2021届高考数学模拟预热卷(新高考)(三)
新高考数学高三模拟试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的对称中心为（）。
A. (0,0)B. (1,0)C. (-1,0)D. (0,-3)2. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则复数z的几何意义为（）。
A. z位于实轴上B. z位于虚轴上C. z位于直线y=x上D. z位于直线y=-x上3. 已知等差数列{an}的公差为d，且a1=3，S6=42，则d=（）。
A. 2B. 3C. 4D. 54. 下列命题中，正确的是（）。
A. 若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，则f(a)≤f(x)≤f(b)B. 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(a)≤f(x)≤f(b)C. 若函数f(x)在区间[a,b]上可导，则f(a)≤f(x)≤f(b)D. 若函数f(x)在区间[a,b]上可导，则f'(a)≤f'(x)≤f'(b)5. 若不等式x^2 + 4x + 3 < 0的解集为A，不等式x^2 - 4x - 3 < 0的解集为B，则A∩B=（）。
A. (-∞,-3)B. (-3,1)C. (-∞,1)D. (1,+∞)6. 已知向量a=(1,2)，向量b=(2,-1)，则向量a与向量b的夹角余弦值为（）。
A. 1/2B. 1/3C. 1/5D. 1/47. 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，且a1+a2+a3=24，a2+a3+a4=54，则q=（）。
A. 2B. 3C. 4D. 58. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[0,1]上单调递增，则a、b、c的关系为（）。
A. a>0，b>0，c>0B. a>0，b>0，c≤0C. a>0，b≤0，c>0D. a>0，b≤0，c≤09. 已知等差数列{an}的公差为d，且a1=5，S10=100，则a10=（）。
新高考数学多选题模拟测试卷(题目及详细答案)
高中数学多选题荟萃一、《函数、导数》多选题1、设0,1a a >≠且，函数1()log 1ax f x x -=+在(1,)+∞单调递减，则()f x （ ACD ） A ．在(,1)-∞-上单调递减，在(1,1)-上单调递增 B ．在(,1)-∞-上单调递增，在(1,1)-上单调递减 C ．在(,1)-∞-上，)(x f 的值域为)0,(-∞D ．在),1(+∞上，)(x f 的值域为)0(∞+，2、已知函数)(x f 在定义域)0(∞+，上的单调函数，若对于任意)0(∞+∈，x ，都有()12f f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则的值是（ AB ） A ．)(x f 为减函数B ．165f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．6)5(=fD ．)(x f 值域为)0(∞+，【解】因为函数()f x 在定义域()0+∞，上是单调函数，且()12f f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()1f x x -为一个常数，令这个常数为n ，则有()1f x n x -=，且()2f n =，将()2f n =代入上式可得()12f n n n=+=，解得1n =，所以()11f x x=+3、已知函数20()2(1)10a x f x x f x x ⎧+≤⎪=+⎨⎪-+>⎩，，，若对任意的),3(+∞-∈a ，关于x 的方程kx x f =)(都有3个不同的根，则k 的值不可能等于（ ABD ） A ．1B ．2C ．3D ．44、已知函数1()1f x x=-，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=恰有6个不同的实数解，则,b c 的取值情况可能的是（ ACD ）A ．10,0b c -<<=B ．10,0b c c ++>>C ．10,0b c c ++<>D ．10,01b c c ++=<< 【方法】画出)(x f 的图像，注意对称性和渐近线；2()()0f x bf x c ++=有两个不等实数根2121,)(,)(t t t x f t x f <==假设或；则直线的图像有六个交点与)(;21x f y t y t y ===；令c bt t t t t ++=<221)(,ϕ， 则(1)10,021<<=t t 时，120;01)1(;0)0(<-<>++===bc b c ϕϕ (2)1,1021≥<<t t 时，01)1(;0)0(≤++=>=c b c ϕϕ5、已知函数f (x )＝e x ＋a ln x 的定义域是D ，关于函数f (x )给出下列命题其中正确命题的序号是（ BD ）A 、对于任意a ∈(0，＋∞)，函数f (x )是D 上的减函数；B 、对于任意a ∈(－∞，0)，函数f (x )存在最小值；C 、存在a ∈(0，＋∞)，使得对于任意的x ∈D ，都有f (x )>0成立； D 、存在a ∈(－∞，0)，使得函数f (x )有两个零点．6、定义在()+∞∞-,上的偶函数()x f 满足()()x f x f -=+1，且在[]0,1-上是增函数，下面是关于)(x f 的判断，其中正确的判断是（ ABD ）A 、()x f 的图像关于点对称B 、()x f 的图像关于直线1=x 对称；C 、()x f 在[0，1]上是增函数；D 、()()02f f =.7[]0,1上单调递增，则（ BC ）A ．实数a 的取值范围是()1,1-B 、实数a 的取值范围是[]1,1-C 、当0>a 时，函数)(x f 有最小值a 2D 、函数)(x f 为偶函数，则a = 1【解】当0a >在区间[]0,1上单调递增， 在区间[]0,1上单调递增，则，解得](0,1a ∈， 当0a =在区间[]0,1上单调递增，满足条件． 当0a <在R 上单调递增，令，解得1a -≥，综上所述，实数a 的取值范围[]1,1-8、已知函数212,2()1|log |,2x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，()g x x b =+，若函数()()y f x g x =+有两个不同的零点，则实数b 的取值可以为( AB )A ．1-B ．32-C ．1D ．329、定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，有(1)()f x f x +=-，且当[0,1)x ∈时，2()log (1)f x x =+．则下列命题中正确的命题为（ AC ） A.0)2022()2021(=-+f f B.函数()f x 在定义域上是周期为2的周期函数 C.直线y x =与函数()f x 的图像有1个交点D.函数()f x 的值域为]1,1[-【解】可在同一平面直角坐标系中画出直线y x =和函数()f x 的图象如图所示，根据图象可知选项A 中0)2022()2021(=-+f f 正确；对于选项B ，函数()f x 在定义域上不是周期函数，所以B 不正确；对于选项C ，根据函数图象可知y x =与()f x 的图象有1个交点，所以C 正确；对于选项D ，根据图象，函数()f x 的值域是(1,1)-，所以D 错误．故选AC ．二、《不等式》多选题1、若)lg(lg lg ,0,0b a b a b a +=+>>，则（ ABC ）A 、b a +的最小值为4B 、ab 的最小值为4C 、211122≥+b aD 21122≥+b a2、已知()()()2f x x m x n =---,且α、β是方程f (x )=0的两根，则下列不等式不可能成立的是 （ BCD ） A m n βα<<< B m n αβ<<< C m n αβ<<< D n m αβ<<<3、设2()f x x bx c =++（R x ∈），且满足()()0f x f x '+>。
河南省开封市2021届新高考数学三月模拟试卷含解析
河南省开封市2021届新高考数学三月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，圆O 的半径为1，A ，B 是圆上的定点，OB OA ⊥，P 是圆上的动点， 点P 关于直线OB 的对称点为P '，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将OP OP '-u u u r u u u r表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域，即可排除错误选项，得到函数图象，即可求解. 【详解】由题意，当0x =时，P 与A 重合，则P '与B 重合，所以||2OP OP BA '-==u u u r u u u r u u u r,故排除C,D 选项；当02x π<<时，||2sin()2cos 2OP OP P P x x π''-==-=u u u r u u u r ，由图象可知选B.故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.2．如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是()()12,0,,0,F c F c -直线2bc y a =与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,A B 两点.若12,3BF F π∠=则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B 42C 2D 23【答案】A 【解析】 【分析】 易得(,)22c bc B a -，过B 作x 轴的垂线，垂足为T ，在1FTB ∆中，利用1tan 3BT FT π=即可得到,,a b c 的方程. 【详解】由已知，得(,)22c bc B a -，过B 作x 轴的垂线，垂足为T ，故12cFT =， 又12,3BF F π∠=所以1tan 33BT FT π==，即232bcb ac a == 所以双曲线C 的离心率21()2be a =+.故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时，最关键的是找到,,a b c 的方程或不等式，本题属于容易题.3．已知函数()2sin()(0,0)3f x x A ωωπ=->>，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x的图象，若函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π=，则ω的最小值为A ．16B ．23C ．53D ．56【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()2sin()33g x x ωωππ=+-的图象，因为函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π=，所以sin()1633ωωπππ+-=±，即,6332k k ωωππππ+-=+π∈Z ，所以52,3k k ω=+∈Z ，又0>ω，所以ω的最小值为53．故选C ． 4．设全集U=R ，集合()2log 41{|}A x x =-≤，()()35{|}0B x x x =-->，则()U B A =I ð（ ）A ．[2]5，B ．[2]3，C ．[)24，D ．[)34，【答案】D 【解析】 【分析】求解不等式，得到集合A ，B ，利用交集、补集运算即得解 【详解】由于2log (4)124x x -≤∴≤<故集合[)24A =， ()()350x x -->3x ∴<或5x >故集合()()35B =-∞⋃+∞，， ∴ ()[)|34U B A ⋂=，ð 故选：D 【点睛】本题考查了集合的交集和补集混合运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题. 5．已知(0,)απ∈，且tan 2α=，则cos2cos αα+=（ ）A B ．C D 【答案】B 【解析】分析：首先利用同角三角函数关系式，结合题中所给的角的范围，求得cos α的值，之后借助于倍角公式，将待求的式子转化为关于cos α的式子，代入从而求得结果. 详解：根据题中的条件，可得α为锐角，根据tan 2α=，可求得cos α=，而22cos 2cos 2cos cos 115αααα+=+-=+-=，故选B. 点睛：该题考查的是有关同角三角函数关系式以及倍角公式的应用，在解题的过程中，需要对已知真切求余弦的方法要明确，可以应用同角三角函数关系式求解，也可以结合三角函数的定义式求解.6．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x ，y 进行回归分析，设u= lny ，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为ˆu=-0.5v+2，则变量y 的最大值的估计值是（ ） A ．e B ．e 2C ．ln2D ．2ln2【答案】B 【解析】 【分析】将u= lny ，v=(x-4)2代入线性回归方程ˆu=-0.5v+2，利用指数函数和二次函数的性质可得最大估计值. 【详解】解：将u= lny ，v=(x -4)2代入线性回归方程ˆu=-0.5v+2得： ()2ln 0.542y x =--+，即()20.542x y e --+=，当4x =时，()20.542x --+取到最大值2， 因为xy e =在R 上单调递增，则()20.542x y e --+=取到最大值2e .故选：B. 【点睛】本题考查了非线性相关的二次拟合问题，考查复合型指数函数的最值，是基础题,.7．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( ) A ．12B ．35C ．710D ．45【答案】C 【解析】 【分析】先计算出总的基本事件的个数，再计算出两张都没获奖的个数，根据古典概型的概率，求出两张都没有奖的概率，由对立事件的概率关系，即可求解.【详解】从5张“刮刮卡”中随机取出2张，共有2510C =种情况，2张均没有奖的情况有233C =（种），故所求概率为3711010-=. 故选:C. 【点睛】本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系，意在考查数学建模、数学计算能力，属于基础题. 8．如图，已知直线:l ()()10y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A ，B 两点，且A 、B 两点在抛物线准线上的投影分别是M ，N ，若2AM BN =，则k 的值是（ ）A ．13B ．2 C ．23D ．2【答案】C 【解析】 【分析】直线()()10y k x k =+>恒过定点()10P -，，由此推导出12OB AF =，由此能求出点B 的坐标，从而能求出k 的值． 【详解】设抛物线2:4C y x =的准线为:1l x =-，直线()()10y k x k =+>恒过定点()10P -，， 如图过A 、B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ， 由2AM BN =，则2FA FB =， 点B 为AP 的中点、连接OB ，则12OB AF =， ∴OB BF =，点B 的横坐标为12， ∴点B 的坐标为122B ⎛⎝，把122B ⎛ ⎝代入直线()()10y k x k =+>，解得223k =， 故选：C ．【点睛】本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用，属于中档题.9．若平面向量,,a b c r r r，满足||2,||4,4,||3a b a b c a b ==⋅=-+=r r r r r r r ，则||c b -r r 的最大值为（ ）A ．523B ．523C ．2133D ．2133【答案】C 【解析】 【分析】可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值. 【详解】 由题意可得：()(2)c b c a b a b -=-++-r r r r r r r，2222|2|(2)||4||444164452a b a b a b a b -=-=+⋅-⋅=+⨯-⨯=r r r rr r r r Q |2|213a b ∴-=r r2222||()[()(2)]|()(2)|c b c b c a b a b c a b a b ∴-=-=-++-=-++-r r r r r r r r r r r r r r22|||2|2|||2|cos ,2c a b a b c a b a b c a b a b =-++-+⋅-+⋅-⋅<-++>r r r r r r r r r r r r r r r35223213cos ,2c a b a b =++<-++>r r r r r55439cos ,2c a b a b =+<-++>r r r r r55439+…25543952221333(2133)+=+⨯=Q ，故选：C【点睛】本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点.本题属中档题.10． “角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n ，如果n 为偶数就除以2，如果n 是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出i 的（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B 【解析】 【分析】模拟程序运行，观察变量值可得结论． 【详解】循环前1,10i n ==，循环时：5,2n i ==，不满足条件1n =；16,3n i ==，不满足条件1n =；8,4n i ==，不满足条件1n =；4,5n i ==，不满足条件1n =；2,6n i ==，不满足条件1n =；1,7n i ==，满足条件1n =，退出循环，输出7i =． 故选：B ． 【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论． 11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（ ） A ．28 B ．14C ．7D ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质6345a a a a +=+并结合已知可求出4a ，再利用等差数列性质可得1774()772a a S a +==，即可求出结果． 【详解】因为6345a a a a +=+，所以5452a a a +=+，所以42a =， 所以17747()7142a a S a +===， 故选：B 【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式，属于基础题． 12．函数ln ||()xx x f x e=的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用特殊点的坐标代入，排除掉C ，D ；再由1()12f -<判断A 选项正确. 【详解】1.11.1ln |1.1|( 1.1)0f e --=<，排除掉C ，D ；1211ln 122()22f e e---==122e <=Q 2e ，1()212f e ∴-=<.本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三下学期高考模拟(三)数学(文)试题 含答案
