理论力学全套解疑11

滚不滑，顶杆OE可在铅垂导槽中滑动（题 11-11 图a）求顶杆的速度及圆轮O的 角速度ωO，圆轮半径R为 40 (mm)。
题 11-11 图
解： （1）求顶杆速度。 因为轮O在斜面AD上只滚不滑，所以圆轮上P点的速度等于斜面上与P点相 所以轮上P点的速度vP = v = 120 接触的点的速度， 而斜面作平动 （v = 120 (mm/s))， 。 (mm/s)（P点也可理解为相对速度瞬心） 又O点也是杆OE上的点，所以vO方向向上，由速度投影定理
上 PE 直线上的速度分布及 B、D 两点的速度。已知轮心的速度为 u。 解 答 （1）取轮心 O 为基点，则各点的平动速度都是 u（题 11-7 图 a） ，
转动速度分布如图(b)，各点的合速度如图(c)所示。
题 11-7 图
合成结果为
v E = 2u v B = v D = 2u vP = 0
由图可见刚体随c点平动的位移d不同于随a点平动的位移d但刚体绕c点转动的角度完全相同于刚体绕a点转动的角度而且不论以a或c为基点以上图来说刚体都是逆时针转90这一点其实毫不奇怪因为不论随a或c平动刚体均保持原来的方位将它从这一方位转到新的方位所需要转过的角度自然是一定的此外在图中又可明显看出选取不同的点a或c为基点它们的位移d是截然不同的它们随基点平动的速度和加速度也是不会相同的所以平动部分与基点的选取有关
有三点区别。
（1）刚体定轴转动时，轴上各点的速度和加速度恒等于零；而绕速度瞬心 转动时，速度瞬心只是速度等于零，加速度不等于零。
（2）刚体定轴转动与绕速度瞬心转动其上各点速度分布相同，但两者的加 速度分布却不同。 （3）速度瞬心在刚体上的位置随时间而改变，但定轴转动在刚体上的位置 是固定不变的。 题 11-11 求平面图形上各点速度的三种方法（速度合成法、速度投影定理
v BX = −v A cos 60 D − v BA cos 60 D
(1)
v BY = v A cos 30 D − v BA cos 30 D = 0
xO′ = f1 (t ) ⎫ ⎪ ⎪ yO′ = f 2 (t )⎬ ⎪ ϕ = f 3 (t ) ⎪ ⎭
(1)
这就是平面图形的运动方程。 知道了运动方程， 整个图形的运动就已完全确定了，
因为式(1)中前两个方程决定了 O′的位置，而后一个方程则可用以求出图形的角 速度和角加速度，即
ω=
dϕ ⎫ = f 3′(t ) ⎪ dt ⎪ ⎬ d 2ϕ ⎪ ε = 2 = f 3′′(t )⎪ dt ⎭
题 11-1 图
题 11-2
研究刚体的平面运动时除了用分解平
面运动为两个简单运动 （随基点的平动和绕基点的转 动）的方法外，是否还有别的方法？ 解 答 有的，即所谓的解析方法。因为平面图
形的位置完全可由图形内任意线段 O′M 的位置来确 定（题 11-2 图） ，要确定此线段在平面内的位置，只 须确定线段上任一点 O′ 的两个坐标 xO′yO′ 及线段 O′M 对固定轴Ox的夹角ϕ。O′的坐标和ϕ角都是时间t的函数，即
位置为 ABC，过了时间∆t，刚体位置变为 A′B′C′。刚体位置的改变可以这样来描 述：
（1）刚体先随基点A平动，位移为dA，再绕 基点A转一定的角度ϕ。 （2）因为基点是任意选取的，所以完全可 选另一点例如C，故又可说：刚体先随基点C平 动，位移为dC，再绕基点C转一定的角度ϕ。 由图可见，刚体随C点平动的位移dC不同于 但刚体绕C点转动的角度完 随A点平动的位移dA， 全相同于刚体绕A点转动的角度，而且不论以A 或C为基点，以上图来说，刚体都是逆时针转 90°，这一点其实毫不奇怪，因为 不论随A或C平动，刚体均保持原来的方位，将它从这一方位转到新的方位所需 要转过的角度自然是一定的，此外在图中又可明显看出，选取不同的点A或C为 基点，它们的位移dA与dC是截然不同的，它们随基点平动的速度和加速度也是不 会相同的，所以平动部分与基点的选取有关。 题 11-5 解 答 如何理解平面图形作平面运动时的速度瞬心？ 关于速度瞬心的概念，应该理解以下几点：
点即为瞬心，能否给这一结果以更清楚、更有说服力的说明。 解 答 下面用二种方法作进一步说：
