广东省阳东一中、广雅中学高三数学第一次联考试题 理(含解析)新人教A版

广东省阳东一中、广雅中学2015届高三第一次联考数学（理）试题
（解析版）
【试卷综析】全面覆盖“双基”的同时，注重了能力的考查，特别是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出．至于实践能力和创新意识方面也在努力体现，，其中，函数与方程的数学思想方法、数形结合的数学思想方法、化归与转化的数学思想方法体现得较为突出．有必要增加实际应用和创新意识的题目，以提升试卷的“灵气和亮点”. 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 【题文】1.函数()()1
11f x lg x x
=
++-的定义域是( ) A. (),1-∞- B. ()1,+∞ C. ()()1,11,-⋃+∞ D. (),-∞+∞ 【知识点】函数的表示方法 B1 【答案解析】C 解析：解：
10
1110
x x x x -=⎧∴>-≠⎨
+>⎩且所以C 为正确选项. 【思路点拨】由解析式成立的条件可列出条件，进而求出定义域.
【题文】2.若复数z 满足方程2
20z +=，则3
z =( )
A. ±
B.-
C. -
D. ± 【知识点】复数的概念 L4
【答案解析】D 解析：解：
2320z z z +=∴=∴=±,所以D 为正确选项.
【思路点拨】根据复数的概念求出z ，再求出3
z .
【题文】3．已知a 、b 是实数，则“a>1，b>2”是“a+b>3且ab>2”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分且必要条件
D ．既不充分也不必要条
【知识点】充分必要条件 A2
【答案解析】A 解析：解：当a>1，b>2有a+b>3且ab>2，而2,1a b >>，同样有
32a b ab +>>且，所以2,1a b >>，是32a b ab +>>且的充分而不必要条件，所以A
正确.
【思路点拨】根据条件可知题的充分必要性.
【题文】4．ABC ∆中，角A B C 、、所对的边a b c 、、，若a =3
A π
=
，cos B =
，则b =( )
A
B
C ．554
D ．5
5
12 【知识点】正弦定理 C8
【答案解析】 C 解析：解：根据正弦定理可知
sin sin a b
A B
=
，sin 55B b =
==
，所以正确选项为C. 【思路点拨】根据三角函数值可直接用正弦定理求值.
【题文】5．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →
＝(1,3)，则DA ＝( )
A ．(2,4)
B ．(3,5)
C ．(1，1)
D ．(－1，－1) 【知识点】向量的加减运算 F1 【答案解析】C 解析：解：
AC AB BC BC AC AB =+∴=-()
()()DA=-1,11,1BC AC AB =--=---=而
【思路点拨】根据题意可直接进行向量的运算.
【题文】6.已知点(,)P x y 在不等式组2010220x y x y -≤⎧⎪
-≤⎨⎪+-≥⎩
表示的平面区域上运动，则z x y
=-的最小值是( )
A ．2-
B ．2
C ．1-
D ．1
【知识点】线性规划 E5
【答案解析】C 解析：解：由图可知可行域为三角形ABC 上及内部的点，所以目标函数的最
小值在A 点取到，
A 点的坐标为()0,1代入目标函
数可得1Z =-.
【思路点拨】根据题意可求出可行域，再由图找到最小值点.
【题文】7．已知点P 是抛物线2
4x
y =上的一个动点，则点P 到点(2,0)M 的距离与点P 到
该抛
物线准线的距离之和的最小值为( )
A
B C ．D ．9
2
【知识点】抛物线的概念 H7
【答案解析】B 解析：解：由题意可知抛物线的焦点坐标为()0,1，由抛物线的概念可知点
P 到点(2,0)M 的距离与点P 到该抛
物线准线的距离之和的最小值即为M 点到焦点的距离，所以d ==【思路点拨】根据抛物线的概念可知到准线的距离与到焦点的距离相等.
【题文】8．对于非空集合,A B ，定义运算：{|,}A B x x A
B x A B ⊕=∈∉且，已知
}|{},|{d x c x N b x a x M <<=<<=，其中d c b a 、、、满足a b c d +=+，
0ab cd <<，则=⊕N M ( )
A (,)
(,)a d b c B.(,][,)c a b d C. (,][,)a c d b D.(,)(,)c a d b
【知识点】集合的运算 A1
【答案解析】C 解析：解：由新定义的概念可知当a b c d +=+，0ab cd <<时，a c d b <<<再由题意可知M N ⊕=(,][,)a c d b ⋃，根据选项可知应为C. 【思路点拨】根据新定义的集合运算可直接求解.
