湖北省华中师范大学第一附属中学2021-2022学年高一下学期数学期中复习压轴题选编

华中师大一附中2021-2022学年度高一第二学期期中检测
期中复习压轴题精选题组
一、单选题
1．已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为点O ，且3450++=
OA OB OC ，则ABC ∆的面积为A ．
85
B ．
75
C ．
65
D ．
45
2．在ABC 中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，已知,73
A a π
==，则以下判断错误的是（
）
A ．ABC 的外接圆面积是493
π
；B ．cos cos 7b C c B +=；C ．b c +可能等于14；
D ．作A 关于BC 的对称点A '，则AA '.
3．在钝角ABC 中，,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 所对的边，点G 是ABC 的重心，若AG BG ⊥，则cos C
的取值范围是（）
A ．⎛ ⎝⎭
B ．45⎡⎢⎣⎭
C ．⎫
⎪⎪
⎝⎭
D ．4,15⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭
4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别是1CC ，BC ，DC 的中点，则下列说法错误的是（
）
A ．1
//MP AB B ．//AO 平面MNP C ．MN ⊥平面11A B CD
D ．MN 与1AD 是异面直线
5．已知四面体ABCD
M ，N 分别为棱AD ，BC 的中点，F 为棱AB 上异于A ，B 的动点．有下列结论：
①线段MN 的长度为1；
②若点G 为线段MN 上的动点，则无论点F 与G 如何运动，直线FG 与直线CD 都是异面直线；
③MFN ∠的余弦值的取值范围为[0,)5
；④FMN 1
．其中正确结论的为（
）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④二、多选题6．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz ）的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是ABC 内的一点，BOC ，AOC △，AOB 的面
积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=
.若O 是锐角ABC 内的一点，A ，B ，C 是ABC 的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅
.则（
）
A ．O 为ABC 的外心
B ．BO
C A π
∠+=C ．::cos :cos :cos OA OB OC A B C
=
D ．tan tan tan 0
⋅+⋅+⋅=
A OA
B OB
C OC 7．下列结论正确的是（
）
A ．在ABC 中，若A
B >，则sin sin A B
>B ．在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立
C ．在ABC 中，若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形
D ．在ABC 中，若360b A ==︒，
，三角形面积S =
8．下列说法正确的是（
）
A ．若非零向量0A
B A
C BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭
，且12AB AC AB AC ⋅= ，则ABC 为等边三角形B ．已知,,,OA a OB b OC c OD d ==== ，且四边形ABCD 为平行四边形，则0
a b c d +--=
C ．已知正三角形ABC
的边长为O 是该三角形的内切圆，P 是圆O 上的任意一点，则PA PB ⋅
的最
大值为1
D ．已知向量()(
))
2,0,2,2,cos sin OB OC CA αα===
，则OA 与OB 夹角的范围是5,412ππ⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
9．已知点M 为正方体1111ABCD A B C D -内（含表面）的一点，过点M 的平面为α，以下描述正确的有（）
A ．与1AA 和11
B
C 都平行的α有且只有一个
B ．过点M 至少可以作两条直线与1AA 和11B
C 所在的直线都相交
C ．与正方体的所有棱所成的角都相等的α有且只有四个
D ．过点M 可以作四条直线与正方体的所有棱所成的角都相等
10．如图，已知在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1AD 上的动点，
则下列结论正确的有（）
.
A ．当P 运动到1AD 中点时，直线BP 与平面ABCD 所成角的正切值为
5
B ．当P 在直线1AD 上运动时，三棱锥11
C A PB -的体积会随着P 点的运动而变化C ．当点P 在直线1A
D 上运动到某一点时，直线1B C 与平面1BPC 所成角为π
4
D ．当P 在直线
1AD 上运动时，111A PB △三、填空题
11．在ABC 中，60BAC ∠=︒，2AC →=，2BD DC →→
=，AD →=，则AB →=______；设()AE AC AB R λλ→→→=-∈，且4AD AE →→
⋅=，则λ的值为______.
12．如下图，ABC 中，875AB AC BC G ===,,,为ABC 重心，P 为线段BG 上一点，则PA PC ⋅
的最大值
为______，M N 、分别是边BC BA 、的中点，则AP MN ⋅
的取值范围是______.
13．已知12,|6OA OE →
→
==∣，对t R ∀∈，恒有||||OA OE A t E →
→
→
-≥，且点M 满足21,33
OM OE OA →
→→
=+N 为OA 的
中点，则OA OE →
→
⋅的值为__________，MN →
的值为__________.
14．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了"勾股圆方图"，亦
称"赵爽弦图"(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成)．类比"
赵爽弦图"，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的
等边三角形，设 ,AD AB AC λμ=+ 若4AD AF =
，则λ-μ的值为___________
15．法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对ABC 而言，若其内部的点P 满足120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，则称P 为ABC 的费马点．如图所示，在ABC 中，已知45BAC ∠=︒，设P 为ABC 的费马点，且满足452PBA PA ∠=︒=，．则ABC 的外接圆直径长为_________．
16．三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点O 在ABC 内部，用A B C S S S 、、分别代表OBC 、OCA 、OAB
的面积，则有0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=
．现在假设锐角三角形顶点,,A B C 所对的边长分别为,,,a b c H 为其垂心，,,HA HB HC
的单位向量分别为123,,e e e ，则123ae be ce ++= _________．
17．在锐角三角形ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，且满足22b a ac -=，则11
tan tan A B
-的取值范围为___________.
