2021年高二数学单元测试定心试卷：期中测试二(基础过关)(学生版人教版必修5)
人教版高中数学必修第二册期中考试达标高分突破卷二(含解析)
人教版高中数学必修第二期册中考试达标高分突破卷二(考试版)一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，若AB a =，AD b =，则DE 等于（）A ．12a b-B ．12a b+C ．12a b+D ．12a b-2．已知向量()3,4a →=，()1,2b λλ→=-+，且a b →→⊥，则λ=（）A ．11-B ．2-C ．117D ．27-3．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC∆的面积为A ．2+B 1C ．2D 1-4．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A ．B ．12πC ．D ．10π5．用m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列命题正确的是（）A ．若//m n ，n α⊂，则//m aB ．若//m a ，n α⊂，则//m nC ．若m n ⊥，n α⊂，则m α⊥D ．若m α⊥，n α⊂，则m n⊥6．已知三棱锥A BCD -中，CD =，1BC AC BD AD ====，则此几何体外接球的体积为（）A ．2πB ．3C ．6D ．π7．在OAB 中，2OA OB ==，AB =P 位于直线OA 上，当PA PB →→⋅取得最小值时，PBA ∠的正弦值为（）A ．377B ．277C ．2114D 2138．在ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知25c =，且2sin cos sin sin a C B a A b B =-+5sin C ，点O 满足0OA OB OC ++=，3cos 8CAO ∠=，则ABC 的面积为A 55B ．35C ．52D 55二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
高二数学第二学期期中试卷
高二数学第二学期期中试卷2021高二数学第二学期期中试卷本卷须知：本试卷分基础检测与才干检测两局部，共4页，总分值为150分。
考试用120分。
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2.选择题每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应标题的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其它答案;不能答在试卷上。
3.非选择题必需用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必需写在另发的答题卷各标题指定区域内的相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准运用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案有效。
4.考生必需坚持答题卡的整洁，考试完毕后，将答题卷和答题卡一并收回。
参考公式：第一局部基础检测(共100分)一、选择题：本大题共10小题，在每题5分，共50分)1.以下言语中，哪一个是输入语句( )A.PRINTB.INPUTC.IFD.THEN2.给出左面的顺序框图，输入的数是( )A.2450B.2550C.5050D.49003.以下抽样中不是系统抽样的是()A.从标有1～15号的产品中，任选3个作样本，按从小到大排序，随机选起点，以后选(超越15那么从1再数起)号入样.B.工厂消费的产品，用传送带送入包卸车间前，检验人员从传送带每隔5分钟抽一件产品停止检验.C.某商场搞某一项市场调查，规则在商场门口随机抽一个顾客停止讯问，直到调查到事前规则调查的人数为止.D.为调查某城市汽车的尾气排放的执行状况，在该城市的主要交通干道上采取对车牌号末位数字为6的汽车停止反省.4.左面是甲、乙两名运发动某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知( )A.甲运发动的效果好于乙运发动.B.乙运发动的效果好于甲运发动.C.甲、乙两名运发动的效果没有清楚的差异.D.甲运发动的最低得分为0分.5.关于两个变量之间的相关系数，以下说法中正确的选项是( )A.越大，相关水平越大.B.，越大，相关水平越小，越小，相关水平越大.C.且越接近于，相关水平越大;越接近于，相关水平越小.D.以上说法都不对.6.计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0-9和字母A-F共16个记数符号;这些符号与十进制的数的对应关系如下表：十六进制123456789ABCDEF十进制123456789101112131415例如，用十六进制表示：E+D=1B，那么5F对应的十进制的数是 ( )A.20B.75C.95D.1007.从区分写上数字1,2，3，，9的9张卡片中，恣意取出两张，观察下面的数字，那么两数积是完全平方数的概率为( )A. B. C. D.8.200辆汽车经过某一段公路时的时速的频率散布直方图如右图所示，估量这200辆汽车在这段公路时速的平均数和中位数是( )A.64.5, 60B.65, 65C.62, 62.5D.63.5, 709.设，那么关于的方程所表示的曲线为()A.长轴在轴上的椭圆B.长轴在轴上的椭圆C.实轴在轴上的双曲线D.实轴在轴上的双曲线。
高二第一学期数学期中必修2试题及答案
高二第一学期数学期中必修2试题及答案高二第一学期数学期中必修2试题及答案高二数学期中复习题（第一学年）1、是边长为4的菱形线段到的距离是4，则点到的距离是_______________2、如图，正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的大小是____________________3、设直角三角形所在平面外一点到直角顶点的距离是，到两直角边的距离均为，则点到平面的距离是__________；与平面所成角大小是_____________4、设二面角为，，且与所成角为，，则到平面的距离是_____________5、如图，正方形与正方形所在的平面成的二面角，则异面直线与所成角的余弦值为__________________6、如图，长方体中，若棱，则直线与平面的距离是_____________7、是边长为正方形，，且，则到侧面的距离等于________________；8、两个等腰三角形与的公共底边，，且二面角为，则点与间的距离为____________9、如图，是二面角棱上一点，分别在上引射线，如果，那么二面角的大小是____________________10、已知长方体的底面是边长为的正方形，高为，求点到平面的距离为__________________11、正三棱柱所有棱长都是3，是的中点，则到的距离是______________12、若斜三棱柱的侧棱长为，侧棱与底面的交角为，则此棱柱的高为________________13、下面四种几何体必为长方体的是（）（A）直平行六面体（B）侧面都是矩形的棱柱（C）底面是矩形的直棱柱（D）两对角面是全等的矩形的直四棱柱14、棱柱成为直棱柱的一个必要而非充分条件是（）（A）棱柱有一条侧棱与底面垂直；（B）棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直；（C）棱柱有一个侧面是矩形且它与地面垂直；（D）有二个相邻的侧面垂直于底面。
15、四棱柱为长方体的一个充要条件是（）（A）底面为矩形（B）侧面为正方形（C）底面为菱形（D）侧面、底面都为矩形16、过一长方体同一个顶点的三个面对角线长分别是，那么这个长方体的对角线长是（）（A）（B）（C）（D）17、右图是一个正方体的'表面展开图，均为棱的中点，是顶点，则在正方体中异面直线和的夹角的余弦值为（）（A）（B）（C）（D）18、平面则与所成角为19、若长方体的一条对角线与从它的一个端点出发的三条棱所成的叫分别是则20、如图：正方体中，分别为和的中点，那么与所成角的大小为21、已知线段的长为4cm，点到平面的距离为1cm，点到平面的距离为2cm，那么线段所在的直线与平面所成角的大小为22、已知二面角的大小为，垂足为，且那么直线与平面所成角的大小是23、已知直四棱柱中，底面是直角梯形，为直角，，，求异面直线所成的角的大小。
2021-2022年高二数学下学期期中试题(普通班)
2021-2022年高二数学下学期期中试题（普通班）注意事项：考试时间：120分钟；满分：150分.本场考试不得使用计算器，请考生用黑色字迹的签字笔或钢笔将所有试题的答案填写在答题纸上.一．选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1.“”是“”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2.已知:命题:，总有；命题:是方程的根，则下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．3.设，则（）A.1B.2C.3D.44.双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A. B.2 C. D.15.若变量满足约束条件0,4,0,x yx yy k-≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩且的最小值为，则（）A. B. C. D.6.方程与在同一坐标系中的大致图象可能是（）7.已知,不等式在上恒成立，则的取值范围是( ) A. B. C. D.8.如图，分别是双曲线，的左、右两个焦点，为双曲线右支上一点，圆A 与三边所在直线都相切，切点分别为B,C,D,若,则此双曲线的离心率为（ ）第Ⅱ卷二．填空题（本大题有7小题，9~12题每题6分，第13~15题每题4分，共36分）9.已知函数，则的定义域为___，它的单调递增区间是_____ 10.函数为奇函数，则实数=_________;函数在上的值域为_______11.已知函数，若，求=_______;若是上的单调函数，则的取值范围是_________12.若实数满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥-1422y y ax y x ，目标函数，若，则的最大值为_________;若存在最大值，则的取值范围_________13.过点作圆的切线，切点分别为,直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程_______14.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且满足，则的最小值__________15.如图，已知双曲线，的左焦点为，过做斜率为1的直线交双曲线的渐近线于两点，且，则该双曲线的离心率为____三．解答题（本大题有5小题，共74分）16.(本题满分14分)已知直线，．(Ⅰ）若，求实数的值；(Ⅱ）当时，求直线与之间的距离．17.(本题满分15分)设命题：实数满足，其中；命题：实数满足；(Ⅰ）若，且为真，求实数的取值范围；(Ⅱ）若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．（第1518.(本题满分15分)已知抛物线C:()的焦点为(Ⅰ）求抛物线的方程；(Ⅱ）已知过点的直线与抛物线C交于A,B两点，且，求直线的方程19.(本小题满分15分)已知椭圆的左右焦点为，且离心率,直线与椭圆交于两不且倾斜角为时，原点O到同点.当直线过椭圆C右焦点F2直线的距离为.(Ⅰ）求椭圆的方程；(Ⅱ）若，当面积为时，求的最大值.20（本题满分15分）已知定义在上的函数⎪⎩⎪⎨⎧>--+-≤<-=1),12(210,11)(2x a ax x x x x f （其中），(Ⅰ）若当且仅当时，方程有三个不等的实根，求的值; (Ⅱ）若函数在上的最大值为，求的表达式.桐乡市高级中学xx学年第二学期高二年级期中考试数学参考答案（普通班）一．选择题（每小题5分，共40分）1．B 2．A 3．D 4．A 5．A6．B 7．D 8．B二．填空题（9~12题每题6分，第13~15题每题4分，共36分）9．； 10.； 11．8； 12．3；13．； 14.6 15．．三．解答题（共74分）16.（本题14分）解：（Ⅰ）若，则，那么（Ⅱ）若，则，那么或(舍去)当时，17．（本题15分）解：（Ⅰ）即；而为真，则（Ⅱ），则而是的必要不充分条件，则，则，则18．（本题15分） 解：（Ⅰ） （Ⅱ）设直线 联立得 直线方程或 19．（本题15分）解：（Ⅰ）因为直线的倾斜角为，， 所以，直线的方程为， 由已知得，所以. 又，所以，,椭圆的方程 . （Ⅱ）当直线的斜率不存在时，两点关于轴对称，则， 由在椭圆上，则，而，则 知=.