上海大学高数第五章定积分

第五章定积分一、基本要求：1.理解定积分的概念、几何意义、物理意义及定积分的性质.2.理解积分上限的函数，并掌握其求导法则.3.掌握牛顿——莱布尼兹公式.4.掌握定积分的换元法和分布积分法.5.理解反常积分(广义积分)的概念，会计算反常积分，了解反常积分的审敛法.6.了解定积分的近似计算方法.二、主要内容Ⅰ.定积分概念：1. 定积分定义：设()f x 在区间[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点0121n n a x x x x x b-=<<<<<= .把[,]a b 分成n 个小区间1[,],(1,2,,)i i x x i n -= ，小区间的长度记为1,(1,2,,)i i i x x x i n -∆=-= ，在1[,]i i x x -上任意取一点i ξ，作1()ni ii f x ξ=∆∑，若01l i m ()ni i i f x λξ→=⋅∆∑1(max{})i i nx λ≤≤=∆存在.就称该极限为()f x 在[,]a b 上的定积分.记为1()li m ()nb i i ai f x dx f x λξ→==⋅∆∑⎰当上述极限存在时，称()f x 在[,]a b 上可积. 2. 若()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积。

3. 若()f x 在[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[,]a b 上可积. Ⅱ.定积分的几何意义 定积分()baf x dx ⎰在几何上表示：由曲线()y f x =，直线x a =和x b =以及x 轴所围图形面积的代数和 (x 轴上方的面积取正，x 轴下方的面积取负)Ⅲ.定积分的性质1. 补充规定：(1)当a b =时，()0b af x dx =⎰(2)当a b >时, ()()baabf x dx f x dx=-⎰⎰2. 性质：(1) [()()]()()bbba aaf xg x dx f x dx g x dx --+=+⎰⎰⎰(2) ()(),()bba a kf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数(3) ()()()b c baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰(4)b a dx b a =-⎰(5) 若在[,]a b 上，()0f x ≥，则()0,()baf x dx a b ≥<⎰推论1：若在[,]a b 上，()()f x g x ≤，则()(),()bba af x dxg x dx a b ≤<⎰⎰.推论2：()(),()bb aaf x dx f x dx a b ≤<⎰⎰.(6 ) 若在[,]a b 上，()m f x M≤≤,则()()(),()bam b a f x dx M b a a b -≤≤-<⎰(7) (定积分中值定理)：若()f x 在[,]a b 上连续，则在[,]a b 上至少存在ξ，使()()(),()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰.3. 连续函数()f x 在[,]a b 上的平均值，1()b ay f x dx b a-=-⎰Ⅳ. 积分上限函数及其导数 1. 若对任意[,]x a b ∈，()xaf t dt ⎰存在，则称()()x ax f t dtΦ=⎰为积分上限的函数. 2. 若()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上有界. 且积分上限函数()()x ax f t dt Φ=⎰在[,]a b 上连续.3. 设()f x 在[,]a b 上连续，则()()x ax f t d t Φ=⎰在[,]a b 上可导，且'()()(),()x adx f t d t f x a xb dxΦ==≤≤⎰.4. 设()f x 连续，()x φ可导，则()''()()[()]()x adx f t dt f x x dxφφφΦ==⎰.5. 设()f x 连续，()x φ，()x ϕ可导，则()'''()()()[()]()[()]()x x d x f t dt f x x f x x dxφϕφφϕϕΦ==-⎰.Ⅴ. 牛顿——莱布尼兹公式.(微积分基本定理)设()f x 在[,]a b 上连续，()F x 为()f x 在[,]a b 上的一个原函数，则()()()b af x dx F b F a =-⎰.Ⅵ. 定积分的换元法设()f x 在[,]a b 上连续，()x t φ=满足： (1) (),()a b φαφβ==.(2)()t φ在[,]αβ(或[,]βα)上具有连续导数，且()x t φ=的值域不越出[,]a b 的范围，则有'()[()]()ba f x dx f t t dt βαφφ=⎰⎰.