2021年高三下学期高考模拟（三）数学（文）试题含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数对应的点在直线上，则实数的值为（）A．0 B．1 C．-1 D．32.若，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．3. 的值等于（）A． B． C． D．14.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．8 C． D．5.已知点的可行域是如图阴影部分（含边界），若目标函数取得最小值的最优解有无数个，则的取值为（）A．1 B．2 C．6 D．86.如图是双曲线与椭圆的公共焦点，点是在第一象限的公共点，若，则的离心率是（）A． B． C． D．7.直线与椭圆恒有交点，则的取值范围是（）A． B． C． D．8.如图，位于处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救．在处南偏西30°且相距20海里的处有一艘救援船，该船接到观测站通告后立即前往处求助，则（）A． B． C． D．9.设命题，使，则使得为真命题的一个充分不必要条件是（）A． B． C． D．10.如图，在等腰直角三角形中，设向量为边上靠近点的四等分点，过点作的垂线，点为垂线上任意一点，则（）A． B． C． D．11.已知正项数列满足，且，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．12.偶函数满足，且当时，，若函数有且仅有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上．13.对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，其回归直线方程是，且()1238123828x x x x y y y y ++++=++++=，请估算时，____________．14.已知立方体分别是棱，中点，从中任取两点确定的直线中，与平面平行的有__________条．15.在数列中，若存在一个确定的正整数，对任意满足，则称是周期数列，叫做它的周期．已知数列满足，当数列的周期为3时，则的前xx 项的和___________．16.设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是_____________．三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分12分）某中学的高三一班中男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．（1）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（3）在（2）中的实验结束后，第一次做实验的同学得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做实验的同学得到的实验数据为69，70，70，72，74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由． 18.（本题满分12分） 已知向量，设函数．（1）若，求的单调递增区间；（2）在中，角所对的边分别为，且，求的面积的最大值．19.（本题满分12分）在如图所示的几何体中，平面平面，四边形平行四边形，∠=====．ACB EF BC AC BC AE EC90,//,2,1（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．20.（本题满分12分）已知圆，点是圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点 .（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹曲线的方程；（2）若直线是过点且相互垂直的两条直线，其中直线交曲线于两点，直线与圆相交于两点，求四边形面积等于14时直线的方程．21. （本小题满分 12分）已知．（1）若是的极值点，讨论的单调性；（2）当时，证明：在定义域内无零点．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知为圆的一条直径，以端点为圆心的圆交直线于两点，交圆于两点，过点作垂直于的直线，交直线于点．（1）求证：四点共圆；（2）若，求外接圆的半径．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线 是过点，倾斜角为的直线，以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线的极坐标方程是． （1）求曲线的普通方程和曲线的一个参数方程； （2）曲线与曲线相交于两点，求的值． 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数．（1）解关于的不等式；（2）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围．参考答案一、选择题1. 【解析】因为，对应的点为，所以，选．2. 【解析】取，排除选项，取，排除选项，取，排除选项，显然，对不等式的两边同时乘成立，故选．3. 【解析】()(000000000000000002sin 45cos15sin 302sin 45cos15sin 45152sin 45cos15sin 45cos15cos 45si sin 45cos15cos 45sin15sin 602-=--=--=+==故选．4. 【解析】该几何体是一个四棱锥，其底面是边长为2的正方形，右侧面是腰长为的等腰三角形，且垂直于底面，由此可得四棱锥的高为2，所以体积，选．5. 【解析】当时，，当时，目标函数在线段上的所有点处都取得最小值，∴，选．6. 【解析】由题意知，，∵，∴，∴，∵，∴的离心率是，选7. 【解析】恒过点，由点在椭圆内或椭圆上得：得且，选.8. 【解析】在中，．由余弦定理，得2222cos1202800BC AB AC AB AC =+-=，所以．10. 【解析】以点为原点建立直角坐标系，所以，不妨设取点，∴()()31311,1,144442OP b a ⎛⎫-=-=-+=- ⎪⎝⎭，故选．11. 【解析】∵，∴，∴. ∴122311*********111112231122311n n a a a a a a n n n n n ++++=+++=-+-++-=-+++，∵恒成立，∴，故选.12. 【解析】由，可知函数图像关于对称，又因为为偶函数，所以函数图像关于轴对称.所以函数的周期为2，要使函数有且仅有三个零点，即函数和函数图形有且只有3个交点.由数形结合分析可知，，故正确. 二、填空题13. 【解析】由题意知，故样本中心为，代入回归直线方程，得．所以时，． 14．6【解析】连接，∵，∴四点共面，由//,//,,EG AB EH AD EGEH E AB AD A ''''==，可得平面与平面平行，所以符合条件的共6条.15. 1344 【解析】∵，∴. 16. 【解析】令， ∴，设，令，∴，发现函数在上都是单调递增，在上都是单调递减，∴函数在上单调递增，在上单调递减，∴当时，，∴函数有零点需满足，即． 三、解答题17.【解析】（1）由题意可知，抽样比，所以某同学被抽到的概率为.课外兴趣小组中男同学（人），女同学1（人）……………………………………………2分 （2）把3名男同学和1名女同学分别记为，则选取两名同学的基本事件有()()()()()()()()()()()()121312123231323123,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a a a a a b a a a a a b b a b a b a ，，共12个，其中恰有一名女同学的有6个.所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为…………………………7分 （3）由题意可知两名同学做实验得到的数据的平均数及方差分别为：()()()()()()()()()()1222222212222222687071727471,5697070727471,5687170717171727174714,569717071707172717471 3.25x x s s ++++==++++==-+-+-+-+-==-+-+-+-+-==由于，因此，第二位同学的实验更稳定…………………………………………12分 18.【解析】（1）()2cossin ,13cos 2cos ,1222x x xf x x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭24cos sin 13cos sin cos 3324x x x x x x π⎛⎫=++-=-+=-+ ⎪⎝⎭…………………………………3分 ， 即，所以的单调递增区间为…………………………………………6分 （2）因为，所以. 又因为，所以，故，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 于是在中，，故，当且仅当时等号成立，所以的面积的最大值为………………………………………………………12分 19.【解析】①∵平面平面，且平面平面， ∵平面，∴平面……………………………………………………………………………2分 平面，∴，……………………………………………3分∴，∴………………………………………………………4分 且，∴平面……………………………………………6分（2）设的中点为，连接，∵，∴………………………………………………7分 ∵平面平面，且平面平面，∴平面…………………………………………9分 ∵平面，所以点到平面的距离就等于点到平面的距离，即点到平面的距离为的长…………………………………………10分 ∴， ∵111222=1222ACD S AC AD EG AC ∆==⨯==，，………………………………………11分∴，即三棱锥的体积为…………………………………12分 20.【解析】（1）连接，∵，∴，故点的轨迹是以点为焦点，为长轴的椭圆， 所以，点的轨迹曲线的方程为：…………………………………………………5分（2）①当直线的斜率不存在时，则直线的方程为：，直线的方程为：，故，∴，不合题意，故直线的斜率存在．．．．．．．．．．．．．．．6分 ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：， ∴. 联立，∴，……………………………………………………8分 ∴2211234k EF k +==⨯+， ∴22211448121143434MFNEk S EF k k +⎛⎫==⨯=+= ⎪++⎝⎭…………………………………………10分∴，∴，此时，直线的方程为或……………………………………12分 21.【解析】（1）∵，由是的极值点，知，故，∴，………………………………………………………………2分 ① 当时，，则，所以在内单调递增；② 当时，，则，所以在内单调递减……………5分 （2）因为函数的定义域为，当时，，∴………………………………………6分 令，令，∴，∴在上递减，又，，……………………………8分 ∴在上有唯一的零点，∴，∴…………………………………………9分 当时，则，所以在内单调递增； 当时，则，所以在内单调递减. ∴()()02000max 01ln 220x g x g x x e x x -==-=-+-<-=…………………………………11分 故当时，，故，所以当时，在定义域内无零点…………………………………………………12分 22.【解析】（1）因为为圆的一条直径， 所以．故四点在以为直径的圆上.所以，四点共圆…………………………………………………………4分（2）由题意得与圆相切于点，由切割线定理得，即，所以，又，则，得.连接（图略），由（1）可知，为外接圆的直径.，故的外接圆的半径为………………………………………………………………10分23.【解析】（1）∵，∴，即曲线的普通方程为：，曲线的一个参数方程为：（为参数）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设，∴．把代入方程中，得：，整理得：，∴，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分24.【解析】（1）由或，∴或，故原不等式的解集为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由，得对任意的恒成立，当时，不等式成立；当时，问题等价于对任意的非零实数恒成立，∵，∴，即的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分34079 851F 蔟25958 6566 敦 R31762 7C12 簒24703 607F 恿x33995 84CB 蓋Yp24980 6194 憔Vz9。
2023年高考数学第三次模拟考试及答案解析(新高考Ⅰ卷A卷)
2023年高考数学第三次模拟考试及答案解析（新高考Ⅰ卷A 卷）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若集合3{|0}3x A x x +=≤-，{}3,1,0,3,4B =--，则A B ⋂的元素个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】303x x +≤-，()()330x x ∴+-≤，且3x ≠，33x ∴-≤<，[)33A =-，，又{}3,1,0,3,4B =--，则{}3,1,0A B ⋂=--，A B ⋂的元素个数为3个．故选：B.2．设i(,)z a b a b =+∈R 在复平面内对应的点为M ，则“点M 在第四象限”是“0ab <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【答案】A【解析】由题知，i(,)z a b a b =+∈R 在复平面内对应的点为(,)M a b ，因为点M 在第四象限，即0,0a b ><，ab <，即00a b >⎧⎨<⎩，或00a b <⎧⎨>⎩，所以“点M 在第四象限”是“0ab <”的充分不必要条件，故选：A3．已知{}n a 是各项不相等的等差数列，若14a =，且248,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前6项和6S =（）A ．84B ．144C ．288D ．110【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由248,,a a a 成等比数列，则2428a a a =，即()()()211137a d a d a d +=++，整理可得240d d -=，由数列{}n a 各项不相等，解得4d =，即4n a n =，()()44212n n n S n n+==+，故()6261684S =⨯⨯+=.故选：A.4．已知向量a ，b 满足2a = ，(1,1)= b ，a b += a 在向量b 上的投影向量的坐标为（）A ．22⎛ ⎝⎭，B ．()11，C ．()1，1--D ．22⎛- ⎝⎭，【答案】B【解析】由(1,1)=b ，得b ==a b + 即42210a b ++= ，则2a b =，所以向量a 在向量b上的投影向量的坐标为()(1,1)a b b b b b==.故选：B .5．函数()1e πcos 1e 2x x f x x ⎛⎫-⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭的部分图象大致形状是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为()1e π1e cos sin 1e 21e x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭的定义域为R .定义域关于原点对称，()()()111e 1e e sin sin sin 11e 1e 1exx x x x xf x x x x f x --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫---=-=-== ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，所以()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除选项B 、D ，当0x >时，令()0f x =可得0x =或()πx k k =∈Z ，所以0x >时，两个相邻的零点为0x =和πx =，当0πx <<时，1e 01e xx-<+，sin 0x >，()1e sin 01e x x f x x ⎛⎫-=< ⎪+⎝⎭，故排除选项A ，故选：C.6．立德学校于三月份开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（）种．A ．20B ．4C ．60D ．80【答案】C【解析】先安排2名男生，保证每个小组都有男生，共有2种分配方案；再安排5名女生，若将每个女生随机安排，共有5232=种分配方案，若女生都在同一小组，共有2种分配方案，故保证每个小组都有女生，共有52230-=种分配方案；所以共有23060⨯=种分配方案.故选：C.7．刍(chú)甍(méng )是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是：底面为长方形，上棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，是一个对称的楔形体．已知一个刍甍底边长为6，底边宽为4，上棱长为2，高为2，则它的表面积是（）A ．B ．24+C ．24+D ．24++【答案】B【解析】设几何体为EFABCD-，如下图所示：矩形ABCD 的面积为2446=⨯，ABE 、CDF ，两个全等的等腰梯形ADFE 、BCFE，设点E 、F 在底面ABCD 内的射影点分别为G 、H ，过点G 在平面ABCD 内作GM BC ⊥，连接EM ，过点H 在平面ABCD 内作HNCD⊥，连接F N ，FH ⊥ 平面ABCD ，H N、CD ⊂平面ABCD ，FHCD ∴⊥，FH HN⊥，HN CD ⊥ ，FH HN H = ，CD \^平面FHN ，FN ⊂平面FHN ，FN CD ∴⊥，易知2FH =，2HN =，则在CDF 中，斜高为FN===所以，12ABE CDF S S CD FN ==⋅=△△同理可知，梯形BCFE 的高为EM ===，所以，()12ADFEBCFE S S EF BC EM ==+⋅=梯形梯形因此，该几何体的表面积为(24224+⨯=+故选：B.8．如图，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ，右顶点为A ，点Q 在y 轴上，点P 在椭圆上，且满足PQ y ⊥轴，四边形1F APQ 是等腰梯形，直线1FP 与y 轴交于点N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（）．A ．14B C D ．12【答案】D【解析】由题意，做PMx ⊥轴于点M，因为四边形1F APQ 是等腰梯形，则1FO AM c ==，OM a c=-则点P 的横坐标为P x a c =-，代入椭圆方程()2222:10x y C a b a b+=>>，可得py =，即PM=因为4N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则4ON =，由11F NO F PM，则114b FO ONc b F M PM a =⇒=，化简可得，434332160a ac c -+=，同时除4a 可得，43163230e e -+=即()()3221812630e e e e ----=，对于()3281263f e e e e =---当1e =时，()1130f =-<，当2e =时，()210f =>，在()1,2e ∈时，方程()()3221812630e e e e ----=有根，且()0,1e ∈，故应舍，所以12e =.故选:D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图为国家统计局于2022年12月27日发布的有关数据，则（）A ．营业收入增速的中位数为9.1%B ．营业收入增速极差为13.6%C ．利润总额增速越来越小D ．利润总额增速的平均数大于6%【答案】ABD【解析】由表中数据易知营业收入增速的中位数为9.1%，故选项A 正确；营业收入增速的极差为20.3% 6.7%13.6%-=，故选项B 正确；利润总额增速2022年1-3月累计比2022年1-2月累计上升，故选项C 错误；利润总额增速的平均数(38.0%34.3%5.0%8.5%3.5%1.0%1.0%1.1%++++++-2.1% 2.3% 3.0% 3.6%)12 6.6%----÷=，故选项D 正确；故选：ABD .10．甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球．用1A ，2A ，3A 分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B 表示乙袋取出的球是白球，则（）A ．1A ，2A ，3A 两两互斥B ．()213P BA =C ．3A 与B 是相互独立事件D ．()13P B =【答案】AB【解析】对于A ，由题意可知1A ，2A ，3A 不可能同时发生，所以1A ，2A ，3A 两两互斥，所以A 正确，对于B ，由题意可得2221131(),()844912P A P A B ===⨯=，所以()2221()1121()34P A B P B A P A ===，所以B 正确，对于C ，因为321()84P A ==，3131()4912P A B =⨯=1234413137()()()()89494918P B P A B P A B P A B =++=⨯+⨯+⨯=，所以33()()()P A B P A P B ≠，所以3A 与B 不是相互独立事件，所以C 错误，对于D ，由C 选项可知D 是错误的，故选：AB11．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，12A ⎫⎪⎪⎝⎭是C 上一点，若C的离心率为3，连结2AF 交C 于点B ，则（）A ．C 的方程为2213x y -=B ．1290F AF ︒∠=C ．12F AF的周长为2+D ．