概率论与数理统计浙大第四版答案 第二章

概率论与数理统计习题二参考答案
1、将一颗骰子抛掷两次，以X 1表示两次所得点数之和，以X 2表示两次得到的点数的最小者，试分别求X 1和X 2的分布律。

解：X 1可取2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12
36
1
6161)1,1()2(1=×===P X P
36
2
61616161)"1,2""2,1(")3(1=
×+×=∪==P X P 36
3
616161616161)"1,3""2,2""3,1(")4(1=
×+×+×=∪∪==P X P …… 所以X 1的分布律为
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P k 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 X 2可取的数有1、2、3、4、5、6
P （X 2=1）=P （）="1,6""1,5""1,4""1,3""1,2""6,1""5,1""4,1""3,1""2,1""1,1"∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪36
11
所以X 2的分布律为 X 2 1 2 3 4 5 6 P k 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36 2、10只产品中有2只是次品，从中随机地抽取3只，以X 表示取出次品的只数，求X 的分布律。

解：X 可取0、1、2
{}310380C C X P ==15
7
=
{}157
13
102812===C C C X P {}15
1
23101822===C C C X P
3、进行重复独立试验。

设每次试验成功的概率为)10(<<p p
（1） 将试验进行到出现一次成功实验为止，以X 表示所需试验的次数，此时
称X 服从参数为p 的几何分布。

求X 的分布律。

（2） 将试验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需试验的次数，此时称Y 服
从参数为r 、p 的巴斯卡分布。

求Y 的分布律。

解：（1）（k-1次未成功，最后一次成功）
{},......2,1,)1(1=−==−k p p k X P k （2） {},......1,,)1(11
+=−==−−−r r k p p C k X P r
k r r k
4、下列表中列出的是否是某随机变量的分布律？ X 1 2 3 P k 0.4 0.5 0.1 X -1 0 1 P k 0.2 0.3 0.4 解：（1）是 （2）不是，因概率之和不为1
5、（1）设随机变量X 的分布律为{}N k N
a
k X P .....,2,1,===
试确定常数
a （2）设随机变量X 的分布律为{}.....2,1,32=⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛⋅==k b k X P k
试确定常数
b （3）设随机变量X 的分布律为{}0......2,1,0,!
>=⋅==λλk k c k X P k
为常数，
试确定常数c 解：（1）{}111====∑
∑==a N
a
k X P N
k N
k ， 1=∴a （2）{}123
2132321
1==−=
⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅==∑∑∞
=∞
=b b
b k X P k k
k ， 21=∴b （3）{}1!
==⋅
==∑∑∞
=∞=λλe c k c k X P k k
k ， λ−=∴e c
6、设随机变量X 的分布律为{}5,4,3,2,1,15
===k k
k X P 其分布函数为，试求：
)(x F （1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<2521X P ， （2）{
}21≤≤X P ， （3）⎟⎠⎞
⎜⎝⎛51F 解：（1）{}{}212521
=+==⎭
⎬⎫⎩⎨⎧<<X P X P X P 51152151=+=
（2）{
}21≤≤X P {}{}21=+==X P X P 5
1
152151=+= （3）⎟⎠⎞⎜⎝⎛51F 051=⎭⎫⎩
⎨⎧
≤=X P
7、一大楼装有5个同类型的供水设备。

调查表明在任一时刻t 每个设备被使用的概率为，求在同一时刻
1.0
（1） 恰有两个设备被使用的概率； （2） 至少有1个设备被使用的概率； （3） 至多有3个设备被使用的概率。

解：设X 表示设备被使用的个数
则
)1.0,5(~b X （1）
{}()()0729.09.01.023
2
25===C X P （2）
{}{}4095.09.010115=−==−=≥X P x p （3）{}{}{}==−=−=≤5413X P X P x p ()()()99954.01.09.01.015
5
5
1
4
45=−−C C 8、甲、乙两种味道的酒各4杯,颜色相同。

从中挑4杯便能将甲种酒全部挑出，
算是试验成功.(1)某人随机地去挑,问他试验成功的概率是多少？ (2)某人通过品尝区分两种酒,他连续试验10次,结果成功3次，问此人是否 确有品尝区分的能力？(设各次实验相互独立) 解:(1)所求概率为:
70
1
148=
C (2)令试验10次中成功次数为X ，则)70
1,
10(~b X ，47
33
101016.3)7069()70
1(
}3{−×≈××==C X P 显然{}3=X 是一小概率事
根据小概率事件实际不可能发生原理,可以认为此人有一定品尝区分能力. 9、某商场每月销售某商品的数量服从参数为3的泊松分布。