（1）所谓无滑动度相同，而固定曲线上的点总是不动的，其速度恒等于零，因此与之接触 的刚体上的点其速度当然也必为零。 图形上各点速度的分布情况和定轴转动时类 。 似（题 11-6 图 1）
题 11-6 图 1
题 11-6 图 2
（2）因为无滑动，所以可认为图形上P点的沿固定曲线的切向分速度vPr =0， 因为始终接触，即从不跳离曲线，所以可认为P点的沿固定曲线的法向分速度vPn
= 0，于是P点的合速度必为零，即P为瞬心。
如果图形是一个圆， 则我们还可以用解析法证明在接触点P的vP = 0， 今证明 如下： 半径为 r 的圆轮（题 11-6 图 2）在直线轨道上滚动而不滑动，已知轮心 C 的速度 u 为常量。则轮缘上一点 M 的坐标
(mm)
所以
ωO =
vO 40 3 = = 2 3 （1/s） 20 CO
②用合成法求ωO：以P为基点（图c） ，则 vO = vP + vOP 由
vOP = vO = 2vO = 80 3 (mm/s) cos 60 D
及
vOP = RωO
所以
ωO =
vOP 80 3 = = 2 3 (1/s) R 40
(3)
(4)
(5)
因此，只要已知运动方程，通过求导数的方法，也就是解析的方法，可以求 得平面图形的角速度、角加速度以及平面图形上任意一点的速度和加速度。而且 从所求得的结果，即从(4)、(5)两式可解释它们的物理意义如下：各式中的右边 第一项表示图形上 O′点的运动，以后各项表示图形上 M 点相对于以 O 点为原点 的平动坐标系的运动。所以，解析法也是一种可行的方法。 题 11-3 刚体的平面运动与刚体的平动其相似之处是刚体上各点的运动轨
（1）速度瞬心是平面图形内某瞬时速度为零的点，如果我们以速度瞬心为 基点，则刚体的平面运动在此瞬时就变为绕此速度瞬心的瞬时转动。 （2）速度瞬心并不是平面图形上一个固定的点，其位置随时间而变化，在 不同的瞬时有不同的位置。 （3）速度瞬心不一定在所考虑的平面图形内，它可以在其延拓的图形上。 （4）若平面图形在某瞬时角速度不等于零，则该瞬时图形必有一个而且只 有一个速度瞬心。 （5）若平面图形在某瞬时角速度为零，则该瞬时图形的运动为瞬时平动。 （6）速度瞬心只是速度为零，而其加速度一般不等于零，所以不能用速度 瞬心求图形上各点的加速度。读者自己也可想象得到，如果速度瞬心的加速度也 为零的话，则该点一定是一个固定点，于是平面运动也就蜕化为定轴转动了。 （7）速度瞬心是对一个平面图形而言（即对一个作平面运动的刚体） 。两个 刚体之间根本不存在速度瞬心问题， 这是初学者常易发生的错误。 例如在题 11-5 图(a)中O1A杆的角速度为ω1，O2D杆的角速度为ω2，则不能从vA、vB的方向去找 瞬心P，因为A、D分属两个不同的刚体。
vA
ω
，则P点即为瞬心，如题 11-8 图所示。
题 11-8 图
题 11-9 图
题 11-9 解 答
瞬时平动与平动有什么区别？ 刚体在平面运动中，如在某瞬时其上各点的速度大小相等、方向相
同，这种情形就叫做刚体的瞬时平动，刚体的瞬时平动与平动有下述两点不同： （1）刚体平动时其上各点轨迹相同、速度相同、加速度也相同；而瞬时平 动时其上各点只是速度相同，而各点的轨迹及加速度都不相同。 （2）刚体平动时，刚体的角速度与角加速度恒为零；而瞬时平动，只是该 瞬时角速度为零而角加速度不为零。 如题 11-9 图中所示，杆 AB 为瞬时平动，而在此瞬时前后杆 AB 均作平面运 动而不是平动。 题 11-10 解 答 平面图形绕速度瞬心的转动与定轴转动有什么区别？
（
求坐标对时间 t 的导数得
ut ⎞ ⎛ v x = u⎜1 − cos ⎟ r ⎠ ⎝ v y = u sin ut r
当 M 点随着轮子的滚动而到达与直线轨道接触时，即ϕ = 2π此时可从上式知道
vx = 0 vy = 0
即vP = 0。 题 11-7 请以作纯滚动的车轮为例，分别取轮心 O 及瞬心 P 为基点讨论轮
第十一章
题 11-1 转动。 解 答
刚体的平面运动
能否举例说明刚体平面运动可以分解为随某点的平动和绕某点的