当直线的斜率存在时，设直线为，代入可得 ，即222(23)6360k x kmx m +++-=，由题意，即.2121222636,2323km m x x x x k k -+=-=++.12PQ x =-==，11222POQS d PQ ∆=⋅⋅==, 化为222224(32)(32)m k m k +-=+，222222(32)22(32)(2)0k m k m +-++=， 即. 则，满足,由前知，2121232()22k y y k x x m m m m+=++=-+=， 22221212222941()()2(3)k ON x x y y m m m=+++=+=-.22222222224(32)2(21)1(1)2(2)(23)k m m PQ k k m m+-+=+==++ 2222114(3)(2)25ONPQ m m=-+≤，当且仅当，即时等号成立， 故.综上可知的最大值为. ……………………………………15分20．（本题15分）解：解：（Ⅰ）由题意， 当时，)]12()[1()1()()12(2)(222----=-+--=--+-=a x x a a x a ax x x f ，所以，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，由于当且仅当时，方程有三个不等的实根， 故，解得a =2 . …………6分（Ⅱ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧->-+--≤<--+-≤<-==12),12(221),12(210,11|)(|)(22a x a ax x a x a ax x x x x f x g (1) 当，即时，在上单调递减， 所以；(2) 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，故}15143,1max{)}43(),21(max{)(2-+-=-=a a a g g a M ， 令在上为增函数，故，所以；(3)当，即时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 故})1(,1max{)}(),21(max{)(2-==a a g g a M ， 而当时，， 故；(4)当，即时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ，，，当时，，故}15143,)1max{()}43(),(max{)(22+--=-=a a a a g a g a M ， ①当，即时，；②当，即时，，综上所述：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+>+-+≤<-≤<=2315143232)1(2231)(22a a a a a a a M ． 21784 5518 唘20807 5147 兇31607 7B77 筷Epe`35457 8A81 誁32500 7EF4 维39198 991E 餞21422 53AE 厮20154 4EBA 人P37121 9101 鄁%。
新人教版高中数学必修第二册期中检测试卷含答案解析
新人教版高中数学必修第二册期中检测试卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共13小题，每小题4分，共52分. 在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)1.已知向量a ＝(1，m )，向量b ＝(－1，3)，若a ∥b ，则m 等于( ) A. 3 B.－ 3 C.33 D.－33 答案 B解析 由题意得1×3－m ×(－1)＝0，∴m ＝－ 3. 2.已知i 为虚数单位，z ＝41＋i ，则复数z 的虚部为( )A.－2iB.2iC.2D.－2 答案 D解析 z ＝41＋i ＝4(1－i )(1＋i )(1－i )＝4(1－i )2＝2－2i ，故虚部为－2.3.已知边长为2的正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接BE ，则BE →·EA →等于( )A.－2B.－1C.1D.2 答案 B解析 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0) E (0,1)，BE→＝(－2,1)，EA →＝(0，－1)，BE →·EA→＝－1. 4.(2019·淮北、宿州模拟)已知i 为虚数单位，在复平面内，复数11－i 的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 D解析 由题意可得11－i ＝1＋i (1－i )(1＋i )＝12＋12i ，则其共轭复数为12－12i ，对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12位于第四象限.5.在长方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为AE 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b ，则BF →等于( ) A.－34a ＋12b B.34a －12b C.12a －34b D.12a ＋34b 答案 A解析 如图所示，由平面向量线性运算及平面向量基本定理可得BF →＝AF →－AB →＝12AE →－AB →＝12AD →＋14AB →－AB →＝12b －34a .6.在△ABC 中，若lg a －lg c ＝lg sin B ＝－lg 2且B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则△ABC的形状是( ) A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形答案 C解析 ∵lg a －lg c ＝lg sin B ＝－lg 2， ∴a c ＝sin B ＝22， ∵B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴B ＝π4， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋(2a )2－b 22a ·(2a )＝22，∴a 2＝b 2，则a ＝b ，∴A ＝B ＝π4， ∴C ＝π2，∴△ABC 为等腰直角三角形.7.在△ABC 中，∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|BC →|的最小值是( ) A.2 B.4 C.2 3 D.12 答案 C解析 AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ＝－12|AB →||AC →| ＝－2⇒|AB→||AC →|＝4， |BC→|＝|AC →－AB →|⇒|BC →|2＝|AC →－AB →|2 ＝|AC→|2＋|AB →|2＋4≥2|AB →||AC →|＋4＝12， 当且仅当|AC →|＝|AB →|时取等号， 所以|BC→|≥2 3. 8.已知向量a ＝(1，3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，则a ＋b 在b 上的投影为( )A.2B. 3C.1D.－1答案 A解析 a ＋b 在b 上的投影为 (a ＋b )·b |b |＝a ·b ＋b 2|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32＋11＝2.9.已知向量a ＝(cos θ－2，sin θ)，其中θ∈R ，则|a |的最小值为( ) A.1 B.2 C. 5 D.3 答案 A解析 因为a ＝(cos θ－2，sin θ)，所以|a |＝(cos θ－2)2＋sin 2θ＝1－4cos θ＋4＝5－4cos θ， 因为θ∈R ，所以－1≤cos θ≤1， 故|a |的最小值为5－4＝1.10.已知点O 是△ABC 内一点，满足OA →＋2OB →＝mOC →，S △AOBS △ABC＝47，则实数m 为( ) A.2 B.－2 C.4 D.－4 答案 D解析 由OA →＋2OB →＝mOC →得13OA →＋23OB →＝m 3OC →， 设m 3OC →＝OD →，则13OA →＋23OB →＝OD →， ∴A ，B ，D 三点共线， 如图所示，∵OC→与OD →反向共线， ∴|OD →||CD →|＝m m －3， ∴S △AOB S △ABC ＝|OD →||CD →|＝m m －3＝47，解得m ＝－4.11.在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状不可能是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形答案 ABD解析 由正弦定理知，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R . ∴sin 2A ＋sin 2B <sin 2C 可化为 a 2＋b 2<c 2，a 2＋b 2－c 2<0. ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0.∴角C 为钝角，△ABC 为钝角三角形.12.设z 是复数，则下列命题中的真命题是( ) A.若z 2≥0，则z 是实数 B.若z 2<0，则z 是虚数 C.若z 是虚数，则z 2≥0D.若z是纯虚数，则z2<0答案ABD解析设z＝a＋b i，a，b∈R，z2＝a2－b2＋2ab i，对于A：z2≥0，则b＝0，所以z是实数，真命题；对于B：z2<0，则a＝0，且b≠0，可得z是虚数，所以B为真命题；对于C：z是虚数，则b≠0，所以z2也可能是虚数，不能比较大小，所以C是假命题；对于D：z是纯虚数，则a＝0，b≠0，所以z2<0，所以D是真命题.13.定义两个非零平面向量的一种新运算a*b＝|a|·|b|sin〈a，b〉，其中〈a，b〉表示a，b的夹角，则对于两个非零平面向量a，b，下列结论一定成立的有()A.a在b上的投影向量为a sin〈a，b〉B.(a*b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2C.λ(a*b)＝(λa)*bD.若a*b＝0，则a与b平行答案BD解析由投影向量的定义可知，A显然不成立；(a*b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2sin2〈a，b〉＋|a|2|b|2·cos2〈a，b〉＝|a|2|b|2，故B 成立；λ(a*b)＝λ|a||b|sin〈a，b〉，(λa)*b＝|λa||b|sin〈a，b〉，当λ<0时不成立，故C不成立；由a*b＝0，得sin〈a，b〉＝0，即两向量平行，故D成立.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)14.i 是虚数单位，则复数3＋i1－3i ＝________，其实部为________.答案 i 0解析 3＋i 1－3i ＝(3＋i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )＝3＋9i ＋i ＋3i 210＝i ，其实部为0. 15.已知向量a ，b 的夹角为θ，且|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝3，则θ＝________. 答案 π6解析 由题意，利用向量的夹角公式，得cos θ＝a ·b |a ||b |＝32，又由θ∈[0，π]，∴ θ＝π6.16.(2019·南宁模拟)在正方形ABCD 中，E 为线段AD 的中点，若EC →＝λAD →＋μAB →，则λ＋μ＝________. 答案 32解析 因为EC →＝ED →＋DC →＝12AD →＋AB →，所以λ＋μ＝12＋1＝32. 17.(2019·宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD ＝80，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则A ，B 两点间的距离为___________.答案 80 5解析 由已知，在△ACD 中，∠ACD ＝15°，∠ADC ＝150°， ∴∠DAC ＝15°，由正弦定理，得AC ＝80sin 150°sin 15°＝406－24＝40(6＋2)，在△BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝135°， ∴∠DBC ＝30°，由正弦定理，得CD sin ∠CBD ＝BC sin ∠BDC ，∴BC ＝CD ·sin ∠BDC sin ∠CBD＝80×sin 15°12 ＝160sin 15°＝40(6－2)；在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝1 600(8＋43)＋1 600(8－43)＋2×1 600(6＋2)×(6－2)×12 ＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20， 解得AB ＝805，则两目标A ，B 间的距离为80 5. 三、解答题(本大题共6小题，共82分)18.