1ABF【答案】ABD【解析】对A ，将点A 的坐标代入双曲线方程，并由222,c e c a b a==+得下列方程组：22222151441a b c a c a b⎧⎪-=⎪⎪⎪⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩，解得2a b c ⎧⎪⎨⎪=⎩，∴双曲线2213xy -=，A 正确；对B ，12(2,0),(2,0)F F -，112,22F A ⎫=+⎪⎪⎝⎭，212,22F A ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，121514044F A F A ⋅=-+= ，∴12F A F A ⊥，B正确；对C，1AF ===，2AF ==，1224F F c ==，周长4=，C 错误；对D ，令2BF m=，则1BF m =，225AB AF BF m =+，在1Rt ABF 中，22211BF AF AB=+，∴11m =，设1ABF 的周长为l ，内切圆半径为r ，11l AF AB BF =++，由三角形面积公式知：1111·22ABFS AF AB lr == ，∴1112ABF S r AF AB BF =++ ，D 正确；故选：ABD ．12．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若23f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数，123f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，则下列结论中一定正确的是（）A ．203f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()203f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()203f f ⎛⎫=- ⎪⎝'⎭'D ．103f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭'【答案】ABD 【解析】因为2()3+f x 为奇函数，定义域为R ，所以22((33f x f x -+=-+，故4()(3f x f x -=-+，等式两边同时取导数，得4()()3f x f x ''--=-+，即4()()3f x f x ''-=+①，因为1(23f x -的图象关于y 轴对称，则11(2(233f x f x -=--，故2()()3f x f x =--，等式两边同时取导数，得2()()3f x f x ''=---②.由4()(3f x f x -=-+，令23x =-，得22()(33f f =-，解得2()03f =，由2()()3f x f x =--，令0x =，得2(0)(3f f =-，由②，令0x =，得2(0)(3f f ''=--，令13x =-，得11(()33f f ''-=--，解得1()03f '-=，故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若()()()()82801281111x a a x a x a x -=+++++++ ，则5a =_____．【答案】448-【解析】令1x t +=可得1x t =-，则()1112x t t -=--=-，所以，()82801282t a a t a t a t -=++++ ，所以，5a 为展开式中5t 的系数，()82t -的展开式通项为()()()88188C 2C 210,1,2,,8kkkk kk k k T t t k --+=⋅-=⋅⋅-= ，所以，()()55358C 215681448a =⋅⋅-=⨯⨯-=-.故答案为：448-.14y 轴交于点A ，与圆221x y +=相切于点B ，则AB =______.【解析】设直线AB 的方程为y b =+0y b -+=则点()0,A b ，由于直线AB 与圆221x y +=相切，且圆心为()0,0O ，半径为1，则12b =，解得2b =±，所以2AO =，因为1BO =，故AB ==15．某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值(1,2,3,,100)i x i = ，经计算10017200i i x ==∑，()1002211007236i i x ==⨯+∑．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布()2,N μσ，则估计该市高中生身体素质的合格率为______．（用百分数作答，精确到0.1%）参考数据：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则0().6827P X μσμσ≤≤+≈-，(22)0.9545P X μσμσ-≤≤+≈，3309().973P X μσμσ-≤≤+≈．【答案】97.7%【解析】因为100个数据1x ，2x ，3x ，…，100x 的平均值1001172100i i x x ===∑，方差()()1122222210010011110010072361007236100100100i i i i s x x x x ==⎛⎫⎡⎤=-=-=⨯⨯+-⨯= ⎪⎦⎣⎝⎭∑∑，所以μ的估计值为72μ=，σ的估计值为6σ=．设该市高中生的身体素质指标值为X ，由(22)0.9545P X μσμσ-≤≤+≈，得(72127212)(6084)0.9545P X P X -≤≤+=≤≤≈，()()()()12210.9545842222P X P X P X P X μσμσμσμσ--<<+->=>+=<-=≈所以1(60)(6084)(84)0.9545(10.9545)0.9772597.7%2P X P X P X ≥=≤≤+>≈+⨯-=≈．故答案为：97.7%.16．已知函数()()2e 1,01ln 1,02x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩.若()()0x f x a x -≤，则a 的取值范围是___________.【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】当0x =时，()()00x f x a x -=≤恒成立；当0x <时，此时应有()()0f x a x f x ax -=+≥，即2e 10x ax --+≥.令()2e1xg x ax -=-+,0x <，则()22exg x a-'=-+.设()22e xh x a -=-+，则()24e 0x x -'=>恒成立，所以()h x ，即()g x '单调递增.又()00e10g =-=，则要使()0g x ≥在(),0∞-上恒成立，应有()22e 0xg x a -'=-+≤在(),0∞-上恒成立，即22e x a -≤在(),0∞-上恒成立.又0x <时，22e 2x ->，所以2a ≤；当0x >时，此时应有()()0f x a x f x ax -=-≤，即()1ln 102x ax +-≤.令()()1ln 12x ax k x +=-，则()()121a k x x =-+'.令()()121a x m x =-+，则()()21021m x x '-=<+恒成立，所以()m x ，即()k x '单调递减.又()00k =，则要使()0k x ≤在()0,∞+上恒成立，应有()()1021a x k x =-≤+'在()0,∞+上恒成立，即()121a x ≥+在()0,∞+上恒成立.因为，()121y x =+在()0,∞+上单调递减，所以()11212x <+，所以12a ≥.综上所述，a 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在四边形ABCD 中，已知2π3ABC∠=，π3BDC ∠=，AB BC ==．（1）若BD =AD 的长；（2）求A B D △面积的最大值．【答案】（1）AD ；（2）【解析】（1）在B C D △中，由余弦定理，得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅∠，∴222π2cos3CD CD =+-⨯⋅，整理得2720CD --=,解得CD =CD =-．∴2222221c os 27BD BC CD DBC BD BC +-∠===⋅，而2π(0,)3DBC ∠∈,故sin 7DBC ∠=,∴2π111cos cos cos 3214ABD DBC DBC DBC ⎛⎫∠=-∠=-∠+∠=⎪⎝⎭，故在ABD △中，2222cos AD AB BD AB BD ABD=+-⋅⋅∠221125714=+-⨯=，∴AD ；（2）设,2π(0,)3CBD θθ∠=∈,则在BCD △中，sin sin BC BD BDC BCD=∠∠,则2π)π314sin()2π3sin 3BD θθ-=+，所以π2π11sin sin 2214sin(()33ABD S AB BD ABD θθ=+=⨯⨯∠-⋅△2π34(θ=+，当2πsin ()13θ+=，即π6θ=时，ABD △面积取到最大值18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，223a =，且数列(){}423n n nS n a ++是等差数列.（1）证明：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设13,,n n n na nb n n a -⎧⋅⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）证明见解析；13n n n a -=；（2）2122338n n T n +-=+.【解析】（1）∵11a =，223a =，∴11S =，253S =，设()423n n n c nS n a =++，则19c =，218c =，又∵数列{}n c 为等差数列，∴9n c n =，∴()4239n n nS n a n ++=，∴()2349nn n a S n++=，当2n ≥时，()1121491n n n a S n --++=-，∴()()12321401n n n n a n a a nn -+++-=-，∴()()1632101n n n a n a nn -++-=-，又∵210n +≠，∴1301n n a a n n --=-，即：1131n n a an n -=⋅-，又∵1101a =≠，∴n a n ⎧⎫⎨⎩⎭是以1为首项，13为公比的等比数列，∴113n n a n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=，即13n n n a -=；（2）∵13,,n n n na nb n n a -⎧⋅⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，且13n n na -=，∴1,3,n n n n b n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，∴()()132121321333n n T n -=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦()()()221223193311213321988n n n n n n n +--+-⎡⎤-⎣⎦=+=+=+-，∴2122338n n T n +-=+.19．如图，已知斜四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 为等腰梯形，AB CD ∥，点1A 在底面ABCD 的射影为O ，且11AD BC CD AA ====，2AB =，112A O =，1AA BC ⊥.（1）求证：平面ABCD ⊥平面11ACC A ；（2）若M 为线段11B D 且平面MBC 与平面ABCD 夹角的余弦值为7，求直线1A M 与平面MBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）7【解析】（1）证明：等腰梯形ABCD 中，2AB =，1BC CD AD ===，作//CE AD 交AB 于E ，如图，则ADCE 是菱形，AE CD EB CE BC ====，BCE 是等边三角形，则60ABC ∠=︒，60DCE ECB ∠=∠=︒，30ACD ACE ∠=∠=︒，所以90ACB ∠=︒，即AC BC ⊥，又1BC AA ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂平面11AAC C ，所以BC ⊥平面11A ACC ，又BC ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面11A ACC ；（2）点1A 在底面ABCD 的射影为O ，由（1），得O 在AC 上，且1A O AC ⊥，又111,12A O AA ==，所以AO ，而由（1）知AC =因此2CO =，建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，则)A，()0,1,0B，O ⎫⎪⎪⎝⎭，112A ⎫⎪⎪⎝⎭，1,02D ⎫-⎪⎝⎭，则11,022CD BA ⎫==-⎪⎪⎝⎭，又113,022B D BD ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，111,0,22DD AA ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以1110,,22D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设1113,,022D M D B λ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ （01λ≤≤），131,,2222M λ⎛⎫--+ ⎝⎭，(0,1,0)CB =，131,,2222CM λλ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面MBC 的法向量为(),,n x y z =，则131********n CM x y z n CB y λλ⎧⎛⎫⎧⋅=-+-++=⎪⎪ ⎪⇒⎨⎨⎝⎭⋅=⎪⎪⎩=⎩ ，取1x =，则()n = ，取平面ABCD 的法向量()0,0,1m = ，2cos ,417m n m n m n λ⋅===⇒=，则12λ=（负值舍去），即11,044A M ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设直线1A M 与平面MBC 所成的角为θ，则111sin cos ,A M n A M n A M n θ⋅===⋅ ，所以，直线1A M 与平面MBC20．第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会．为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A 社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A 社区参加市亚运知识竞赛．已知A 社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为12、12、13，通过初赛后再通过决赛的概率均为13，假设他们之间通过与否互不影响．（1）求这3人中至多有2人通过初赛的概率；（2）求这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率；(3)某品牌商赞助了A 社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为12，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励600元；方案二：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元．若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．【答案】（1）1112；（2）3181；（3）方案二更好，理由见解析【解析】（1）3人全通过初赛的概率为21112312⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，所以，这3人中至多有2人通过初赛的概率为11111212-=.（2）甲参加市知识竞赛的概率为111236⨯=，乙参加市知识竞赛的概率为111236⨯=，丙参加市知识竞赛的概率为131139⨯=，所以，这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率为211311116981⎛⎫⎛⎫--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（3）方案一：设三人中奖人数为X ，所获奖金总额为Y 元，则600Y X =，且13,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()()160060039002E Y E X ==⨯⨯=元，方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为Z 元，则Z 的所有可能取值为600、900、1200、1500，则()211160011236P Z ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()212111115900C 1112233212P Z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅--+-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()21211111112001C 1232233P Z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+⋅-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()211115002312P Z ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，所以，()1511600900120015001000612312E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=.所以，()()E Y E Z <，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．21．已知抛物线()220C x py p =>：的焦点为F ，准线l 与抛物线C 的对称轴的交点为K ，点()2D t ，在抛物线C上，且DK =．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线()1200l kx y k k --=>：交抛物线C 于()()()112212A x y B x y x x >，，，两点，点A 在y 轴上的投影为E ，直线AE 分别与直线OB （O 为坐标原点）交于点Q ，与直线2l y x =：交于点P ，记OAP △的面积为1S ，OPQ △的面积为2S ，求证：12S S =．【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析【解析】（1）作DH l ⊥，垂足为H ，则DFDH=.因为DK =，所以45DKH ∠= ，2DHHK ==.因为点()2D t ，在抛物线C 上，所以2422pt pt =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去t 得：2440p p -+=，解得21p t ==，.所以抛物线C 的方程为24x y =.（2）设()()1122A x y B x y ，，，，由2204kx y k x y--=⎧⎨=⎩，消去y 得2480x kx k -+=.则216320k k =->∆，因为0k >，所以2k >，则121248x x k x x k +==，.依题意知直线AE 的方程为1y y =，直线OB 的方程为22yy x x =.由1y y y x =⎧⎨=⎩，得P 点的坐标为()11y y ，.由122y y y y x x =⎧⎪⎨=⎪⎩得Q 的坐标为1212y x y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.要证12S S =，即证111122AP y PQ y ⋅=⋅，即证AP PQ =.即证121112y x y x y y -=-，即证12211220y x y x y y +-=.因为()112y k x =-，()222y k x =-，所以1221122y x y x y y +-=()()()()212211222222k x x k x x k x x -+----()()()222121222428k k x x k k x x k =-+-+-()()222222284248880k k k k k k k k k =-⨯+-⨯-=-=.即12211220y x y x y y +-=，所以12S S =.22．已知函数()ln a f x ax x x=--．（1）若1x >，()0f x >，求实数a 的取值范围；（2）设12,x x 是函数()f x的两个极值点，证明：12()()f x f x a-<．【答案】（1）1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析【解析】（1）依题意，2221()(0)a ax x a f x a x x x x-+'=-+=>.①当0a ≤时，在(1,)x ∈+∞上()0f x '<，所以()f x 在()1,+∞上单调递减，所以()(1)0f x f <=，所以0a ≤不符合题设.②当102a <<时，令()0f x '=，得20ax x a -+=，解得()10,1x =()21,x ∞=∈+，所以当()21,x x ∈时()0f x '<，所以()f x 在()21,x 上单调递减，所以()(1)0f x f <=，所以102a <<不符合题设.③当12a ≥时，判别式2140a ∆=-≤，所以()0f x '≥，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，所以()(1)0f x f >=.综上，实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）由（1）知，当102a <<时，()f x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，所以1x 是()f x 的极大值点，2x 是()f x 的极小值点.由（1）知，121=x x ，121x x a +=，则21x x a-.综上，要证()()12f x f x -<，只需证()()1221f x f x x x -<-，因为()()()()2212112211121ln x x x x x f x f x a x x a x x x ---+=+--+⋅()()()21222121112122lnln x x x x a x x x x x x x x -=-+--=+()21221121ln 1x x xx x x -=+，设211xt x =>，()21()ln 1t g t t t -=+.所以()()2221414()011g t t t t '=+=+++，所以()g t 在()1,+∞上单调递增，所以()()10g t g >=.所以()()21120x x f x f x --+>，即得()()1221f x f x x x -<-成立．所以原不等式成立.。