问在月初进货时要
进多少此种商品，才能保证此商品当月不脱销的概率为0.999? 解：设X 表示当月销售量，则要使
999.0!30
3=∑=−x
k k
k e 查表得001.0999.01000292.0!311
3=−<=∑+∞
=−k k
k e 所以在月初进货时要进此种商品10件，才能保证此商品当月不脱销的概率
为0.999。

10、每年袭击某地的台风次数近似服从参数为4的泊松分布。

求一年中该地区受
台风袭击次数为3~5的概率。

解：设X 表示每年袭击某地的台风次数 {}{}{}2553≤−≤=≤≤X P X P X P ={}{}()3161≥−−≥−X P X P ={}(){}63≥−≥X P X P
=−∑+∞=−3
4!4k k
k e ∑+∞
=−6
4!4k k
k e =0.76189-0.21487=0.547027 所以一年中该地区受台风袭击次数为3~5的概率为0.547027
11、有10台机床，每台发生故障的概率为0.08, 而10台机床工作独立，每台故障只需一个维修工人排除。

问至少要配备几个维修工人，才能保证有故障而不能及时排除的概率不大于5%。

解：随机变量X 示发生故障的机床的台数则 )08.0,10(~B X 设配备n 个维修工人()100<≤n 则“有故障而不能及时排除”事件为
{}n X >∑+=−=
>10
1
1010
)
92.0()08.0(}{n k k
k k C
n X P )8.0(!
1
=≈
∑
+∞
+=−λλλ
n k k k e 查表
2,31==+n n 时 {}05.00474.02<=>X P 时
1=n {}05.0551.01>=>X P 所以至少要配备2个维修工人
12、有一繁忙的汽车站，每天有大量的汽车通过。

设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001。

在某天的该时间内有3000辆汽车，问出事故的次数不小于2的概率为多少？ 解：设出事故的次数为X，所求为{}3≥X P 3.00001.03000=×==np λ
{}3≥X P =0036.0!3.03
3
.0=∑+∞
=−k k k e
所以出事故的次数不小于2的概率为0.0036
(1)设X 服从二项分布，其分布律为{}()k
n k
k n
p p C k X P −−==1
K=0，1，2，……n，问K 取何值时{}k X P =最大？
（2）设X 服从泊松分布，其分布率为{}!
k e k X p k λ
λ−==，k=0，1，2…… 问K 取何值时最大？
{k X P =}（1） 解：{}{}=−===1k X P k X P M ()()
1
1111+−−−−−−k n k k n k
n k k n P P C p P C
()=
+−=
kq P k n 1()kq
kq
P k n kq −+−+1
()()kq
k q p P n +−++
=11
1,
)1(>+<∴M p n k 时
1,)1(=+=M p n k 时，此时{}{}1−===k X P k X P 1,
)1(<+>M p n k 时
所以当()⎩⎨⎧++++−+=为非整数），若（）（为整数
若p n p n p n p n p n k 11)1(,)1(,11
（2）对于泊松分布)(λP ，由
k
k P k P λ
λλ=−);1();(…,...3,2=k
可知 当λ<k 时，);();1(λλk P k P <− 当λ>k 时，),();1(λλk P k P >− 当λ=k 时，P P =),(λλ);1(λλ−
故可得：泊松分布的通项);(λk P 当由0变到k []λ时，单调上升，并且在
[]λ=k 时，达到最大值[]);(λλP ；当超过k λ继续变动时，);(λk P 单调下降，即
[]⎩
⎨⎧−=为非整数若为整数若λλλλλ,,1,k 15、写出泊松分布和二项分布的分布函数16、设
连续型随机变量X 的分布函数为 求
(1)常数⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≤<=1
11000
)(2
x x Ax x x F A (2)概率密度函数 (3){}2/1<X P ；{}2/3>X P ；。