(12分)已知复数z ＝3＋m i (m ∈R )，且(1＋3i)z 为纯虚数. (1)求复数z ；(2)若z ＝(2－i)w ，求复数w 的模|w |. 解 (1)(1＋3i)·(3＋m i)＝(3－3m )＋(9＋m )i ， ∵(1＋3i)·z 是纯虚数， ∴3－3m ＝0，且9＋m ≠0， ∴m ＝1，∴z ＝3＋i.(2)w ＝3＋i 2－i ＝(3＋i )·(2＋i )(2－i )·(2＋i )＝5＋5i 5＝1＋i.∴|w |＝12＋12＝ 2.19.(12分)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,4). (1)求a ＋b 与a －b 的夹角；(2)若c 满足c ⊥(a ＋b )，(c ＋a )∥b ，求c 的坐标. 解 (1)∵a ＝(1,2)，b ＝(－3,4). ∴a ＋b ＝(－2,6)，∴a －b ＝(4，－2)， ∴(a ＋b )·(a －b )＝－20， ∴|a ＋b |＝(－2)2＋62＝210， ∴|a －b |＝42＋(－2)2＝2 5. 设a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝(a ＋b )·(a －b )|a ＋b |·|a －b |＝－20210×25＝－22，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4.(2)设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)， ∵c ⊥(a ＋b )，(c ＋a )∥b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6y ＝0，－3(y ＋2)－4(x ＋1)＝0， 解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－23，即c ＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，－23.20.(14分)在△ABC 中，设A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝2π3，c ＝3，求△ABC 周长的取值范围.解 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2， ∴a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，则△ABC 的周长为L ＝a ＋b ＋c ＝2(sin A ＋sin B )＋ 3＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＋ 3 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ＋32cos A －12sin A ＋ 3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋ 3.∵0<B ＝π3－A <π3，∴0<A <π3， ∴π3<A ＋π3<2π3， ∴32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3≤1，∴△ABC 周长的取值范围是(23，2＋3]. 21.(14分)设复数z 1＝2－a i(a ∈R )，z 2＝4－3i. (1)若z 1＋z 2是实数，求z 1·z 2； (2)若z 1z 2是纯虚数，求z 1的共轭复数.解 (1)∵z 1＋z 2＝6－(3＋a )i 是实数， ∴3＋a ＝0，a ＝－3，z 1＝2＋3i ， ∴z 1·z 2＝(2＋3i)(4－3i)＝17＋6i.(2)∵z 1z 2＝2－a i 4－3i ＝(2－a i )(4＋3i )(4－3i )(4＋3i )＝(8＋3a )＋(6－4a )i 25是纯虚数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧8＋3a ＝0，6－4a ≠0，即a ＝－83，z 1＝2＋83i ， 故z 1的共轭复数为2－83i.22.(15分)已知|a |＝2，|b |＝3，(a ＋2b )·(b －3a )＝9.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)在△ABC 中，若AB→＝a ，AC →＝b ，求BC 边的长度. 解 (1)∵(a ＋2b )·(b －3a )＝－3a 2＋2b 2－5a ·b＝－3×22＋2×(3)2－5a ·b ＝9，∴a ·b ＝－3，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－32×3＝－32， 又θ∈[0，π]，∴θ＝56π.(2)∵BC→＝AC →－AB →＝b －a ， ∴|BC →|2＝(b －a )2＝b 2＋a 2－2b ·a ＝(3)2＋22－2×(－3)＝13，∴BC 边的长度为|BC→ |＝13. 23.(15分)在△ABC 中，已知cos B ＋(cos A －2sin A )cos C ＝0.(1)求角C 的余弦值；(2)若BC ＝5，AB 边上的中线CD ＝2，求△ABC 的面积. 解 (1)在△ABC 中，cos B ＝－cos(A ＋C )，所以－cos(A ＋C )＋(cos A －2sin A )cos C ＝0，sin A (sin C －2cos C )＝0，又sin A ≠0，所以sin C ＝2cos C ，tan C ＝2，因为C ∈(0，π)，所以0<C <π2，由三角函数的基本关系式，可得1－cos 2C ＝4cos 2C ， 解得cos C ＝55.(2)因为CA→＋CB →＝2CD →， 所以|CA →|2＋|CB →|2＋2|CA →|·|CB→|cos C ＝4|CD →|2， 所以|CA →|2＋5＋25|CA →|×55＝4×2，解得|CA→|＝1. 又sin C ＝1－cos 2C ＝255， 所以S △ABC ＝12CA ·CB ·sin C ＝1.。
(人教版)高中数学必修二(全册)单元测试卷汇总
（人教版）高中数学必修二（全册）单元测试卷汇总、阶段通关训练（一）（60分钟 100分）一、选择题（每小题5分，共3。
分）1・已知某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是□ □便視囲A. 长方体 C.匹棱锥【解析】选A.该几何体是长方体，如图所示» 入城商中目字必零二01 ：酚俭1王训停 爺人椒版為中教学宕偌2!； &馈通关训号 信，奴薮版快9E 必偌二好：阶段遑关训澤 司：人馭艇苣中数猝偌二桂測：跻蜀■美训遂 琼人板版毫中gtl 修二窗I ；樓埃蜃量怦估 S 人会版毎中數⑴ C 2） Word 版言眾忻 Word 版合解忻 W 。
招版含解忻 （AS ） Word 板合樹ff （B 卷）WordB.圆性 D.四棱台正視图悟视图2.以钝角三角形旳较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是（）A .两个圆锥拼桜而成的组合体B.一个圖台C.一个圆锥D . 一个圆锥挖去一个同底的小圆维【解析】选D.如图以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥.3.已知AAB攏边长为2a的正三角形，那么△ABCE勺平面直观图△ A'B‘ C'的面积为（）D.\Ga~【鮮析】选C.直观图面积S与原图面积S具有关系：S' Mfs.因为S 好芸12a）所以S …c 三•X\/3a'=^a .4- 4 4【补偿训练】某三角形的直观图是斜边长为2的等腰直角三角形，如图所示，则原三信形的面积是【解析】根据宜观图和原图形的关系可知原图形的面积为X 2vl X 2二2卮 答案：2^24. 某三梭锥的三视图如图所示，则该三検锥的体积是【解析】选B .由三视图可判断该三棱锥底面为等腰直角三角形，三 棱锥旳高为 2. RI V=x x 1 x 1 x 2=.^【补偿洲练】已知正三棱镣V-ABC 的正视图、侧视图和帽视图如图所 示，则该正三枝锥侧视图的面积是A.B. C. D.1A.v39B.6\,r 3D.6俯视C.即3【解析】选D .如图，根据三视图间的关系可得BCM3,所以侧视图 中VA 二\|铲一任X ? X 2妁七整，所以三橙锥侧视图面积S- 海=x 2V 3X 2\顶二6,故选 D.5.（2016 •蚌瑋高二检测）若一个回锥的侧面展开图是面积为 2工的半圆面,则该圆锥的体积为B.V3 X C .拓x【解析】选A.设园锥的母线长为I,底面半径为r,由题意|7苗2 = 211,vnl = 2TTT ,解得'所以圆锥的高为 h=\F —尸=寸3 , V= * r 2h= r x 12x r = L . 6.(2016 •雅安高二检测）设正方体的全面积为 24,邪么其内切球的体积是A .扼KB.兀32 D.—【解析】 选B.正方体的全面积为24,所以，设正方体的棱长为a.6 宀 24, a 二2,正方体的内切球的直径就是正方体的校长，所以球的半径为1,内切球旳体积：V = 7t . ID RC乙 第*已回刮寻詠回王曲＞=s '哥USS 甲'里蛔国皿【果到】&&価91实逐刘t ¥豈我到国丑屬T 風濕&一天喔宰邕€好日-6肝里N 二縛：毒虽•*+£，W=M*£Axl X >t=S rft凰峯4 Z^A^Ax^ x=A '風刘"坦 NN 八一醇E3HI 诳乙 弟学段皿期一旧耳闻1/峯'皓也乎书屋絶三零净【爆蜴】醇車回1/溟【四'（国⑰）国隴三阳财回廿必日（脈玛二堆※困• 9L0S1-8LL :孝晶U=x 韧 N 刮’壽」三三）阜尚‘X 興覃毋号密祺［菓到】 麹*辛矣廚留丄壬至藏乌去廖犯讪目丄竺羽诲同争宙【睾里區墙】^实些阳号屛醇斟濯施*09实邊回回淮即回通士互士 .乙屿％邊国基’9L 实雙団驚勢N（G&详‘&9鲤W 辱）谴乏帯 '二=M 媛苴'務nD所以AQ=\吃，A O=R^/6.所以S丼二4兀F<=24T.答案：24 x10•圖台的底面半径分别为1和2,母线长为3,则此圖台的体积为【解析】圆台的高h= 732 - （2 - I）2 =2 <1 ,所以体积71 2 aV=y(R+Rr4-r )h=^^i(. 答案：學三、解答题（共4小题，共50分）11.（12分）如區几何体上半部分是母线长为5,底面圆半径为3的圆锥，下半部分是下底面圆半径为2,母线长为2的圆台，计算该几何体的表面枳和体枳【韻析】圖锥侧面积为S = X rl=15r ,圖台的侧面积为缶冗(r+r ' )1二10冗，圖台的底面宜积为订’』牝，所以表面积为:S=S+S+S s=15i +10兀+4H=29X;圆锥的体积V-xr2hi=12x ,圆台的体积V：= r h2（r ：+rr , +「’ 2）=^y^r ,所以体积为：V=V+U=12i------ X .312.(12分)如图是一个几何体的正视图和俯视图(1)试判断该几何体是什么几何体？(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积.(3)求出该几何体的体积.【解析】(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥.(2)该几何体的側视图如图.其中AB=AC AD^BC,且BC的长是俯视图正六边形对边的距离，即BC=v3a, AD是正六棱锥的高，即AD十3a,所以该平面图形的面积(3)没这个正六棱锥的底面积是S,体积为V,则S=6< —a=—a\4 2所以V=x三歯x JJa=a°.13.（13分）如图所示，在四边形ABC畔，Z DAB=90 , ZADCF35 ,AB二5 CD二不臣，AD二2求四边形ABC说AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.【鮮析】S 表面二S SOFB +S Bo ma +S 四部面=it x 5~+ i x (2+5) x 5+ r X 2X 2V2=(4 克+60) x .V=V H&-V B*=z (4-r if z+Fj )h- x h148=I (25+10+4) X 4- Jt X 4X 2. x .14.(13分)(2016 ,湖北实验中学高一检测 )如图，△ ABC中，ZACB=90 , Z ABC=30* , BC%3 在三角形内挖去一个半圆(圆心。
高二数学期中考试试题及答案
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2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题02(新高考地区专用,直线与圆 椭圆)含解析
2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：空间向量与立体几何+直线和圆的方程+椭圆。
5．难度系数：0.62。