二、填空题：(本大题共7小题，考生作答6小题
,每小题5分，满分30分) （一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答
【题文】9.某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000
人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有学生____人.
【知识点】分层抽样 I1
【答案解析】3700 解析：解：由分层抽样的概念可知，样本是按比例分配的，所以应在高三抽取50人，按比例可知，高一有学生1500人，高二有学生1200人，所以高中部共有学生1500+1200+1000=3700人
【思路点拨】由分层抽样的定义可知每一部分应该有学生多少人. 【题文】10．
π40
cos xdx =⎰
【知识点】积分的运算 B13 【答案解析】2
-
解析：解：因为cos x 的导数为sin x -，π40
cos sin 40
xdx x π
=-=⎰
【思路点拨】根据函数的积分运算.
【题文】11．执行如图3所示的程序框图，输出的=i 【知识点】程序框图 L1
【答案解析】3 解析：解：由算法程序可知第一次循环后2
,23
s i =
=
需进行第二次循环，第二次循环后2
21
,35
52
s i s =
==
<∴输出i 这时i=3 【思路点拨】由程序运行法则可知结果.
【题文】12．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得 该几何体的表面积是_________；
【知识点】三视图 G2
【答案解析】B 解析：解：由三视图可知几何体为组合体，是由直径为3的球与底面直径为3高为4的圆柱组成，所以它的表面积为球的表面积2
9
4494
R πππ=⋅
=，圆柱的表面积为23992224212242r h r ππππππ⋅+=⋅⋅+⋅=+，所以几何体的表面积为951
2122
πππ+=
【思路点拨】根据三视图与原图的关系可求出表面积. 【题文】13．观察下列等式 212
(1)1x x x x ++=++,
22234
(1)1232x x x x x x ++=++++,
2323456
(1)136763x x x x x x x x ++=++++++,
242345678
(1)1410161916104x x x x x x x x x x ++=++++++++,
由以上等式推测
对于n N *∈,若22
20122(1)n
n n x x a a x a x a x ++=++++,则2a = .
【知识点】数列求和 D4 【答案解析】()12
n n + 解析：解：根据系数的规律可知2
x 的系数在每个式子中分别为1，3
，
6
，
10
设
1231,3,6
b b b ===21324312,3,4n n b b b b b b b b n
-∴-=-=-=-=()
11232
n n n b n +∴=+++
+=
【思路点拨】根据系数的特点可找出与数列的关系，再根据数列进行求和求出系数 （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的
得分．
【题文】14．（坐标系与参数方程选做题）．
如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且
=BC PB 12，则PA
BC
= ． 【知识点】切割线定理 N1 【答案解析
】
2
解析：解：由切割线定理可知2
P A P B
P C =⋅设PB a =则3,2PC a BC a =
=2
PA BC ∴
=
【思路点拨】由切割线定理可直接求出结果.
【题文】15．（坐标系与参数方程选做题）曲线4cos 4
π
ρθθ==
关于直线对称的曲线的
极坐标方程为 。

【知识点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系；点的极坐标和直角坐标的互化 N3 【答案解析】B 解析：解：将原极坐标方程ρ=4cos θ，化为： ρ2
=4ρcos θ，
化成直角坐标方程为：x 2+y 2
﹣4x=0， 它关于直线y=x （即θ=
）对称的圆的方程是
x 2
+y 2
﹣4y=0，其极坐标方程为：ρ=4sin θ． 故答案为：ρ=4sin θ．
【思路点拨】先将原极坐标方程ρ=4cos θ两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再结合曲线关于直线的对称性，利用直角坐标方程解决问题
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【题文】16．（本小题满分12分）
在△ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，满足222a c b ac +-=， （1）求角B 的大小；
（2）设(sin ,cos 2)m A A =，(6,1)n =--，求m n ⋅的最小值 【知识点】余弦定理；向量的运算.C8,F2
【答案解析】(1) 3π (2)-5 解析：解：在ABC 中，由余弦定理2221
cosB 22
a c
b a
c +-=
=，又()0,,3
B B π
π∈∴=
(2) 2
2
3116sin cos 22sin 6sin 12sin 22m n A A A A A ⎛
⎫⋅=--=--=-- ⎪⎝
⎭
又
20,0sin 13
A A π
<<
∴<≤当sin 1A =时，m n ⋅取最小值5- ……………12分 【思路点拨】由已知条件根据余弦定理可直接求出角B ，再由向量的运算求出最小值.