18．某园区有一块三角形空地（如图ABC ），其中20m AB =，40m AC =，2
ABC π
∠=
，现计划在该空地
上选三块区域种上三种不同颜色的花卉，为了划分三种花卉所在的区域且浇灌方便和美观，需要在空地内建一个正三角形形状的水池，要求正三角形的三个顶点分别落在空地的三条边界上（如图DEF ），则水池面积的最小值为________2m ．
19．如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E ､F 分别是侧棱1AA ､1CC 上的动点，4AE CF +=，点P 在棱1AA 上，且1AP =，若//EF 平面PBD ，则CF =___________.
四、解答题
20．如图所示，AD 是ABC 的一条中线，点O 满足2AO OD =
，过点O 的直线分别与射线AB ，射线AC 交于M ，N 两点.
(1)求证：1133
AO AB AC =+
；
(2)设AM mAB = ，AN nAC = ，0m >，0n >，求11
m n
+的值；
(3)如果ABC 是边长为()0a a >的等边三角形，求22OM ON +的取值范围.
21．已知O 是线段AB 外一点，若OA a =
，OB b =
．
（1）设点G 是OAB 的重心，证明：()
13
OG a b =+
；
（2）设点1A 、2A 是线段AB 的三等分点，1OAA 、12OA A △及2OA B △的重心依次为1G 、2G 、3G ，试用向
量a 、b
表示123OG OG OG ++ ；
（3）如果在线段AB 上有若干个等分点，请你写出一个正确的结论？(不必证明)
说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分．
22．已知[0,)θπ∈，向量(cos ,sin )a θθ=
，(1,0)b = ，1P 、2P 、3P 是坐标平面上的三点，使得()
1122OP OP a OP a ⎡⎤=-⋅⎣⎦ ，()
3222OP OP b OP b ⎡⎤=-⋅⎣⎦
．（1）若2
π
θ=，1P 的坐标为(20,21)，求3OP ；
（2）若23
π
θ=，16OP = ，求
3OP 的最大值；（3）若存在[0,)απ∈，使得当1(cos ,sin )OP αα=
时，△123PP P 为等边三角形，求θ的所有可能值．
23．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,)m b a c =+ ，(,)n b c c a =-- ，m n ⊥
.
(1)若8a =，8AB AC ⋅=
，D 为边BC 的中点，求中线AD 的长度；(2)若E 为边BC 上一点，且1AE =，:2:BE EC c b =，求2b c +的最小值.
24．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，22sin sin sin sin A B B C =+.（1）若D 是BC 上的点，且AD 平分角
A ，AD =6c =，求C ；
（2）若cos()B A -=
c =ABC 的面积.
25．（1）在ABC 中，角
A ，
B ，
C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos 0a C C b c +--=，且2a =，则ABC 内切圆半径的最大值为_________
（2）随着节假日外出旅游人数增多，倡导文明旅游的同时，生活垃圾处理也面临新的挑战，某海滨城市沿海有A B C ，，三个旅游景点，在岸边BC 两地的中点处设有一个垃圾回收站点O （如图），A B ，两地相距
10km ，从回收站O 观望A 地和B 地所成的视角为60︒，且224OA OB OA OB +≥⋅
，设AC x =km ；
（i ）用x 分别表示22OA OB + 和OA OB ⋅
，并求出x 的取值范围；
（ii ）若B 地到直线AC 的距离为BD ，求BD 的最大值．
26．已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(,)OM a b =
为函数()f x 的相伴特征向量，
同时称函数()f x 为向量OM
的相伴函数.
（1）设函数53()sin sin 62g x x x ππ⎛⎫⎛⎫
=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，试求()g x 的相伴特征向量OM ；
（2）记向量ON = 的相伴函数为()f x ，求当8()5f x =且,36x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，sin x 的值；
（3）已知(2,3)A -，(2,6)B ，(OT = 为()sin 6h x m x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的相伴特征向量，()23x x h πϕ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，请问
在()y x ϕ=的图象上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥
.若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.
27．杭州市为迎接2022年亚运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形ABCDE ，运动员的公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行．还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料，工具和配件．所以项目设计需要预留出BD ，BE 为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），ED ，
DC ，CB ，BA ，AE 为赛道，2,,8km 34
BCD BAE CBD CD DE ππ
∠=∠=
∠===．
（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE 的长度；①712
∠=
CDE π；②3
cos 5DBE ∠=
（2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE 最长（即+BA AE 最大），最长值为多少？28．如图，在直角梯形OABC 中，//,,22,OA CB OA OC OA BC OC M ⊥==为AB 上靠近B 的三等分点，OM
交AC 于,D P 为线段BC 上的一个动点．
（1）用OA 和OC 表示OM
；
（2）求
OD
DM ；（3）设OB CA OP λμ=+
，求λμ⋅的取值范围．
29．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111,A B B C A B AC ⊥⊥．
（1）求证：1111A C B C =；
（2）若1B C 与1AC 的所成角的余弦值为1
3
，求1BB 与平面11A B C 所成角的正弦值．
30．四面体ABCD 中，
（1）,,AB CD AC BD AD BC ===．求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；
（2）有4条长为2的线段和2条长为a 的线段，用这6条线段作为棱，构成一个三梭锥，问a 为何值时，可构成一个最大体积的三棱锥，最大值为多少？
((,,0)3
a b c
a b c ++≤
>，当且仅当a b c ==时取得等号)
参考答案
1．C
【详解】试题分析：由3450OA OB OC ++=
变形可得
,即
,所以
,由3450OA OB OC ++=
变形可得
,故
,
所以
,同理可得:
,
所以
,选D.
