中考来宾市数学试题及答案

2015年来宾市初中毕业升学统一考试
数学
（考试时间：120分钟总分：120分）
注意事项：
1．本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

共4页。

2．答题前，考生在答题卡上务必用直径毫米黑色墨水签字笔将自己的准考证号、姓名、座位号填写清楚，并贴好条形码，请认真核准条形码上的准考证号、姓名、座位号。

3．第Ⅰ卷作答时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

在试题卷上作答无效。

4．第Ⅱ卷作答时，请用直径毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。

在试题卷上作答无效。

5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出
的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．如图所示是由8 个相同的小正方体组成的一个几何体，则这个几何体的主视图是
2．来宾市辖区面积约为 13 400 平方千米，这一数字用科学记数法表
示为
A ．134×102
B ．×103
C ．×104
D ．×105
3．已知数据：2，4，2，5，7．则这组数据的众数和中位数分别是
A ．2，2
B ．2，4
C ．2，5
D ．4，4
4．如图，在平面直角坐标系中，将点M （2，1）
向下平移2个单位长度得到点N ，则点N 的坐标为
A ．（2，－1）
B ．（2，3）
C ．（0，1）
D ．（4，1）
5．如图，在△ABC 中，∠A ＝40°，点D 为AB 延
长线上一点，且∠CBD ＝120°，则∠C ＝
（第5题图）
B C
D
（第4题图）
A ．40°
B ．60°
C ．80°
D ．100°
6．不等式组⎩
⎨⎧≤>+423
4x x 的解集是
A ．1＜x ≤2
B ．－1＜x ≤2
C ．x ＞－1
D ．－1＜x ≤4
7．下列运算正确的是
A ．(a 2)3＝a 5
B ．a 2·a 3＝a 6
C ．a 6÷a 2＝a 3
D ．a 6÷a 2＝a 4
8．下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是
A ．1，2，3
B ．2，3，4
C ．4，5，6
D ．1，2，3
9．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝100°，
AB 的垂直平分线DE 分别交AB 、BC 于点D 、E ，
则∠BAE ＝
A ．80°
B ．60°
C ．50°
D ．40°
（第9题图）
A
B
C
D E
10．已知实数x 1、x 2 满足x 1＋x 2＝7，x 1x 2＝12，则以x 1、x 2 为根的一
元二次方程是
A ．x 2
－7x ＋12＝0
B ．x 2
＋7x ＋12＝0
C ．x 2＋7x －12＝0
D ．x 2－7x －12＝0
11．已知矩形的面积为10，长和宽分别为x 和y ，则 y 关于x 的函数
图象大致是
12．在某次训练中，甲、乙两名射击运动员各射击10 发子弹的成绩统
计图如图所示．对于本次训练，有如下结论：①22乙甲S S >；②2
2乙
甲S S <；③甲的射击成绩比乙稳定；④乙的射击成绩比甲稳定．由统计图可知正确的结论是
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
13．－2015的相反数是__________．
14．分解因式：x 3－2x 2
y ＝______________．
15．分式方程
x
x 2
11=+的根是 ． 16．已知一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是______边形．
17．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于
点D ，
DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，且BC ＝4， DE ＝2，则△BCD 的面积是__________．
18．已知一条圆弧所在圆半径为9，弧长为π2
5
，则这条弧所对的圆心
角是________．
三、解答题：本大题共7小题，满分66分．解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤．
19．（每小题6分，共12分）
（1）计算： 82)1()2(0+--++--π；
（第17题图）
A B
C D
E
F
（2）先化简，再求值：(x＋2)(x－2)－x(x＋3)，其中x＝－3．20．（本题8分）