注：当()t φ的值域[,]R A B φ=越出[,]a b 的范围，但满足其余条件时，只要()f x 在[,]A B 上连续，则换元法的结论仍然成立. Ⅶ. 定积分的分部积分法设()u x 与()v x 在[,]a b 上具有连续导数，则有 ()()()()()()bbba a au x dv x u x v x v x du x =-⎰⎰ Ⅷ. 几类特殊的积分公式1. 设()f x 在[,]a a -上连续，则有0()[()()]aaa f x dx f x f x dx -=+-⎰⎰.2()()[,]()()[,]a aaf x dxf x a a f x dx f x a a -⎧-⎪=⎨⎪-⎩⎰⎰当为上连续的偶函数时0当为上连续的奇函数时2. 设()f x 是以l 为周期的连续函数，则对任意实数a ， 有0()()a llaf x dx f x dx +=⎰⎰.3. 设()f x 在[0,1]上连续，则2200(sin )(cos )f x dx f x dxππ=⎰⎰(sin )(sin )2xf x dx f x dxπππ=⎰⎰20(sin )2(sin )f x dx f x dx ππ=⎰⎰4.2200123134221242sin cos 13531n nn n n n n n n xdx xdx n n n n πππ--⎧⎪-⎪--⎪==⎨-⎪=⎪⎪⎩⎰⎰为正偶数为大于1的正奇整数1Ⅸ. 反常积分(广义积分) 1. 无穷限的反常积分(1) 设()f x 在[,)a +∞上连续, ()lim()b aa b f x dx f x dx ∞→+∞=⎰⎰(2) 设()f x 在(,]b -∞上连续, ()lim()bb aa f x dx f x dx-∞→-∞=⎰⎰(3) 设()f x 在(,)-∞+∞上连续,000()()()lim()lim()b aa b f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx ∞∞-∞-∞→-∞→+∞=+=+⎰⎰⎰⎰⎰若上述各式右端的极限存在，则对应的反常积分收敛，否则称该反常积分发散.注：(3)的右端是两个独立的极限，只有当两个极限都存在使，才有()f x dx ∞-∞⎰收敛.只要有一个极限不存在，()f x dx∞-∞⎰就发散.2. 无界函数的反常积分 (1) 设()f x 在(,]a b 上连续，点a为()f x 的瑕点，()l i m (b batt af x dx f x dx +→=⎰⎰(2) 设()f x 在[,)a b 上连续，点b为()f x 的瑕点，()l i m (b taat bf x dx f x dx -→=⎰⎰ (3) 设()f x 在[,]a b 上除点c ()a c b <<外连续，点c 为()f x 的瑕点，()()()lim ()lim ()b c b t baacatt ct cf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -+→→=+=+⎰⎰⎰⎰⎰若上述各式右端的极限存在，则对应的反常积分收敛，否则称该反常积分发散.注：(3)的右端是两个独立的极限，只有当两个极限都存在使，才有()baf x dx ⎰收敛.只要有一个极限不存在，()baf x dx ⎰就发散.3. 反常积分的审敛法(1)(比较审敛法1)设()f x 在[,)(0)a a +∞>上连续，且()0f x ≥. 若存在常数0M>及1p >，使得()pM f x x≤()a x ≤<+∞，则反常积分()af x dx +∞⎰收敛；若存在常数0N >，使得()N f x x≥()a x ≤<+∞，则反常积分()af x dx +∞⎰发散.(2)(极限审敛法1) 设()f x 在[,)a +∞上连续，且()0f x ≥. 若存在常数1p >，使得lim()px x f x →∞存在，则反常积分()af x dx+∞⎰收敛；若lim ()0x xf x d →∞=>，(或lim ()x xf x →∞=+∞)则反常积分()af x dx+∞⎰发散.(3) (比较审敛法2)设()f x 在(,]a b 上连续，且()0f x ≥. x a =为()f x 的瑕点.若存在常数0M >及1q <，使得()()()qM f x a x b x a ≤<≤-，则反常积分()baf x dx ⎰收敛；若存在常数0N >，使得()N f x x a≥-()a x b <≤，则反常积分()baf x dx ⎰发散.(4)(极限审敛法2) 设()f x 在(,]a b 上连续，且()0f x ≥.x a =为()f x 的瑕点. 若存在常数01q <<，使得lim ()()qx ax a f x +→-存在，则反常积分()baf x dx ⎰收敛；若lim ()()0x ax a f x d +→-=>，(或lim ()()x ax a f x +→-=+∞)则反常积分()b af x dx ⎰发散.