考点：向量的运算和余弦定理及三角形面积公式的应用．
【易错点晴】本题是一道综合性较强的问题.解答时巧妙地利用题设条件外接圆半径为1及3450OA OB OC ++=
,不厌
其烦的运用完全平方公式进行了三次两边平方,
再运用余弦定理将
三边分别算出来,最后再借助三角形的面积
公式求出其面积.值得提出的是本题的难点是如何探寻到解决问题的思路,很难将面积问题与一个不相干的向量等式进行联系,在这里两边平方是解决本题的突破口.2．D
【分析】对A ：利用正弦定理可求得ABC 的外接圆半径，即可求解ABC 的外接圆面积；对B ：利用余弦定理角化边，即可求解；对C ：利用正弦定理边化角，再结合两角和差的正弦公式，即可求解；对D ：利用三角形面积公式和余弦定理，及均值不等式，即可求解．【详解】解：对A ：3
A π
=
，7a =，∴
由正弦定理可得2sin a R A ，即ABC
的外接圆半径R =ABC ∴
的外接圆面积是2
2493R π
ππ=⨯=⎝⎭
，故A 选项正确；对B ：由余弦定理可得222222
cos cos 722a b c c a b b C c B b c a ab ac
+-+-+=⋅
+⋅==，故B 选项正确；对C
：由正弦定理可得2(sin sin )sin sin 14cos 3
3b c R B C ππααα⎤
⎛⎫⎛⎫+=+-++= ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，33ππα⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，(]7,14b c ∴+∈，故C 选项正确；
对D ：设A 关于BC 的对称点我A '，A 到BC 的距离为h ，
∴11sin 2
2
3
ah bc π
=
，即h =，又由余弦定理可得222222cos 23
a b c bc b c bc bc bc bc π
=+-=+--=
，当且仅当b c =时等号成立，
所以27h =
≤
，即h 所以||AA '
的最大值是D 选项错误．故选：D ．
3．C
【分析】延长CG 交AB 于D ，由重心性质和直角三角形特点可求得3
2
CD c =，由cos cos BDC ADC ∠=-∠，利用余
弦定理可构造等量关系得到2225a b c +=，由此确定C 为锐角，则可假设A 为钝角，得到222b c a +<，222a c b +>，
a b >，由此可构造不等式组求得
b a 的取值范围，在ABC 利用余弦定理可得2cos 5a b C b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用b
a
的范围，结合C 为
锐角可求得cos C 的取值范围.
【详解】延长CG 交AB 于D ，如下图所示：
G 为ABC 的重心，D ∴为AB 中点且3CD DG =，
AG BG ⊥ ，1
2
DG AB ∴=
，3322CD AB c ∴==；
在ADC 中，22
2
2
2
222
25522cos 3232c b
AD CD AC c b ADC AD CD c c -+--∠===⋅；在BDC 中，2
2
2
2
2
222
25522cos 3232
c a BD CD BC c a BDC BD CD c c -+--∠===⋅；BDC ADC π∠+∠= ，cos cos BDC ADC ∴∠=-∠，
即222222
525233c a c b c c
--=-，整理可得：22225a b c c +=>，C ∴为锐角；设A 为钝角，则222b c a +<，222a c b +>，a b >，
222222
2255a b
a b a b b a ⎧+>+⎪⎪∴⎨+⎪<+
⎪⎩，22221115511155b b a a b b a a ⎧⎛⎫⎛⎫++<⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴⎨⎛⎫⎛⎫⎪<++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎝⎭⎩，解得：223b a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，0a b >>
，03
b a ∴<
<
，
由余弦定理得：22222222cos 2555a b c a b a b C ab ab b a ⎫+-+⎛⎫==⋅=+>⨯= ⎪⎝⎭⎝又C
为锐角，cos 1C <，即cos C
的取值范围为3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
.故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形中的取值范围问题的求解，解题关键是能够由两角互补得到余弦值互为相反数，由余弦定理得到2225a b c +=，确定C 为锐角，从而得到三边之间的不等关系，求得b
a
的范围.4．
D
【分析】根据所给条件和线面关系，逐项分析判断即可得解.
【详解】
对A ，如图所示，连接11,AB DC ，
因为点,M P 为1,CC CD 中点，
所以1//MP DC ，在正方体中易得11//AB DC ，
所以1//MP AB ，故A 正确；
对B ，如图所示，连接,BD AC 交于点E ，
连接1C E ，NP 与AC 交于点F ，连接MF ，
在正方体中，易得1//OC AE ，1OC AE =，
所以四边形1AEC O 为平行四边形，
则1//AO C E ，又,P N 为,CD CB 中点，
点F 在PN 上，则易知点F 为CE 的中心点，
因为点,M F 为中点，所以1,////MF C E AO MF ，
又MF ⊂平面MPN ，AO ⊄平面MPN ，
所以//AO 平面MPN ，故B 正确；
对C ，如图所示，连接1BC ，
在正方体中，易知1,CD BC CD CC ⊥⊥，
所以CD ⊥平面11BCC B ，又MN ⊂平面11BCC B ，
所以CD MN ⊥，
又,M N 为1CC ，BC 中点，
则1//MN BC ，又11BC B C ⊥，所以1MN B C ⊥，
所以MN ⊥平面11A B CD ，故C 正确；
对D ，如图所示，连接11,BC AD ，
易知：11//,BC AD 又1//MN BC ，
则1//MN AD ，所以MN 与1AD 共面，故D 错误.