第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{},,a b c 为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（）A ．a b + ，c b + ，a c- B ．2a b + ，b ，a c- C ．2a b +，2c b + ，a b c++r r r D ．a b + ，a b c ++r r r ，cA ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】B3．设定点()10,2F -，()20,2F ，动点P 满足条件()120PF PF m m m+=+>，则点P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．线段C ．射线D ．椭圆或线段4．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，113CF CC =，则异面直线EF 与11B D 所成角的余弦值为（）A ．23B C ．26D ．21故选：C .5．已知直线l ：3mx y ++和直线：，则“1m =-”是“l ∥A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】当//l n 时，(m m6．已知椭圆22:1(0)M a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点P 在M 上，Q 为2PF 的中点，且121,FQ PF FQ b ⊥=，则M 的离心率为（）A ．3B ．13C ．12D 根据题意可知112PF F F ==又Q 为2PF 的中点，可得PQ12均过定点，且圆12均与轴、轴相切，则圆12的半径之积为（）A ．ab B ．2abC ．22a b+D ．222a b +为线段AF 的中点，过点N 的平面α与棱,,AB AC AD 分别交于,,O P Q ，设四面体AOPQ 的体积为V '，则V V'的最小值为（）A ．14B ．18C ．116D ．127【答案】C【详解】连接AM ，由题意知：()1122AN AF AD DF ==+ ()111362AD AB AC =+⨯+=令AOx AB APy AC ⎧=⎪⎪⎪=⎨，则AO AB x AP AC y ⎧=⎪⎪⎪=⎨选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）A ．两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =-，()2,3,1b =-- ，则12l l //B ．两个不同的平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =-，()3,4,2v =- ，则αβ⊥C ．直线l 的方向向量()112a ,,=- ，平面α的法向量是()6,4,1u =-，则l α⊥D ．直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0u =-，则//l α10．已知直线，圆00为圆C 上任意一点，则下列说法正确的是（）A ．2200x y +的最大值为5B ．00y x 的最大值为5C ．直线l 与圆C 相切时，k =D ．圆心C 到直线l 的距离最大为411．已知直线:(0)l y kx k =≠交椭圆221x y a b+=于A ，B 两点，1F ，2F为椭圆的左、右焦点，M ，N 为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与2F 关于直线l 的对称点为Q ，则（）A ．若1k =，则椭圆的离心率为B ．若13MA MB k k =-，则椭圆的离心率为3C ．1//l FQ D ．若直线BQ 平行于x 轴，则k =对于A ，若1k =，则(0,)Q c 所以2222c cc e a b cc ===+对于B ，设0,0，则(B三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知点P 在圆22(5)(5)16x y -+-=上，点()()4,0,0,2A B ，当PBA ∠最小时，PB =.13．下列关于直线方程的说法正确的是.①直线sin 20x y θ-+=的倾斜角可以是2；②直线l 过点()2,3-，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为10x y +-=；③过点()00,P x y 的直线0Ax By C ++=的直线方程还可以写成()()000A x x B y y -+-=；④经过()11,A x y ，()22,B x y 两点的直线方程可以表示为111212y y x x y y x x --=--.1111的棱长为3，P 是侧面11（包括边界）上一动点，E 是棱CD 上一点，若APB DPE ∠=∠，且APB △的面积是DPE 面积的9倍，则三棱锥P ABE －体积的最大值是．.77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知直线l 的方程为：()()211740m x m y m +++--=.(1)求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；(2)过点M 引直线1l 交坐标轴正半轴于A B 、两点，当AOB 面积最小时，求AOB 的周长.()1740++--=m y m 可得：(m ，所以直线l 过定点()3,1M ．.....................51111平面11(1)求证：平面11AB C ⊥平面1A BC ；(2)设点P 为1AC 的中点，求平面ABP 与平面BCP 夹角的余弦值.【详解】（1）证明1AA ⊥ 平面,ABC BC ⊂平面ABC ，1AA BC ∴⊥.又1,AB BC AA AB A ⊥⋂= ，且1,AA AB ⊂平面11ABB A ，BC ∴⊥平面11ABB A .1AB ⊂ 平面111,ABB A BC AB ∴⊥.又111,AB A C A C BC C ⊥⋂= ，且1,AC BC ⊂平面1A BC ，1AB ∴⊥平面1A BC .1AB ⊂ 平面11AB C ，∴平面11AB C ⊥平面1A BC ......................6分（2）由（1）知11AB A B ⊥，所以四边形11ABB A 为正方形，即12AA AB ==，且有22AC =.以点A 为原点，以1,AC AA 所在直线分别为,y z 轴，以过A 点和AC 垂直的直线为x 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示，则()()()()()110,0,2,0,22,0,2,2,0,2,2,2,0,2,1A C B B P ，所以()()()2,0,1,0,2,1,2,2,0BP AP CB =-==-，设平面ABP 的一个法向量 =s s ，则0,0,BP n AP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即20,20,x z y z ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩取()1,1,2n =- ，同理可得平面BCP 的一个法向量()2,2,2m = ，所以()()2,2,21,1,2221cos ,2224112222m n m n m n ⋅-⋅====++⨯++⨯ ，所以平面ABP 与平面BCP 夹角的余弦值为12......................15分17．（15分）已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的焦距为22，离心率为22.(1)求C 的标准方程；(2)若5,02A⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线l：()302x ty t=+>交椭圆C于E，F两点，且AEF△的面积为2，求t的值.联立则12232ty yt+=-+，12y y=-设直线l与x轴的交点为D⎛⎝如图，在四棱锥P ABCD-中，平面PAD⊥平面ABCD，PA PD⊥，AB AD⊥，PA PD=，1AB=，2AD=，AC CD==.(1)求证：PD⊥平面PAB.(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.(3)在棱PA上是否存在点M，使得//BM平面PCD?若存在，求出AM AP的值；若不存在，请说明理由.【详解】（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD⋂平面ABCD AD=，且AB AD⊥，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴AB PD⊥，又PD PA⊥，且PA AB A=，,PA AB⊂平面PAB，∴PD⊥平面PAB；.......................5分（2）取AD中点为O，连接,CO PO，19．（17分）已知圆O的方程为2,1-的圆O的切线方程；(1)求过点()(2)已知两个定点(),2A a ，(),1B m ，其中R a ∈，0m >．P 为圆O 上任意一点，PA n PB =（n 为常数），①求常数n 的值；②过点(),E a t 作直线l 与圆22:C x y m +=交于M 、N 两点，若M 点恰好是线段NE 的中点，求实数t 的取值范围．。
人教版高二上册数学期中数学试卷带答案
2020-2021学年高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.)1. 已知a>b，c>d>0，则（）A.1 a <1bB.a−c>b−dC.ac>bdD.dc<d+4c+42. 关于x的不等式x+1x−2≥0的解集为（）A.(−∞, −1]∪(2, +∞)B.[−1, 2)C.(−∞, −1]∪[2, +∞)D.[−1, 2]3. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d＝1，且S6−S2＝10，则a3+a4＝（）A.2B.3C.4D.54. 若不等式ax2+bx−1<0的解集为{x|−1<x<2}，则a+b的值为（）A.−14B.0 C.12D.15. 已知等比数列{a n}中，a2a3a4=1，a6a7a8＝64，则a5＝（）A.±2B.−2C.2D.46. 已知在数列{a n}中，a1=2,a n+1=nn+1a n，则a2020的值为（）A.1 2020B.12019C.11010D.110097. 已知a>0，b>0，a+b＝3，则y=4a +1b+1的最小值为（）A.9 8B.94C.92D.98. 已知数列{b n}满足b n=2λ(−12)n−1−n2，若数列{b n}是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（）A.(−1, 103) B.(−12, 103) C.(−1, 1) D.(−12, 1)二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置.上.)9. 下列说法正确的有（）A.“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件B.“1a >1b”是“a<b”的既不充分又不必要条件C.“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件D.“a>b>0”是“a n>b n(n∈N, n≥2)”的充要条件10. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1>0，2a5+a11＝0，则（）A.a8<0B.当且仅当n＝7时，S n取得最大值C.S4＝S9D.满足S n>0的n的最大值为1211. 已知a，b均为正实数，且a+b＝1，则（）A.a2+b2的最小值为12B.ab+1ab的最小值为2C.√a+√b的最大值为√2D.1a +1b的最大值为412. 对于数列{a n}，定义：b n=a n−1a n(n∈N∗)，称数列{b n}是{a n}的“倒差数列”．下列叙述正确的有（）A.若数列{a n}单调递增，则数列{b n}单调递增B.若数列{b n}是常数列，数列{a n}不是常数列，则数列{a n}是周期数列C.若a n=1−(−12)n，则数列{b n}没有最小值D.若a n=1−(−12)n，则数列{b n}有最大值三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置.上.)13. 命题“∃x∈R，x2−2x+m≤0”的否定是________．14. 在等比数列{a n }中，已知a 3⋅a 8=10，则a 53⋅a 7的值为________．15. 已知x >0，y >0，x +3y +xy =9，则x +3y 的最小值为________．16. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列第19项的值为________，此数列的通项公式a n ＝ {n 2−12(n)n 22(n)．四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 在①f(x +1)−f(x)＝2ax ，②f(x)的对称轴为x =12，③f(1)＝2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并回答下面问题．