P
19题图15
【题文】17．（本小题满分12分）
某学校900名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组
[]17,18，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）若成绩小于14秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数； （2）请估计本年级900名学生中，成绩属于第三组的人数；
（3）若样本第一组中只有一个女生，其他都是男生，第五组则只有一个男生，其他都是女生，现从第一、五组中各抽2个同学组成一个实验组，设其中男同学的数量为ξ，求ξ的分布列和期望．
【知识点】频率分布直方图;离散型随机变量的分布列与数学期望.I2,K6 【答案解析】(1)3(2)342(3) ξ∴的分布列为
∴611)3(3)2(2)1(1=
=⨯+=⨯+=⨯=ξξξξp p p E
解析：解：（1）由频率分布直方图知，成绩在第一组的为优秀，频率为0.06， 人数为：50×0.06=3
所以该样本中成绩优秀的人数为3 ……… …………… 3分
（2）由频率分布直方图知，成绩在第三组的频率0.38，以此估计本年级900名学生成绩属于第三组的概率为0.38，人数为：900×0.38=342
所以估计本年级900名学生中，成绩属于第三组的人数为342。

……… 7分 （3）第五组共有50×0.008=4人,其中1男,3女,则ξ的可能取值为1，2，3；
31
)1(2
4
01
2323121
1=⋅⋅==C C C C C C p ξ……… 8分
21
)2(2
41311231
112242*********=⋅⨯⋅+⋅⨯⋅==C C C C C C C C C C C C p ξ…… 9分 61
)3(2
4
131123012
2=⋅⨯⋅==C C C C C C p ξ……… 10分 ξ∴的分布列为
…… 11分
∴6
11
)3(3)2(2)1(1=
=⨯+=⨯+=⨯=ξξξξp p p E …………12分 【思路点拨】由直方图可直接求出数据列出分布列，再利用公式计算数学期望. 【题文】18.（本小题满分14分）
如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，BC ⊥AC ，BC=AC=2，AA 1=3， D 为AC 的中点. (1)求证：AB 1//面BDC 1； (2）求二面角C 1—BD —C 的余弦值；
(3）在侧棱AA 1上是否存在点P ，使得CP ⊥面BDC 1？并证明你的结论.
【知识点】直线与平面平行；二面角；直线与平面垂直.G4,G5,G11 【答案解析】略 解析：解：（I ）证明：连接B 1C ，与BC 1相交于O ，连接OD ∵BCC 1B 1是矩形，∴O 是B 1C 的中点.
又D 是AC 的中点，∴OD//AB 1.………………………2分 ∵AB 1⊄面BDC 1，OD ⊂面BDC 1，∴AB 1//面BDC 1.………4分 （II ）解：如图，建立空间直角坐标系，则 C 1（0，0，0），B （0，3，2），C （0，3，0），A （2，3，0）， D （1，3，0）……………………5分
设=（x 1，y 1，z 1）是面BDC 1的一个法向量，则,0
11⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅C C 即)21
,31,1(,
030231111-=⎩⎨
⎧=+=+y x z y 取.…………………………………………6分
易知C C 1=(0，3，0)是面ABC 的一个法向量.
72
36
71,cos 11-=⋅-=
>=
<∴C C n .……………………………8分 B 1 C 1
A 1
B
C D
∴二面角C 1—BD —C 的余弦值为
7
2
.…………………………………………9分 （III ）假设侧棱AA 1上存在一点P （2，y ，0）（0≤y ≤3），使得CP ⊥面BDC 1.则
⎪⎩
⎪
⎨
⎧==∴⎩⎨⎧=-+=-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.373,0)3(320)3(3,0011y y y y C C 即∴方程组无解.∴假设不成立. ∴侧棱AA 1上不存在点P ，使CP ⊥面BDC 1.……………………………14分
【思路点拨】由条件可证明直线与平面平行，再建立空间坐标系利用向量求出二面角的余弦
值，最利用向量进行说明.