故选：D
5．D
【分析】将正四面体ABCD 放置于正方体中，由M ，N 所处位置即可判断①；取AB ，MN ，CD 中点F ，G ，E ，探讨它们的关系可判断②；
计算cos MBN ∠可判断③；把正ACB △与正ADB △展开在同一平面内，计算即可判断④并作答.
【详解】如图，在棱长为1的正方体上取顶点A ，B ，C ，D ，并顺次连接即可得四面体ABCD
因M ，N 分别为棱AD ，BC 的中点，则M ，N 恰为正方体相对面的中心，即MN =1，①正确；
取AB 的中点F ，MN 的中点G ，CD 的中点E ，由正方体的结构特征知F ，G ，E 共线，即直线FG 与直线CD 交于E ，②不正确；
MBN △中，BM =,12BN MN ==，由余弦定理得：222
cos 2BN BM MN MBN BN BM +-∠==>⋅，当点F 无限接近于点B 时，cos MFN ∠，③不正确；把四面体ABCD 中的正ACB △与正ADB △展开在同一平面内，连接MN ，MN 必过AB 的中点，在AB 上任取点F '，连,MF NF ''，如图，
此时，MF NF MN ''+≥=
F '与线段AB 中点重合时取“=”，则对AB 上任意点F ，MF NF +有最小
于是得在四面体ABCD 中，FMN 周长MF NF MN ++1，④正确，
所以①④为正确的结论.
故选：D
6．BCD
【分析】由根据数量积的运算律可得0OB CA OB CA ⋅=⇔⊥
,可得O 为ABC 的垂心；结合OBC C OCB B π∠++∠+=与三角形内角和等于π可证明B 选项；结合B 选项结论证明cos :cos :A B OA OB =即可证明C 选项，利用奔驰定理证明:tan :tan A B S S A B =可证明D 选项．【详解】解：因为()00OA OB OB OC OB OA OC OB CA OB CA ⋅=⋅⇔⋅-=⇔⋅=⇔⊥
，
同理OA CB ⊥，OC AB ⊥，故O 为ABC 的垂心，故A 错误；
,22OBC C OCB B π
π
∠+=∠+=，所以OBC C OCB B π∠++∠+=，
又OBC OCB BOC π∠+∠+∠=，所以BOC C B ∠=+，
又A B C π++=，所以BOC A π∠+=，故B 正确；
故A BOC π=-∠，同理B AOC π=-∠，
延长CO 交AB 与点P ，则
cos :cos cos():cos()cos :cos ::OP OP A B BOC AOC BOP AOP OA OB OB OA
ππ=-∠-∠=∠∠==，同理可得cos :cos :A C OA OC =，所以cos :cos :cos ::A B C OA OB OC =，故C 正确；
11:():():tan :tan 22
A B S S OC BP OC AP BP AP OP POB OP AOP =⋅⋅⋅⋅==∠∠tan :tan tan():tan()tan :tan BOC AOC A B A B ππ=∠∠=--=，
同理可得:tan :tan A C S S A C =，所以::tan :tan :tan A B C S S S A B C =，
又0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= ，所以tan tan tan 0⋅+⋅+⋅= A OA B OB C OC ，
故D 正确．
故选：BCD ．
7．ABC
【分析】利用三角形“大角对长边”和正弦定理即可判断A ；利用余弦定理222
cos 02b c a A bc
+-=>，即可判断B ；首先利用正弦定理得到()()sin sin A B A B +=-，即可求出2
A π=判断C ；对选项D ，首先利用面积公式得到4c =，利
用余弦定理得到a =，再利用正弦定理2sin a R A
=即可判断D.【详解】对于A ，在ABC 中，由>⇒>A B a b ，利用正弦定理得2sin 2sin sin sin R A R B A B >⇒>，故A 正确.
对于B ，由锐角三角形知02A π<<，则222
cos 02b c a A bc
+-=>，2220b c a ∴+->，故B 正确.对于C ，由cos cos a B b A c -=，利用正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A C -=，即()()sin sin A B A B +=-，故A B A B π++-=，即2A π=
，则ABC 是直角三角形，故C 正确.
对于D ，11sin 322S bc A c ==⨯⨯=4c =，利用余弦定理知
22212cos 91623413
2a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯
=，所以a =2R =，3R =，故D 错误.
