概率(一)

北京四中
撰稿：安东明审稿：严春梅责编：张杨
概率(一)
目标认知
重点：
概率与频率的区别，概率的加法公式，对古典概形的理解与判断.
难点：
互斥事件与对立事件的确定，对古典概形的理解与判断.
学习内容：
第一部分事件与概率
一、随机现象与随机事件
1．必然现象与随机现象：
必然现象：在一定的条件下必然发生的现象(强调在一定条件下).
随机现象：在一定的条件下可能发生也可能不发生的现象(事先很难预料).
例如：
(1)地球上，向上抛一块石头，石头会落到地面上；
(2)在标准状态下，水在100o C下沸腾；
(3)掷一枚硬币，正面向上；
(4)从粉笔盒中取粉笔，取出的是红粉笔.
对于现象我们通过观察与实验(统称为试验)得出所需要的规律性.
2．事件与事件空间
在同样条件下重复进行试验时，始终不发生的结果称为不可能事件，一定发生的结果称为必然事件，有可能发生也可能不发生的结果成为随机事件.
基本事件：在试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描述的事件.
基本事件空间：所有基本事件构成的集合.
例如：下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
①在标准大气压下，水加热至沸腾；
②某人买彩票中奖；
③将一根长为a的铁丝，随意折两下，构成一个三角形；
④连续两次抛一枚硬币，两次都出现正面朝上；
⑤当时，
二、随机事件的频率与概率
通过掷硬币的实验的结果理解频率与概率的区别.
一般地，在次重复的试验中，事件A发生的频率，当很大时，总在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动的幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作.(注：P是概率一词的英文Probability的第一个字母)
很明显,是0和1之间的一个数，即.
=0是什么意思? 这时我们称事件为不可能事件，如太阳从西边升起；
=1是什么意思? 这时我们称事件为必然事件，如地球绕着太阳转.
不可能事件和必然事件虽然具有确定性，但它们可视为随机事件的两个极端情况，这样我们可完整认识随机事件，完整地理解概率的意义.
这里，我们需要区分“频率”和“概率”这两个概念.
(1)频率具有随机性，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，它反映随机事件出现的可能性；
(2)概率是一个客观常数，它反映了随机事件的属性.
随机事件的两个特征：
(1)结果的随机性：在相同的条件下进行重复的试验时，如果试验的结果不止一个，那么在试验前难以
预料哪种结果将发生；
(2)频率的稳定性：即大量重复试验时，任意结果(事件) 出现的频率尽管是随机的，却“稳定”在
某一个常数附近，试验的次数越多，频率与这一常数的偏差大的可能性越小，这一常数就成为该事
件的概率.
例如：对某种子在两种不同条件下进行发芽试验，
在乙条件下结果如表2 ：
①填写表中的发芽率(用计算器计算，结果保留三个有效数字)
②在甲条件下发芽的概率约是___0.90______；在乙条件下发芽的概率是___0.85______；当试验的种
子数很多时，选择在___甲______条件下进行发芽较适宜.
三、互斥事件的概率(概率的加法公式)
1．互斥事件与互斥事件有一个发生的概率
互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.如果事件中的任何两
个都是互斥事件，那么就称事件彼此互斥.
互斥事件有一个发生的概率：
如果事件互斥，那么事件(即中有一个发生)的概率等于事件分别发生的概率的和.即：
如果事件彼此互斥，那么事件(即中有一个
发生)的概率等于事件分别发生的概率的和.即：
2．对立事件与对立事件的概率
对立事件：如果事件是两个互斥的事件，且事件必有一个发生，那么事件
叫做对立事件，记作.(从集合的角度来看：事件所含结果构成的集合与事件所含结果构成的集合互为补集)
对立事件的概率：根据对立事件定义知，是一个必然事件，必然事件的概率为，而事件与事件互斥，因此对立事件的概率和为1，即：，
.
注意：一定要分清互斥事件与对立事件的区别.
四、例题选讲：
1．掷两枚骰子，所得的点数之和为6的概率为______________.
分析：写出基本事件空间，得到基本事件的个数.
解答：掷两枚骰子的基本事件空间共有36个基本事件，即：
，所得的点数之和为6的事件共有5个基本事件，
所得的点数之和为6的概率.
评述：显然每次都要写出基本事件空间很麻烦，而我们需要的只是基本事件的个数，因此我们可以应用前面所学的两个计数原理，以及排列组合的知识来解决问题.
2．从1，2，3，4，5中任取三个数组成没有重复数字的三位数，求：所得数为偶数的概率.
分析：利用排列的知识得到三位数的总个数及偶数的个数.
解答：从1，2，3，4，5中任取三个数组成没有重复数字的三位数的个数：，从1，2，3，4，5中任取三个数组成没有重复数字的三位偶数的个数：，
所得数为偶数的概率
评述：概率的问题实际上就是两个排列组合的问题.大家可把1，2，3，4，5换成0，1，2，3，4同样解决这个问题，结果应该是.
3．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为______________.
解答：这4张卡片中随机抽取2张共有中选法，
这4张卡片中随机抽取2张数字之和为奇数共有，
取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为.
第二部分古典概型
实例：
1．掷一(两)枚硬币；
2．用1、2、3、4、5组成没有重复数字的两位数；
3．投掷两粒相同骰子，其数字的和；
4．从三男两女五个人中选两个人参加会议；
通过实例我们可以发现上述实验具有两个特征：
(1)有限性：在试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；
(2)等可能性：在试验中，可能出现的结果(基本事件)的可能性是均等的.
具备上述两个特征的试验称为古典概型.
一般地，对于古典概型，如果试验的个基本事件为由于基本事件是两两互斥，那么根据互斥事件的概率的加法公式得：
又因为每个基本事件发生的可能性相等，即：，因此每个
基本事件发生的概率为.
如果随机事件包含着个基本事件，那么随机事件的概率，即在古典
概型中，.
因此在解决古典概型的概率时，要把基本事件的总数以及满足特殊要求的基本事件数找出来，这就与排列组合的知识联系在一起了.
例题选讲：
1．一个口袋中装有编号为1、2的2个白球和编号为1、2、3的3个黑球.
(1)从中摸出两个球，求：两球恰好颜色不同的概率；
(2)从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率.
解：(1)记“摸出两个球，两球恰好颜色不同”为事件A，
摸出两个球共有方法C=10种，其中，两球一白一黑有C·C=6种，
则；
(2)记摸出一球，放回后再摸出一个球“两球恰好颜色不同”为事件B，
按要求一共有种方法，事件B中包含：种方法，
则.
2．把张卡片分别写着2、4、6、7、8、11、12、13任取两张，
求：这两张卡片上数字互质的概率.()
解：记“所取两张卡片上数字互质”为事件A，
8张卡片任取两张共有，
2、4、6、7、8、11、12、13中质数：2、7、11、13，和数4、6、8、12
事件A共有：，.
课后练习：
1．现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品.如果从中取出一件，然后放回，再取一件，
则连续3次取出的都是正品的概率为______________.
2．盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意任取2张，则抽出的2张卡片上最大的数字
是4的概率是______________.
3．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，12的12名火炬手.若从中任选3人，则选出
的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为______________.
练习答案：
1.P(A)==0.512
2.
3.。