{}20≤≤X P 解法一：由于连续型随机变量X 的分布函数是连续的
A Ax x F F x x ====∴⎯→⎯⎯→⎯21
1lim )(lim 11）（⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≤<==1
010200)(')(x x x
x X F x f 4/12)(}2/1{2
/10
2
/1∫∫===
<∞−xdx dx x f X P 或{}()4/12/12/1==<F X P
{}00)(2/32
/32
/3===
>∫∫∞
∞
dx dx x f X P 或
{}{}011)2/3(12/312/3=−=−=≤−=>F X P X P {}∫∫∫=+==≤≤1
2
1
2
102)(20dx xdx dx x f X P 或
{}101)0()2(20=−=−=≤≤F F X P 解法二：
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≤<==1
010200)(')(x x Ax
x X F x f 12)(11
=∴===∫∫+∞
∞
−A A Axdx dx x f 由其它同解法一 17、已知随机变量X 的概率密度为:
⎪⎩⎪
⎨⎧≤<−≤<=其它
021210)(x x
x x x f 求 (1)分布函数
)(X F (2) {}{}{}2.12.0,3.1,5.0<<><X P X P X P 解: (1)
∫
∞
−=≤=x
dx x f x X P x F )(}{)(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧
>=+−+≤<−−=−+≤<=≤=∫∫∫∫∫∫2
10)1(2112/2)2(100010
212121
022
x dx dx x xdx x x x dx x xdx x xdx x x x x x (
2)解法一
{}8/1)5.0(5.0==<F X P {}⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−−×−=−=>123.13.121)3.1(13.12
F X P =0。

245
{}66.0)2.0()2.1(2.12.0=−=<<F F X P
:分别求积分
∫∫
∫
=<<=<=>+∞
∞
−2
.12
.03
.15
.0,)(1.2}X P{0.2,)(0.5}P{X ,)()3.1(dx x f dx x f dx x f X P
18、设随机变量X 服从参数为的θ指数分布,确定常数c,使P{X>C}=
2
1 解：指数分布的密度函数为
⎩⎨⎧≤>=−0,00
,)(x x e x f x θθ
{}{}∫
∞
−−=c dx x f )(1c X P c X P ≤−=>1∫∫
−−=∞−c
dx x f dx x f 00
)()(1
∫∫−∞
−−−=c x dx e dx 0
01θθ2
1=
=−θc e θ
2
ln =
∴c
19、某种电子元件的寿命X (以小时计)具有以下概率密度
⎪⎩⎪⎨⎧>=其他,
01000
,1000)(2
x x x f 现有一大批此种电子元件(是否损坏相互独立),从中任取5只,求至少取得2只其
寿命大于1500小时的概率..
解；此相当于五重贝努利试验，用表示寿命大于1500小时的只数 x
{}{}∫∞
−−=≤−=>1500
)(1150011500dx x f X P x P
∫
∫−−=∞−1500
1000
1000)()(1dx x f dx x f ∫
∫−−=∞
−1500
10002
1000
1000
01dx x dx
3
2=
则{}{}{}1012=−=−=≥X P X P X P
4
1
155
05
313231321⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=C C =
243
232 20、设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X (以分计)服从指数分布, 其概率
密度为
⎪⎩⎪⎨⎧>=−其它
05
1)(5/x e
x f x
某顾客的习惯是,等待时间超过10分钟便离开,现知他一个月要到银行5次,求他
受到服务的次数不少于1的概率.
分析: 顾客一个月到银行5次，每去一次只有两种结果：受到服务和没受到服
务，所以相当于5重贝努利试验
等待10分钟受到服务的事件记为{}10≤=X A
∫
∫
−===
≤=−∞
−10
5
/10
15
1)(}10{)(dx e dx x f X P A P x 2−e 设顾客一个月内受到服务的次数为Y 要求的是{}1≥Y P
)1,5(~2−−e b Y 998.0)(1}0{1}1{5)2(≈−==−=≥∴−e Y P Y P 21、设，求
)2,3(~2N X (1).P{2<x ≤5};P{-4<x 10};P{≤x >2},P{x>3} (2)确定c 使P{x>c}=P{x c}.
≤解：（1）{}=≤<52X P ⎟
⎠⎞⎜⎝⎛−Φ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−Φ232235()⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛−Φ−Φ=211 5328.06915.018413.0=+−=
{}=≤<−104X P ⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛−−Φ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−Φ2342310
()()5.35.3−Φ−Φ=()9996.015.32=−Φ=
{}{}{}222>∪−<=>X X P X P {}{}22>+−<=X P X P
⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛−Φ−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−Φ=2321232
()(5.015.2−Φ−+)−Φ==0.6977
{}=>3X P {}31≤−X P 5.05.012331=−=⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛−Φ−=
（2） {}{c X P c X P ≤=>Q }{}{}c X P c X P ≤=≤−∴1
{c X P }≤=∴21 {}c X P ≤=∴
2
1
即2
1
23=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−Φc 3023=⇒=−∴
c c
22、由某机器生产的螺栓的长度(cm)服从参数=µ10.05,σ=0.06的正态分布。