三、 重点与难点1. 积分上限的函数及其导数.2. 牛顿——莱布尼兹公式.3. 定积分的换元法和分部积分法. 四、 例题 1. 求2222212lim ()12n n n n n n→∞++++++分析：由定积分定义知01()()lim()nb i iai n f x dx f x λξ→=→∞=⋅∆∑⎰，可见求右端的极限也可通过求左端的定积分值而得到. 解决此类问题的关键是把和式归结为某个函数在某区间上的积分和式.解：原式22221111lim limlim11()nnnii n n n i i i iii n x in innξξ→∞→∞→∞======∆+++∑∑∑11122221111(1)ln(1)ln 212122x dx d x x xx==+=+=++⎰⎰2. 下列解法是否正确(1). 220sec 02tan x dx xππ==+⎰(2).111122211111111x tdxdt dxxt x=----⇒=-+++⎰⎰⎰令，即11221112011dx dx xx--⇒=++⎰⎰解：这两题的解法都不正确. (1) 被积函数22sec ()2tan x f x dxxπ=+⎰在积分区间[0,]π内2x π=处不满足“牛顿——莱布尼兹”公式的条件，故不能直接应用公式. (2) 代换1x t =在[1,1]-上不连续，故在[1,1]-上不可导，不符合换元法的条件.3. 求下列定积分(1)0π⎰ (2)221min{,}x x dx -⎰(3)2-⎰(4)21⎰解：0x dx πππ==⎰⎰⎰22xdx xdxππ-=-⎰332220222sin sin 33xxπππ=-224333=+=注：带绝对值符号的函数的积分，需先脱掉绝对值符号，如在积分区间上脱掉绝对值符号后为分段函数，则转化为分段函数的积分.(2)2211min{,}12x x x x xx ⎧-≤≤=⎨<≤⎩2122211113m in{,}6x x dx x dx xdx --=+=⎰⎰⎰(3) 2221d ---==⎰⎰⎰21arcsin4612xπππ-==-+=-(4)2211=⎰⎰令1sin ,x t -=则cos dx tdt = 原式222222000(sin 1)coscos cos cos t tdt td t tdtπππ=+=-+⎰⎰⎰23111cos 32234tπππ=-+=+4. 设()f x 连续，0()()xg x x f t dt=⎰，求''(0)g解：'0()()()xg x xf x f t dt =+⎰ (1)'(0)0g =''''()()()(0)(0)limlimx x x xf x f t dtg x g g xx→→+-==⎰()()lim()(0)lim2(0)1x x x f t dt f x f x f f x→→=+=+=⎰注：此题没有()f x 可导的条件，故“对(1)式两边在对x 求导. 得'''''()()()()2()()(0)2(0)g x f x xf x f x f x xf x g f =++=+⇒=“这种解法是错误的. 5. 计算下列极限 (1)20sin 0ln(1)limsin 2x x x t dt tdt→+⎰⎰(2)2030[()]limxttxx te f u du dtx e→⎰⎰解：(1)20sin 0ln(1)ln(12)24limlimlimsin(2sin )cos sin 2sin 2x x x x x t dtx x x xxtdt→→→++⋅==⎰⎰(2)22232323[()]()()lim limlim(3)3x x txtxxxx x x te f u du dtxe f u duf u dux ex x ex x→→→-==++⎰⎰⎰⎰2()2(0)0lim323x f x x f x→-⋅-⋅===+6.设()f x 为连续函数，且221(2)()a r c t a n 2x xx t f t d t x-=⎰，(1)1f =，求21()f x dx ⎰.解：22212()()arctan 2x x xxx f t dt tf t dt x-=⎰⎰两边对x 求导，得 242()2[2(2)()][4(2)()]1x xx f t dt x f x f x xf x xf x x+---=+⎰整理后，有241()[()]21x xxf t dt xf x x=++⎰令1x =，即得21113()[(1)]224f x dx f =+=⎰ 7.设()f x 在(,)-∞+∞内连续，且0()()()2x xF x t f t dt=-⎰证明：(1)若()f x 为偶函数，则()F x 也是偶函数. (2)若()f x 为单减函数，则()F x 也是单增函数 .. 