已知二次函数f(x)＝ax 2+bx +1，若_____，且不等式f(x)≥0对任意的x ∈R 恒成立，试求实数a 的取值范围．18. 已知数列{a n }是公比q >1的等比数列，若a 1+a 2+a 3＝14，且a 2+1是a 1，a 3的等差中项．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝log 2a n ，数列{1b n b n+1}的前n 项和为T n ，若T n <m 2−1对n ∈N ∗恒成立，求满足条件的自然数m 的最小值．19. 已知数列{a n }中，a 1＝2，且满足a n+1−2a n ＝2n+1(n ∈N ∗)．（1）求证：数列{a n2n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）求证：对于数列{b n }，b 1+2b 2+...+nb n ＝a n 的充要条件是b n =(n+1)2n−1n．20. 已知函数f(x)=a⋅2x +12x −1,a ∈R ．（1）当a ＝1时，求不等式f(x)>3的解集；（2）若不等式|f(2x)−f(x)|≤1对任意x∈[1, 2]恒成立，求实数a的取值范围．21. 如图，某森林公园内有一条宽为2百米的笔直的河道（假设河道足够长），现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼．三角形区域记为△ABC，A到河两岸距离AE，AD相等，B，C分别在两岸上，AB⊥AC．为方便游客观赏，拟围绕△ABC区域在水面搭建景观桥，桥的总长度（即△ABC的周长）为l．设EC＝x百米．（1）试用x表示线段BC的长度；（2）求l关于x的函数解析式f(x)，并求f(x)的最小值．22. 已知数列{a n}为等差数列，公差为d，前n项和为S n．（1）若a1＝0，d＝2，求S100的值；,8)内，求d的取值范围；（2）若a1＝−1，{a n}中恰有6项在区间(12（3）若a1＝1，S2＝3，集合A={a n|n∈N∗}，问能否在集合A中抽取到无穷多个不全相等的元素组成一个新数列{b n}，使得此新数列{b n}满足从第二项开始，每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均数．若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（注：叫作数a和数b的调和平均数）．数2aba+b参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.【答案】D【解析】由不等式的性质逐一判断即可．2.【答案】C【解析】根据题意，原不等式变形可得(x+1)(x−2)>0或x+1＝0，解可得x的取值范围，即可得答案．3.【答案】B【解析】先根据求和公式和等差数列的性质可得a5+a4＝5，即可求出a3+a4．4.【答案】B【解析】不等式ax2+bx−1<0的解集是{x|−1<x<2}，故−1，2是方程ax2+bx−1＝0的两个根，由根与系数的关系求出a，b．5.【答案】C【解析】设等比数列{a n}的公比为q，由a2a3a4=1，a6a7a8＝64，可得(q4)3＝64，解得q2．又(a1q2)3=1，解得a1．利用通项公式即可得出．6.【答案】C【解析】直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步求出结果．7.【答案】B【解析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．8.【答案】A【解析】)n−2n−1<0，分类讨论，根据数列的根据函数为递减数列可得b n+1−b n＝6λ(−12函数特征即可求出．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置.上.9.【答案】A,B,C【解析】利用不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法即可判断出正误．10.【答案】A,C,D【解析】2a5+a11＝0利用通项公式可得：a1＝−6d．根据a1>0，可得d<0，利用通项公式和求和公式进而判断出结论．11.【答案】A,C,D【解析】由已知结合基本不等式分别检验各选项即可判断．12.【答案】B,D【解析】对于A，根据函数f(x)＝x−1在(−∞, 0)和(0, +∞)上单调递增，但在整个定义域上不x是单调递增，即可判断；=t，通过数列的递推关系可得数列{a n}是以2为周期的周期数对于B，设b n＝a n−1a n列，)n，分了n为奇数和偶数，利用数列的单调性即可判断．对于CD，若a n＝1−(−12三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置.上.13.【答案】∀x∈R，x2−2x+m>0【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．14.【答案】100【解析】根据等比数列的性质即可求出．15.【答案】6【解析】此题暂无解析16.【答案】180【解析】直接利用数据求出数列的关系式和通项公式．四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【答案】选①f(x+1)−f(x)＝2ax，∵f(x)＝ax2+bx+1，∴a(1+x)2+b(1+x)+1−ax2−bx−1＝2ax，整理可得，2ax+a+b＝2ax，∴a+b＝0，∵f(x)＝ax2−ax+1≥0对任意的x∈R恒成立，当a＝0时，1≥0对任意的x∈R恒成立，∴{a>0a2−4a≤0，解得0<a≤4，故0≤a≤4；选②：f(x)的对称轴为x=12，∴−b2a =12，∴b＝−a，∵f(x)＝ax2−ax+1≥0对任意的x∈R恒成立，当a＝0时，1≥0对任意的x∈R恒成立，∴{a>0a2−4a≤0，解得0<a≤4，故0≤a≤4；选③：f(1)＝2，∴a+b+1＝2即b＝1−a，∵f(x)＝ax2+(1−a)x+1≥0对任意的x∈R恒成立，当a＝0时，x+1≥0不恒成立，当a≠0时，{a>0(1−a)2−4a≤0，解得3−2√2≤a≤3+2√2，故3−2√2≤a≤3+2√2．【解析】选①：f(x+1)−f(x)＝2ax，结合已知二次函数代入可得a+b＝0，然后由不等式恒成立，结合二次函数的性质可求；选②：f(x)的对称轴为x=12，结合已知二次函的对称轴方程可得a+b＝0，然后由不等式恒成立，结合二次函数的性质可求；选③：f(1)＝2，直接代入可得b＝1−a，然后由不等式恒成立，结合二次函数的性质可求．18.【答案】数列{a n}是公比q>1的等比数列，若a1+a2+a3＝14，且a2+1是a1，a3的等差中项．所以{a1+a2+a3=142(a2+1)=a1+a3，整理得{a1+qa1+a1⋅q2=142(a1⋅q+1)=a1+a1⋅q2，解得{a1=2q=2，故a n=2n．由于b n＝log2a n＝n，所以1b n b n+1=1n(n+1)=1n−1n+1，所以T n=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+1<1，若T n<m2−1对n∈N∗恒成立，只需满足m2−1≥1即可，故m≥4，即满足条件的自然数m的最小值为4．【解析】（1）直接利用已知条件和关系式的应用求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法和恒成立问题的应用求出数列的和及m的最小值．19.【答案】数列{a n}中，a1＝2，且满足a n+1−2a n＝2n+1(n∈N∗)．整理得a n+12n+1−a n2n=1（常数），所以数列{a n2n}是以1为首项，1为公差的等差数列．所以a n2n=1+(n−1)=n，所以a n=n⋅2n．证明：由于a n=n⋅2n，所以b1+2b2+...+nb n＝n⋅2n①，当n＝1时，b1＝2，当n≥2时，b1+2b2+⋯+(n−1)b n−1=(n−1)⋅2n−1②，①-②得：nb n=n⋅2n−(n−1)⋅2n2=(n+1)⋅2n2，所以b n=(n+1)2n−1n，（首项符合通项），所以b n=(n+1)2n−1n，即数列{b n }，b 1+2b 2+...+nb n ＝a n 的充要条件是b n =(n+1)2n−1n．【解析】（1）直接利用构造新数列的应用求出数列的通项公式； （2）利用数列的递推关系式的应用求出结果． 20. 【答案】当a ＝1时，f(x)=2x +12x −1，由f(x)>3，即2x +12x −1>3，化为2−2x2x −1>0， 即1<2x <2，可得0<x <1， 则解集为(0, 1)； f(x)=a⋅2x +12x −1=a +a+12x −1，则f(2x)−f(x)=a+122x −1−a+12x −1=(a +1)⋅−2x22x −1，令t ＝2x ，因为x ∈[1, 2]，可得t ∈[2, 4]， 由题意可得|a +1|≤22x −12x=2x −12x=t −1t恒成立，即有|a +1|≤(t −1t )min ，而g(t)＝t −1t 在[2, 4]递增，可得g(t)min ＝g(2)=32， 则|a +1|≤32，解得−52≤a ≤12， 则a 的取值范围是[−52, 12]． 【解析】（1）由题意可得f(x)=2x +12x −1，由指数不等式的解法和指数函数的单调性，可得所求解集；（2）计算f(2x)−f(x)，令t ＝2x ，t ∈[2, 4]，由题意可得|a +1|≤22x −12x=2x −12x =t −1t恒成立，即有|a +1|≤(t −1t)min ，运用g(t)＝t −1t在[2, 4]的单调性，可得最小值，再由绝对值不等式的解法可得所求范围． 21.【答案】∵ AB ⊥AC ，∴ ∠EAC +∠BAD ＝90∘，在Rt △ABD 中，∠ABD +∠BAD ＝90∘，∴ ∠EAC ＝∠ABD ，则Rt △CAE ∽Rt △ABD ， ∴ ACAB =ECAD ．∵ EC ＝x ，AC =√AE 2+EC 2=√1+x 2，AD ＝1，∴AB=1×√1+x2x =√1+x2x，则BC=√AB2+AC2=√1+x2+1+x2x2=√x2+2+1x2=x+1x；f(x)=√1+x2+√1+x2x +x+1x，x>0．∵x>0，∴f(x)≥2√√1+x2⋅√1+x2x +2√x⋅1x=2√1x+x+2≥2√2+2．当且仅当√1+x2=√1+x2x ，且1x=x，即x＝1时取“＝”．∴f(x)min=2√2+2，故景观桥总长的最小值为(2√2+2)百米．【解析】（1）由已知证明Rt△CAE∽Rt△ABD，得ACAB =ECAD，由EC＝x，得AC=√AE2+EC2=√1+x2，AD＝1，再由勾股定理求BC；（2）写出f(x)的表达式，然后利用基本不等式求最值．22.【答案】因为a1＝0，d＝2，又因为S n＝na1+n(n−1)2⋅d，所以S100＝100×0+12×100×99×2＝9900；设从第m(m∈N∗, m≥2)项开始在(12, 8)内，则{a m>12 a m−1≤12a m+5<8 a m+6≥8，即有{−1+(m−1)d>12−1+(m−2)d≤12−1+(m+4)d<8−1+(m+5)d≥8，解得{32(m−1)<d≤32(m−2)9m+5≤d<9m+4，所以{32(m−1)<9m+49 m+5≤32(m−2)，解得m∈(2, 175]，所以m＝3，所以d∈[98, 97 )；因为a1＝1，S2＝a1+a2＝3，所以a2＝2，d＝a2−a1＝1，所以a n＝n，①新数列{b n}中有两个相同和一个不同项a m，a n，a m，若a n=2a m a ma m+a m=a m，矛盾；若a m=2a n a ma n+a m，解得a m＝a n，所以a n，a m是两个不同项，且a m≥1，a n≥1，所以a n≠a m，所以新数列{b n}中有两个相同和一个不同项是不成立的；②新数列{b n}中有三个不同项a m，a n，a r，设m＝a m，n＝a n，r＝a r，且m<n<r，b1＝m，b2＝n，则a n=2a m a ra m+a r ，即n=2mrm+r，解得r=mn2m−n ，设第四项为p，则r=2npn+p，即p=nr2n−r =mn22m−n2n−mn2m−n=mn3m−2n，设第五项为t，则p=2rtr+t ，即t=rp2r−p=mn2m−n⋅mn3m−2n2mn2m−n−mn3m−2n=mn4m−3n，由数学归纳法可得b n=b1b2(n−1)b1−(n−2)b2，即(n−1)b1>(n−2)b2，b1b2>n−2n−1，当n非常大时，n−2n−1趋向于1，则b1b2≥1，即b1≥b2（与假设矛盾），故三项不同的数列{b n}也不存在．综上可得，{b n}不存在．【解析】（1）运用等差数列的通项公式和求和公式，可得所求和；（2）设从第m(m∈N∗, m≥2)项开始在(12, 8)内，运用等差数列的通项公式可得m，d的不等式组，解不等式可得所求范围；（3）分别讨论①新数列{b n}中有两个相同和一个不同项a m，a n，a m；②新数列{b n}中有三个不同项a m，a n，a r，推理论证即可判断存在性．试卷第11页，总11页。
2021-2022年高二数学下学期期中试题 理答案