规定长度在10.050.12内为合格品。

任取一螺栓，求其不合格的概率.
±解：设螺栓的长度为X
所求概率为{
}12.005.1012.005.101+≤<−−X P ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−Φ+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+Φ−=06.005.1012.005.1006.005.1012.005.101
⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛−Φ+⎟⎠⎞⎜⎝⎛Φ−=06.012.006.012.01=0.0456
所以不合格率的概率为0.0456.
23、某厂生产的某种建筑材料的强度X 服从参数为180=µ,10=σ的正态分布.一购货方在一大批材料中任取了10件,,声称有多于2件的材料强度低于160便
拒绝接收.问这批材料被接收的概率是多少? 解：用表示材料的件数
x {}()0228.02110180160160=Φ−=⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛−Φ=≥X P
则服从参数为x 2.00228.010≈×=np 的泊松分布
所求为，查表得}3{1≥−x P }3{1≥−x P 9989.00011.01=−= 24、求标准正态分布上α分位点。

（1）z 0.01 ,（2） z 0.003 解
75
.2.
33.299.0)(99.001.01}{,01.0}{003.001.001.001.001.0===Φ=−=≤=>z z z z X P z X P 同理得查表得即
25、28、31、盒子里装有3只黑球,2只红球,2只白球.在其中任取4只球,以X
表示取到黑球的只数,以Y 表示取到红球的只数.
(1)求X 、Y 的联合分布律 (2)求(X 、Y )的边缘分布律 (3)X 、Y 是否相互独立 解：（1）
(3){}{}35/182,35/122,1=====X P Y X P ，{}7/41==Y P
{}2=X P {}1=Y P =
245
84
351224572=
≠ 所以X 与Y 不相互独立.
26、设随机变量（X ，Y ）的概率密度为
=),(y x f ⎩⎨
⎧>>−−其他
,
00,043y x ke y
x
求（1）常数；
（2）P{0<x<1,0<y<2};(3)分布函数。

设随机变量（k X ，Y ）的概率密度为
=),(y x f ⎩⎨
⎧≤≤≤≤+其他,02
0,10,3/2y x xy x ，求p{x+y ≥1}。

设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为
=),(y x f =，求边缘概率密度。

⎩⎨
⎧<<−其他,00y
x e y 30、33、如右图，设二维随机变量(X 、Y )的概率
密度为
⎪⎩⎪⎨⎧<<−<<=其它
,102
3),(x y x x x
y x f (1)求边缘概率密度
X 0 1 2 3 p 1/35 12/35 18/35 4/35
(2) X 、Y 是否相互独立.
∫
+∞
∞
−=dy y x f x f X ),()( 当10<<x 时2
32
3),()(x xdy dy y x f x f x
x x
x
X ==
=∫∫+−+− ⎩⎨
⎧<<=∴其它
103)(2
x x x f X
同理 当 ∫+∞∞
−=dx y x f y f Y ),()(11<<−y 时
)1(4
3
23)(21
||y xdx y f y Y −==∫⎪⎩⎪⎨⎧<<−=∴
其它
10)
1(4
3
)(2x y y f Y
(2)⎪⎩
⎪⎨⎧<<−<<−=∴其它
且01
110)
1(4
9)()(22
y x y x y f x f Y X
显然
),()()(Y X f Y f X f Y X ≠
X 与Y 不是相互独立的. 32、设（X 、Y ）分布规律为
X Y
1 2
1 1/6 1/3
2 1/9 α
3 1/18
β
问α、β取何值时，X ，Y 相互独立？ 解：先求边缘分布律即得：
92=
α，9
1
=β时X 与Y 相互独立34、设X 、Y 是相互独立的随机变量，且都服从（0,1）上的均匀分布。