某校有学生2 000名，为了解学生在篮球、足球、排球和乒乓球这四项球类运动中最喜爱的一项球类运动情况，对学生开展了随机调查，并将结果绘制成如下的统计图．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）本次调查的样本容量是________；
（2）某位学生被抽中的概率是________；
（3）据此估计全校最喜爱篮球运动的学生人数约有________名；
（4）将条形统计图补充完整．
21．（本题8分）
已知购买1 个足球和1 个篮球共需130 元，购买2 个足球和1 个篮球共需180 元．
（1）求每个足球和每个篮球的售价；
（2）如果某校计划购买这两种球共54 个，总费用不超过4 000 元，问最多可买多少个篮球？
22．（本题8分）
如图，在□ABCD中， E、F为对角线
AC上的两点，且AE＝CF，连接DE、BF．（1）写出图中所有的全等三角形；
（2）求证：DE∥BF．
23．（本题8分）
过点（0，－2）的直线l1：y1＝kx＋
b（k≠0）与直线l2：y2＝x＋1交于点P （2，m）．
（1）写出使得y1＜y2的x 的取值范围；
（2）求点P的坐标和直线l1的解析式．24．（本题10分）
（第22题图）
A
B C
D
E
F
B
已知⊙O 是以AB 为直径的△ABC 的外接圆，
OD ∥BC 交⊙O 于点D ，交AC 于点E ，连接AD 、
BD ，BD 交AC 于点F ．
（1）求证：BD 平分∠ABC ；
（2）延长AC 到点P ，使PF ＝PB ，求证：PB
是⊙O 的切线；
（3）如果AB ＝10，5
3cos =∠ABC ，求AD ．
25．（本题12分）
在矩形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，点M 为BC 边上一动点（点M 与点
B 、
C 不重合），连接AM ，过点M 作MN ⊥AM ，垂足为M ，MN 交C
D 或CD B M C
N
D
A
的延长线于点N．
（1）求证：△CMN∽△BAM；
（2）设BM＝x，CN＝y，求y关于x的
函数解析式，当x取何值时，y有最大值，
并求出y的最大值；
（3）当点M在BC上运动时，求使得下
列两个条件都成立的b的取值范围：①点N
始终在线段CD上，②点M在某一位置时，点
N恰好与点D重合．
2015年来宾市初中毕业升学统一考试
数学参考答案及评分标准
（注：解答题评分标准中的分值均为每一小题的分步评分值，非本题各
小题累计分值）
一、选择题（每小题3分，共36分）
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．2015；14．x2(x－2y)；15．x＝－2；16．七；17．4；18．50°．
三、解答题
19．解：（1）原式＝2
-
+………………4分（每求对1 个
2+
2
2
1
值得1 分）
＝2
3+……………………6分（每合并对 1 项得1 分）
（2）原式＝x2－4－(x2＋3x)
………………………………………2分（每个知识点1分）
＝x2－4－x2－3x
………………………………………3分（去括号评分值）
＝－4－3x
……………………………………………4分
当x ＝－3时，原式＝－4－3x ＝－4－3×(－3)＝5
………6分
20．（每小题2分，共8分）
（1）400；
（2）；
（3）800；
（4）参见右图．
21．解：（1）设足球的售价为 x 元/个，篮球的售价为 y 元/个，依题意得： …………1分
⎩
⎨
⎧=+=+1802130
y x y x ……………………………………………………3分
解方程组得：⎩
⎨
⎧==8050
y x 答：足球售价为50 元/个，篮球售价为80 元/个．
……………………4分
（2）设最多可买 a 个篮球，则足球为（54－a ）个，依题意得：
……1分
80a ＋50(54－a )≤4000
………………………………………………3分
解不等式得： 3
1
43≤a
因为 a 是整数，所以 a 的最大值为43．
答
：最多可买43 个篮球．
………………………………………………4分
22．解：（1）△ABC ≌△CDA ，△ABF ≌△CDE ，△ADE ≌△CBF
…………3分
（2）【证法1】
∵ 四边形ABCD 是平行四边形
∴ AD ＝CB ，∠DAE ＝∠BCF ………………1分
在 △ADE 和 △CBF 中
∵ AD ＝CB ，∠DAE ＝∠BCF ，AE ＝CF
∴ △ADE ≌△CBF （SAS ） ………………2分
∴ ∠AED ＝∠CFB ……………………3分
∴ ∠DEF ＝∠BFE ……………………4分
∴ DE ∥BF ……………………………………5分
【证法2】
∵ 四边形ABCD 是平行四边形
∴ AB ＝CD ，∠BAF ＝∠DCE ……………………1分