2021-2022年高二数学下学期期中试题 理答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.ADCCD ABABC AB第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题中的横线上.(13) (14) (15)(16)三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17) （本小题满分10分）函数()sin()()sin 24f x x x x ππ=++-定义域为，（1）求函数的单调区间；（2）指出函数的极值点并求对应的极值.解：（1）()sin()()sin cos ()sin 244f x x x x x x x πππ=++-=+-()sin sin ()cos ()cos 44f x x x x x x x ππ'=-++-=- 得4cos 0x x π⎧>⎪⎨⎪>⎩或4cos 0x x π⎧<⎪⎨⎪<⎩，解得或 得4cos 0x x π⎧>⎪⎨⎪<⎩或4cos 0x x π⎧<⎪⎨⎪>⎩，解得或所以单调增区间为和；单调减区间为和…………5分（2）由（1）可知，极大值点为从而和；极小值点为，从而………………………………………………10分(18)（本小题满分12分）已知为实数．（1）若，求；（2）若，求的值．【答案】解：（1）因为2234(1)3(1)41z z i i i ω=+-=++--=--…………………………………………………………6分（2）由条件，得22(1)(1)1(1)(1)1i a i bi i i ++++=-+-++，即，，，解得……………………………………12分(19)（本小题满分12分）已知函数，对于正数，记，如图，由点(0,0),(,0),(,()),(0,())i i i i x x f x f x 构成的矩形的周长为（），都满足．(Ⅰ)求；(Ⅱ)猜想的表达式用表示，并用数学归纳法证明．【答案】(Ⅰ)解：由题意知，12(())2()(1,2,,)i i i i i C x f x x i n x =+=+=，又因为，所以12(1,2,,)i i i S x i n x =+=．令，得，又，且，故．令，得2122122122(),1,0S x x x x x x =+=+=>，故；令，得3123333122(),0S x x x x x x =++=+>，故；…………………4分 (Ⅱ)解：由上述过程猜想，下面用数学归纳法证明：①当时，，命题成立； ②假设时命题成立，即1(*)k x k k k N =-∈，则当时，，又11111()2k k k k k k S S x x x x +++=+=++，故11111()2k k k k k x x x x x +++++=+，由1(*)k x k k k N =-∈，代入得2111210,0k k k x kx x ++++-=>，．即当时命题成立．综上所述，对任意自然数n ，都有成立．………………………………………………………………………………12分(20) （本小题满分12分）已知函数，其中，是自然对数的底数．(Ⅰ)若121,()()()a g x f x f x ==-，求在处切线的方程；(Ⅱ)若对任意均有两个极值点，一个在区间内，另一个在区间外，求的取值范围．【答案】解：（1）2212()()()(21)()x x g x f x f x x x e e --=-=---，222()(22)()(21)(2)x x x x g x x e e x x e e ----'=--+---+又切线方程为 ……………………………………4分（2）222(22)(2)2(1)2()nx nx n nx nx x e n x x a e nx n x na f x e e-----+++-'==， 设2()2(1)2n g x nx n x an =-+++-，它的图象是开口向下的抛物线，由题意对任意有两个不等实数根，且，，则对任意，即，有，又任意关于递增，，故，所以…………12分(21) （本小题满分12分）已知函数，()()(0,)g x f x x m R =+>∈． (Ⅰ) 讨论函数在区间上零点的个数； (Ⅱ) 设22(1)ln 511[1()],44x x x x x x a x f x b e e e --=-+-+=+,当时，试用反证法证明：与中至少有一个大于0．解（1）由题可得，令．设，令，得；令，得．故在上递减，在上递增．24min 2214()(),()2ln 4,()4x e e e eϕϕϕϕ∴==-==-． 当或时，无零点．当或时，有1个零点；当时，有2个零点．…………………………6分（2）（反证法）假设都不大于0，即 又22(1)ln 511ln 44x x x x x x a b x x e e e --+=-+-+++ 22(1)(ln )111ln 1(ln )(1)1x x x x x x x x x x e e e e ---=-+-+=---+ 设1()ln ,()1x x F x x x G x e -=-=-，11()1(0)x F x x x x-'=-=>，(0,1),0;(1,),0,x F x F ''∈<∈+∞>所以2()(0),(0,2),0;(2,),0x x G x x x G x G e-'''=>∈<∈+∞>， 所以210,()(2)1x G x G e>≥=-，因为不能同时取到最小值，从而222111()()1110a b F x G x e e e+=-+>--+=，与矛盾。
2021年高二数学下学期期中联考试题(II)
2021年高二数学下学期期中联考试题(II)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|lnx＞0}，N={x|x2﹣3x﹣4＞0}，则M∩N=（）A．（﹣1，4） B．（1，+∞）C．（1，4） D．（4，+∞）2．i是虚数单位，（1﹣i）Z=2i，则复数Z的模|Z|=（）A．1 B． C． D．23．设，“，，为等比数列”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位 C．向右平移个单位D．向右平移个单位5．过函数图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（）A． B． C． D．6．如果执行如图所示的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a N，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a N的和B．A和B分别是a1，a2，…，a N中最大的数和最小的数C．为a1，a2，…，a N的算术平均数D．A和B分别是a1，a2，…，a N中最小的数和最大的数7．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑, ⊥平面, ，,三棱锥的四个顶点都在球的球面上, 则球的表面积为（）A． B． C． D．8．已知，则（）A． B． C． D．9．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据如下表所示：3 4 5 63 4若根据表中数据得出关于的线性回归方程为，则表中的值为（）A． B． C． D．10．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是（）A．2 B．3 C．4 D．611．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为、，焦距为，抛物线的准线交双曲线左支于，两点，且（为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A． B．C．D．12．设函数是上的偶函数，当时，，函数满足，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．观察下列不等式：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……照此规律，第五个．．．不等式为________．14．已知实数x，y满足，若使得ax﹣y取得最小值的可行解有无数个，则实数a的值为．15．如图，小明同学在山顶A处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B 、C 两点的俯角分别为 ，且，若山高，汽车从B 点到C点历时，则这里汽车的速度为 .16．设数列{a n }满足a 2+a 4=10，点P n （n ，a n ）对任意的n ∈N +，都有向量，则数列{a n }的前n 项和S n = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分10分）在中，的对边分别为，， 的面积为.(1).求的值； (2).求的值.18．（本小题满分12分）某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量．．产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图．(1).根据图１，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；(2).若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？(3).根据已知条件完成下面列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量质量指标值 频数 (190,195] 9 (195,200] 10 (200,205] 17 (205,210] 8 (210,215]6图1乙流水线样本频率分布直方图表1：甲流水线样本的频数指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？附：（其中为样本容量）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△PAD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝4 5. (1).设M 是PC 上的一点，求证：平面MBD ⊥平面PAD ； (2).求四棱锥P —ABCD 的体积．20．（本小题满分12分） 已知数列{}的前n 项和，数列{}满足 (1)求，； (2)设为数列{}的前n 项和，求．21．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为, 且过点. (1).求椭圆的方程;(2).若是椭圆上的两个动点,且使的角平分线总垂直于轴, 试判断直线 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.22．（本小题满分12分）函数. (1).讨论函数的单调性；(2).当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．甲生产线乙生产线合计 合格品不合格品合计数学（文科）一、选择题（1）D （2）B （3）B （4）C （5）B （6）B（7）C （8）C （9）D （10）C （11）A （12）D 二、填空题（13） 1＋122＋132＋142＋152＋162<116 （14）或1 （15） （16）三、解答题(17) （本小题满分10分） （Ｉ） (5分) （Ⅱ）由（Ⅰ）得， 由于是三角形的内角，得，所以()1113cos cos cossin sin337214B C B B ππ-=+=⨯= （10分） (18) （本小题满分12分）解：（Ⅰ）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为，因为()()0.480.0120.0320.05250.50.0120.0320.0520.07650.86=++⨯<<+++⨯=，………………………………………1分 则()()0.0120.0320.05250.0762050.5,x ++⨯+⨯-= ……………………………3分 解得． ………………………………………4分（Ⅱ）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件， 则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为 ………………………5分乙流水线生产的产品为不合格品的概率为， ………6分于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产的不合格品件数分别为：． …………………………8分（Ⅲ）列联表:…………………………10分则， ……………………………………………11分 因为所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线 的选择有关”． ……………………………………………………12分19. （本小题满分12分）(1)证明 在△ABD 中，∵AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45， ∴AD 2＋BD 2＝AB 2.