一道与旋转有关的动点最值问题的探究

试题研究
２０２３年１０月下半月
㊀㊀㊀
一道与旋转有关的动点最值问题的探究
◉湖北省武汉市吴家山第二中学㊀李幽兰
㊀㊀初中平面几何中,
由图形运动而产生的最值问题历来是学生解题的难点,究其原因是图形一直在变化,学生无法捕捉到运动变化背后 不变 的元素,难以分析出取最值时变化元素的位置,也就无法根据具
体图形分析求解[１]．
其中,与旋转有关的动点求最值问题,热度一直高居不下,近几年常 驻 各地中考选填题和几何综合题的压轴位置,令莘莘学子头疼畏惧．下面笔者分享一道题目的解法和变式的深入探究,希望给读者一点启发．
图１
题目㊀(武汉蔡甸２０２１ 第
１０题)
如图１,在平面直角坐标系中,Q 是直线y ＝－
１
２
x ＋２上的一个动点,将Q 绕点P (１,０
)顺时针旋转９０ʎ,得到点Q ᶄ,连接O Q ᶄ,则O Q ᶄ的最小值为(㊀㊀)．
A．４５５㊀㊀㊀B ．５㊀㊀㊀C ．５２３㊀㊀㊀D．
６５５
图２
解法１:(坐标法)分别过点Q
和Q ᶄ作x 轴的垂线,垂足分别为点M 和N ,如图２．
于是øQ M P ＝øP N Q ᶄ＝
９０ʎ,则øP Q ᶄN ＋øN P Q ᶄ＝９０ʎ．因为øQ P Q ᶄ＝øQ P M ＋
øN P Q ᶄ＝９０ʎ,则øP Q ᶄN ＝øQ P M ．又P Q ＝Q ᶄP ,所以әP M Q ɸәQ ᶄN P (A A S )．
故P M ＝Q ᶄN ,Q M ＝P N ．
设Q (a ,－１
２
a ＋２)
．因为P (１,０)
,所以P M ＝Q ᶄN ＝a －１,Q M ＝P N ＝－１２
a ＋２．
于是O N ＝O P ＋P N ＝３－１
２
a ．
所以Q ᶄ(３－１
２
a ,１－a )
．
所以O Q ᶄ＝
O N ２＋Q ᶄN ２
＝(
３－１２
a
)
２
＋(１－a )
２
＝
５４
(a －２)２
＋５ȡ５．故选答案:B ．
点评:解法１抓住平面直角坐标系中的有利条
件,构造了 一线三垂直 模型证三角形全等．首先设未知数表示出动点Q 的坐标,用坐标来表示线段长度进行转化,然后由勾股定理表示两点之间的距离,用含x 的式子将O Q ᶄ表示出来,最后运用二次函数的知识求出最值．这种方法虽然很巧妙㊁简便,但是有一定的局限性,只能用于有坐标系且旋转角度特殊的题目．图３
解法２:(轨迹法)如图３,将
әA O B 绕点P 顺时针旋转９０ʎ
得到әA ᶄO ᶄB ᶄ,则Q ᶄ为直线A ᶄB ᶄ上一动点,根据垂线段最短,O Q ᶄ的最小值为点O 到直线A ᶄB ᶄ的垂线段的长度d ．
由直线A B 的解析式为y ＝
－１
２x ＋２,得A (０,２),B (４,０
),所以O A ＝２,O B ＝４．
由题意,得O ᶄ(１,１),A ᶄ(３,１),B ᶄ(１,－３)．
设直线A ᶄB ᶄ的解析式为y ＝k x ＋b ,则有
３k ＋b ＝１,k ＋b ＝－３,{
解得
k ＝２,
b ＝－５．
{
于是直线A ᶄB ᶄ的解析式为y ＝２x －５,则E (５２,０)
,F (０,－５),故O E ＝
５
２
,O F ＝５．所以E F ＝O E ２
＋O F ２
＝
(５
２
)
２
＋５２
＝５５２
．
由S әO E F ＝
１２O E O F ＝１
２
E F d ,得O Q ᶄ的最
小值为O E O F E F ＝５２
ˑ５
５５
２
＝５．
点评:解法２由旋转的本质出发,直线A B 绕点P
顺时针旋转９０ʎ所得直线A ᶄB ᶄ即为动点Q ᶄ的轨迹,但直接求直线A ᶄB ᶄ的解析式不方便,因此旋转整个әA O B ,先求出点A ᶄ和B ᶄ的坐标,再求直线A ᶄB ᶄ的
解析式,最后用面积法求出点O 到直线A ᶄB ᶄ的距离．
８
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２０２３年１０月下半月㊀
试题研究
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当然,在求出了直线A ᶄB ᶄ的解析式后,也可以由此设Q ᶄ的坐标,
用解法１中的坐标法,运用勾股定理和二次函数来求最值．解法２适用于大部分的动点旋转求最值问题,即先确定动点轨迹
．