2021年山西省太原市高考数学三模试卷(文科)(解析版)
2021年山西省太原市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：共12小题，每题5分，共60分.1．已知复数z满足，则在复平面内与复数z对应的点的坐标为（）A．（1，﹣1）B．（1，1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）2．已知全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{﹣1}B．{0，1}C．{2，3}D．{﹣1，2，3} 3．设m∈R，则“m＞1”是“m2＞1”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．2020年初，新型冠状病毒（COVID﹣19）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示：第x周12345治愈人数y（单位：十人）38101415由上表可得y关于x的线性回归方程为，则此回归模型第5周的残差（实际值减去预报值）为（）A．﹣1B．0C．1D．25．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列正确的结论是（）A．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥βB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊥α，则n∥αD．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β6．古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界，画出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．图2（正八边形ABCDEFGH）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如图2的平面直角坐标系，设OA＝1．则下列错误的结论是（）A．B．以射线OF为终边的角的集合可以表示为C．在以点O为圆心、OA为半径的圆中，弦AB所对的劣弧弧长为D．正八边形ABCDEFGH的面积为7．已知实数a，b满足3×2a﹣2b+1＝0，，则下列正确的结论是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a8．执行如图所示的程序框图，若N＝2021，则输出的p＝（）A．B．C．D．9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．3D．210．已知锐角α，β满足，则的最小值为（）A．4B．C．8D．11．已知三棱台ABC﹣A1B1C1中，三棱锥A﹣A1B1C1的体积为4，三棱锥A1﹣ABC的体积为8，则该三棱台的体积为（）A．B．C．D．12．已知点F是双曲线的左焦点，过原点的直线l与该双曲线的左、右两支分别相交于点A，B，则的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．C．D．[﹣1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，规定0，1，2表示没有击中目标，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：6011 3661 9597 6947 1417 4698 0371 6233 2616 80457424 7610 4281 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次目标的概率为．14．若命题“任意的x∈R，x2+ax+1≥0”是假命题，则实数a的取值范围是．15．已知实数x，y满足，则的取值范围是．16．已知函数f（x）＝lnx﹣x，g（x）＝e x﹣x，若存在实数m，n，使得f（m）﹣g（n）≥﹣2成立，则实数m﹣n ＝．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．如图，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得这三点的俯角分别为α＝30°，β＝60°，γ＝45°，现计划沿直线AC开通一条穿山隧道DE，经测量AD＝100m，BE＝34m，BC＝85m．（Ⅰ）求PB的长；（Ⅱ）求隧道DE的长（精确到1m）．附：；．18．为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对市区空气质量进行调研，随机抽查了市区100天的空气质量等级与当天空气中SO2的浓度（单位：μg/m3），整理数据得到如表：[0，50]（50，150]（150，475] SO2的浓度空气质量等级1（优）28622（良）578 3（轻度污染）3894（中度污染）11211若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”，根据上述数据，回答以下问题．（Ⅰ）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（Ⅱ）完成下面的2×2列联表，SO2的浓度[0，150]（150，475]空气质量空气质量好空气质量不好（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天的空气质量与当天SO2的浓度有关？附：．P（K2≥k0）0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.82819．如图，O1，O2分别是圆台上、下底面的圆心，AB是下底面圆的直径，AB＝2O1O2，点P是下底面内以AO2为直径的圆上的一个动点（点P不在AO2上）．（Ⅰ）求证：平面APO1⊥平面PO1O2；（Ⅱ）若AB＝2，当三棱锥O1﹣APO2体积最大时，求点B到平面APO1的距离．20．已知面积为16的等腰直角△AOB（O为坐标原点）内接于抛物线y2＝2px（p＞0），OA⊥OB，过抛物线的焦点F且斜率为2的直线l与该抛物线相交于P，Q两点，点M是PQ的中点．（Ⅰ）求此抛物线的方程和焦点F的坐标；（Ⅱ）若焦点在y轴上的椭圆C经过点M，其离心率，求椭圆C的标准方程．21．已知函数f（x）＝alnx﹣+1﹣ln2在点（2，f（2））处的切线方程为y＝﹣x+1．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）＝f（x）﹣m的两个零点，求证：x2﹣x1＜﹣4m．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）设点A的极坐标为，点B（异于点O和点A）在曲线C上，求△AOB 面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|mx﹣1|（m＞0）．（1）当m＝2时，解不等式f（x）＜2；（2）若f（x）有最小值，且关于x的方程f（x）＝有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z满足，则在复平面内与复数z对应的点的坐标为（）A．（1，﹣1）B．（1，1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）解：∵＝，∴在复平面内与复数z对应的点的坐标为（1，1），故选：B．2．已知全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{﹣1}B．{0，1}C．{2，3}D．{﹣1，2，3}解：由题意可得：A∩B＝{0，1}，∴阴影部分表示的集合为：{2，3}，故选：C．3．设m∈R，则“m＞1”是“m2＞1”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：解二次不等式m2＞1，得m＜﹣1或m＞1，∴“m＞1”是“m2＞1”的充分不必要条件，故选：A．4．2020年初，新型冠状病毒（COVID﹣19）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示：第x周12345治愈人数y（单位：十人）38101415由上表可得y关于x的线性回归方程为，则此回归模型第5周的残差（实际值减去预报值）为（）A．﹣1B．0C．1D．2解：，，即样本点的中心坐标为（3，10），代入，可得10＝，解得，∴线性回归方程为，取x＝5，得，∴此回归模型第5周的残差为15﹣16＝﹣1．故选：A．5．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列正确的结论是（）A．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥βB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊥α，则n∥αD．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β解：若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β或α与β相交，故A错误；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m与n异面，故B错误；若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，故C错误；若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，又n⊥β，所以α⊥β，故D正确．故选：D．6．古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界，画出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．图2（正八边形ABCDEFGH）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如图2的平面直角坐标系，设OA＝1．则下列错误的结论是（）A．B．以射线OF为终边的角的集合可以表示为C．在以点O为圆心、OA为半径的圆中，弦AB所对的劣弧弧长为D．正八边形ABCDEFGH的面积为解：如图所示：对于A：，故A正确；对于B：以射线OF为终边的角的集合可以表示，故B正确；对于C：在以点O为圆心、OA为半径的圆中，弦AB所对的劣弧弧长为，故C正确；对于D：正八边形ABCDEFGH的面积为，故D错误．故选：D．7．已知实数a，b满足3×2a﹣2b+1＝0，，则下列正确的结论是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a解：∵3×2a﹣2b+1＝0，∴3×2a＝2b+1，∵3×2a＞2×2a＝2a+1，∴2b+1＞2a+1，∴b＞a，又∵≥c+1，∴a＞c，故选：B．8．执行如图所示的程序框图，若N＝2021，则输出的p＝（）A．B．C．D．解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出p＝1+（）1+（）2+....+（）2021的值，由于p＝1+（）1+（）2+....+（）2021＝1+＝2﹣．故选：C．9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．3D．2解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为底面为等腰直角三角形，高为3的直棱柱ABC﹣DEF，切去一个四棱锥体C﹣ABGH；如图所示：所以＝．故选：A．10．已知锐角α，β满足，则的最小值为（）A．4B．C．8D．解：因为锐角α，β满足，所以cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝，令x＝cosαcosβ，y＝sinαsinβ，则x+y＝，由题意得x＞0，y＞0，则＝＝2（x+y）（）＝2（2+）＝8，当且仅当x＝y时取等号，此时的最小值8．故选：C．11．已知三棱台ABC﹣A1B1C1中，三棱锥A﹣A1B1C1的体积为4，三棱锥A1﹣ABC的体积为8，则该三棱台的体积为（）A．B．C．D．解：设S△ABC＝S1，，棱台的高为h，由已知，得，得，，则，∴三棱台ABC﹣A1B1C1的体积V＝＝＝．故选：B．12．已知点F是双曲线的左焦点，过原点的直线l与该双曲线的左、右两支分别相交于点A，B，则的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．C．D．[﹣1，+∞）解：∵双曲线，∴a2＝4，b2＝5，c2＝a2+b2＝5+4＝9，即a＝2，b＝，c＝3，∵双曲线与过原点的直线l都关于原点对称，∴|FA|＝|F2B|，∵由双曲线的定义，可知|FB|﹣|F2B|＝2a＝4，∴|FA|＝|FB|﹣4，设|FB|＝d，d≥a+c＝5，∴＝，设f（d）＝，d≥5，求导可得f'（d）＝，∴f（d）在[5，6）单调递减，在（6，+∞）单调递增，，又∵当d趋近于正无穷时，f（d）趋近于0，∴f（d）的取值范围为[﹣1，0），则的取值是[﹣1，0）．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，规定0，1，2表示没有击中目标，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：6011 3661 9597 6947 1417 4698 0371 6233 2616 80457424 7610 4281 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次目标的概率为0.6．解：根据题意，在20组随机数中，表示至少击中3次目标的3661、9597、6947、4698、6233、8045、7424、7527、9857、0347、4373、8636；共12个，则该运动员射击4次至少击中3次目标的概率P＝＝0.6；故答案为：0.6．14．若命题“任意的x∈R，x2+ax+1≥0”是假命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．解：∵命题“任意的x∈R，x2+ax+1≥0”是假命题，∴△＝a2﹣4＞0，∴a＞2或a＜﹣2．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．15．已知实数x，y满足，则的取值范围是[﹣1，3]．解：由约束条件作出可行域如图，联立方程组解得A（2，1），B（1，3），则t＝∈[，3]，∴＝，可知当t＝1时，有最小值﹣1；当t＝3时，有最大值3．∴的取值范围是[﹣1，3]．故答案为：[﹣1，3]．16．已知函数f（x）＝lnx﹣x，g（x）＝e x﹣x，若存在实数m，n，使得f（m）﹣g（n）≥﹣2成立，则实数m﹣n＝1．解：∵f（x）＝lnx﹣x，∴f'（x）＝（x＞0），令f'（x）＝0，则x＝1，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，当x＞1时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴f（x）在x＝1上取得极大值点，也为最大值点，即f（x）max＝f（1）＝﹣1，∵g（x）＝e x﹣x，∴g'（x）＝e x﹣1，令g'（x）＝0，则x＝0，当x＜0时，g'（x）＜0，当x＞0时，g'（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴g（x）在x＝0上取得极小值点，也为最大值点，即g（x）min＝g（0）＝1，∴任取m，n都有f（m）﹣g（n）≤f（1）﹣g（0）＝﹣2，∴若要使f（m）﹣g（n）≥﹣2成立，则必有m＝1，n＝0，∴m﹣n＝1．故答案为：1．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．如图，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得这三点的俯角分别为α＝30°，β＝60°，γ＝45°，现计划沿直线AC开通一条穿山隧道DE，经测量AD＝100m，BE＝34m，BC＝85m．（Ⅰ）求PB的长；（Ⅱ）求隧道DE的长（精确到1m）．附：；．【解答】（Ⅰ）由题意知：∠BPC＝β﹣γ＝600﹣450＝150，∠PBC＝180°﹣β＝1200，所以∠PCB＝180°﹣150﹣1200＝450．在△PCB中，由正弦定理得：，＝，即PB＝m．（Ⅱ）在△PAB中，∠PAB＝α＝300，∠ABP＝β＝600，所以∠APB＝90°，所以AB＝2PB＝464，所以DE＝AB﹣AD﹣BE＝464﹣100﹣34＝330m．18．为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对市区空气质量进行调研，随机抽查了市区100天的空气质量等级与当天空气中SO2的浓度（单位：μg/m3），整理数据得到如表：[0，50]（50，150]（150，475] SO2的浓度空气质量等级1（优）28622（良）578 3（轻度污染）3894（中度污染）11211若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”，根据上述数据，回答以下问题．（Ⅰ）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（Ⅱ）完成下面的2×2列联表，[0，150]（150，475] SO2的浓度空气质量空气质量好空气质量不好（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天的空气质量与当天SO2的浓度有关？附：．P（K2≥k0）0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.828解：（1）由表格可得，该市100天中空气质量为1的有28+6+2＝36天，空气质量为2的有5+7+8＝20天，空气质量为3的有3+8+9＝20天，空气质量为4的有1+12+11＝24，则该市一天的空气质量等级为1的概率为，该市一天的空气质量等级为2的概率为，该市一天的空气质量等级为3的概率为该市一天的空气质量等级为4的概率为．（2）由表格数据，可得列联表如下：[0，150]（150，475] SO2的浓度空气质量空气质量好4610空气质量不好2420（3）由（2）可得，∴有99%的把握认为该市一天的空气质量与当天SO2的浓度有关．19．如图，O1，O2分别是圆台上、下底面的圆心，AB是下底面圆的直径，AB＝2O1O2，点P是下底面内以AO2为直径的圆上的一个动点（点P不在AO2上）．（Ⅰ）求证：平面APO1⊥平面PO1O2；（Ⅱ）若AB＝2，当三棱锥O1﹣APO2体积最大时，求点B到平面APO1的距离．解：（Ⅰ）证明：由题意可得O1O2⊥平面PAB，所以O1O2⊥PA，因为AO2为直径，所以AP⊥PO2，因为PO2∩O1O2＝O2，所以AP⊥平面PO1O2，又AP⊂平面APO1，所以平面APO1⊥平面PO1O2；（Ⅱ）由题意可得，当AP＝PO2时，三棱锥O1﹣APO2的体积最大，设点O2到平面APO1的距离为d，由（Ⅰ）可得AP⊥PO2，AP⊥平面PO1O2，因为AB＝2，所以AO2＝O1O2＝1，AP＝PO2＝，V＝V ，即S•O1O2＝S•d，所以d ＝＝＝＝＝，所以B到平面APO1的距离为．20．