证明：(1)()()()()()()22x xx x F x t f t dt u f u dut u --=--=--+-=-⎰⎰()()()2x x u f u du F x =-=⎰即()F x 为偶函数 (2) 00()()()2x x xF x f t dt tf t dt =-⎰⎰'11()()()()[()()]222xxx F x f t dt f x xf x f t dt xf x =+-=-⎰⎰0011[()()][()()]22xx x f t dt f x dt f t f x dt=-=-⎰⎰⎰由()f x 单减，当0t x <<时，()()0f t f x ->'1()[()()]0(0)2x F x f t f x dt x ⇒=->>⎰时当0x t <<时，()()0f t f x -<.0'11()[()()]0[()()]22x xF x f t f x dt f t f x dt⇒=->=-⎰⎰(0)x <时即在(,)-∞+∞上，()F x 为单增函数. 8.计算下列各题： (1)52222(sin )cos x x xdxππ-+⎰(2)2ln(1)(0)ax a x e dxa -+>⎰(1) 解：52cos x x 为奇函数，22sin cos x x 为偶函数.原式522222222222cos sin cos sin cos x xdx x xdx x xdxππππππ---=+=⎰⎰⎰2224222002sin (1sin )2sin sin x x dx xdx xdx πππ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰=1312()224228πππ⨯-⨯=(2)分析：此题的积分区间是对称区间，而对称区间上的定积分有公式⎰⎰-+=-aaadxx f x f dx x f 0)]()([)(，若)()(x f x f -+在],0[a 上容易积分，该公式就可利用了. 解：⎰⎰--+-+=+axx aa x dxex e x dxe x 0222])1ln()1ln([)1ln(⎰⎰++=++=-axxx axxdxe e e x dx ee x 01)1(ln211ln233232322axdx x aa===⎰9.计算⎰-πk dxx 02sin 1 (k 为正整数)解：原式⎰⎰-=-=ππk k dxx x dx x x 02cos sin )cos (sin⎰⎰⎰--++-+-=πππππk k dxx x dx x x dx x x )1(20cos sin cos sin cos sin⎰-=πcos sin dxx x k])cos (sin)sin (cos [440⎰⎰-+-=πππdx x x dx x x k])sin (cos )cos (sin [440πππx x x x k +-+=k22=注：xx cos si n - 是周期为π的周期函数.10.求dxxx ⎰++1021)1ln(解：令t x tan =，原式dtt tdt tt ⎰⎰+=+=4242)tan 1ln(sec sec )tan 1ln(ππ设dt t ⎰+=I 40)tan 1ln(πdtt dt t t dt tt ⎰⎰⎰-+=+=I 444cos ln )sin ln(cos )cos sin 1ln(πππdtt dt t ⎰⎰--=44cos ln )4cos(2ln πππ (1)而duu du u dt t ⎰⎰⎰=-=-444)cos 2ln )cos 2ln()4cos(2ln ππππ)4(t u -=πduu du ⎰⎰+=44cos ln 2ln ππ代入(1)式得dtt du u du ⎰⎰⎰-+=I 444cos ln cos ln 2ln πππ2ln 82ln 4ππ==⎰du所以 2ln 81)1ln(12π=++⎰dx xx11.求⎰+2cos sin sin πdx eee xxx解：⎰⎰⎰+=+-=+=I 2sin cos cos 02sin cos cos 20cos sin sin πππdxeee dx eee dx ee e xxxttt xxx于是 2222s i nc o sc o s s i n πππ===++=I ⎰⎰dx dx eee e x x x x42cos sin sin ππ=+=I ⇒⎰dx eee xxx12.求⎰⎰-101][22dx dt ex xt.解：⎰-221xtdte为x 的函数，令⎰-=221)(xtdtex f原式⎰⎰⎰-===1'2121210)(2)(22)()(dxx f xx f xxdx f dx x xf⎰⎰---=12112]2[22422dxx exdtexxxt⎰⎰-=-=--1413)(4144x d edx e x xx)1(411-=-e13. 