图４
解法３:(逆向轨迹法)O Q ᶄ的最小值其实是定点O 到直线y ＝－
１
２
x ＋２绕点P 顺时针旋转９０ʎ所得到直线的距离,问题可转化为O ᶄ(１,－１)(由点O 绕点P 逆时针旋转９０ʎ
得到)到直线y ＝－１
２
x ＋２的距离d ．
如图４,过点O ᶄ(１,－１)作O ᶄA 垂直于x 轴交直
线y ＝－１
２x ＋２于点A ,O ᶄB 垂直于y 轴交直线y ＝
－１
２
x ＋２于点B ．于是A (１,３２)
,B (６,－１),所以O ᶄA ＝５２
,O ᶄB ＝５．故A B ＝
O ᶄA ２＋O ᶄB ２＝
(５
２
)
２
＋５２
＝５５２
．
由S әA O ᶄB ＝
１２O ᶄA O ᶄB ＝１
２A B d ,得O ᶄQ 的最小值为O ᶄA O ᶄB
A B
＝５,即为O Q ᶄ的最小值．
点评:解法３在求O ᶄQ 的最小值时同样可以用解
法１的坐标法来求,在本质上它与解法２是一样的,都是将所求最值转化成定点到定直线的距离,但是解法３对解法２进行了简化,免去了求直线y ＝－１
２x ＋
２旋转后的直线解析式,
直接旋转定点O ,思路新颖巧妙．
变式１㊀在R t әA O B 中,O A ＝２,A B ＝４,P 是
O B 上一点,O P ＝１,Q 是边A B 上的一个动
点,
将Q 绕点P 逆时针旋转３０ʎ得到点Q ᶄ,连接O Q ᶄ,则O Q ᶄ的最小值为
．
图５
解析:点Q 在A B 上运
动,即点Q 的轨迹为A B ,那么将A B 绕点P 旋转就能得到点Q ᶄ的轨迹．
于是,将әA O B 绕点P 逆时针旋转
３０ʎ得到әA ᶄO ᶄB ᶄ,如图５,则点O 到A ᶄB ᶄ的距离即为
O Q ᶄ的最小值．
由旋转,得øB P B ᶄ＝３０ʎ．在R t әA O B 中,O A ＝２,A B ＝４,
所以øB ＝øB ᶄ＝øB P B ᶄ＝３０ʎ,于是A ᶄB ᶄʊO B ,则øA E B ᶄ＝øA O B ＝９０ʎ．
所以点O 到A ᶄB ᶄ的距离为O E 的长度．
如图５,过点B ᶄ作B ᶄF ʅO B 于点F ,则øB ᶄF P ＝
９０ʎ,于是四边形O E B ᶄF 是矩形．
由O B ＝
A B ２－O A ２＝４２－２２
＝２３,O P ＝１,
得B P ＝B ᶄP ＝２３－１．øB ᶄF P ＝９０ʎ,øB P B ᶄ＝３０ʎ
,所以B ᶄF ＝
１２B ᶄP ＝２３－１
２
．故O Q ᶄ的最小值为O E ＝２３－１
２
．
变式１没有坐标系背景,显然解法１不适用,而
运用解法３,将点O 绕点P 顺时针旋转３０ʎ
以后再求O ᶄ
到A B 的距离较为麻烦,经对比发现,此题解法２是最简便的．类似地,还可以变化图形形状和旋转角度,解法一样．
图６
变式２㊀如图６,在等腰三角
形A B C 中,øB A C ＝１２０ʎ,A B ＝
A C ,D 是A
B 上一点,A D ＝２,
B D ＝４,E 是边B
C 上的动点,若点E 绕点
D 逆时针旋转３０ʎ的对应点是F ,连C F ,
则C F 的最小值是
．
基于以上分析,我们可以总结:解决这类绕定点旋转的最值问题有三种方法,分别为坐标法㊁轨迹法㊁逆向轨迹法,根据不同的题目来选择合适的方法,最常用的是轨迹法．若是动点所在的直线绕定点旋转,则先确定动点旋转后的轨迹,再根据垂线段最短求点到直线的距离,最后解直角三角形得到所求最值．
动态问题解题的关键是在 动 中寻找 定 的量,再由这些定量探寻出动点形成的轨迹,从而根据轨迹分析出最值位置,即 由动寻定,由定定轨,由轨求
最 [２]
．
题目只是知识方法的一个素材,解题的过程能让学生理解知识的原理,提炼方法的本质,注重解法的策略,总结问题的归类,从而达到利用有限的题目实现无限的再创造．由解一道题变成会解一类题,乃至
通解一种体系的题,这也是解题教学的方向[
１]．
参考文献:
[１]郭源源．旋转位似 似 成双定点定形 轨 一致[J ]．教学月刊 中学版(教学参考),２０２０(１０):１１Ｇ１５．
[２]郭源源． 定量 构建动点轨迹 隐圆 巧解最值问题[J ]．
中学数学杂志,２０１８(１０):４２Ｇ４４．Z
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