试求方程有实根的概率. 分析:
有实根⇔
02=Y ++Xx x 02=++Y Xx x 0422≥−Y X 所以,所求为 这样,该题可看作二维随机变量 }04{22≥−Y X P (X 、Y )的概率计算,先求(X 、Y )的联合概率密度. 由已知
⎩⎨
⎧<<=⎩⎨
⎧<<=其它
其它
101
)(0
101)(x x f y y f X Y X 与相互独立
Y ⎩⎨
⎧<<<<==其它
且0
10101
)()(),(y x y f x f y x f Y X ∫∫=≥−G
dxdy y x f Y X P ),(}04{2∫∫
∫∫=
==1
04
/0
21
12
1x G dy dx dxdy 35、设是两个相互 独立的随机变量， Y X 、X 在（0，1）上的均匀分布，Y 的概率密度为
=)(y f Y ⎪⎩⎪⎨⎧<=>−00
2
2/y y y e (1)求的联合概率密度；
Y X 和（2）求关于σ的二次方程σ2+2X σ+Y=0有实根的概率。

解：（1）()1,0~U X
⎩⎨⎧<<=∴其它,01
0,1)(x x f X
相互独立
Y X 、Q Y X 、∴的联合概率密度为：
()()y f x f y x f Y X =∴）
，（⎪⎩⎪⎨⎧><<=−其它
，,00,10212y x e y
（2）当()
042≥−=∆Y X 时，方程有实根
(){}{}Y X P Y X P ≥=≥−2204
dY e dX Y
X 2
1
2
2
1−∫
∫=
=0.1445 38、设是相互独立的随机变量，其概率密度为
Y X 和 =)(x f X ⎩⎨
⎧<=>−00
0x x x e λλ =
)(y f Y ⎩⎨
⎧<=>−0
y y y e µµ其中λ>0,µ>0,为常数。

引入随机变量Z= ⎩⎨⎧>≤Y
X Y
X ,
0,1（1）条件概率密度
（2）求Z 的分布规律。

解：（1）解法一 相互独立
Y X 、Q ⎩⎨⎧≤>==∴−0
,00
,)()(x x e x f y x f x X Y X λλ
解法二 ⎩⎨⎧≤>===∴−0,00,)()()
()( )(),()(x x e x f y f y f x f y f y x f y x f x X Y Y X Y Y X λλ独立 （2）， {}{Y X P Z P >==0}{}{}Y X P Z P ≤==1
()⎩
⎨
⎧>>=+−,00
,0,),(y x e y x f y x µλλµQ {}()dy e dx Y X P y x x
µλλµ+−+∞∫∫=>∴0
()λ
µµλλµ+=
−=
−−∞
+∫
dx e e x x 10
又{}{}λ
µλ+=>−=≤Y X P Y X P 1
39、某类电子管的寿命（以小时计）的概率密度为
=)(x f ⎪⎩⎪
⎨⎧≤>100
1001002
x x x 求一架无线电在最初使用的150个小时中，所装的3个这样的电子管都不需要替换的概率是
多少 ？3个管子全需替换的概率是多少？（设3个电子管的寿命相互独立）
解：{}3
2
1001501502
==
>∫∞
+dx x X P 三个电子管的寿命相互独立，此实验相当于三重贝努利实验， 以表示使用150小时不需要换的电子管的个数
n {}278313230
333=
⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛==C n P {}271313203
3
=⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛==C n P 40、设随机变量X 分布规律为
X
1− 0 1
P k
0.3 0.4 0.3
求122
+=X Y 的分布律。

解：
X —1 0 1
Y 3 1 3 P 0.3 0.4 0.3
所以Y 的分布律为
Y 1 3 P 0.4 0.6 41、设随机变量X 的分布规律为
X 2− 1−
0 1 3 P k
1/5 1/6 1/3 1/15 11/30
求Y =2X 2的分布律。