∴AD ⊥BD .又∵面PAD ⊥面ABCD ，面PAD ∩面ABCD ＝AD ，BD ⊂面ABCD ，∴BD ⊥面PAD .又BD ⊂面BDM ，∴面MBD ⊥面PAD .（6分） (2)解 过P 作PO ⊥AD ， ∵面PAD ⊥面ABCD ， ∴PO ⊥面ABCD ，即PO 为四棱锥P —ABCD 的高． 又△PAD 是边长为4的等边三角形， ∴PO ＝2 3.在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ， ∴四边形ABCD 为梯形．在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高．∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24.∴V P —ABCD ＝13×24×23＝16 3. （6分）20. （本小题满分12分）(1) (3分)、 (3分)（2） （6分）21. （本小题满分12分）(Ⅰ) 因为椭圆的离心率为, 且过点,所以, . ………………………………………………2分 因为,解得, , ………………………………………………3分 所以椭圆的方程为. ……………………………………………4分(Ⅱ)法1：因为的角平分线总垂直于轴, 所以与所在直线关于直线对称. 设直线的斜率为, 则直线的斜率为. ………………………………5分 所以直线的方程为,直线的方程为. 设点, ,由消去,得()()222214168161640k x k k x k k +--+--=. ①因为点在椭圆上, 所以是方程①的一个根, 则,……………………………………………6分 所以. ……………………………………………7分 同理. ……………………………………………8分 所以. ……………………………………………9分 又. ……………………………………………10分所以直线的斜率为. …………………………………………11分所以直线的斜率为定值，该值为. ……………………………………………12分 法2：设点，则直线的斜率, 直线的斜率.因为的角平分线总垂直于轴, 所以与所在直线关于直线对称. 所以, 即, ① ………………………………………5分 因为点在椭圆上, 所以，② . ③由②得, 得, ④ ………………………6分同理由③得, ⑤ ………………………………………………7分 由①④⑤得,化简得()()12211212240x y x y x x y y ++++++=, ⑥ ……………………………8分 由①得()()12211212240x y x y x x y y +-+-++=, ⑦ ……………………………9分 ⑥⑦得. …………………………………………10分 ②③得,得. …………………11分所以直线的斜率为为定值. …………………………………12分 22. （本小题满分12分） （I ）()()()()1111,0ax x f x ax a x x x--'=-++=>， （1分） （i ）当时，，令,得，令,得，函数f(x)在上单调递增，上单调递减； （2分） （ii ）当时，令，得, （3分） 令,得，令,得，函数f(x)在和上单调递增，上单调递减； （4分） （iii ）当时，，函数f(x)在上单调递增；（5分） （iv ）当时， （6分） 令,得，令,得， （7分）函数f(x)在和上单调递增，上单调递减； （8分）综上所述：当时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数f(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数f(x)的单调递增区间为；当时，函数f(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为 （9分） （II ）当时，，由，得，又，所以，要使方程在区间上有唯一实数解， 只需有唯一实数解， （10分）令，∴，由得；得，∴在区间上是增函数，在区间上是减函数. （11分），，，故或（12分）,28443 6F1B 漛29783 7457 瑗36034 8CC2 賂w27997 6D5D 浝&26572 67CC 柌38097 94D1 铑< -29698 7402 琂24425 5F69 彩。
数学-2021-2022学年高二第一学期期中数学试卷
2021-2022学年高二第一学期期中数学试卷(本卷满分150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.椭圆221168x y +=的长轴长为 （ ▲ ）A ．16B ．8C ．22D ．422.经过两点32A -(，)，(03)B ，-的直线的方程为 （ ▲ ）A ．133y x =-B ．133y x =-- C ．533yx D ．533y x =-- 3.双曲线22194y x -=的渐近线方程为 （ ▲ ） A. 23y x =± B. 32y x =± C. 49y x =± D. 94y x =±4.若两条直线1:210l x ay +-=与()2:2130l ax a y +-+=相互垂直，则a = （ ▲ ）A ．12-B ．0C ．12-或0 D ．2-或0 5．作圆22:(2)(1)25C x y -+-=上一点(2,4)P -处的切线l ,直线:30m ax y -=与直线l 平行，则直线l 与m 的距离为 （ ▲ ） A.4 B.2 C.85 D.1256.将圆224x y +=横坐标不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线的轨迹方程是 （ ▲ ）A. 2214x y +=B. 2214y x +=C. 221164x y +=D. 221416x y +=7.嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆有四个结论：①焦距长约为300公里；②长轴长约为3988公里；③两焦点坐标可以约为(±150，0)；④离心率约为75994．则上述结论正确的是 （ ▲ ） A ．①②④ B.①③ C.①③④ D ．②③④8.已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ，且BF →＝2FD →，则椭圆C 的离心率为 （ ▲ ） A.33 B. 3 C.13D ．3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9．已知双曲线C ：22149x y -=则下列说法正确的是 （ ▲ ） A.双曲线的焦点坐标为(－13,0)，(13,0) B.双曲线C 与22(0)49x y λλ-=≠有相同的渐近线 C.双曲线C 的焦点到一条渐近线的距离为3 D. 直线312y x =+与双曲线有两个交点 10.方程22141x y t t +=--表示曲线C ，给出以下命题正确的是 （ ▲ ） A.曲线C 不可能为圆 B.若1<t<4，则曲线C 为椭圆C.若曲线C 为双曲线，则t<1或t>4D.若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1<t<52.11.以下四个命题表述正确的是 （ ▲ ） A.直线(3)4330()m x y m m R ++-+=∈恒过点（-3，-3）B.圆224x y +=上有且仅有3个点到直线:0l x y -+=的距离都等于1C.圆221:20C x y x ++=与圆222:480C x y x y m +--+=恰有三条公切线，则m=4D.已知圆22:4C x y +=，过点P （3,4）向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 方程为 3440x y +-=12．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(,0)F c 且0c >，点A 为左顶点，点B 为上顶点，直线l 过原点且与椭圆交于M,N 两点（异于长轴顶点），则以下命题正确的是（ ▲ ） A.2MF NF a += B. |M+N |2F F a =C. MNF ∆面积最大值为bcD.直线ＡＭ与直线ＡＮ的斜率之积是22b a-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知圆222:(3)(0)C x y r r -+=>和圆22:870D x y y +-+=外切,则r =____▲___14．已知点P 在以12,F F 为焦点的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上，过P 作y 轴垂线，垂足为Q ，若四边形12F F PQ 是菱形，则该双曲线的离心率为 _____▲_______15.已知动点(,)P x y 在椭圆2212516x y +=上，过点P 作圆22(3)1x y -+=的切线，切点为M ，则PM 的最小值是_____▲______16.已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右支分别交于A 、B 两点，若1AF ＝2a,1223F AF π∠=,则122AF F ABF S S ∆∆=____▲_____ _四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）已知△ABC 顶点A (3,0)、B (−1,−3)、C(1,1)，边AB 上的高为CE 且垂足为E. (1)求边BC 上中线AD 所在的直线方程； (2)求点E 的坐标．18.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中,已知圆M 过点A (1,2),B (7,-6),且圆心在直线x +y -2=0上.(1)求圆M 的标准方程;(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于C ,D 两点,且CD =2OA ,求直线l 的方程.19.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知动圆M 与圆E ：2281(7)4x y ++=和圆F ：221(7)4x y -+=都外切. （1）求圆心M 的轨迹方程C ；（2）已知点O 为原点，点A （8,0），点P 是曲线C 上任意一点，求AP OP ⋅的最小值.20．（本小题满分12分）在①点M 为椭圆C 上顶点时，12MF F △面积为42，②椭圆C 过点()3,3，③离心率63e =，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的左、右焦 点分别为1F ，2F ，直线:l y x m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2). 已知椭圆C 的短轴长为4，________． (1)求椭圆C 的方程； (2)求m 的值和△P AB 的面积.21．（本小题满分12分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4，离心率为55． （1）求椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点(0,1)N -且OP MN ⊥（O 为原点），求直线PB 的斜率．22．（本小题满分12分）如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)A -，且离心率为22. （1）求椭圆E 的方程；（2）经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点,P Q （均异于点A ），求证直线AP 与AQ 的斜率之和为定值，并求出这个定值。
2021年高二数学下学期期中试题