设函数⎰=Φxdtt x 0sin )((1) 当n 为正整数，且ππ)1(+<≤n x n 时，证明)1(2)(2+<Φ≤n x n(2) 求xx x )(limΦ+∞→解：(1)由0sin ≥t,且ππ)1(+<≤n x n⎰⎰+<Φ≤⇒ππ)1(0sin )(sin n n dtt x dt t有由t si n 是周期为π的周期函数.ntdt n dt t n dt t n 2sin sin sin 0==≤⎰⎰⎰πππ同理)1(2si n )1(0+=⎰+n dt t n π因此，当ππ)1(+<≤n x n 时，有)1(2)(2+<Φ≤n x n(2)由(1)知当ππ)1(+<≤n x n 即ππn xn 11)1(1≤<+有ππn n x x n n )1(2)()1(2+≤Φ<+，令∞→x ，有∞→n .而ππ2)1(2lim=+∞→n n n ，ππ2)1(2lim=+∞→n n nπ2)(lim=Φ⇒+∞→xx x14.设)(x f 在]1,0[上连续，且单调递减，证明对)1,0(∈∀α,有⎰⎰≥10)()(dxx f dx x f αα证法一：⎰⎰⎰+=110)()()(ααdxx f dx x f dx x f于是⎰⎰-100)()(dx x f dx x f αα=])()([)(1⎰⎰⎰+-ααααdx x f dx x f dx x f=⎰⎰--1)()()1(ααααdxx f dx x f由积分中值定理 )()(10ξααf dx x f =⎰ αξ≤≤10)()1()(21ξααf dx x f -=⎰ 12≤≤ξα因此⎰⎰-10)()(dxx f dx x f αα=)()1()()1(21ξααξααf f --- =)]()([)1(21ξξααf f -- (1021≤≤≤≤ξαξ)因)(x f 单减，则有)()(21ξξf f ≥，即⎰⎰≥1)()(dxx f dx x f αα.证法二：设⎰⎰-=1)()(1)(dxx f dx x f F ααα (10≤<α)221)()()()()(αξααααααααf f dxx f f F -=-=⎰αξ≤≤00)()(≤-=αξαf f即)(αF 在]1,0(上单调不增， 即0)1()(=≥F F α，即有⎰⎰≥1)()(dxx f dx x f αα.注：此题还可以用积分换元法加以证明.15.设)(x f 在]1,0[上连续，)1,0(内可导，且满足⎰=2102)(2)1(dx x f x f . 证明在)1,0(内至少有一点ξ使)(2)('ξξξf f -=.证：设)()(2x f x x F =，由积分中值定理，21)()()(121212⋅==⎰⎰ξF dx x F dx x f x (2101≤≤ξ)即⎰=21021)(2)(dxx f x F ξ，而dxx f x f F ⎰==2122)(2)1(1)1(即)1()(1F F =ξ，由罗尔定理，存在)1,0()1,(1⊂∈ξξ，使0)('=ξF而)()(2)('2'x f x x xf x F +=，即有0)()(2)('2'=+=ξξξξξf f F也即0)()(2'=+ξξξf f ，)(2)('ξξξf f -=.16.计算下列反常积分. (1)⎰+∞-22ln 1dxxx (2) ⎰+∞+0232)1(arctan dxx x(3)⎰-1211lndxx解：(1) ⎰+∞-22ln 1dxxx =⎰+∞--21)ln 1(xdx=⎰∞++∞---2221ln 1dxxxx=+∞+-2122ln 1x=22ln -.(2)令xx tan =，⎰+∞+0232)1(arctan dx x xdtt tt⎰=223sec sec π=dt t t ⎰20cos π=t d t sin 20⎰π=⎰-220sin sinππtdttt =20cos 2ππt+=12-π.(3) ∞=--→2111ln limxx , 1=x 为被积函数的瑕点.⎰-1211lndxx=⎰-+-→tt dxx x 01)1)(1(1lnlim=⎰-++--→tt dx x x 01)]1ln()1[ln(lim =t t x x x x x 01)]1ln()1(2)1ln()1([lim --++++--→=)]1ln()1(2)1ln()1([lim 1t t t t t t --++++--→=)2ln 1(2- 17.已知π=⎰+∞∞--dx e x 2，12=⎰+∞∞-+-dx ce xx.求c 的值.解：=⎰+∞∞-+-dx cexx 2)21(41)21(2-⎰∞+∞---x d e ec xtx =-21令 dt e ec t⎰∞+∞--412dtecet⎰∞+∞--=241π41ce =即ππ414111e c ce =⇒=.18.设⎩⎨⎧<<=其它10)(x xx f ，⎩⎨⎧<≥=-00)(x x e x g x，求函数dxx t g x f t h ⎰+∞∞--=)()()(的表达式.解：因为)(x f 在)1,0(上为x x f =)(，在)1,0(之外都为零.