已知面积为16的等腰直角△AOB（O为坐标原点）内接于抛物线y2＝2px（p＞0），OA⊥OB，过抛物线的焦点F且斜率为2的直线l与该抛物线相交于P，Q两点，点M是PQ的中点．（Ⅰ）求此抛物线的方程和焦点F的坐标；（Ⅱ）若焦点在y轴上的椭圆C经过点M，其离心率，求椭圆C的标准方程．解：（Ⅰ）由题意可知点A与点B分别在直线y＝x和y＝﹣x上，不妨设A（m，m）（m＞0），则S△AOB＝m2＝16，所以m＝4，所以A（4，4），因为点A在抛物线y2＝2px上，所以p＝2，所以此抛物线的方程为y2＝4x，焦点F的坐标为（1，0）．（Ⅱ）由（Ⅰ），得F（1，0），直线l的方程为x＝y+1，设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0），由，得y2﹣2y﹣4＝0，所以y1+y2＝2，所以y0＝1，x0＝，所以M（，1），由题意可设椭圆C的方程为+＝1（a＞b＞0），由，解得，所以椭圆C的标准方程为+＝1．21．已知函数f（x）＝alnx﹣+1﹣ln2在点（2，f（2））处的切线方程为y＝﹣x+1．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）＝f（x）﹣m的两个零点，求证：x2﹣x1＜﹣4m．【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）＝alnx﹣+1﹣ln2，∴f′（x）＝﹣（x＞0），∵f′（2）＝，∴a＝1，∴f′（x）＝﹣＝，令f′（x）＞0，得0＜x＜，令f′（x）＜0，得x＞，∴f（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+∞）；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，f（x）＝lnx﹣+1﹣ln2，且f（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+∞），由x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）＝f（x）﹣m的两个零点，得f（x1）＝f（x2）＝m，且0＜x1＜＜x2，∴x2﹣x1﹣+4m＝x2﹣x1﹣+2（f（x2）+f（x1））＝，令，x＞，∵，令t1′（x）＞0，得＜x＜2，令t1′（x）＜0，得x＞2，∴t1（x）在（，2]上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，∴t1（x）≤t1（2）＝2ln2；令，0＜x＜，∵，令t2′（x）＞0，得0＜x＜1，令t2′（x）＜0，得1＜x ＜，∴t2（x）在（0，1）上单调递增，在[1，）上单调递减，∴，∴x2﹣x1﹣+4m≤＜0，∴x2﹣x1＜﹣4m．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）设点A的极坐标为，点B（异于点O和点A）在曲线C上，求△AOB 面积的最大值．解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为普通方程为（x﹣2）2+y2＝4，根据转换为极坐标方程为ρ＝4cosθ．（Ⅱ）点A的极坐标为，设点B（ρ，α）（），则＝＝，当时，三角形的面积取得最大值2+．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|mx﹣1|（m＞0）．（1）当m＝2时，解不等式f（x）＜2；（2）若f（x）有最小值，且关于x的方程f（x）＝有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．解：（1）当m＝2时，不等式f（x）＝f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|，当x＜时，﹣（2x+1）﹣（1﹣2x）＜2，解得x＜，当时，2x+1﹣（1﹣2x）＜2，解得，当时，2x+1﹣（2x﹣1）＜2，无解，综上所述，原不等式f（x）＜2的解集为{x|x}．（2）设h（x）＝，则h（x）的图象对称轴为x＝，开口向下的抛物线，∵有最小值，∴m＞2时，当x＜﹣时，f（x）无最小值，即0＜m≤2，∵f（）＝，∴，∴，∴1＜m≤2．。
【冲锋号考场模拟】赢战2023年高考数学模拟仿真卷 03卷(新高考专用)(解析版)
【冲锋号·考场模拟】赢战2023年高考数学模拟仿真卷 03卷（新高考专用）（解析版）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{}N |337xA x =∈≤，{}12B x x =≤<，则A B ⋂的子集个数为（ ） A ．2 B ．4C ．3D ．8在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】先对复数化简，再求其在复平面对应的点，从而可求得答案. 【详解】因为2023450532i i(i 1)i i i 12i z ⨯+=+-=+-=--， 所以复数z 在复平面内对应的点是(1,2)--，位于第三象限． 故选：C3．已知向量()2,9a m =-，()1,1b =-，则“3m =-”是“//a b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】将3m =-，看//a b 是否成立；根据向量共线的坐标表示，得出m 的值，即可得出结论. 【详解】若3m =-，则 ()9,99a b =-=，所以//a b ；若//a b ，则()()21910m ⨯---⨯=，解得3m =±，得不出3m =-.所以，“3m =-”是“//a b ”的充分不必要条件. 故选：A.4．已知公差不为零的等差数列{}n a 中，3514a a +=，且1a ，2a ，5a 成等比数列，则数列{}n a 的前9项的和为（ ） A ．1 B ．2 C ．81 D ．805．已知sin cos 16θθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则sin 6θ⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）． A ．B ．23C ．23-D故选:A6．某旅游景区有如图所示A 至H 共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（ ）A ．288B ．336C ．576D ．1680､右两支分别交于,M N 两点，且()220F M F N MN +⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C D ．2【详解】如图，设D 为MN 的中点，连接2F D .易知2222F M F N F D +=，所以()22220F M F N MN F D MN +⋅=⋅=，所以D 为MN 的中点，所以2M F N =.2M F N t ==，因为12MF MF a -=，所以12MF t a =-. 122NF NF a -=，所以12NF t a =+. 114MN NF MF a =-=.Rt 12F F D 中，Rt 2MF D 中，【点睛】求双曲线离心率的方法有：8．已知,cos ,4sin 3244a b c ===，则（ ） A ．c b a >> B ．b a c >> C ．a b c >> D ．a c b >>1x得：cos811cos+44118x 得1cos 4利用函数的单调性比较大小，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（ ）A ．数据20，21，7，31，14，16的50%分位数为16B ．若随机变量ξ服从正态分布()()21,,20.68N P σξ≤=，则(0)0.32P ξ<=C ．在线性回归分析中决定系数2R 用来刻画回归的效果，若2R 值越小，则模型的拟合效果越好D ．以e kx y c =拟合一组数据，经=ln z y 代换后的线性回归方程为0.21z x =+，则e,0.2c k == 得到ln z kx c =+回归方程为0.21z x =+．10．已知函数()2sin 2()6f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，则下列命题正确的有（ ）A ．()y f x =的图象关于直线2π3x =对称 B ．()y f x =的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C ．()y f x =的表达式可改写为π2cos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．若()()120f x f x ==，则12π()2k x x k -=∈Z11111A ．直线BD 1⊥平面A 1C 1DB ．三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值C ．异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[45°，90°]D ．直线C 1P 与平面A 1C 1D 【答案】ABD【分析】在选项A 中，推导出111AC BD ⊥，11DC BD ⊥，从而直线1BD ⊥平面11AC D ；在选项B 中，由1//B C 平面11AC D ，得到P 到平面11AC D 的距离为定值，再由△11AC D 的面积是定值，从而三棱锥11P AC D -的体积为定值；在选项C 中，异面直线AP 与1A D 所成角转化为直线AP 与直线1B C 的夹角，可求取值范围；在选项D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行，正方体中11A C B ⊥⊂平面1BB D，11AC DC ⋂⊂平面1AC ∴直线BD对于选项，正方体中11//A D B C 1//B C ∴平面，点P 在线段P ∴到平面的距离为定值，又的体积为定值，，11//A D B C ， ∴异面直线为等边三角形，的中点时，或C 重合时，直线60． AP 与1A D 所成角的取值范围是[60,90]，C 选项错误；为y 轴，1DD 为z设正方体ABCD A B C D -的棱长为1，点P 竖坐标为a ，01a ≤≤， ，(0,1,1)，(1,1,0)B 所以1(,0,C P a =，1(1,1,D B =由选项A 正确：可知1(1,1,D B =∴直线1C P 与平面1D 所成角的正弦值为：112111)33C P D B C P D Ba ⋅==⋅⋅12．已知函数f x ，g x 的定义域均为R ，函数22f x +为奇函数，1f x -为偶函数，g x 为奇函数，()g x 的图象关于直线2x =对称，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的一个周期为6B ．函数()g x 的一个周期为8C ．若()02f =，则()()18682f g +=-D ．若当02x ≤≤时，()()ln 1g x x =+，则当1012x ≤≤时，()()ln 13g x x =- 【答案】BCD【分析】A 选项：()22f x +为奇函数，得到()()2222f x f x -+=-+，结合因为()1f x -为偶函数，得到()()12f x f x =-，故()f x 的最小正周期为12，A 不正确B 选项：()g x 关于直线2x =对称，得到()()4g x g x =-，又()g x 是奇函数，所以()()()4g x g x g x -=-=--，故()()()48g x g x g x =-+=+，得到()g x 的一个周期为8，所以B 正确；C 选项：由A 选项得()()6f x f x =-+，赋值后得到()62f =-，由()g x 为R 上的奇函数，得到()00g =，结合()()4g x g x =-，得()40g =，结合()f x 和()g x 的最小正周期得到()()()()1868642f g f g +=+=-，所以C 正确；D 选项：根据()g x 的最小正周期和()()4g x g x =-得到()()()()()84812g x g x g x g x =-=--=-，从而求出1012x ≤≤时的函数解析式．【详解】A 选项：因为()22f x +为奇函数，所以()()2222f x f x -+=-+， 令2t x =，得()()22f t f t -+=-+，则()()4f t f t =--． 因为()1f x -为偶函数，所以()()11f x f x --=-，令5x m =-，得()()46f m f m -=-，所以()()6f x f x =--， 所以()()612f x f x -=--，故()()12f x f x =-， 所以函数()f x 的周期为12，所以A 不正确；B 选项：因为()g x 的图象关于直线2x =对称，所以()()22g x g x +=-，所以()()4g x g x =-． 又()g x 是奇函数，所以()()()4g x g x g x -=-=--，所以()()()48g x g x g x =-+=+，所以函数()g x 的周期为8，所以B 正确； C 选项：由A 选项得()()6f x f x =--，得()()6f x f x =-+，ab ．的周期为2a 的周期为2a ；第Ⅰ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数())33()lnf x x x x -=-为偶函数，则=a ______．14．若()21x a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中8x 的系数为9，则a 的值为______．为______．16．抛物线22(0)x py p =>上一点)(1)A m m >到抛物线准线的距离为4，点A 关于y 轴的对称点为B ，O 为坐标原点，OAB ∆的内切圆与OA 切于点E ，点F 为内切圆上任意一点，则•OE OF 的取值范围为__________．6p ．当6p 时，m =6p 舍去，所以抛物线方程为所以OAB是正三角形，边长为23其内切圆方程为2x +，则3·2OE OF =，∴·[3OE OF ∈-【点睛】本题主要考查抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，属·3OE OF =+四、解答题：本题共17．（10分）已知数列{}n a 的首项12a =，前n 项和为n S ，34n S -，n a ，1322n S--（2n ≥）总是成等差数列.(1)证明数列{}n a 为等比数列；(2)求满足不等式1(4)n n a -<-的正整数n 的最小值.45方向，且村庄庄A的北偏西75方向，且村庄C在村庄B的正西方向，现要在村庄B的北偏东30方向建立一个农贸市场D，使得农贸市场D到村庄C的距离是到村庄B的距离的.(1)求村庄B C､之间的距离；(2)求农贸市场D到村庄,B C的距离之和.）在ABC 中，由正弦定理计算即可；45,15,BCA ∠=在ABC 中，由正弦定理可得，则()43136224BC -=-，故即村中B ，C 2）村庄C 在村庄由余弦定理可得球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分，设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球. （1）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； （2）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望.点．底面ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，2AD =，1AB BC CD ===．(1)证明：PA CD ⊥；(2)求二面角P CE A --的余弦值． 为坐标原点，以OB 、OC 和OC 分别为PAC 平面ABCD 平面PAC ，所以PAC 平面ABCD ，所以OB OC ⊥为坐标原点，OB 方向为轴正方向，OC 方向为轴正方向，OP 方向为30,,02⎫-⎪⎪⎭，⎫⎪⎪，1,2D ⎛- ⎝33,44⎫⎪⎪⎭ 则0,PC ⎛= ⎝，12CE ⎛=- ⎝，(0,AC =设平面PCE 的法向量为(11,x n y =1130213024n PC n CE y z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，可得0,x =，所以(10,3,1n =设平面ACE 的法向量为(22,n x =113130244n AC y n CE z ⎧⋅=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，所以(23,0,2n =所以12121213cos ,13n n n n n n ⋅==，易知二面角A DF C --为锐角，所以二面角1313．21．（12分）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．，由MT TH =得到H ，过点(0,2)-.(1)当0a =时，π0,,()2x f x mx ⎛⎤∀∈≤ ⎥⎝⎦，求实数m 的取值范围；(2)若1212,(0,),x x x x ∃∈+∞≠，使得()()12f x f x =，求证：212x x a <．。
2021年全国高考数学模拟试卷(三)(5月份)
2021年全国高考数学模拟试卷（三）（5月份）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|9﹣x2＞0}，B＝{x|0＜x﹣1≤3}，则（∁R A）∩B＝（）A．（﹣3，4]B．[3，4]C．[﹣3，3）D．（3，4]2．（5分）若复数z满足z﹣iz＝3i+4，则|z|＝（）A．B．C．D．53．（5分）已知点P（，），O为坐标原点，线段OP原点O时针旋转，到达线段OP1，则点P1的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）4．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若a n＝，则S99＝（）A．7B．8C．9D．105．（5分）命题“∀x＞2，x2+2＞6”的否定（）A．∃x≥2，x2+2＞6B．∃x≤2，x2+2≤6C．∃x≤2，x2+2＞6D．∃x＞2，x2+2≤66．（5分）在平面直角坐标系中，四点坐标分别为A（2，0），B（3，2﹣），C（1，2+），D（4，a），若它们都在同一个圆周上，则a的值为（）A．0B．1C．2D．7．（5分）《九章算术》是中国古代的一部数学著作，著作中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶”．现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD是边长为4的正方形，△ADE与△BCF是等边三角形，EF∥AB，AB＝2EF，则该刍甍的外接球的半径为（）A．B．C．D．8．（5分）若不等式lnx≤ax+b恒成立，则2a+b的最小值为（）A．2B．3C．ln2D．5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．（5分）下列说法正确的是（）A．若，，为平面向量，∥，∥，则∥B．若，，为平面向量，⊥，⊥，则∥C．若||＝1，||＝2，（）⊥，则在方向上的投影为﹣D．在△ABC中，M是AB的中点，＝3，BN与CM交于点P，＝+，则λ＝2μ10．（5分）若正实数a，b满足a+b＝2，则下列说法正确的是（）A．ab的最大值为1B．的最大值为2C．a2+b2的最小值为1D．2a2+b2的最小值为11．（5分）在（x2+x+1）3（x2+）2的展开式中，下列说法正确的是（）A．x4的系数为16B．各项系数和为108C．无x5项D．x2的系数为812．（5分）若函数f（x）＝，g（x）＝xf（x），则下列说法正确的是（）A．f（x）为周期函数，无最小正周期B．g（x）为单调函数C．∀x1，x2∈R，∃x3∈R满足g（x3）＝成立D．∀x1∈R，∃x2∈R满足g2（x2）＝g（x1）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年最新高考总复习数学(文)第三次高考模拟训练试题及答案解析一