故选：ABC
【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦定理和余弦定理的综合应用，熟练掌握公式为解题的关键，属于中档题.8．AC
【分析】利用单位向量以及向量数量积的定义可判断A ；利用向量的加法运算可判断B ；利用向量的加、减运算可判断C ；由题意可得点A 在以()2,2为圆心，2为半径的圆上，由向量夹角定义可判断D.【详解】A ，因为非零向量0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭
，所以BAC ∠的平分线与BC 垂直，ABC 为等腰三角形，又12
AB AC AB AC ⋅= ，所以3BAC π∠=，所以ABC 为等边三角形，故A 正确；
B ，a b c d OA OB O
C O
D +--=+-- ,
CA DB CD DA DA AB =+=+++ ，
在平行四边形ABCD 中，有AB DC = ，
所以原式20DA =≠ ，故B 错误；
C ，设正三角形ABC 内切圆半径r ，
由面积相等可得112332323sin 223
r π⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，解得1r =，令AB 的中点为D ，从而3DA DC ==,
则2PA PB PD += ，2PA PB BA DA -== ,
两式平方作差可得22444PA PB PD DA ⋅=- ,
即23PA PB PD ⋅=- ，若要使PA PB ⋅ 最大，只需2PD 最大
由于D 为AB 的中点，也为圆O 与AB 的切点，所以PD 的最大值为22r =，
所以23431PA PB PD ⋅=-≤-= ，故C 正确；
D ，设(),OA x y = ，()()2cos ,2sin 2,2CA OA OC x y αα=-=--=
，所以22cos x α-=，22sin y α-=，
所以()()22222x y -+-=，
即A 在以()2,2为圆心，2为半径的圆上，
如图：
222
1sin 2
22COA ∠==+，所以6COA π∠=，当OA 与圆在下方相切时，OA 与OB 夹角最小，此时为4612
πππ-=，
当OA 与圆在上方相切时，OA 与OB 夹角最大，此时为54612πππ+=，所以OA 与OB 夹角的范围是5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，故D 错误.故选：AC
【点睛】关键点点睛：本题考查了向量的数量积定义、向量的加减法以及向量的夹角，解题的关键是是将向量问题转化为平面几何问题，利用圆的性质求解，考查了转化思想、数学运算、数学建模，此题是向量的综合题目.9．CD
【分析】A,B 选项都可以很明显的找到反例，证明选项是错误的；C,D 选项也有共同之处，C 选项中，要想所有棱与平面所成夹角相同，只需要共顶点的三条侧棱与平面夹角相同即可，所以想到了以正方体的一个顶点作正三棱锥；同理，D 选项中，要想所有棱与直线夹角相同，也只需要共顶点的三条侧棱与该直线夹角相同即可，所以是三棱锥的高线，从而得到答案
【详解】A 选项中，如果M 点在1AA 或11B C 上的话，则不存在这样的面，所以A 选项错误
B 选项中，1AA ∥平面11BB
C C ，所以如果M 点在面11BB C C 上时，过M 的直线如果跟11B C 相交，则与1AA 异面，不会相交，所以B 选项错误
C 选项中，以A 为顶点，1A B
D 为底面，做三棱锥，则该三棱锥为正三棱锥，1,,AB AD AA 与底面的夹角相同，其他棱与这三条棱平行，所以夹角也相同；同理，以,,B C D 为顶点的三棱锥都可以满足，所以，过点M 作与这四个面平行的面即可，所以与正方体的所有棱所成的角都相等的α有且只有四个，C 选项正确
D 选项中，与C 选项同理，以A 为顶点做正三棱锥，则三棱锥过上顶点的高所在的直线，与三条棱1,,AB AD AA 的夹角是相同的，则与其他棱的夹角也是相同的，同理，以,,B C D 为顶点的三棱锥的高也都可以满足，且过M 只有一条线与该条直线平行或重合，所以有四条直线与正方体的所有棱所成的角都相等
故选：CD
【点睛】本题目难度较大，A,B 选项主要考察异面直线的特征，以及特殊情况的考虑，可以用举反例的方法排除；C,D 选项主要考察对正方体特征的把握，所有棱与面的夹角，或者与直线的夹角，等价于三条共顶点的棱与面的夹角，或者与直线的夹角，因为剩余其他棱都是与这三条棱平行的，位置关系一致，从而想到用正三棱锥解决10．AD
【分析】选项A 利用线面角的定义求解；选项B 中以1A 为顶点，通过论述三棱
锥11A BPC -的底面积和高不变，从而体积不变，来说明三棱锥11C A PB -的体积
不变；选项C 由线面垂直来说明；选项D 中，以11A B 为底边，点P 到11A B 的距
离为高，来确定111A PB △的面积存在最小值2.