故dx x t g x f t h ⎰+∞∞--=)()()(⎰-=1)(dxx t xg而⎩⎨⎧≥-=---其它0)()(x t e x t g x t当0<t 时，由于积分变量]1,0[∈x ，故总有t x >从而0)(=-x t g ，0)()(10=-=⎰dx x t xg t h .当10≤≤t 时，⎰⎰⎰-+-=-=110)()()()(ttdxx t xg dx x t xg dxx t xg t h当积分变量x 在]1,[t 上变化时，0≤-x t ，0)(=-x t g ，所以0)(1=-⎰tdx x t xg从而⎰⎰⎰--==-=txtttx tdxxe edx xedx x t xg t h 0)()(tttttxxtet e te ee xee ---+-=+-=-=1)1(][0当1>t时，txttx edx xe edx xedx x t xg t h ---===-=⎰⎰⎰111)()(.综上 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-+<=--时当时当时当110100)(t ex t e t t h t t注：本题是含参变量的反常积分，这是一类重要的积分，它在概率统计以及积分变换中都会用到.定积分自测题(A)一. 选择题(每小题3分，共15分). 1.=⎰dt e dxd bxt2( )(A)2x e (B)2x e - (C)22xbee - (D)22x xe -2.dxx x I⎰-=321,则( )(A)化为)1()1(2123212x d x I---=⎰后计算(B)进行代换t x sin =后计算 (C)进行代换t x=-21，dtt I ⎰--=3212121后计算(D) 进行代换t x cos =后计算 3.设)(x f 连续且2)0(=f ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰00)()(2x cx x dtt tf x F x ，若)(x F 在0=x 处连续，则=c ( ) (A)0=c (B) 1=c(C)c 不存在 (D) 1-=c4.设)(x f 在[a a ,-]上连续，则⎰-aadxx f )(等于( )(A)⎰a dxx f 0)(2 (B)0(C) ⎰-+adx x f x f 0)]()([ (D)⎰--a dxx f x f 0)]()([5.设)(x f 是连续的奇函数，则)(x f 的任一原函数( )(A)是偶函数 (B)是奇函数 (C)可能是奇函数，也可能是偶函数 (D)非奇非偶函数二.(7分)求]4121141[lim 22222nn n n -+++-∞→ .三.计算下列各题(每题6分，共12分). 1.22200)()(lim22dt edt extxtx ⎰⎰-→2.设dtt x f xx⎰-+=sin 2)1arctan()(，求)0('f .四.计算下列定积分(每题8分，共56分). 1.⎰+21ln 11edxxx 2.dxx x ⎰-20cos sin π3.⎰-+43412)1(1dxx x x 4.⎰+xedx 15.dx x ⎰+π4302cos 1 6.dxx x ⎰--112247.dxxx ⎰+∞22ln1五.(10分) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=-001)(2x ex xx f x ，求dxx f ⎰-31)2(.定积分自测题(B)一. 选择题(每小题3分，共15分). 1.设0)(=⎰dx x f ba，且)(x f 在],[b a 连续，则( )(A)在],[b a 上，0)(≡x f (B)必存在],[b a ∈ξ，使0)(=ξf (C)存在唯一的],[b a ∈ξ，使0)(=ξf (D)不一定存在],[b a ∈ξ，使0)(=ξf2.设dtt I xe⎰=ln 1，dtt I xe⎰=22)(ln ，(0>x )，则( )(A)对一切e x ≠，有21I I < (B)仅当e x >时，有21I I < (C)对一切e x ≠，有21I I ≥ (D)仅当ex <时，有21I I <3.当0→x 时，⎰-=12)sin()(xe dtt x f 与43)(xx x g +=比较，是( )(A)高阶无穷小 (B)低阶无穷小 (C)同阶但非等价无穷小 (D)等价无穷小 4.函数dtt t t x x⎰+-=0213)(ϕ在区间]1,0[上的最小值为( )(A)21 (B)31(C)41 (D)05.=-+⎰→xdtt xx cos 1)1ln(lim2sin 0( )(A)8 (B)4 (C)2 (D)1 二.填空题(每小题3分，共15分). 1. 设)(x f 为连续函数，则=--⎰-aadx x f x f x )]()([2.2. =+++++∞→)212111(limnn n n .3. 若dxx f dx x xf a⎰⎰=22)(21)(，则=a .4. 设⎩⎨⎧≤<≤≤=21110)(2x x x x f ，而⎰=xdtt f x F 1)()()20(≤≤x ，则=)(x F .5. =-⎰dx x 21.