第4节 等比数列通项公式

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高中数学 必修五
第二章
数列
第四节 等比数列通项公式
必备新知:
1.等比数列的定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于
同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常
用字母 q 表示(q≠0).
典例分析:
例 1:已知数列{an}是首项为 2,公差为﹣1 的等差数列.令 bn=( )

,解得


∴a4= =16.
故选:B. 解法二:∵等比数列{an}满足 a2=4,a6=64, ∴a42=a2a6=4×64=256, ∵偶数项的符号相同,∴a4=16. 故选:B.
练习:等比数列{an}的各项均为正数,且 a1+2a2=4,a42=4a3a7,则 a5=( ) A. B. C.20 D.40
则 a13a14a15=q36•a1a2a3=24×3=48, 故选:A.
例 6:设数列{an}是单调递增的等差数列,a1=2 且 a1﹣1,a3,a5+5 成等比数列,
则 a2017=(

A.1008 B.1010 C.2016 D.2017
解:∵数列{an}是单调递增的等差数列,
a1=2 且 a1﹣1,a3,a5+5 成等比数列,


(2+2d)2=(2﹣1)(2+4d+5), 解得 d=﹣ (舍)或 d= ,
∴a2017=2+2016×( )=1010. 故选:B.
练习:已知等比数列{an}的各项都为正数,且 a3,
A.
B.
C.
D.a3,
成等差数列,

,则

化简得,q2﹣q﹣1=0,解得 q=
解:∵数列{an}满足 an+1=2an(n∈N*),∴此数列是等比数列,公比为 2. 则 a5+a7=24(a1+a3)=24×2=32. 故选:C.
练习:(1)已知数列{an}}满足 an+1= an,若 a4=8,则 a1 等于( ) A.1 B.2 C.64 D.128
解:数列{an}}满足 an+1= an,∴公比为 .
证数列{bn}是等比数列.
证明:∵数列{an}是首项为 2,公差为﹣1 的等差数列, ∴an=2+(n﹣1)×(﹣1)=3﹣n, ∴an+1﹣an=3﹣(n+1)﹣3+n=﹣1.
,求

=
为常数.


∴数列{bn}是以 为首项,以 2 为公比的等比数列.
练习:已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2-an,求证:数列{an}是等比数列.
解:∵a4•a8=a5•a7,a5•a7=3a7,
∴a5=3,


故选:C.
(2)等比数列{an}中,a1a2a3=3,a10a11a12=24,则 a13a14a15=( )
A.48 B.72 C.144 D.192
解:设等比数列{an}的公比为 q,∵a1a2a3=3,a10a11a12=24, ∴(q9)3= =8,解得:q9=2.
A.3 B.5 C.9 D.25
解:根据题意,等比数列{an}中,a5=3,a4a7=45,
则有 a6=
=15,
则 q= =5,

=
故选:D.
=q2=25;
的值为( )
练习:(1)设各项均为正的等比数列{an}满足 a4a8=3a7,则 log3(a1a2…a9)等于( )
A.38 B.39 C.9 D.7
例 2:(1)在等比数列{an}中,a1=1,a5=4,则 a3=( ) A.2 B.﹣2 C.±2 D. 解:在等比数列中,由 a5=4 得 a5=q4=4,得 q2=2,则 a3=q2=2,故选:A,
(2)已知数列{an}满足 an+1=2an(n∈N*),a1+a3=2,则 a5+a7=( ) A.8 B.16 C.32 D.64
证明:∵Sn=2-an,∴Sn+1=2-an+1. ∴an+1=Sn+1-Sn=(2-an+1)-(2-an)=an-an+1.
∴an+1=12an.
又∵S1=2-a1, ∴a1=1≠0.
又由 an+1=12an 知 an≠0,
∴an+ an
1=12.
∴{an}是等比数列.
必备新知:
2. 等比数列的通项公式:等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q(q≠0),则通项 公式为:an=a1qn-1.

则 q=


=
故选 A.
==
=

成等差数列,则
的值是( )
例 7:在数列{an}中,a2= ,a3= ,且数列{nan+1}是等比数列,则 an= .
∵a4=8,则 a1× 故选:C.
=﹣8,解得 a1=64.
(2)在等比数列{an}中,a3=2,a6=16,则数列{an}的公比是( )
A.﹣2 B.
C.2 D.4
解:根据题意,等比数列{an}中,a3=2,a6=16,
则 q3= =8,
解可得 q=2; 故选:C.
例 3:已知等比数列{an}满足 a2=4,a6=64,则 a4=( ) A.﹣16 B.16 C.±16 D.32 解法一:∵等比数列{an}满足 a2=4,a6=64,
解:设公比为 q,则 q>0,
由题意得:

解得
,∴a5=2×
=,
故选 A.
必备新知:
三.等比数列的性质:若 m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则 am·an=ap·aq.
特例:若 m+n=2p(m,n,p∈N*),则 am·an=a2p.
例 4:各项为正数的等比数列{an},a4•a7=8,则 log2a1+log2a2+…+log2a10=( ) A.5 B.10 C.15 D.20
解:由各项为正数的等比数列{an},a4•a7=8,
∴a1a10=a2a9=…=a4a7=…=8.

+
+…+
=log2(a1a2•…•a10)=
=15.
故答案为:15.
练习:设{an}是由正数组成的等比数列,且 a4a7+a5a6=18,log3a1+log3a2+…+log3a10=( ) A.12 B.10 C.8 D.2+log35
解:∵在等比数列中,a4a7+a5a6=18, ∴a4a7=a5a6=a1a10, 即 2a1a10=18,则 a1a10=9, 则 log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…+a10)=log3(a1a10)5=5log39=5×2=10, 故选:B
例 5:已知等比数列{an}中,a5=3,a4a7=45,则
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