【详解】A 选项：
当P 运动到1AD 中点时，点P 到底面的距离1PH =，
且点P 在底面的投影H 为边AD 的中点，
此时HB =HBP ∠为BP 与底面ABCD 所成的角，
5=，A 正确；B 选项：点P 在直线1AD 上运动时，11//AD BC ，
点P 到底边1BC 的距离不变，所以1PBC 的面积为定值，
又1PBC 始终在平面11ABC D 上，点1A 到平面11ABC D 的距离不变，
所以三棱锥11A BPC -的体积不变，即三棱锥11C A PB -的体积不变，B 错误；
C 选项：
当P 在直线1AD 上运动时，1B C ⊥平面11ABC D ，
平面1BPC 即为平面11ABC D ，所以1B C ⊥平面1BPC ，故C 错误；
D 选项：
P 在直线1AD 上运动时，易得11A B AP ⊥，1PA ∴为P 到直线11A B 的距离，
当P 为1AD 中点时，点P 到直线11A B 的距离最小，此时11A PB V 的面积最小
为122
S =⨯=，故D 正确.故选：AD.11．327
11
【分析】由2BD DC →→=可得1233
AD AB AC →→→=+，然后两边平方处理，结合平面向量的数量积运算，解方程即可；把1233AD AB AC →→→
=+和AE AC AB λ→→→=-代入4AD AE →→⋅=，化简整理后，代入已知数据，解关于λ的方程即可得解．
【详解】解： 2BD DC →→=，B ∴、D 、C 三点共线，∴1233AD AB AC →→→=+，两边平方得：2221
4
12
||||||2||||cos 609933AD AB AC AB AC →→→→→
=++⨯⨯︒ ，∴2371441||42||99992
AB AB →→=+⨯+⨯⨯⨯，
解得：37AB →=-或（舍去）． 4AD AE →→= ，12()()433AB AC AC AB λ→→→→∴+-= ，化简整理，得221224333AB AC AB AC λλ→→→→--++= ，∴1
229432cos 604333λλ--⨯+⨯+⨯⨯⨯︒=，解得2711
λ=．故答案为：3，2711
．【点睛】本题考查平面向量的模、向量的加减法运算以及向量的数量积运算，利用到了平面向量基本定理，还采用了平方法解决模长问题，考查学生的分析能力和运算能力．
12．20
3122,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【分析】利用向量求得PA PC ⋅ 的表达式，由此求得PA PC ⋅ 的最大值.利用向量求得AP MN ⋅ 的表达式，由此求得
AP MN ⋅ 的取值范围.【详解】2228571cos 2852
ABC +-∠==⨯⨯，由于()0,ABC π∠∈，所以3ABC π∠=.设D 是AC 中点，则,,,B P G D 共线.
()12BD BC BA =+ ,()222211
1129582584424BD BC BA ⎛⎫=+=++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
.12949643944cos 12977129222
ADB +--∠==⨯⨯，()()()()222494PA PC PD DA PD DC PD DA PD DA PD DA PD ⋅=++=+-=-=- .2PD 的最大值为21294BD = ，所以PA PC ⋅ 的最大值为129492044-=.()()
11222AP MN AD DP CA AD DP DA ⋅=+⋅=+⋅ 249739427129AD DP DA DP ⎛⎫=-+⋅=-+⋅⋅- ⎪⎝⎭
493942129DP =--⋅ ，其中13BD DP BD ≤≤ ，即12912962DP ≤≤ ，所以3939391242129DP ≤⋅≤ ，3939394122129DP -≤-⋅≤- ，49393122422129
DP -≤--⋅≤- .
即AP MN ⋅ 的取值范围是3122,2⎡⎤--⎢⎣
⎦.故答案为：20；3122,2⎡⎤--⎢⎣
⎦【点睛】要求向量数量积的最值或范围，需要利用数量积的运算将所求表达式进行化简，结合已知条件求得求得最值或范围.
13．36
【分析】先根据||||OA OE A t E →→→-≥得到AE OE →→⊥，进而得到OA OE →→⋅；将MN →表示为,OA OE →→，然后由模的定义求出答
案.
【详解】对R t ∀∈，恒有||||OA OE A t E →→→-≥，如示意图：12||,||||||
AE AE AE AE →→→→
≥≥
可得AE OE →→⊥，
所以2||36,OA OE OE →→→⋅==121233MN ON OM OA OE OA →→→
→→→⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭又
12,63OA OE →→=-则1263MN OA OE →→→=-=
=
故答案为：36,14．4
7
【分析】令AF =1，延长AD 交BC 于M ，求出AB ，BM ，DM ，再借助平面向量基本定理即可作答.
【详解】因4AD AF = ，令AF =1，则有1,4BD AD ==，ABD △中，120ADB ∠=o ，
由余弦定理得AB =AD 交BC 于M ，如图，
由正弦定理得sin sin BD AB MAB ADB =∠∠，则有12sin 14MAB ⋅∠=，cos MAB ∠=，
1sin sin(60)sin 2214AMB MAB MAB MAB ∠=∠+=
∠+∠= ，
BMD 中，由正弦定理得sin sin sin 5
DM BM BD MBD BDM BMD ===∠∠∠，而MBD MAB ∠=∠，
因此得15DM =
，BM =2121520AM AD ==，15BM BC =，141555AM AB BM AB BC AB AC =+=+=+ ，20164212121
AD AM AB AC ==+ ，因 AD AB AC λμ=+ ，由平面向量基本定理得164,2121λμ==，所以47
λμ-=.故答案为：4
7
【点睛】思路点睛：用向量基本定理解决问题是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
15
．【分析】（1）由已知利用三角形的内角和定理可得15PAB ∠= ，30PAC ∠= ，可得在PAC △中，30PCA ∠=o ，可得2PA PC ==，在PAB △中，由正弦定理可得PB 的值,在PBC 中，利用余弦定理求出BC ，在ABC 中，利用正弦定理即可求出外接圆的直径.
【详解】由已知1801204515PAB ∠=︒-︒-︒=︒，所以451530PAC ∠=︒-︒=︒.
在PAC △中，1801203030PCA ∠=︒-︒-︒=︒，故2PA PC ==.