解:Y 的分布律为
42 、 设，求(1) (2))10~，（X X e Y =122+=X Y ，
（3）X Y = 的概率密度.
解: (1){}y Y P y F Y ≤=)({}
y e P X ≤= 当 时，
0≤y 0)(=y F Y 当时 0>y )(y F Y {})(ln ln y F y x P =≤
⎪⎩⎪
⎨⎧>≤=∴−02100)(2
/)(ln 2y e y y y f y Y π
(2) {}y Y P y F Y ≤=)({}
y X P ≤+=122
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝⎛−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧
−≤≤−−
=2121212
1
y F y F y x y P X X ′
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−′
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝
⎛−21212121y y f y y f X X {}y Y P y F Y ≤=)({}y x y P ≤≤−=
()()y F y F X X −−=
()()y f y f X X −+⎪⎩⎪⎨⎧≤>=−
,00,22
2
y y e y π
43、设电流I 是一个随机变量，均匀分布在9A~11A 之间，此电流通过2电阻，在其上消耗的功率。

求W 的概率密度
Ω22I W =解：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其
,011
9,2
1
)(i i f {}{}t I P t W P t F W ≤=≤=22)({}
2/2/t I t P ≤≤−=
()02I I F t F −⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝
⎛=，由于电流大于0 0>t ()=
∴t f W 242162,241
2221
<<=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛t t t f t I 其他为0
()=∴t f W ⎪⎩⎪
⎨⎧<<其他,0242162,241
t t
44、设随机变量X 的概率密度为
f(x)= ⎩
⎨
⎧>−其他,00
,x e x 求Y=X 2的概率密度。

解：当时，0≥y =)(y F Y {}{
}{
}
y X y P y X P y Y P ≤
≤−=≤=≤2
)(y F Y ∴()()
⎩⎨
⎧<≥−−=0,0
,y y y F y F X X ()()⎪⎩⎪
⎨⎧<≥+=′=∴−0
,0
),(21
y y e
e y
y F y f y
y
Y Y
45、设的分布律为
Y X 、X 0 1 2 Y
0 1 P k
1/2
3/8
1/8
P k
1/3
2/3
且相互独立，求Y X 、Y X +的分布律。

解：设Y X Z +=，Z 的可能取值为0、1、2、3
{}{}{}{}6
13121000,00=×=
=======Y P X P Y X P Z P 分布律为：
Y X 、独立同分布，概率密度函数为
其中λ>0, µ>0 为常数，求X+Y 的概率密度。

⎩
⎨
⎧≤>=−0
00)(x x e x f x X λλ⎩⎨
⎧≤>=−0
0)(y y e y f y
Y µµ
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≤=≠−−=−−−+00)()(2z ze e e z f z z
z Y X µ
λλµλµ
λλµλλµ∫∫−−−−−−==z
x z z
x z x z dx
e e dx e z
f 0
)(0
)()(µλµµλλµλµ解: (X,Y)的联合分布为
⎩
⎨
⎧≤≤>>=−−0
000,0),(y x y x e y x f y
x 或µλλµ
∫+∞
∞
−−=
dx
x z x f z f z ),()(
Z=X+Y 的概率密度为 f(x,z-x)的非零区域为 积分得：
Y X 、独立同分布，概率密度函数为
⎩⎨⎧≤>=−0,,00,)(x x e x f x
⎩⎨
⎧>−>00x z x ⎩⎨
⎧>>x
z x 0或求Y X +及Y X −的概率密度。