这样的例子很多，今以沿直线轨道滚动的车轮为例。如果以车厢为
动参考系，即将动参考系 O′x′y′的原点 O′固结于车轮的中心 O′，于是，车轮的运 动可分解为两个简单的运动：即车厢随 O′的平动（牵连运动）和车轮绕动坐标 系原点 O′的转动（相对运动） 。这样，车轮的平面运动就分解为随基点的平动和 绕基点的转动了（题 11-1 图） 。
与速度瞬心法）有无一定联系？ 解 答 上述三种方法不是彼此独立的，而是有一定联系。其中速度合成法
是求平面图形上任一点速度的最基本的方法，瞬心法是基点速度为零的合成法， 速度投影定理是合成法在 A、B（即基点与任一待求速度的点）两点连线上的投 影式。这就是三种方法之间的内在联系。下面举例说明： 例 已知楔形块ABD沿水平面以匀速v = 120 (mm/s)运动， 圆轮O在斜面上只
x = OA = OH − AH = MH − MB = rϕ − r sin ϕ y = AM = HB = HC − BC = r − r cos ϕ
由于无滑动，则
（
MH OH ut = = ϕ= MC MC r
以ϕ值代入，得点 M 的运动方程
x = ut − r sin y = r − r cos ut r ut r
(2)
进一步还可写出图形上任一点 M 的运动方程
x M = xO′ + O′M cos ϕ ⎫ ⎪ ⎬ y M = yO′ + O′M sin ϕ ⎪ ⎭
将上式对时间 t 求一次导数，即可得 M 点的速度在坐标轴上的投影 M = x O′ − O ′Mϕ sin ϕ ⎫ x ⎪ ⎬ M = y O′ + O ′Mϕ cos ϕ ⎪ y ⎭ 再对 t 求一次导数，即可得 M 点的加速度在坐标轴上的投影 M = O′ − O ′Mϕ 2 cos ϕ − O ′Mϕ sin ϕ ⎫ x x ⎪ ⎬ 2 M = O′ − O ′Mϕ sin ϕ + O ′Mϕ cos ϕ ⎪ y y ⎭
迹都在同一平面内，是吗？ 解 答 不。作平面运动的刚体其上各点的轨迹确是在同一平面内，但刚体
作平动时除平面平动外， 还可以作空间平动， 其上各点的轨迹还可以是空间曲线。 题 11-4 能否用一个明显图象来说明刚体的平面运动的平动部分与基点的
选择有关，而转动部分与基点的选择无关。 解 答 可以用下面的图象来加以说明（题 11-4 图） 。设在时刻 t，刚体的
由上比较可见，瞬心法较为简捷。 题 11-12 解 例 答 用合成法解题时是否必须选速度已知的点为基点？ 不一定。下面举例说明。
曲柄连杆机构OA = AB = l，OA以等角速度ω转动（题 11-12 图a）试求
图示位置时滑块B的速度vB和AB杆的角速度ωAB。 解： （1）以速度已知的点A(vA = lω)为基点，则 vB = vA + vBA 在B点作速度矢量合成图，因vB方向水平，投影得
（2）取瞬心 P 为基点，则平动部分速度为零，只有转动速度，因为 ω = 所以图上各点速度的分布与图(c)相同。 题 11-8 解 答 作平面运动的平面图形上是否每一瞬时都存在一个速度瞬心？ 除了瞬时平动（ω = 0）外，其速度瞬心必定存在，如已知图形的ω
u ， R
及某点A的速度vA，则可过A作垂直于vA的垂线，在vA顺ω转过 90°的垂线上，截 取长度AP使等于
题 11-5 图
又如在题 11-5 图(b)中滑块A和B分别沿图中所示直线运动，速度为vA及vB。
AC与BC又在C点铰接，在求C点的速度时，有人以为可从vA、vB的方向分别作垂
线交于P，而误认P为瞬心。这也是因为没有注意到A与B分别为两个刚体。所以， 不能用属于两个刚体上的点的速度来找瞬心。 题 11-6 平面图形在一固定曲线（或直线）上作无滑动的滚动时，其接触
v P cos 60 D = vO cos 30 D
所以
vO =
顶杆的速度即为vO。
v P cos 60 = cos 30 D
D
120 ×
1 2 = 40 3 (mm/s) 3/2
（2）求轮子的角速度ωO。 ①用瞬心法求ωO： 因已知vP、 vO方向， 所以可得瞬心C （图b） ， 且 CO =
1 R = 20 2