最新高考数学三模试卷（文科）一、选择题1．设集合A={x|x （x ﹣3）＜0}，B={x|x ﹣2≤0}，则A ∩B=（ ）A ．（0，2]B ．（0，2）C ．（0，3）D ．[2，3）2．设z 满足i （1+z ）=2+i ，则|z|=（ ）A ．B ．C ．2D ．13．设命题p ：∀x ＞0，xe x ＞0，则￢p 为（ ）A ．∀x ≤0，xe x ≤0B ．∃x 0≤0，x 0e x0≤0C ．∀x ＞0，xe x ≤0D ．∃x 0＞0，x 0e x0≤04．从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，则推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数字著作《数书九章》，称为“秦九韶算法”．执行该程序框图，若输入x=2，n=5，则输出的v=（ ）A ．26B ．48C ．57D ．646．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（ ）A ．39πB ．48πC ．57πD ．63π7．已知x ，y 满足约束条件，则的最大值是（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．D ．28．已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0）的图象与直线y=b （0＜b ＜A ）相交，其中一个交点P 的横坐标为4，若与P 相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f （x ）（ ）A ．在[0，3]上是减函数B ．在[﹣3，0]上是减函数C ．在[0，π]上是减函数D ．在[﹣π，0]上是减函数9．设函数f （x ）=e x +ax 在（0，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[﹣1，+∞）B ．（﹣1，+∞）C ．[0，+∞）D ．（0，+∞）10．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π11．已知定义在R 上的函数f （x ）是奇函数，且f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，f （2）=0，g （x ）=f （x+2），则不等式xg （x ）≤0的解集是（ ）A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B ．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞）C ．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）12．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，点A ，B 在C 上，且点F 是△AOB 的重心，则cos ∠AFB 为（ ）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣二、填空题13．若和是两个互相垂直的单位向量，则|+2|=_______．14．已知α为锐角，cos α=，则sin （﹣α）=_______．15．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边长分别是x+1，x ，x ﹣1，且∠A=2∠C ，则△ABC 的周长为_______．16．已知圆C ：（x ﹣a ）2+y 2=1（a ＞0），过直线l ：2x+2y+3=0上任意一点P 作圆C 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，若∠APB 为锐角，则a 的取值范围为_______．三、解答题17．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =2a n ﹣1．（1）证明：数列{a n }是等比数列；（2）求数列{na n }的前n 项和T n ．18．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，AB=2，∠BAD=60°，PC ⊥BD ．（1）证明：PB=PD ；（2）若平面PBD ⊥平面ABCD ，且∠DPB=90°，求点B 到平面PDC 的距离．19．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量的影响很大.2012年2月，中国发布了《环境空气质量标准》，开始大力治理空气污染．用x=1，2，3，4，5依次表示2013年到2017年这五年的年份代号，用y 表示每年3月份的PM2.5指数的平均值（单位：μg/m 3）．已知某市2013年到2016年每年3月份PM2.5指数的平均值的折线图如图：（1）根据折线图中的数据，完成表格：年份2013 2014 2015 2016年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）（2）建立y关于x的线性回归方程；（3）在当前治理空气污染的力度下，预测该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值．附：回归直线方程=x+中参数的最小二乘估计公式；=， =﹣．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长为6．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点C的左焦点F的直线l交C于A，B两点，是否存在常数λ，使||=λ•恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=+b在x=1处的切线方程为x+y﹣3=0．（1）求a，b．（2）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，E为⊙O上一点，点A在直径BD的延长线上，过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C，CE=CB．（1）证明：AE2=AD•AB．（2）若AE=4，CB=6，求⊙O的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ﹣8cosθ=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l过点P（2，0）．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）设点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），若直线l经过点Q，且与曲线C 相交于A，B两点，求△GAB的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的值域是[m，n]，且a2+b2=m，c2+d2=n，求ac+bd的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题1．设集合A={x|x （x ﹣3）＜0}，B={x|x ﹣2≤0}，则A ∩B=（ ）A ．（0，2]B ．（0，2）C ．（0，3）D ．[2，3）【考点】交集及其运算．【分析】求出A 与B 中不等式的解集分别确定出A 与B ，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A 中不等式解得：0＜x ＜3，即A=（0，3），由B 中不等式解得：x ≤2，即B=（﹣∞，2]，则A ∩B=（0，2]，故选：A ．2．设z 满足i （1+z ）=2+i ，则|z|=（ ）A ．B ．C ．2D ．1【考点】复数求模．【分析】根据复数的四则运算求出z ，然后利用复数的模长公式进行求解即可．【解答】解：由i （1+z ）=2+i ，得1+z==1﹣2i ，则z=﹣2i ，则|z|=2，故选：C3．设命题p ：∀x ＞0，xe x ＞0，则￢p 为（ ）A ．∀x ≤0，xe x ≤0B ．∃x 0≤0，x 0e x0≤0C ．∀x ＞0，xe x ≤0D ．∃x 0＞0，x 0e x0≤0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，则￢p ：∃x 0＞0，x 0e x0≤0，故选：D4．从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，则推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件数是C 52种结果，满足条件的事件是抽到的2名学生恰好是1男1女，有C 31C 21，进而得到概率．【解答】解：从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，共有C 52=10种选法， 选出的2名选手恰好是1男1女有C 31C 21=6种，故推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是=，故选：C ．5．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数字著作《数书九章》，称为“秦九韶算法”．执行该程序框图，若输入x=2，n=5，则输出的v=（ ）A．26 B．48 C．57 D．64【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=2，n=5，v=1，k=2执行循环体，v=4，k=3满足条件k＜5，执行循环体，v=11，k=4满足条件k＜5，执行循环体，v=26，k=5不满足条件k＜5，退出循环，输出v的值为26．故选：A．6．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A．39π B．48π C．57π D．63π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱、圆锥的侧面积公式求出剩余部分的表面积．【解答】解：根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，且圆柱底面圆的半径为3，母线长是4，则圆锥的母线长是=5，∴剩余部分的表面积S=π×32+2π×3×4+π×3×5=48π，故选：B．7．已知x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线的斜率公式，结合数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由得，即A（2，4），此时的最大值是，故选：D8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）相交，其中一个交点P的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f（x）（）A．在[0，3]上是减函数B．在[﹣3，0]上是减函数C．在[0，π]上是减函数D．在[﹣π，0]上是减函数【考点】正弦函数的图象．【分析】先根据正弦函数的图象的对称性可得函数f（x）的图象的相邻的两条对称轴分别为x=3和x=6，且函数f（x）在[3，6]上单调递减，故f（x）在[0，3]上是增函数，在[﹣3，0]上是减函数，从而得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）相交，其中一个交点P的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f（x）的图象的相邻的两条对称轴分别为x=3和x=6，且函数f（x）在[3，6]上单调递减，故f（x）在[0，3]上是增函数，在[﹣3，0]上是减函数，故选：B．9．设函数f（x）=e x+ax在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数f（x）=e x+ax在区间（0，+∞）上单调递增⇔函数f′（x）=e x+a≥0在区间在区间（0，+∞）上成立．（0，+∞）上恒成立⇔a≥[﹣e x]min【解答】解：f′（x）=e x+a，∵函数f（x）=e x+ax在区间（0，+∞）上单调递增，∴函数f′（x）=e x+a≥0在区间（0，+∞）上恒成立，∴a≥[﹣e x]在区间（0，+∞）上成立，min∵在区间（0，+∞）上﹣e x＜﹣1，∴a≥﹣1，故选：A．10．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．4πB．8πC．12π D．16π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据正三棱柱的对称性，它的外接球的球心在上下底面中心连线段的中点．再由正三角形的性质和勾股定理，结合题中数据算出外接球半径，用球表面积公式即可算出该球的表面积．【解答】解：设三棱柱ABC﹣A′B′C′的上、下底面的中心分别为O、O′，，根据图形的对称性，可得外接球的球心在线段OO′中点O1∵OA=AB=1，OO=AA′=11A=∴O1因此，正三棱柱的外接球半径R=，可得该球的表面积为S=4πR2=8π故选：B．11．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，f（2）=0，g（x）=f（x+2），则不等式xg（x）≤0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞）C．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意可得g（x）关于点（﹣2，0）对称，g（0）=f（2）=0，g（﹣4）=f（﹣2）=0，画出g（x）的单调性示意图，数形结合求得不等式xg（x）≤0的解集．【解答】解：由题意可得g（x）的图象是把f（x）的图象向左平移2个单位得到的，故g（x）关于点（﹣2，0）对称，g（0）=f（2）=0，g（﹣4）=f（﹣2）=0，它的单调性示意图，如图所示：根据不等式xg（x）≤0可得，x的符号和g（x）的符号相反，∴xg（x）≤0的解集为（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞），故选：C．12．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A，B在C上，且点F是△AOB的重心，则cos∠AFB为（）A．﹣ B．﹣ C．﹣D．﹣【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（m，）、B（m，﹣），则=，p=，可得A的坐标，求出AF，利用二倍角公式可求．【解答】解：由抛物线的对称性知，A、B关于x轴对称．设A（m，）、B（m，﹣），则=，∴p=．∴A（m， m），∴AF=m，∴cos∠AFB==，∴cos∠AFB=2cos2∠AFB﹣1=﹣．故选：D．二、填空题13．若和是两个互相垂直的单位向量，则|+2|= ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】计算（）2，然后开方即可．【解答】解：∵和是两个互相垂直的单位向量，∴，．∴（）2==5，∴||=．故答案为：．14．已知α为锐角，cosα=，则sin（﹣α）= ．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，利用特殊角的三角函数值及两角差的正弦函数公式化简所求即可计算得解．【解答】解：∵α为锐角，cosα=，∴sin==，∴sin（﹣α）=sin cosα﹣cos sinα=﹣×=．故答案为：．15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别是x+1，x，x﹣1，且∠A=2∠C，则△ABC 的周长为15 ．【考点】余弦定理．【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式可得：cosC=，又由余弦定理可得：cosC=，从而可得=，解得x，即可得解三角形的周长．【解答】解：∵∠A，∠B，∠C所对的边长分别是x+1，x，x﹣1，且∠A=2∠C，∴由正弦定理可得：，∴，可得：cosC=，又∵由余弦定理可得：cosC=，∴=，整理即可解得x=5，∴△ABC的周长为：（x+1）+x+（x﹣1）=3x=15．故答案为：15．16．已知圆C：（x﹣a）2+y2=1（a＞0），过直线l：2x+2y+3=0上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若∠APB为锐角，则a的取值范围为（，+∞）．【考点】圆的切线方程．【分析】作出直线l和圆C，PA，PB为圆的两条切线，连接AC，BC，PC，由∠APB为锐角，可得0＜∠APC＜，运用解直角三角形可得可得1＜PA恒成立，由勾股定理可得PA2=PC2﹣1，求得PC的最小值，可得PA的最小值，解不等式即可得到所求a的范围．【解答】解：作出直线l和圆C，PA，PB为圆的两条切线，连接AC，BC，PC，由圆心C（a，0）到直线l的距离为d=＞＞1，可得直线和圆相离．由∠APB为锐角，可得0＜∠APC＜，即0＜tan∠APC＜1，在Rt△APC中，tan∠APC==，可得1＜PA恒成立，由勾股定理可得PA2=PC2﹣1，当PC⊥l时，PC取得最小值，且为，即有1＜，解得a＞．故答案为：（，+∞）．三、解答题17．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =2a n ﹣1．（1）证明：数列{a n }是等比数列；（2）求数列{na n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）由S n =2a n ﹣1．可得当n=1时，a 1=2a 1﹣1，解得a 1．当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，化为：a n =2a n ﹣1．利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）可得：a n =2n ﹣1．na n =n •2n ﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的前n 项和公式即可得出．【解答】（1）证明：∵S n =2a n ﹣1．∴当n=1时，a 1=2a 1﹣1，解得a 1=1．当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣1﹣（2a n ﹣1﹣1），化为：a n =2a n ﹣1．∴数列{a n }是等比数列，首项为1，公比为2．（2）解：由（1）可得：a n =2n ﹣1．na n =n •2n ﹣1．∴数列{na n }的前n 项和T n =1+2×2+3×22+…+n •2n ﹣1，2T n =2+2×22+…+（n ﹣1）•2n ﹣1+n •2n ，∴﹣T n =1+2+22+…+2n ﹣1﹣n •2n =﹣n •2n =（1﹣n ）•2n ﹣1，∴T n =（n ﹣1）•2n +1．18．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，AB=2，∠BAD=60°，PC ⊥BD ．（1）证明：PB=PD ；（2）若平面PBD ⊥平面ABCD ，且∠DPB=90°，求点B 到平面PDC 的距离．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】（1）如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接OP ．利用菱形的性质可得AC ⊥BD ，利用线面垂直的判定与性质定理可证明BD ⊥PO ．又O 是BD 的中点，可得PB=PD ．（2）底面ABCD 是菱形，AB=2，∠BAD=60°，可得△PBD 与△BCD 都是等边三角形．由平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD ∩平面ABCD=BD ，PO ⊥BD ．可得PO ⊥平面ABCD ，因此PO ⊥AC ，又AC⊥BD，可建立如图所示的空间直角坐标系．设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，利用点B到平面PDC的距离d=即可得出．【解答】（1）证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接OP．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又PC⊥BD，且PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC．则BD⊥PO．又O是BD的中点，∴PB=PD．（2）解：底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴△PBD与△BCD都是等边三角形．∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，PO⊥BD．∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AC，又AC⊥BD，可建立如图所示的空间直角坐标系．∵∠DPB=90°，PB=PD，BD=2，∴PO=1，∴P（0，0，1），B（1，0，0），D（﹣1，0，0），C（0，，0），=（﹣1，0，﹣1），=（0，，﹣1），=（1，﹣，0），设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，∴，取=，则点B到平面PDC的距离d===．19．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量的影响很大.2012年2月，中国发布了《环境空气质量标准》，开始大力治理空气污染．用x=1，2，3，4，5依次表示2013年到2017年这五年的年份代号，用y表示每年3月份的PM2.5指数的平均值（单位：μg/m3）．已知某市2013年到2016年每年3月份PM2.5指数的平均值的折线图如图：（1）根据折线图中的数据，完成表格：年份2013 2014 2015 2016年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）（2）建立y关于x的线性回归方程；（3）在当前治理空气污染的力度下，预测该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值．