2021年高二数学下学期期中试题一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．双曲线的两条渐近线的方程为 ． 2．若点在抛物线的准线上，则实数的值为 . 3．在棱长为的正方体中，异面直线和的距离为 ． 4．过点的圆的切线方程为 ．5．椭圆上的点到左焦点的距离为2，是中点，则 .6．已知三棱锥满足，则点在平面上的射影是三角形 的 外 心.7．如图，已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如下图所示，则该凸多面体的体积 ． 8．在北纬圈上有两地，他们在纬度圈上的弧长等于(是地球的半径)，则 两地的球面距离是 .9．将一个半径为2的半圆面围成一个圆锥，所得圆锥的轴截面面积等于 . 10．已知抛物线的准线过椭圆的一个焦点，椭圆的长轴长是短轴长的2倍, 则该椭圆的方程为 . 11．已知长方体中，，点在棱上移动，当 时，直线与平面所成角为. 12．空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则 或 ． 13．如图，在正方体中，，中点为，过、、三点的截面面积为 ．14．面积为的平面凸四边形的第条边的边长记为 ，此四边形内任一点到第条边的距离为，若，则；根据以上性质，体积为的三棱锥的第个面的面积为，此三棱锥内任一点到个面的距离为，若，则 . 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．“方程表示双曲线”的一个充要条件是 （ ）． ． ．或 ． 16．已知，，，是空间四点．命题甲：，，，四点不共面，命题乙：直线和不相交，则甲是乙成立的（ ） ．充分不必要条件．必要不充分条件第7题 A第13题．充要条件．既不充分也不必要条件17．如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母对面的字母依次分别为（）第18题第17题． ． ． ．18．如图，在底面半径和高均为的圆锥中，是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点．已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离为 （ ） ． ． ． ．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）如图，在体积为16的正四棱柱中，点是的中点，． （1）求棱的长；（2）求异面直线与所成角的大小．解：（1） …………………………4分 （2）连，则或其补角为直线与所成的角 …………6分 在中，，直线与所成角的大小为 …………12分20．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）如图，已知平面，，．（1）求直线与平面所成角的大小； （2）求点到平面的距离．解：（1）平面，，又平面是直线与平面所成的角 …………3分 ，所以直线与平面所成的角为 …………6分（2） ………………8分而 ………………………10分 ，， ………………………12分 ，所以，即点到平面的距离为 ……14分21．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上，平面．（1）求证：平面； （2）若，，求二面角的大小． 解：（1）C A 1 第19题PBCDA 第20题A DPE证明：∵， ∴．同理由，可证得．又，∴． …………………………………6分 （2）解法一：设的交点为，过点作于点，连易证为二面角的平面角 …………………………………9分 由（1）知为正方形， 在中，，二面角的大小为…………………………………14分解法二： 分别以射线，，为轴，轴，轴的正半轴建立空间直角坐标系． 由(1)知，又， ∴．故矩形为正方形，∴．∴00020022()()00(20001)()()A B C D P ，，，，，，，，，，，，，，． ∴ ()()()2,0,1,0,2,0,2,2,0PB BC BD ===-．设平面的一个法向量为，则，即， ∴，取，得．∵，∴为平面的一个法向量． 所以．设二面角的平面角为，由图知，则二面角的大小为 …………………………………14分22．（本题满分16分，第（1）小题7分，第（2）小题9分）如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等. 铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm ，加工中不计损失）.（1）若钉身长度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积； （2）若每块钢板的厚度为mm ，求钉身的长度（结果精确到mm ）.解：设钉身的高为，钉身的底面半径为，钉帽的底面半径为，由题意可知：……1分 （1） 圆柱的高 ………………………………………2分圆柱的侧面积……………………………………………3分 半球的表面积……………………………5分 所以铆钉的表面积()……7分（2） …………………………9分 31371819323421332πππ=⨯⨯=⨯⨯⨯=R V …………………11分 设钉身长度为，则 …………………12分 由于,所以， …………………14分解得 ………………15分答：钉身的表面积为，钉身的长度约为． ………16分23 ．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）如图所示的“8”字形曲线是由两个关于轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是，双曲线的左、右顶点、是该圆与轴的交点，双曲线与半圆相交于与轴平行的直径的两端点．（1）试求双曲线的标准方程；（2）记双曲线的左、右焦点为、，试在“8”字形 曲线上求点，使得是直角．（3）过点作直线分别交“8”字形曲线中上、下两个半圆于点，求的最大长度．解：（1）设双曲线的方程为，在已知圆的方程中，令，得，即，则双曲线的左、右顶点为、，于是令，可得，解得，即双曲线过点，则所以， 所以所求双曲线方程第23题为 ……………………4分（2）由（1）得双曲线的两个焦点，…………………… 5分 当时，设点，①若点在双曲线上，得，由，得(222080x x y x y +-+=⇒-+=由，解得所以((1234,,,P P P P …… 8分②若点在上半圆上，则，由，得，由无解…………………… 11分 综上，满足条件的点有4个，分别为((1234,,,P P P P …………………… 12分（3）设点的横坐标分别为，①当直线斜率不存在时，可求得 …………………… 14分 ②当直线斜率存在时，设直线，则：222222(2)(1)(44)4840440y k x k x k k x k k x y y =+⎧⇒++-+--=⎨+--=⎩， 以上方程有一根为且两根之和，所以， 由两半圆关于轴对称可求得，2|8|||||81M N k MN x x k ∴=-==<+，所以的最大长度为． …………………… 18分_V38637 96ED 雭31047 7947 祇wR23094 5A36 娶%%32471 7ED7 绗28452 6F24 漤Z30600 7788 瞈-33810 8412 萒。
海南省2021年高二数学上学期期中考试卷(二)
海南省2021年高二数学上学期期中考试卷（二）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．直线3x﹣y+1=0和直线2x﹣y﹣5=0的交点坐标是（）A．（6，19）B．（4，3）C．（﹣6，﹣17）D．（﹣4，﹣11）2．利用斜二测画法画边长为3cm的正方形的直观图，正确的是（）A．B．C．D．3．直线4x﹣3y﹣12=0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（）A．a=3，b=﹣4 B．a=﹣3，b=4 C．a=3，b=4 D．a=﹣3，b=44．下列命题中错误的是（）A．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面βB．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面βC．如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ5．设如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．π+12 B．π+18 C．36π+18 D．9π+426．从空间一点P向二面角α﹣L﹣β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E、F为垂足，若∠EPF=30°，则二面角α﹣L﹣β的平面角的大小是（）A．30°B．150° C．30°或150°D．不确定7．倾斜角是45°且过（﹣2，0）的直线的方程是（）A．x﹣y+2=0 B．x+y﹣2=0 C．x﹣y+2=0 D．x﹣y﹣2=08．已知两条直线y=ax﹣2和y=（2﹣a）x+1互相平行，则a等于（）A．﹣1 B．2 C．1 D．09．两圆x2+y2=9和x2+y2﹣8x+6y+9=0的位置关系是（）A．相离B．相交 C．内切 D．外切10．（理科）已知两点A（3，2）和B（﹣1，4）到直线mx+y+3=0距离相等，则m值为（）A．B．C． D．11．直线x+2y﹣2=0关于直线x=1对称的直线方程是（）A．x﹣2y+1=0 B．x+2y﹣1=0 C．x﹣2y+5=0 D．x﹣2y=012．把直线x﹣y+﹣1=0绕点（1，）逆时针旋转15°后，所得的直线l的方程是（）A．y=﹣x B．y=x C．x﹣y+2=0 D．x+y﹣2=0二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．直线y=k（x﹣1）+4必过定点，该定点坐标是．14．过点（2，3）且在x轴上的截距为3的直线方程是．15．设x+y=1，x≥0，y≥0，则x2+y2的取值范围是．16．直线（3﹣2m）x+my+3=0与直线x﹣my﹣3=0垂直，则m等于．三、解答题（共6小题，共70分）17．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，1）、B（3，﹣3）、C（1，7），请判断△ABC的形状．18．光线从原点O（0，0）出发，经过直线m：8x+6y=25反射后通过点P（﹣4，3），求反射光线所在直线的方程．19．已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3），M是BC边上的中点．（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长．20．（如图）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．21．直线l过点（1，2）和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l 的方程．22．已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且=λ（0＜λ＜1）．（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？参考答案一、单项选择题1．C．2．B．3．A．4．B 5．D．6．C．7．A．8．C．9．B．10．B．11．D．12．B．二、填空题13．解：令参数k的系数x﹣1=0，求得x=1，y=4，可得直线y=k（x﹣1）+4必过定点（1，4），故答案为：（1，4）．14．解：过点（2，3）且在x轴上的截距为3的直线的斜率为：=﹣3．所求的直线方程为：y﹣3=﹣3（x﹣2），即：3x+y﹣9=0．故答案为：3x+y﹣9=0．15．解：∵x+y=1，x≥0，y≥0表示线段AB，x2+y2表示线段AB上的点到原点的距离平方，数形结合可得最小值为=，最大值为OA或OB=1，故答案为：[，1]．16．解：当m=0时，两条直线分别化为：3x+3=0，x﹣3=0，此时两条直线不相互垂直，舍去．当m≠0时，两条直线的斜率分别为：，，由于两条直线相互垂直，可得•=﹣1，解得m=﹣3或1．综上可得：m=﹣3或1．故答案为：﹣3或1．三、解答题17．解：∵△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，4），B（5，2），C（﹣1，﹣4），∴|AB|==2，|BC|==6，|AC|==4，∴AC2=BC2+AB2，∴△ABC是直角三角形．18．解：根据反射定律可得点（﹣4，3）关于直线l的对称点M（a，b）在入射光线所在的直线上，所以，化简得，解得，即M（，）；所以直线OM的方程为y=x，联立直线8x+6y=25，可得交点为（，3），所以反射光线所在直线的方程为y=3．19．解：（1）由两点式写方程得，即6x﹣y+11=0或直线AB的斜率为直线AB的方程为y﹣5=6（x+1）即6x﹣y+11=0（2）设M的坐标为（x0，y0），则由中点坐标公式得故M（1，1）20．解：设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S，底面半径为2母线长为4的圆锥的高为=2，则圆柱的上底面为中截面，可得r=1∴2，∴．21．解：设直线l的横截距为a，由题意可得纵截距为6﹣a，∴直线l的方程为，∵点（1，2）在直线l上，∴，解得：a1=2，a2=3，当a=2时，直线的方程为2x+y﹣4=0，直线经过第一、二、四象限；当a=3时，直线的方程为x+y﹣3=0，直线经过第一、二、四象限．综上所述，所求直线方程为2x+y﹣4=0或x+y﹣3=0．22．证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC．又∵，∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF⊂平面BEF，∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又∵平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC．∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，∴，∴，由AB2=AE•AC得，∴，故当时，平面BEF⊥平面ACD．赠送励志修身名言警句可怕的敌人，就是没有坚强的信念。