在PAB △中，由正弦定理2sin15sin15sin 45sin 45PB PA PB ︒=⇒=︒︒︒
（*）而(
)1sin15sin 453022224︒=-⨯-⨯=︒︒
，sin 452
=°代入（*
）式得1PB =.在PBC 中，利用余弦定理2222cos1206BC PB PC PB PC =+-⋅=o ，
在ABC
中，利用正弦定理2sin 45BC R ==︒则ABC
的外接圆直径长为
故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查三角形的内角和定理、特殊角的三角函数值、两角差的正弦函数公式、正弦定理及余弦定理在解三角形中的综合应用，考查转化与化归思想、函数与方程思想，属于较难题．
16．0
【分析】由0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= 可得112a HD HA e ⋅+ 212b HE HB e ⋅+ 3102
c HF HC e ⋅= ，根据相似三角形可得HD HA HE HB = ，HF HC HE HB = ，即HD HA HE HB = HF HC = ，即可得1230
ae be ce ++= 【详解】由0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= 可得
1231110222a HD HA e b HE HB e c HF HC e ⋅+⋅+⋅= 根据BHD AHE ∽可得HD HA HE HB = ，同理可得HF HC HE HB = ，所以HD HA HE HB = HF HC = ，
所以1230
ae be ce ++= 故答案为：0
【点睛】本题以三角形中的结论为载体，考查了垂心的性质，涉及三角形面积公式、相似三角形的性质，属于难题.
17．1,3⎛ ⎝⎭
【分析】由余弦定理化简已知式，再由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换得2B A =，由锐角三角形求得,A B 的范围，待求式切化弦，通分后利用已知条件化为1sin B
，由正弦函数性质可得范围．【详解】因为22b a ac -=，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以22cos ac c ac B =-，
2cos c a B a =+，
由正弦定理得sin 2sin cos sin C A B A =+，所以
sin sin()2sin cos sin cos cos sin 2sin cos cos sin sin cos A A B A B A B A B A B A B A B =+-=+-=-sin()B A =-，因为ABC 为锐角三角形，所以A B A =-，2B A =，3C A π=-，由,,0,2A B C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得,64A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,32B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，11tan tan A B -cos cos sin cos cos sin sin()sin 1sin sin sin sin sin sin sin sin sin A B B A B A B A A A B A B A B A B B
--=-====，
sin B ⎫∈⎪⎪⎝⎭，所以111,tan tan 3A B ⎛-∈ ⎝⎭
．
故答案为：⎛ ⎝⎭．
【点睛】本题考查都得用正弦定理和余弦定理求三角函数的取值范围，解题关键是由正弦定理和余弦定理变形化简得出三角形中角的关系，从而再由锐角三角形得角的范围．再把待求式化为某个角的函数，从而求得取值范围．
18
【分析】设DE EF DF x ===，BDE θ∠=，则cos BD x θ=，在ADF 中由正弦定理得到sin AD x θ=
，即可
得到
x =【详解】解：如图，设DE EF DF x ===，BDE θ∠=，因为20m AB =，40m AC =，2ABC π
∠=
所以3BAC π
∠=
，6
ACB π
∠=
，所以cos BD x θ=，
因为3
FDE ADF ADF π
θθπ+∠+∠=++∠=，
3
AFD ADF A AFD ADF π∠+∠+∠=∠+∠+
，所以AFD θ∠=，在ADF 中，由正弦定理，sin sin 3AD DF
πθ=
，即sin 2
AD θ=
所以sin 3AD x θ=，因为20m AB =，
所以sin cos 203
x x θθ+=，
所以x =，
所以x =
=
tan 0,,,243πππϕθϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∈∈ ⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎭⎝
，所以221sin 234DEF S x x π==
，2221sin 2347sin ()DEF S x x πθϕ==+，所以DEF
2
．
19．1
【分析】先连接AC 交BD 于O ，进而通过线面平行的性质定理得出EF ∥PO ，然后在1PA 上截取PQ ，使得PQ=PA=1，进而证明QC ∥PO ，得出EF ∥QC ，进一步得到四边形EQCF 是平行四边形，得出QE CF =，结合条件的长度关系最后得到答案.
【详解】由题意可知，长方体1111ABCD A B C D -的高为4，底面ABCD 是边长为1的正方形，
连接AC 交BD 于O ，连接PO ，因为EF ∥平面PBD ，EF ⊂平面EACF ，平面EACF 平面PBD=PO ，所以EF ∥PO .在1PA 上截取PQ ，使得PQ=PA=1，连接QC ，易知O 为AC 的中点，所以QC ∥PO ，所以EF ∥QC ，又EQ ∥FC ，所以四边形EQCF 是平行四边形，所以QE CF =.又14,4AE CF AE A E +=+=，所以111
12
A E CF EQ A Q ====，所以CF =1.故答案为：1.20．(1)见详解(2)3(3)22,9a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【分析】（1）根据题意，结合向量加减法运算，即可证明；
（2）根据题意，用AM 和AN
表示AO ，结合M ，O ，N 三点共线，即可求解；
（3）根据题意，结合（1）（2）用AB 和AC
分别表示出OM 和ON ，进而可以表示出22OM ON +，再结合均值不等式与二次函数的最值，即可求解
.
(1)证明：因2AO OD =
，所以23AO AD = ，又因D 为BC 的中点，所以()
12
AD AB AC =+ ，所以
211333
AO AD AB AC ==+ .