附：回归直线方程=x+中参数的最小二乘估计公式；=， =﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据折线图中的数据，完成表格即可；（2）计算线性回归方程中的系数，可得线性回归方程；（3）x=5代入线性回归方程，可得结论．【解答】解：（1）年份2013 2014 2015 2016年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）90 88 70 64（2）=2.5， =78，（xi ﹣）（yi﹣）=﹣48，=5，==﹣9.6， =﹣=102，∴y关于x的线性回归方程是： =﹣9.6x+102；（3）2017年的年份代号是5，当x=5时， =﹣9.6×5+102=54，∴该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值的预测值是54μg/m3．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长为6．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点C的左焦点F的直线l交C于A，B两点，是否存在常数λ，使||=λ•恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由=，2a+2c=6，a2=b2+c2，联立解出即可得出椭圆C的方程．（2）F（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线l的斜率不存在时，x1=﹣1，不妨取y1=，可得λ==﹣．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程整理为：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，△＞0，利用根与系数的关系可得=，•=（x1+1）（x2+1）+y1y2，计算即可得出．【解答】解：（1）∵=，2a+2c=6，a2=b2+c2，解得a=2，c=1，b2=3．∴椭圆C的方程为=1．（2）F（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线l的斜率不存在时，x1=﹣1，不妨取y1=，||=3， =， =.•=，则λ===﹣．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），则，整理为：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，△=64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）=122（1+k2）＞0，x 1+x2=，x1x2=.==，=（x1+1，y1），=（x2+1，y2）..• =（x1+1）（x2+1）+y1y2=（k2+1）[x1x2+（x1+x2）+1]=，则==﹣．综上所述：可得存在常数λ=﹣，使||=λ•恒成立．21．已知函数f（x）=+b在x=1处的切线方程为x+y﹣3=0．（1）求a，b．（2）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，根据f（1）=2，f′（1）=﹣1，求出a，b的值即可；（2）问题转化为（x﹣﹣2lnx）＞0，令g（x）=x﹣﹣2lnx，（x＞0），求出g（x）的单调区间，从而证出结论即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f（x）=+b，切点是（1，2），∴f（1）=b=2，f′（x）=，∴f′（1）=a=﹣1，故a=﹣1，b=2；（2）证明：由（1）得：f（x）=+2，f（x）＞，∴（x﹣﹣2lnx）＞0，令g（x）=x﹣﹣2lnx，（x＞0），则g′（x）=（x﹣1）2＞0，∴g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递增，∵g（1）=0，∴g（x）＞0⇔x＞1，g（x）＜0⇔0＜x＜1，∴x＞1时， g（x）＞0，0＜x＜1时， g（x）＞0，x＞0且x≠1时，（x﹣﹣2lnx）＞0，∴当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，E为⊙O上一点，点A在直径BD的延长线上，过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C，CE=CB．（1）证明：AE2=AD•AB．（2）若AE=4，CB=6，求⊙O的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）证明AC是⊙O的切线，根据切割线定理可得：AE2=AD•AB．（2）根据切割线定理求出AD，即可求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C，∴∠CBO=∠CBE+∠OBE=90°．∵CE=CB，OE=OB，∴∠CEB=∠CBE，∠OEB=∠OBE，∴∠CEO=∠CEB+∠OEB=∠CBE+∠OBE=90°，∴CE⊥OE，∵OE是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线，根据切割线定理可得AE2=AD•AB．（2）解：∵CE=CB=6，AE=4，∴AC=10，∴AB=8∵AE2=AD•AB，AE=4，∴42=AD•8，∴AD=2，∴BD=8﹣2=6，∴⊙O的半径为3．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ﹣8cosθ=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l过点P（2，0）．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）设点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），若直线l经过点Q，且与曲线C相交于A，B两点，求△GAB的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）ρsin2θ﹣8cosθ=0，化为ρ2sin2θ﹣8ρcosθ=0，令，即可得出直角坐标方程．直线l的参数方程为：（t为参数）．（2）点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），分别化为：Q（0，﹣2），G（﹣2，0）．kl=1，倾斜角为，可得直线l的参数方程：（t为参数）．将参数方程代入曲线C的方程可得：t2﹣8t﹣32=0，设t1与t2为此方程的两个实数根，可得|AB|=|t1﹣t2|=．点G到直线l的距离d．即可得出S△GAB=|BA|•d．【解答】解：（1）ρsin2θ﹣8cosθ=0，化为ρ2sin2θ﹣8ρcosθ=0，∴直角坐标方程为：y2=8x．直线l的参数方程为：（t为参数）．（2）点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），分别化为：Q（0，﹣2），G（﹣2，0），kl==1，倾斜角为，直角坐标方程为：y=x﹣2．可得直线l的参数方程：（t为参数）．将参数方程代入曲线C的方程可得：t2﹣8t﹣32=0，△=128+4×32＞0，设t1与t2为此方程的两个实数根，可得：t1+t2=，t1t2=﹣32．∴|AB|=|t1﹣t2|===16．点G到直线l的距离d==2．∴S △GAB=|BA|•d==16．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的值域是[m，n]，且a2+b2=m，c2+d2=n，求ac+bd的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）记g（x）=|x+3|﹣|x﹣1|+5，分类讨论求得g（x）=，从而求值域；（2）由柯西不等式知（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，从而求取值范围．【解答】解：（1）记g（x）=|x+3|﹣|x﹣1|+5，则g（x）=，故g（x）∈[1，9]，故f（x）∈[1，3]．（2）由（1）知，a2+b2=1，c2+d2=3，由柯西不等式知，（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，（当且仅当ad=bc时，取等号；）即（ac+bd）2≤3，故﹣≤ac+bd≤，故ac+bd的取值范围为[﹣，]．2016年9月12日。
2021年海南高考数学试题模拟试题及答案
2021年海南高考数学试题模拟试题及答案注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}2．2i 12i -= +A．1 B．−1C．i D．−i3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A．120种B．90种C．60种D．30种4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为A．20°B．40°C．50°D．90°5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是A．62% B．56%C．46% D．42%6．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天D ．3.5天7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范用是 A ．()2,6- B ．()6,2- C ．()2,4-D ．()4,6-8．若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是 A ．[)1,1][3,-+∞ B ．3,1][,[01]-- C ．[)1,0][1,-+∞D ．1,0]3][[1,-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届高三湖南新高考数学模拟(三)试卷
2021届高三新高考数学模拟卷（三）一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知U R =，函数lg(1)y x =+的定义域为M ，2{20}N x x x =−>，则下列结论正确 的是 （ ） A ．MN N = B ．MN U = C .U M C N ⊆ D .U M C N =∅2．过点12（，）作圆2220x y y +−=的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为（ ）A ．10x y +−= B. 3240x y +−= C .20x y +−= D .2350x y +−= 3．已知1sin()3απ+=，则sin cos 2αα= （ ） A ．37− B ．73− C ．37 D ．734．现有4张卡片，正面分别标有1，2，3，4，背面完全相同.将卡片洗匀，背面向上放置， 甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽取一张，抽取后不放回，甲先抽.若二人约定，先抽 到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是 （ ） A ．512 B ．12 C ．712 D ．235．()()27231x x −−的展开式中，3x 的系数为 （ ）A ．455B ．315C ．-455D ．-315 6．设1212,,,a a b b 是平面向量，12(1,1),(1,0)a a ==−.若对任意平面向量a ，有1122()()a a b a a b a =⋅+⋅，则 （ ）A ．12(0,1),(1,1)b b ==−B ．12(1,0),(1,1)b b ==−C ．12(0,1),(1,1)b b ==−D ．12(1,0),(1,1)b b ==−7．已知函数()2xf x e ax =−，对任意10x <，20x <，都有()()()()21210x x f x f x −−<，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．0,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,2e ⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦C ．,02e ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦ D ．,2e ⎛⎤−∞− ⎥⎝⎦8．已知,A B是半径为AB 作互相垂直的两个平面,αβ，若,αβ 截该球所得的两个截面的面积之和为16π，则线段AB 的长度是 （ ） AB ．2 C． D ．4二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分,有选错的得0分. 9．若(1+i)(1i)n n =−，则n 可以是 （ ）A ．102B ．104C ．106D ．108 10．如图，1111ABCD A B C D −为正方体，则 （ ） A ．1//AA 平面11CB D B ．1AC BD ⊥C ．1AC ⊥平面11CBD D ．异面直线AD 与1CB 所成的角为60︒ 11．下列四个命题中，假命题的是 （ ）A ．要唯一确定抛物线，只需给出准线和抛物线上的一点B ．要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆，只需给出一个焦点和椭圆的上一点C ．要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出双曲线上的两点D ．要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线方程和离心率12．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改 造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点()3A −出发，沿圆周按逆 时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设P 的坐标为(),x y ，其纵坐标满足()()sin y f t R t ωϕ==+ (0,0,)2t πωϕ≥><.则下列结论正确的是 （ ） A ．6,,306R ππωϕ===−B ．当20t =时，PA =C ．当[]10,25t ∈时，函数()y f t =单调递减 D ．当[]35,55t ∈时，点P 到x 轴的距离的最大值为6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．曲线2ln(1)y x =−在点(0,0)处的切线方程为 .14．甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年 龄比学委大，甲与体委的年龄不同，体委比乙的年龄小．据此推断班长是______．15．设双曲线C ：221(0)8x y m m−=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，N 在右支上.若C的离心率e >m 的取值范围为 . 若22F MN F NM ∠=∠，则MN = .16．若关于x 的不等式()1ln 2x x k kx ++>的解集为A ，且()2,A +∞⊆，则整数k 的最 大值是 .四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设{}n a 是单调递增的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知313S =，且13a +，23a ，35a +构成等差数列．（1）求n a 及n S ；（2）是否存在常数λ．使得数列{}n S λ+是等比数列?若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．如图所示，锐角ABC ∆中，AC =D 在线段BC上，且CD =ACD ∆的面积为，延长BA 至E ，使得EC BC ⊥.（1）求AD 的值； （2）若2sin 3BEC ∠=，求AE 的值.19．（12分）如图，在四棱锥ABCD P −中，底面ABCD 是矩形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，点E 是PC 的中点.（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）若直线BD 与平面PBC 所成角为︒30，求二面角D PB C −−的大小.已知椭圆()222210x y E a b a b+=>>： 上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的3倍，且点312P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆E 上. （1）求椭圆E 的方程；（2）过点()11M ，任作一条直线l ，l 与椭圆E 交于不同于P 点的A 、B 两点，l 与直线:34120m x y +−=交于C 点，记直线PA 、PB 、PC 的斜率分别为1k 、2k 、3k .试探究12k k +与3k 的关系，并证明你的结论.21．（12分）甲市实行某政策以来，经济持续高速增长. 下表给出了该市 2010 年至 2019 年第一、第二产业增加值（单位：亿元）.（1）绘制一个反映甲市第一、第二产业增加值的变化情况的统计图； （2）建立一个反映甲市第一、第二产业增加值的差异变化的统计模型.附：121()()ˆˆˆ,.()niii ni i t t y y bay b t t t ==−−==−−−∑∑设函数. （1）试讨论函数的单调性；（2）如果且关于的方程有两解，（），证明.22()ln f x a x x ax =−+−()a R ∈()f x 0a >x ()f x m =1x 2x 12x x <122x x a +>参考答案一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1-5: B C A D C 6-8: A B D二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.BD 10. B C 11. ACD 12. AD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.20x y += 14.乙 15. 8m >2分，第三空3分） 16. 4 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得1232131368a a a a a a ++=⎧⎨=++⎩ ， 213310a a a ∴=+=， ……………1分∴3310q q +=， 解得3q =或 13q =（舍）. ……………………3分 所以2123−−==n n na a q ，()11331132n n n S ⨯−−==− . …………………5分（2）假设存在常数λ．使得数列{}n S λ+是等比数列， 因为11S λλ+=+，24S λλ+=+，313S λλ+=+， 所以()()()24113λλλ+=+⋅+，解得12λ=， ………………7分 此时1322n n S +=, 11132231322nn n n S S −−+==+()2n ≥， ∴存在常数12λ=．使得数列12n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为11322a +=，公比为3等比数列.…10分18.（12分）解：（1）在ACD ∆中，1sin 2ACD S AC CD ACD ∆=⋅∠1sin 2ACD =⨯∠=.所以sin ACD ∠=. …………… ………………3分因为090ACD ︒<∠<︒，所以1cos 5ACD ∠==. 由余弦定理得2222cos 56AD CD CA CD CA ACD =+−⋅⋅⋅∠=，得AD = ………… ……………… ………………6分 （2）因为EC BC ⊥，所以()1sin sin 90cos 5ACE ACD ACD ∠=︒−∠=∠=.……8分 在AEC ∆中，由正弦定理得sin sin AE ACACE AEC=∠∠，即1253AE =，所以2AE =. ………… ……………… ………………12分 19.（12分）解：（1）连接AC 交BD 于O ，连接OE .