=+=,
3．解法一：
（Ⅰ）由题意知：1
(F F ，又∵1
2
4PF PF +=，∴动点(,)P x y 必在以1
2
,F F 为焦点，
长轴长为4的椭圆，∴a 2=
，又∵c =2
2
2
b a
c 1=-=． ∴椭圆C 的方程为2
2
2
x y 14
+=．
(Ⅱ）由题意,可设直线l 为:1x my =+．
①
取m 0,=
得R ,Q 1,⎛⎛ ⎝
⎭⎝⎭
，直线1
A R
的方程是y =
+ 直线2
A Q
的方程是y =
交点为(1
S .
若R 1,,Q ⎛⎛ ⎝
⎭⎝⎭
，由对称性可知交点为(2
S 4,.
若点S 在同一条直线上，则直线只能为:x 4=．
②以下证明对于任意的m,直线1
A R 与直线2
A Q 的交点S 均在直线:x 4=上．
事实上,由
22
x y 14
x my 1⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，得()
2
2my 14y 4,
++=即()2
2m
4y 2my 30
++-=，
记()()1
1
2
2
R x ,y ,Q x ,y ,则1
2
12
222m 3
y y
,y y m 4m 4
--+=
=++．
设1A R 与交于点00S (4,y ),由0
1
1
y y ,42x 2=++得1
16y y
.x 2
=
+ 设2
A Q 与交于点
00S (4,y ),
''由
02
2y y ,42x 2
'=--得2
2
2y y .x 2'=-
12
00126y 2y y y x 2x 2
'-=
-+- ()()
()()
1221126y my 12y my 3x 2x 2--+=
+-()
()()
1212124my y 6y y x 2x 2-+=
+-
()()
22
1212m 12m
m 4m 40x 2x 2---++=
=+-，
∴0
y y '=，即0
S 与0
S '重合，
这说明,当m 变化时,点S 恒在定直线:x 4
=上．
解法二:
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）取m 0,
=
得
R ,Q 1,⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭
，直线1
A R
的方程是y =
+直线2
A Q 的
方程是y =
-
交点为(1
S .
取m 1,=得()83R ,,Q 0,155⎛⎫- ⎪⎝
⎭
，直线1
A R 的方程是11
y x ,63
=+直线2
A Q 的方程是1
y x 1,
2=-交点为()2
S 4,1.∴若交点S 在同一条直线上,则直线只能为
:x 4
=．
以下证明对于任意的m,直线1
A R 与直线2
A Q 的交点S 均在直线:x 4=上．
事实上,由
22
x y 14
x my 1⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
,得()
2
2my 14y 4,
++=即()2
2m
4y 2my 30
++-=，
记()()1
1
2
2
R x ,y ,Q x ,y ，则1
2
12
222m 3
y y
,y y m 4m 4
--+=
=++．
1A R
的方程是()11
y y x 2,x 2=++2
A Q 的方程是()22
y y x 2,x 2=--
消去y,得()()1
2
1
2
y y x 2x 2x 2x 2+=-+-…………………………………… ① 以下用分析法证明x 4=时，①式恒成立。

要证明①式恒成立,只需证明1
2
1
2
6y
2y ,x 2x 2
=+- 即证()()1
2
2
1
3y my 1y my 3,-=+即证()12
1
2
2my y 3y y .=+……………… ②
∵()121222
6m 6m
2my y 3y y 0,m 4m 4
---+=-=++∴②式恒成立．
A 1
2
这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线:x 4
=上．
解法三：（Ⅰ）同解法一．(Ⅱ)由
22
x y 14
x my 1⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，得()2
2my 14y 4,++=
即()2
2m
4y 2my 30
++-=．
记()()1
1
2
2
R x ,y ,Q x ,y ，则1
2
12
222m 3
y y
,y y m 4m 4
--+=
=++．
1A R
的方程是()11
y y x 2,x 2=++2
A Q 的方程是()22
y y x 2,x 2=--
由
()()11
22y y x 2,x 2y y x 2,x 2⎧
=+⎪+⎪⎨
⎪=-⎪-⎩
得()()1212y y x 2x 2,x 2x 2+=-+-
即
()()()()
21
122112y x 2y x 2x 2y x 2y x 2++-=⋅+--()()()()21122112y my 3y my 12y my 3y my 1++-=⋅+--1221
212my y 3y y 23y y +-=⋅+ 112
211232m 2m 3y y m 4m 4242m 3y y m 4--⎛⎫
+-- ⎪++⎝⎭=⋅
=-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭
．
这说明,当m 变化时,点S 恒在定直线
:x 4
=上．
4。

(Ⅰ)解:在Rt △COA 1中，
θ
cos 21=
CA ，
θ
tan 2=CO , ………2分
θθ
tan 22cos 2
331-+⋅=+=CB CA y =
2cos )sin 3(2+-θθ（4
0π
θ<<）……7分
（Ⅱ)θ
θθθθθ2
22/
cos 1
sin 32cos )sin )(sin 3(cos 2-=----=y ,
令0='y ，则3
1sin =θ ………………12分
当31sin >θ时，0>'y ；31
sin <θ时,0<'y , ∵θsin =y 在]4
,0[π上是增函数 ∴当角θ
满足
3
1sin =
θ时，y 最小，最小为
2
24+；此时
BC 2
22-
=m …16分
5.解：（1)由已知,得a a a a s ==-⋅=
11
2
)
(1, ∴0=a
（2）由01
=a
得,2n n na S =
则2
)1(1
1+++=n n a n S ， ∴n n n n na a n S S
-+=-++11
)1()(2，即n n n na a n a -+=++11)1(2，
于是有n n na a n =-+1
)1(，并且有12)1(+++=n n a n na ，
∴,)1()1(112
n n n n na a n a n na
-+=--+++即)()(112n n n n a a n a a n -=-+++，
而n 是正整数,则对任意N n ∈都有n n n n a a a a
-=-+++112
，
∴数列{}n
a 是等差数列，其通项公式是p n a
n
)1(-=。

（3）∵(2)(1)(1)(1)22222(1)(2)(1)2222
n n n n p n np
n n p S p n np n n p n n +++-=∴=+=+-
++++ ∴n p p p p n 2321-++++ 222222(2)(2)(2)213242
n n n =+-++-+++--+
2
2
1212+-
+-+=n n ； 由n 是正整数可得3221
<-+++n p p p n ，故存在最小的正整数
M=3，
使不等式1
2
2n p p
p n M ++
+-≤恒成立.
6．(1）定义域()0,+∞
()2
1ln 0x
f x x -'=
≥ ∴ln 1x ≤ ∴()f x 在(]0,e 递增，[),e +∞递减
（2）由题ln x m x >
错误!()max 2ln 22e a a
f x a ⎧
≤⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
错误!()max
ln a e a
f x a ≥⎧
⎪⎨=⎪⎩
错误!()max 2
1e
a e f x e ⎧<<⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴2e a ≤时，ln22e
m a
> a e
≥时,ln a m e >
2
e
a e <<时，1m e
>
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