三.计算下列各题(每题8分，共56分). 1.⎰-+1xxee dx 2.⎰+214)1(x x dx3.θθθθππd ⎰-+22234sin )sin (cos4.dxxx ⎰+202sin3sin π5.⎰--2ln 021dxex6.⎰+∞++02)1()1ln(dxx x7.已知5)2(,3)2(,1)0('===f f f ，求⎰10'')(dxx xf.四.(8分) 设⎰+=x dt ttx f 111ln )( )0(>x ,试求)1()(xf x f +. 五.(6分) 设)(x f 在]1,0[上连续，)1,0(内可导，且)0()(3132f dx x f =⎰.证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使0)('=ξf .定积分自测题(C)一. 选择题(每小题3分，共18分).1.设)(x f 为连续函数，那么函数⎰=xdt t tf x F 02)()(为( ) (A)奇函数 (B)偶函数 (C)非奇非偶函数 (D)单调增加函数 2.⎰=xadt t f )2('( )(A))]()([2a f x f - (B))2()2(a f x f -(C))]2()2([2a f x f -(D))]2()2([21a f x f -3.函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续是定积分dxx f ba⎰)(存在的( )(A)必要条件 (B)充分条件 (C)充要条件 (D)无关条件 4.设⎰--+=114121sin dxexx Ix，⎰--++=1142)1sin (2dxexx Ix，⎰---+=1143)1sin (2dxexx Ix，则( ) (A)321I I I << (B)231I I I <<(A)213I I I << (A)123I I I <<5.设)(x f 连续，则⎰=-xdt t x tf dxd 022)(( )(A))(2x xf(B))(2x xf -(C))(22x xf (D))(22x xf -6.广义积分收敛的是( ) (A)⎰+∞edxxx ln (B)⎰+∞edxxx ln 1 (C)⎰+∞ex x dx 2)(ln (D)⎰+∞exx dx ln二.填空题(每小题3分，共12分). 1.=+⎰))1ln((22xx tdt t e dxd .2.设)(x f 在]4,0[上连续，且3)(212-=⎰-x dt t f x ，则=)2(f . 3.设)(x f 为连续函数，且dx x f x x f e⎰-=1)(ln )(，则=⎰dx x f e1)(.4.=-+⎰-dx x x 1122)1(.三.计算下列各题(每题8分，共40分).1.⎰+402cos 1πdxxx 2.⎰+++23)1(1x x dx3. ⎰+edxxx1ln 1 4.⎰+1222)1(dxx x5.⎰+-5ln 031dxe e exxx四.(10分) 已知dtte ax a x atxx ⎰∞-+∞→=-+2)(lim，试求a 的值.五.(10分) 已知⎰=+-→xx dt ta txbx 021sin1lim，求b a ,的值.六.(10分) 设)('x f 在],0[a 上连续，且0)0(=f .证明：2)(2Ma dx x f a≤⎰，其中)(max '0x f Max ≤≤=.定积分自测题答案自测题(A)一. 1.D 2.A 3.B 4.C 5.A 二. 6π.三. 1.1 2.2π四. 1.)13(2- 2.)12(2- 3.3831ln4-4.ee +12ln 5.122- 6.2332-π7.2ln 1五.e137-自测题(B)一.1.B 2.B 3.C 4.D 5.B 二. 1.0 2.2ln 3.4=a4.⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-=21110)1(31)(3x x x x x F 5.1三. 1.e arctan 2.1732ln 41 3.16π4.31ln41-5.)32ln(23+- 6.1 7.2四.2)(ln 21x五.提示：利用积分中值定理及罗尔定理.自测题(C)一. 1.B 2.D 3.B 4.C 5.A 6.C二. 1.)1ln(2)1ln(422x xe x e xx +-+ 2.41)2(=f3.e1 4.2 三. 1.)22ln 4(21+π 2.6π 3.234.82-π 5.4-π四. 25=a五. 1,4==b a六. ],0(a x ∈∀，由拉格朗日中值定理，xf f x f )()0()('ξ=-，),0(x ∈ξ.又因0)0(=f ，故xf x f )()('ξ=，],0[a x ∈，于是2''2)()()(aM dx x Mdx x f dx x f dx x f aaaa =≤≤=⎰⎰⎰⎰ξξ.。