48、相互独立，证明：若Y X 、)(~),(~21λπλπY X ，则)(~21λλπ++Y X
⇒)(
⇒)(~2λπY P {Y =j }=
2!
2λλ−e j j
1
!
1
λ
λ−e k k X ~1λπP {X =k }=
P {X +Y =i }= 而X 与Y 相互独立
∑==−===−==i
k i k k i Y k X P k i Y k X P 0
},{}],{[
U 所以P {X +Y =i }=
∑=−=⋅=i k k i Y P k X P 0
}{}{21
)!
(!20
1
λλλλ−−−=−⋅
=∑e k i e
k k
i i
k k
!
)!(!!)
(2012
1i e k i k i k i i k k λλλλ+−−=⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬
⎫−⋅⋅=∑ !)
(0
2121i e C i k k i k k i λλλλ+−=−⎩⎨⎧⎭⎬⎫⋅⋅=∑
)
(2121!)(λλλλ+−+=e
i i i =0,1,2,… 故 )(~21λλπ++Y X
50、分别表示两个不同的电子元件的寿命（以小时计），并设相互独
立，且服从同一分布，其概率密度为
Y X 、Y X 和 ⎪⎩⎪⎨⎧>=其他,
01000
,1000)(2
x x x f 求Y
X
Z =
的概率密度解： 解：设X 表示电子管的寿命，Y 表示寿命小于180的电子管数
{}()8413.0120160=Φ=⎟⎠
⎞
−180180⎜⎝⎛Φ=<X P
则
)08413,4(~B Y {}()8413.0100
4
−==C Y P 4
=0.00063 所以0.00063
51、设X 、Y 为相互独立的随机变量,它们都服从分布.证明
),0(2σN 22Y +X Z =
的概率密度为. ⎪⎩⎪⎨⎧≥=−其它
0)(2
22/2
z e
z z f z Z σσ
解: (X 、Y )的联合概率密度函数
2
222/)(2
21)()(),(σπσy x Y e
y f x y x f +−==X f }
{)(22z Y X P z F Z ≤+=0)(0=<z F z Z 时
∫∫Ω
=≥dxdy y x f z F z Z ),()(0时
rdr e πσθd σr π
z
2
22/20
.02
21−∫∫
= 2
2
2
2
2/02/22
1|)(1
σσσσ
z
z r
e e −−−=−×=
2
2
2/2
)(σσ
z
Z e z
z f −=
∴
⎪⎩⎪⎨⎧≥=∴−其它
0)(222/2
z e
z z f z Z σσ
25、28、31、盒子里装有3只黑球,2只红球,2只白球.在其中任取4只球,以X
表示取到黑球的只数,以Y 表示取到红球的只数.
(1)求X 、Y 的联合分布律 (2)求(X 、Y )的边缘分布律 (3)X 、Y 是否相互独立
（2）(X 、Y )的边缘分布律为：
X
Y
0 1 2 3 j P • 0 0 0 3/35 2/35 5/35 1 0 6/35 12/35 2/35 20/35 2 1/35 6/35 3/35 0 10/35 •i P
1/35 12/35 18/35
4/35
(3) {}{}35/182,35/122,1=====X P Y X P ，{}7/41==Y P
{}2=X P {}1=Y P =
245
84
351224572=
≠ 所以X 、Y 不相互独立 45、设的分布律为
Y X 、X 0 1 2 Y
0 1 P k 1/23/81/8P k
1/3
2/3
且相互独立，求Y X 、Y X +的分布律。

解：设Y X Z +=，Z 的可能取值为0、1、2、3
{}{}{}{}6
13121000,00=×=
=======Y P X P Y X P Z P
47、⎩⎨⎧≤>=−0,,00,)(x x e x f x
求Y X +及Y X −的概率密度。

解：（1）令Y X Z +=
代公式（因独立）
=)z (f Z ∫
+∞∞
−−dx )x z ,x (f
∫+∞
∞
−−=dx )x z (f )x (f Y X 当时，即时⎩⎨⎧>−>00x z x ⎩⎨⎧>>x z x 0
)x z (f )x (f Y X −不为0
所以当0<x 时，=0
)z (f Z 当时，=
0≥x =)z (f Z ()dx e e x z z
x −−−⋅∫0z ze −⎩⎨⎧<≥=∴−000x ,x ,xe )z (f x Z
（2）令Y X Z −= 代公式（因独立）
=)z (f Z ∫+∞∞
−−dx )z x ,x (f
∫
+∞
∞
−−=dx )z x (f )x (f Y X 当时，即时⎩⎨⎧>−>00z x x ⎩⎨⎧>>z x x 0)z x (f )x (f Y X −不为0
所以当时，0>z =)z (f Z z
z x z
x e dx e e −+−∞
+−=
∫2
1
当时，0≤z =)z (f Z z z x x e dx e e 2
10
=
+−∞
+−∫ ∴ =)z (f Z z
z
z
e z ,e z ,e −−=⎪⎩⎪⎨
⎧>≤2102
1021 49、解：代公式=)z (f Z dy )y ,yz (f y ∫
+∞∞
−
非零域为
⎪⎩
⎪
⎨⎧>>>100010000yz y x 当时，0 0<z =)z (f Z 当时
10<<z =)z (f Z ∫+∞z
dy )y (f )yz (yf 100021
1000100010002
22==∫∞
+z
dy y z y y
当，1>z =)z (f Z ∫
+∞
1000
dy )y (f )yz (yf 2
1000
22221
10001000z
dy y z y y
==∫
∞
+。