宁夏银川市唐徕中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷(原卷版)

银川市唐徕中学
2023~2024学年度第二学期4月月考
高一年级数学试卷
（考试时间：120分钟，满分：150分）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）A. 1
B. C. 2
D. 2. 已知是两个单位向量，则以下四个结论中正确的是 （ ）
A. B. C.
D. 3. 已知是平面内两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（ ）A. B. 4
C. D. 0
4. 如图，在梯形中，，设，则（ ）
A B. C. D. 5. 一物体在力的作用下，由移动到.已知，则对该物体所做的功为
（ ）A.
B. 26
C. 8
D. 18
6. 若对于向量，是一个单位向量，，与
的夹角为，，则（ ）A. 2
B. 1
C. 0
D. 7. 在中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若的面积为S ，且，，则外接圆的半径为（ ）
.z 232i z +=+i z i
2i
,a b
a b
λ= 0
a b ⋅=
22
a b ≠ a b
=
a b
，284AB m BC =+=+
，a b a b A B C ，，m 4
-4
±ABCD //,22AD BC AD BC BE ED ==,,AB a AD b ==
AE =
1233a b + 1133a b + 2433a b +
2133
a b
+
F ()16,6A ()10,2B ()2,1F =- F
J 8
-,,a b c a b = a b π4
2c b a =-
c a ⋅=
1
-ABC ABC 2a =()2
2
41S b c +=+ABC
A.
B. 1
C.
D. 8. 在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则的形状为（ ）A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形
D. 等腰直角三角形
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列各组向量中，可以作为基底的有（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，10. 已知复数满足（为虚数单位），下列说法正确的有 （ ）A. 复数在复平面内对应的点在第四象限 B.
C D. 11.
已知，则（ ）
A. B. 若与夹角为C. 若，则的坐标可以是 D. 在方向上的投影向量的坐标为12. 在中，已知，若为内（含边界）一动点，
，则下列结论正确的是 （ ）
A. 若，则
B. 若
，则
C. 的面积的取值范围是
D.
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分. ）
13. 若向量，，满足，，，则______.
14. 如图，风景秀美的宝湖公园有一颗高大的银杏树，某研究小组为测量树的高度，在地面上选取了.
的ABC cos cos a c b C b A -=-ABC 1(0,0)e = 2(1,2)
e =
1(1,3)e =-- 2(4,2)e =
1(1,2)e =-
242,53e ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
1(2,3)e =-
2(4,6)
e =- z ()1i 42i z +=-i z 13i z =--z =2024i 1
=-()()()
4,2,1,,a a b m a b a =-+=-+⊥
()
5,0b =-
a
b
cos θθ=，c b ⊥
c
()
2,0a
b
()
4,0ABC 902ABC AB BC ∠=== ，P ABC 90BPC ∠= 1PB =PA =120APB ∠= PB PC =PBC (]
0,1ABP a b 2a = 2b = 1a b ⋅=- 2a b +=
,A B
两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点间的距离为，则这颗银杏树的高度为_________________.
15. 在中，的对边分别为，已知
若有唯一解，则实数
的取值范围为_________________.
16. 如图，在边长为3的等边三角形中，交于点点满足，过点的直线交于点，交于点，则
的最大值为______.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在平面直角坐标系中，点为原点，.
（1）求的坐标以及的值；
（2）若，且，求实数的值.
18. 已知不共线的两个向量，并且.（1）若是的中点，用表示；（2）如果，求夹角.
19. 设复数
，为虚数单位.（1）若，求；
,A B 30 45 ,A B 20m m ABC A B C ，，a b c ，，60A b == ，cos C a ABC AD BC ⊥BC ,D O 2AO OD =O AB M AC N 11OM ON
+O ()()1,2,3,2A B --AB
AB (),2C a a AB BC ⊥
a 12e e ，1212122337AB e e AC e e AD e e =-=+=+
，，E BC 12e e ，AE 12121e e e e ==+= ，12e e
，θ()121i R 23i z a a z =-∈=+,i 2a =12z z ⋅
（2
）若是纯虚数，求.
20. 如图所示，某海域的东西方向上分别有两个观测塔，它们相距海里，现观测塔发现有一艘轮船在点发出求救信号，经观测得知点位于
点北偏东同时观测塔也发现了求救信号，经观测点位于点北偏西，这时位于点南偏西且与相距30海里的点有一救援船，其航行速度为30海里/小时.
（1）求点到
点距离；
（2
）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点大约需要多少分钟.
21. 在中，角所对的边分别为，向量，且.
（1）求角；（2）若，求面积；
（3）若为锐角三角形，求的取值范围.
22. 在三角形中，，，，是线段上一点，且，为
线段上一点．
（1
）若，求x －y 的值；（2）求的取值范围；
的的1
2
z z 1z A B ，
A D D A 45
B D B 75 B 45 B
C )
1.73
2.65
≈≈≈B D BD C D D ABC ,,A B C a b c ，，()
()cos ,sin m a n A B ==
，//m n A 2a b =
=ABC ABC cos cos cos A B C ++ABC 2AB =1AC =2ACB π
∠=D BC 12
BD DC =
F AB AD xAB y AC =+
CF FA ⋅
（3）若为线段的中点，直线与相交于点M ，求·．
F AB CF AD CM AB。