山东省青岛市西海岸2023-2024学年高一下学期期末学业水平检测数学试题

山东省青岛市西海岸2023-2024学年高一下学期期末学业水平
检测数学试题
一、单选题
1．已知复数z 满足
21i 1z =-+，则z 的虚部为（ ） A ．1- B ．1 C ．i - D ．i
2．在空间直角坐标系O xyz -中，点()1,1,2A 关于y 轴对称点的坐标为（ ） A ．()1,1,2- B ．()1,1,2- C ．()1,1,2-- D ．()1,1,2-
3．已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，能使m n ⊥成立的一组条件是（ ）
A ．,,m n αβαβ⊥⊥∥
B ．,,m n αβαβ⊂⊥∥
C ．,,m n αβαβ⊥⊥∥
D ．,,m n αβαβ⊥⊂∥
4．若{}
,,a b c r r r 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A ．,,b c b b c +-r r r r r B ．,,a a b a b +-r r r r r
C ．,,a b a b c +-r r r r r
D ．,,a b a b c c +++r r r r r r 5．如图，圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从点P 处沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点P 处，则蚂蚁爬行的最短路线长为（ ）
A
B ．3
C ．
D ．6．正四棱台的上、下底面边长分别是2和4
）
A ．6
B ．
C ．24
D ．44
7．若△ABC 为斜三角形，sin cos A B =，则
tan tan tan A B C +的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．1
8．已知AB ⊂平面α，AC ⊥平面α，BD AB ⊥，BD 与平面α所成的角为30°，
1BD AC ==，
2AB =，则点C 与点D 之间的距离为（ ）
A B C D
二、多选题
9．正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为1AD ，AB 的中点，则（ ）
A ．AC 与EF 为异面直线
B ．//EF 平面11BDD B
C ．过点A ，E ，F 的平面截正方体的截面为三角形
D ．EF ⊥平面1AB C
10．已知向量a r 在向量b r 上的投影向量为32⎫⎪⎪⎝⎭，向量(b =r ，则向量a r 可以为（ ）
A ．()0,2
B ．()2,0
C ．(
D ．)
11．已知四面体VABC 的所有棱长都等于6，点P 在侧面VBC 内运动（包含边界），且AP 与
平面VBC 所成角的正切值为Q 是棱VB 的中点，则（ ）
A ．该四面体的高为
B ．该四面体的体积为
C ．点P 的运动轨迹长度为
D ．过ACQ 的平面截该四面体内最大球的截面面积为3π2
三、填空题
12．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为60°．已知礼物重量为2kg ，每根绳子的拉力大小相同.则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为N ．（重力加速度g 取210m ）
13．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在表面积为20π的球的表面上，1AB AC AA ==，2π3
BAC ∠=，则此直棱柱的体积为． 14．在四面体ABCD 中，面ABC 与面BCD 所成的二面角为30︒，顶点A 在面BCD 上的射影是H ，ABC V 的重心是G ，若AD BC ⊥，4AB AC BC ===，则GH =．
四、解答题
15．如图，圆台1OO 上下底面半径分别为1，2，1AA ，1BB 为其两条母线，且母线长为2．
(1)证明：四边形11AA B B 为等腰梯形；
(2)若在圆台1OO 内部挖去一个以O 为顶点，圆1O 为底面的圆锥，求剩余部分的体积． 16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，1AC =，160BAC A AB ∠=∠=︒，平面11A ABB ⊥底面ABC ，,M N 分别是11,AC AC 的中点，P 是1BC 与1B C 的交点．
(1)证明：平面1//PB N 平面1BA M ；
(2)求平面PAB 与平面1
ACM 夹角的余弦值． 17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c
222sin sin sin sin sin A C B A C +=-．
(1)求B ；
(2)若B 的角平分线交AC 于点D ，BD =
E 在线段AC 上，2EC EA =，求BDE △的面积．
18．如图1，直角梯形ABED 中，1AB AD ==，2DE =，AD DE ⊥，BC DE ⊥，以BC 为轴将梯形ABED 旋转180o 后得到几何体W ，如图2，其中GF ，HE 分别为上下底面直径，点P ，Q 分别在圆弧GF ，HE 上，直线//PF 平面BHQ .
(1)证明：平面BHQ ⊥平面PGH ；
(2)若直线GQ 与平面PGH P 到平面BHQ 的距离；
(3)若平面BHQ 与平面BEQ 夹角的余弦值13
，求HQ ． 19．如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面，截该圆柱所得的截面为椭圆面.得到的几
何体称之为“斜截圆柱”．AB 是底面圆O 的直径，2AB =，
椭圆面过点B 且垂直于平面ABC ，且与底面所成二面角为45°，椭圆上的点()1,2,3,,i E i n =L 在底面上的投影分别为i F ，且i F 均在直径AB 同一侧．
(1)当1π3
AOF ∠=时，求11E F 的长度；
(2)当6n =时，若下图中，点1F ，2F ，3F ，…，F 6将半圆平均分成7等分，求()()()()()()112233445566111111E F E F E F E F E F E F ------；
(3)证明：¼¼11112221πn n n n AF E F F F E F F F E F -⋅+⋅++⋅<n
L ．。