∵ AE ＝CF
∴ AF ＝CE …………………………………………2分
（第22题图）
A
B
C
D
E
F
在 △ABF 和 △CDE 中
∵ AB ＝CD ，∠BAF ＝∠DCE ，AF ＝CE
∴ △ABF ≌△CDE （SAS ） ……………………3分
∴ ∠AFB ＝∠CED …………………………4分
∴ DE ∥BF …………………………………………5分
23．解：（1）x ＜2 ……………………………………3分
（2）∵ 点P （2，m ）在直线 y 2＝x ＋1上
∴ m ＝2＋1＝3
∴ 点P 为（2，3）
又∵ 点（2，3）、（0，－2）在直线 y 1＝kx ＋b ∴ ⎩
⎨
⎧-==+23
2b b k ……………………………………3分
∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-==2
25b k …………………………………………4分
（第23题图）
∴ 直线 l 1 的解析式是：22
5
1-=
x y ． …………5分
24．解：（1）∵OD∥BC
∴∠CBD＝∠ODB……………………1分
又∵OB＝OD
∴∠ABD＝∠ODB ……………………2分
∴∠ABD＝∠CBD
∴BD平分∠ABC……………………3分
（2）由（1）知∠ABD＝∠CBD
∵∠CAD＝∠CBD（同弧所对的圆周角相等）
∴∠ABD＝∠CAD………………………………………1分
∵AB 为⊙O 的直径
∴∠ADF＝90°（或∠ADB＝90°）
即∠AFD＋∠CAD＝90°……………………………2分∵PF＝PB （第24题图）
B
∴ ∠PBF ＝∠PFB
∵ ∠PFB ＝∠AFD
∴ ∠PBF ＋∠ABD ＝90°（等量代换）
即 ∠PBA ＝90°
∴ PB 是⊙O 的切线． ……………………………3分
（3）∵ AB 为⊙O 的直径
∴ ∠ACB ＝90°
又∵ AB ＝10，5
3cos =∠ABC
∴
ABC AB BC ∠=cos ，即5
3
10=BC ∴ BC ＝6
……………………………………………………1分
∵ OA ＝OB ，OD ∥BC
∴ OE 为△ABC 的中位线
∴ OE ＝3
……………………………………………………2分
∵ OD ∥BC
∴ ∠AEO ＝∠ACB ＝90°
在 Rt △OAE 中，OA ＝5，OE ＝3
∴ 4352222=-=-=OE OA AE ………………
3分
在 Rt △ADE 中，AE ＝4，DE ＝OD －OE ＝2
∴ 52242222=+=+=DE AE AD (4)
分
25．解：（1）∵ MN ⊥AM
∴ ∠AMN ＝90° …………………………1分
又∵ ∠BMA ＋∠AMN ＋∠CMN ＝180°
∴ ∠BMA ＋∠CMN ＝90°
在 Rt △ABM 中，∠BMA ＋∠BAM ＝90°
∴ ∠CMN ＝∠BAM ……………………2分
在 Rt △MCN 和Rt △ABM 中
∠MCN ＝∠ABM ，∠CMN ＝∠BAM
∴ △MCN ∽△ABM ……………………3分
（2）由（1）得AB
MC
BM CN =
，即 a x b x y -=
………………………………2分
∴ ()a
b b x a x a b x a a x b x y 42112
2
2+
⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=-= ………………3分 （第25题图）
B
M
C
N
D
A
∴ 当 2
b
x = 时，函数有最大值 a b 42
………………………………4分
（3）①由点N 始终在线段CD 上，得 a a
b ≤42
……………………………………1分
所以 b 2≤4a 2，即 (b ＋2a )(b －2a )≤0
∵ b ＋2a ＞0
∴ b －2a ≤0，即 b ≤2a
…………………………………………………………2分
②当点M 在某一位置时，点N 与点D 重合
此时 △ABM 、△DCM 、△ADM 都是直角三角形，于是
在 Rt △ABM 中，有 AB 2＋BM 2＝AM 2，即 a 2＋x 2＝AM 2
在 Rt △DCM 中，有 DC 2＋CM 2＝DM 2，即 a 2＋(b －x ) 2＝DM 2
在 Rt △ADM 中，有 AM 2＋DM 2＝AD 2，即 a 2＋x 2＋a 2＋(b －x ) 2＝b 2
（第25(3)题图）
A
B
M
C
D (N )
…………3分
化简得x2－bx＋a2＝0
根据题意知x为方程x2－bx＋a2＝0 的实数根
所以b2－4a2≥0
即 (b＋2a)(b－2a)≥0
∵b＋2a＞0
∴b－2a≥0，即b≥2a
…………………………………………………………4分综合①、②知，满足条件的b 的取值是：
b＝2a…………………………。