【题文】19.（本小题满分14分）
已知2a 、5a 是方程027122=+-x x 的两根，数列{}n a 是递增的等差数列，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且n n b S 2
1
1-
=（*∈N n ）
． (1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
(2)记n n n b a c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
【知识点】等差数列与等比数列的综合；数列的函数特性 D2,D3 【答案解析】(1) 21
n a n =-
(2) 略 解析：解：（1）由题意得a 2=3，a 5=9
公差
所以a n =a 2+（n ﹣2）d=2n ﹣1
由得 当
当n≥2时
得
所以
(2)n
n n n n b a c 32
4-=
⋅=……9分 n
n n n n T 32
432)1(43234322432141321-+--⨯++-⨯+-⨯+-⨯=- 12
2103
2432)1(43234322432143---+--⨯++-⨯+-⨯+-⨯=n n n n n T ……………11分 两式相减得：n
n n n T 32
434343422121--++++=- ……13分
n n 3444+-=，所以n
n n T 3
2
22+-=……14分 【思路点拨】（1）通过解二次方程求出方程的两个根，据数列{a n }为递增数列为递增数列，
求出a 2，a 5，利用等差数列的通项公式求出
数列{a n }的公差，利用等差数列推广的通项公式求出其通项，利用数列{b n }的前n 项和与通项的关系求出数列{b n }的通项．
（2）求出数列{c n }的通项，求出c n+1﹣c n 的差，判断出差的符号，得证． 【题文】20.（本小题满分14分）
如图，已知椭圆222:1(1)x C y a a +=>的上顶点为A ,
线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且0AP AQ ⋅=. （1）求椭圆C 的方程；
（2）求证：直线l 过定点，并求出该定点N 的坐标. 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题 H8 【答案解析】（1）
（2）略 解析：解：（1上顶点为A ，离心率为，
∴=，解得a 2
=3，
∴椭圆C 的方程为．
（2）解：由
=0，知AP⊥AQ，从而直线AP 与坐标轴不垂直，
由A （0，1），直线AP 的斜率为1，得直线AP 的方程为y=x+1，直线AQ 的方程为y=﹣x+1， 将y=x+1代入椭圆C 的方程
，并整理得：4x 2
+6x=0，
解得x=0或x=﹣，因此P 的坐标为（﹣，﹣），同理，得Q （，﹣）． 直线l 的方程为y=﹣
．代入椭圆C 的方程2
213
x y +=并整理得
222(13)63(1)0k x mkx m +++-=,
设直线l 与椭圆C 相交于11(,)P x kx m +、22(,)Q x kx m +两点，则,12x x 是上述关于x 的方
程
两
个
不
相
等
的
实
数
解
，
从
而
22222(6)4(13)3(1)12(31)0mk k m k m ∆=-+⨯-=+->
2121222
63(1)
,1313mk m x x x x k k
-+=-=++ …………………………………7分 由0,AP AQ ⋅=得
2212121212(1)(1)(1)(1)()(1)0x x kx m kx m k x x k m x x m ++-+-=++-++-=，
22
222
3(1)6(1)(1)()(1)01313m mk
k k m m k k
-+⋅+-⋅-+-=++ 整理得：2210,m m --= (21)(1)0,m m +-=由1m ≠知1
2
m =-
.
此时2
9(41)0k ∆=+>, 因此直线l 过定点
1(0,)2N -. ………………………14分 【思路点拨】（1）由已知得
=
，由此能求出椭圆C 的方程．
（2）直线AP 的方程为y=x+1，直线AQ 的方程为y=﹣x+1，将y=x+1代入椭圆C
的方程
，得P （﹣，﹣），同理，得Q （，﹣）． 由此能求出直线l 的方程．
【题文】21.（本小题满分14分）
已知函数||ln )(b x x ax x f ++=是奇函数，且图像在点))( , (e f e 处的切线斜率为3（e 为自然对数的底数）． （1）求实数a 、b 的值； （2）若Z k ∈，且1
)
(-<
x x f k 对任意1>x 恒成立，求k 的最大值； 【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 B11,B12 【答案解析】(1) 1,0a b == (2) k max =3；
解析：解：（1）解：由f （x ）=ax+xln|x+b|=x （a+ln|x+b|）是奇函数， 则y=a+ln|x+b|为偶函数，∴b=0． 又x ＞0时，f （x ）=ax+xlnx ， ∴f′（x ）=a+1+lnx ， ∵f′（e ）=3， ∴a=1；
（2）解：当x ＞1时，令
，
∴，令ln （x ）=x ﹣2﹣lnx ，
∴，
∴y=h（x ）在（1，+∞）上是增函数，
∴h′（1）=﹣1＜0，h′（3）=1﹣ln3＜0，h′（4）=2﹣ln4＞0， ∴存在x 0∈（3，4），使得h′（x 0）=0， 则x ∈（1，x 0），h′（x ）＜0，g′（x ）＜0，y=g （x ）为减函数． x ∈（x 0，+∞），h′（x ）＞0，g′（x ）＞0，y=g （x ）为增函数． ∴
．
∴k＜x0，又x0∈（3，4），k∈Z，
∴k max=3；
【思路点拨】（1）由ax+xln|x+b|是奇函数，得到y=a+ln|x+b|为偶函数，从而求得b的值，代入原函数，由函数在x=e处的斜率等于3求得a的值；
（2）把f（x）的解析式代入且k＜，构造辅助函数，求导得其最小值，从而求得k的最大值；。