(2)因AM mAB = ，AN nAC =
，0m >，0n >，所以1AB AM m = ，1AC AN n = ，又因1133
AO AB AC =+ ，所以
1133AO AM AN m n =+ ，又因M ，O ，N 三点共线，所以
11313m n +=，即11
3m n
+=.(3)设AM mAB = ，AN nAC =
，0m >，0n >，由（1）（2）可知1133AO AB AC =+ ，113m n
+=，即3m n mn +=.
因31133m OM AM AO AB AC -=-=- ，31133
n ON AN AO AC -=-=-
，所以22
2
2
3113113333m n OM ON AB AC AB --⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
()()()2222
196296223329m m AB n n AC m n AB AC ⎡⎤=
-++-+-+-⋅⎢⎥⎣
⎦ ，又因ABC 是边长为()0a a >的等边三角形，所以22222
23OM ON a m n m n ⎛⎫+=+--+ ⎪⎝
⎭，
令t mn =，因3mn m n =+≥，即4
9mn ≥
，当且仅当m n =时，等号成立，所以49
t ≥.因此()()2
2
22
22222
5959533
33
m n m n m n mn mn mn t t +--+
=+-+=-+
=-+，又因49t ≥，所以2229539
t t -+≥，所以2
222
22
2239
a OM ON a
m n m n ⎛⎫+=+--+≥
⎪⎝
⎭.21．
（1）证明见解析；（2）a b +
；（3）答案见解析.【分析】（1）利用平面向量基本定理以及数乘的定义进行转化，结合重心的性质即可证明；（2）利用重心的性质以及平面向量基本定理，转化求解即可；
（3）利用等分点的性质结合（2）的推理过程，由向量的加法以及减法运算，写出结论即可.
【详解】（1）设AB 的中点为E ，则()()
22113323
OG AE a b a b ==⨯+=+
；
（2）如图：点1A 、2A 是线段AB 的三等分点，
()
1113OG OA OA =+ ，()21213OG OA OA =+ ，(
)
3213OG OA OB =+
，
则()()
12312
1233
OG OG OG a b OA OA ++=+++ ()()()
12123333a b a b a a b a a b ⎡⎤=+++-++-=+⎢⎥⎣⎦
；（3）层次一：
设1A 是AB 的二等分点，则()
112
OA a b =+ ，()()
12122233OG OG OA OA a b +=+=+ ，
设1A 、2A 、3A 是线段AB 的四等分点，则()
12332
OA OA OA a b ++=+
，
或设1A 、2A 、…、1n A -是线段AB 的n 等分点，则k n k OA OA a b -+=+
（1k =，2，…，1n -），
层次二：
设1A 、2A 、…、1n A -是线段AB 的n 等分点，()
1212
n k n OA OA OA a b --++⋅⋅⋅+=+
，层次三：
设1A 、2A 、…、1n A -是线段AB 的n 等分点，则()
1213
n n OG OG OG a b -+++=
+
．22．（1）(0,0)；（2）12；（3）6
π
、
3
π
、
23
π
、56π．【分析】利用向量线性运算的坐标表示，（1）可得3OP = 2
(0,84cos 40sin 2)θθ-代入2
πθ=，即可求3OP 的坐标；（2）
可得3OP = 24(0,cos sin())θαθ-代入23
π
θ=，即可求其3OP 的最值；（3）求2OP 、3OP 的坐标，进而可得12PP u u u u r 、23P P ，结合题设有12
231223||||
1|cos ,|2
PP P P PP P P ⎧=⎪⎨<>=
⎪⎩
，应用三角恒等变换及三角函数的性质，可得|sin(1|2)αθ-=、1|cos 2|2α=，由分
类讨论的方式求θ的所有可能值．【详解】（1）由题意，1(20,21)OP =
，
∴1122[()]2[(20,21)(20cos 21sin )(cos ,sin )]OP OP a OP a θθθθ=-⋅=-+ 22(40sin 21sin 2,42cos 20sin 2)θθθθ=--，223222[()]2[(40sin 21sin 2,42cos 20sin 2)OP OP b OP b θθθθ=-⋅=---
2(40sin 21sin 2)(1,0)]
θθ-2(0,84cos 40sin 2)θθ=-，
∴由2
π
θ=
，则cos 0θ=、sin 20θ=，故3(0,0)OP = ；（2）由题意，16(cos ,sin )OP αα=
，
∴1122[()]2[cos ,sin 6cos(6()(cos ,si )n )]OP OP a OP a αααθθθ-=-⋅=-
12(sin sin(),cos sin())θθαθαθ=--，3222[()]2[12(sin sin(),cos sin())OP OP b OP b θθαθαθ=-⋅=---
12sin sin()(1,0)]θθα-24(0,cos sin())θαθ=-，
∴由23πθ=，则1cos 2θ=-
、sin θ
3||6sin |12|sin()|3OP πααα=+=+ ，
∴当|sin()|13
π
α+=时，
3OP 的最大值为12；（3）112(cos ,sin 2[()]2[(cos s )cos si in )(cos ,sin )]n OP OP a OP a ααθθθααθ=-⋅=-+
2(sin sin(),cos sin())θθαθαθ=--，3222[()]2[2(sin sin(),cos sin())OP OP b OP b θθαθαθ=-⋅=---
2sin sin()(1,0)]θθα-4(0,cos sin())θαθ=-，∴12sin sin()cos ,2cos sin()sin (2)PP θθααθαθα---=- ，23sin()sin ,co 2()s P P αθθθ-= ，。