由题意可知，PE EC =,,AO OC =//,PA EO ∴又PA ⊄平面BED ,EO ⊂平面BED ,//PA ∴平面BED . ………………………4分（2）以D 为坐标原点，,,DA DC DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz −，设1,,PD CD AD a ===则(,0,0)A a ,(,1,0)B a ,(0,1,0),(0,0,1)C P ,(,1,0)DB a =,(,1,1)PB a =−,(0,1,1)PC =−. …………6分设平面PBC 的法向量(,,)n x y z =,由00{PB n PC n ⋅=⋅=得00{ax y z y z +−=−=，取(0,1,1)n =. ……………………………7分 直线BD 与平面PBC 所成的角为30，得1cos ,2DB n DB n DB n⋅〈〉==， 解得1a =. ……………………………………9分同理可得平面PBD 的法向量(1,1,0),m =−1cos ,2n m m n m n⋅〈〉==， 二面角D PB C −−为锐二面角，D PB C −−的大小为︒60. ……………12分20.（12分）解：（1）因为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为a c +，a c −，所以依题意有：()32a c a c a c +=−⇒=， ∵222a b c =+，∴b =. ………… ………………2分故可设椭圆E 的方程为：2222143x y c c+=，因为点312P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆E 上，所以将其代入椭圆E 的方程得2229141143c c c +=⇒=.∴椭圆E 的方程为22143x y +=. ………………………………………5分 （2）依题意，直线l 不可能与x 轴垂直，故可设直线l 的方程为：()11y k x −=−即1y kx k =−+，()11,A x y ，()22,B x y 为l 与椭圆E 的两个交点.将1y kx k =−+代入方程2234120x y +−=化简得：()()22224384880kx k k x k k +−−+−−=.所以21228843k k x x k −+=+，212248843k k x x k −−=+. ………………………………6分()()1212121212123311111112222221111211y y k x k x k k k k x x x x x x −−−−−−⎛⎫∴+=+=+=−+=− ⎪−−−−−−⎝⎭()()()()221222212128824321163221254888843k k k x x k k x x x x k k k k k −−++−−=−=−++−−−−++. …9分 又由()134112034120y kx k x kx k x y =−+⎧⇒+−+−=⎨+−=⎩ ，解得4843k x k +=+，9343k y k +=+， 即C 点的坐标为4893,4343k k C k k ++⎛⎫⎪++⎝⎭， 所以3933634324810143k k k k k k +−−+==+−+. ………………………………………11分因此，12k k +与3k 的关系为：1232k k k +=. ……………………12分 21．（12分）解：（1）下面给出折线图．2010-2019年第一、二产业增加值折线图2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019……………………5分注：也可绘制柱形图，散点图等．（2）记y 表示甲市第二产业增加值与第一产业增加值的差，t 表示年份的代码，2010年至2019年的代码依次为1—10．根据所给数据得,t y 的数据如下表：由所给数据计算得 1(123910) 5.510t =+++++=，1(4.50 5.2517.2918.28)10.8010y =++++≈， 10222221()( 4.5)( 3.5)(3.5)(4.5)82.5i i tt =−=−+−+++=∑， 101()()i i i tt y y =−−∑( 4.5)( 6.30)( 3.5)( 5.55) 3.5 6.49 4.57.48=−⨯−+−⨯−++⨯+⨯131.885=，1011021()()131.885ˆ 1.6082.5()i i i i i t t y y b tt ==−−==≈−∑∑，ˆ10.80 1.60 5.5 2.00a y bt =−=−⨯=， 所以回归方程ˆ 1.60 2.00y t =+是一个反映甲市第一、第二产业增加值的差异变化的统计模型． ……… ……12分22. （12分）解：（1）由22()ln f x a x x ax =−+−，可知 2'()2a f x x a x =−+−=222(2)()x ax a x a x a x x−−+−=. ……… ……1分 因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ……… ……… ……2分所以①若0a >，则当(0,)x a ∈时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当(,)x a ∈+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增；②若0a =，则当'()20f x x =>在(0,)x ∈+∞内恒成立，函数()f x 单调递增； ③若0a <，则当(0,)2ax ∈−时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当(,)2a x ∈−+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增. ……… … ……… ……5分（2）要证122x x a +>，只需证122x x a +>. 设()()g x f x '==−22a x a x +−， 因为()2220a g x x'=+>， 所以()()g x f x '=为单调递增函数. 所以只需证()1202x x f f a +⎛⎫''>= ⎪⎝⎭，即证2121220a x x a x x −++−>+， 只需证122x x −++()12210x x a a+−>.（*） ……… … ……… … ……… …7分 又22111ln a x x ax m −+−=，22222ln a x x ax m −+−=，所以两式相减，并整理，得1212ln ln x x x x −−+−()12210x x a a +−=. 把()1221x x a a +−=1212ln ln x x x x −−代入（*）式， 得只需证121212ln ln 20x x x x x x −−+>+−，可化为12112221ln 01x x x x x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭−+<+.……… …9分 令12x t x =，得只需证()21ln 01t t t −−+<+. 令()()21ln 1t t t t ϕ−=−++（01t <<）， 则()()2411t t t ϕ'=−++()()22101t t t −=>+，所以()t ϕ在其定义域上为增函数， 所以()()10t ϕϕ<=.综上得原不等式成立. ……… ……12分。
江西省九江市2021届新高考数学仿真第三次备考试题含解析
江西省九江市2021届新高考数学仿真第三次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =-，则sin cos A A -的值为（ ） AB． CD ．5-3【答案】A 【解析】 【分析】由2sin 22sin cos 3A A A ==-，得到1sin cos 03A A =-<，得出(,)2A ππ∈，再结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由题意，角A 满足2sin 22sin cos 3A A A ==-，则1sin cos 03A A =-<， 又由角A 是三角形的内角，所以(,)2A ππ∈，所以sin cos A A >，因为()225sin cos 12sin cos 1()33A A A A -=-=--=，所以sin cos A A -=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了正弦函数的性质，以及三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式的化简、求值问题，着重考查了推理与计算能力.2．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y =-+的最大值为n ，则2n x ⎛ ⎝的展开式中2x 项的系数为( ) A ．60 B ．80C ．90D ．120【答案】B 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到5n =，再利用二项式定理计算得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，32z x y=-+，即322zy x=+，故z表示直线与y截距的2倍，根据图像知：当1,1x y=-=时，32z x y=-+的最大值为5，故5n=.52xx⎛-⎪⎝⎭展开式的通项为：()()35552155221rrr rr r rrT C x C xx---+⎛=⋅-=⋅⋅-⋅⎪⎝⎭，取2r=得到2x项的系数为：()225252180C-⋅⋅-=.故选：B.【点睛】本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.3．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC∆中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c，则ABC∆的面积222221()42a b cS ab⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.根据此公式，若()cos3cos0a Bbc A++=，且2222a b c--=，则ABC∆的面积为（）A2B．2C6D．23【答案】A【解析】【分析】根据()cos3cos0a Bbc A++=，利用正弦定理边化为角得sin cos cos sin3sin cos0A B A B C A++=，整理为()sin13cos0C A+=，根据sin0C≠，得1cos3A=-，再由余弦定理得3bc=，又2222a b c--=，代入公式222221()42⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦c b aS bc求解.【详解】由()cos 3cos 0a B b c A ++=得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=， 即()sin 3sin cos 0A B C A ++=，即()sin 13cos 0C A +=， 因为sin 0C ≠，所以1cos 3A =-， 由余弦定理22222cos 23a b c bc A bc --=-==，所以3bc =， 由ABC ∆的面积公式得S ===故选：A 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.4．已知函数())33x x f x x -=+-，不等式()2(50f f x ++„对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[2,)-+∞ B ．(,2]-∞-C ．5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．5,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】确定函数为奇函数，且单调递减，不等式转化为2a ⎫=-，利用双勾函数单调性求最值得到答案.【详解】())33(),()x x f x x f x f x --=+-=-是奇函数，())3333x x x x f x x --=+=+--，易知,33x x y y y -==-=均为减函数，故()f x 且在R上单调递减，不等式()2(50f f x ++„，即()2(5f f x --„，结合函数的单调性可得25x --，即2a ⎫=-，设24t x =+，2t ≥，故1y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭单调递减，故22max 5424x x ⎛⎫-++=- ⎪+⎭， 当2t =，即0x =时取最大值，所以52a -…. 故选：C . 【点睛】本题考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式，参数分离求最值是解题的关键.5．如图，ABC V 中260A B ∠=∠=︒，点D 在BC 上，30BAD ∠=︒，将ABD △沿AD 旋转得到三棱锥B ADC '-，分别记B A '，BD '与平面ADC 所成角为α，β，则α，β的大小关系是（ ）A ．2αβα<≤B ．23αβα≤≤C ．2βα≤，23αβα<≤两种情况都存在D ．存在某一位置使得3a β> 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意作出垂线段，表示出所要求得α、β角，分别表示出其正弦值进行比较大小，从而判断出角的大小，即可得答案． 【详解】由题可得过点B 作BE AD ⊥交AD 于点E ，过B ′作CD 的垂线，垂足为O ，则易得B AO α=∠'，B DO β=∠'．设1CD =，则有2BD AD ==，1DE =，BE =∴可得AB AB '==，2B D BD '==．sin ,sin OB OB AB DB αβ''==''Q ，sin sin βαα∴=>，βα∴>；QOB '∈，∴1sin [0,]2α∈； Qsin 22sin cos 2sin ααα==，2]，∴sin 2sin ααβ=，2αβ∴…．综上可得，2αβα<„． 故选：A ． 【点睛】本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．6．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ） A ．方差 B ．中位数 C ．众数 D ．平均数【答案】A 【解析】 【分析】通过方差公式分析可知方差没有改变，中位数、众数和平均数都发生了改变. 【详解】由题可知，中位数和众数、平均数都有变化.本次和上次的月考成绩相比，成绩和平均数都增加了50，所以2)n x x -（没有改变， 根据方差公式222181[()()]8S x x x x =-++-L 可知方差不变. 故选：A 【点睛】本题主要考查样本的数字特征，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）.A ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B ．与2016年相比，2019年一本达线人数减少C ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D ．2016年与2019年艺体达线人数相同 【答案】A 【解析】 【分析】设2016年高考总人数为x ，则2019年高考人数为1.2x ，通过简单的计算逐一验证选项A 、B 、C 、D. 【详解】设2016年高考总人数为x ，则2019年高考人数为1.2x ，2016年高考不上线人数为0.3x ， 2019年不上线人数为1.20.280.3360.3x x x ⨯=>，故A 正确；2016年高考一本人数0.3x ，2019年高考一本人数1.20.260.3120.3x x x ⨯=>，故B 错误； 2019年二本达线人数1.20.40.48x x ⨯=，2016年二本达线人数0.34x ，增加了0.480.340.410.34x xx-≈倍，故C 错误；2016年艺体达线人数0.06x ，2019年艺体达线人数1.20.060.072x x ⨯=，故D 错误. 故选：A. 【点睛】本题考查柱状图的应用，考查学生识图的能力，是一道较为简单的统计类的题目.8．已知()()11,101,012x f x f x x x ⎧--<<⎪+⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，若方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a 的取值范围是( )A ．{}()81,-⋃+∞B ．{}()116,12,2⎛⎤-⋃⋃+∞⎥⎝⎦C ．{}()18,12,2⎡⎤-⋃⋃+∞⎢⎥⎣⎦D ．{}[]()321,24,-⋃⋃+∞【答案】B 【解析】 【分析】求出()f x 的表达式，画出函数图象，结合图象以及二次方程实根的分布，求出a 的范围即可． 【详解】解：令10x -<<，则011x <+<， 则1(1)2x f x ++=， 故21,101(),012x x f x x x ⎧--<<⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎩„，如图示：由()21f x ax a -=-， 得()(21)1f x a x =+-，函数(21)1y a x =+-恒过1(2A -，1)-，由1(1,)2B ，(0,1)C ，可得1121112ABk +==+，2OA k =，11412AC k +==，若方程()21f x ax a -=-有唯一解， 则122a <„或24a >，即1a 12<„或2a >； 当22111ax a x +-=-+即图象相切时， 根据0∆=，298(2)0a a a --=， 解得16(0a =-舍去）， 则a 的范围是{}()116,12,2⎛⎤-⋃⋃+∞ ⎥⎝⎦， 故选：B ．【点睛】本题考查函数的零点问题，考查函数方程的转化思想和数形结合思想，属于中档题． 9．若关于x 的不等式1127k xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可将1127kxx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭转化为ln 3ln 3x x k ≥，令()ln xf x x=，利用导数，判断其单调性即可得到实数k 的最小值． 【详解】因为不等式有正整数解，所以0x >，于是1127k xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭转化为ln 3ln 3k xx≥， 1x =显然不是不等式的解，当1x >时，ln 0x >，所以ln 3ln 3k x x ≥可变形为ln 3ln 3x x k≥． 令()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=， ∴函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，而23e <<，所以 当*x ∈N 时，()(){}max ln 3max 2,33f f f ==，故ln 33ln 33k≥，解得9k ≥．故选：A ． 【点睛】本题主要考查不等式能成立问题的解法，涉及到对数函数的单调性的应用，构造函数法的应用，导数的应用等，意在考查学生的转化能力，属于中档题．10．已知命题p ：若1a >，1b c >>，则log log b c a a <；命题q ：()00,x ∃+∞，使得0302log x x <”，则以下命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝【解析】 【分析】先判断命题,p q 的真假,进而根据复合命题真假的真值表,即可得答案. 【详解】1log log b a a b =，1log log c a a c =，因为1a >，1b c >>，所以0log log a a c b <<，所以11log log a a c b>，即命题p 为真命题；画出函数2xy =和3log y x =图象，知命题q 为假命题,所以()p q ∧⌝为真.故选:B.【点睛】本题考查真假命题的概念,以及真值表的应用,解题的关键是判断出命题,p q 的真假,难度较易. 11．过圆224x y +=外一点(4,1)M -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）． A ．440x y --= B ．440x y +-= C ．440x y ++= D ．440x y -+=【答案】A 【解析】过圆222x y r +=外一点(,)m n ，引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为20mx ny r +-=，故选A ．12．已知抛物线2:4C y x =和点()2,0D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断： ①直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-； ②//AE y 轴；③以BE 为直径的圆与抛物线准线相切. 其中，所有正确判断的序号是（ ） A ．①②③ B ．①②C ．①③D ．②③【答案】B 【解析】由题意，可设直线DE 的方程为2x my =+，利用韦达定理判断第一个结论；将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-，进而判断第二个结论；设F 为抛物线C 的焦点，以线段BE 为直径的圆为M ，则圆心M 为线段BE 的中点．设B ，E 到准线的距离分别为1d ，2d ，M e 的半径为R ，点M 到准线的距离为d ，显然B ，E ，F 三点不共线，进而判断第三个结论. 【详解】解：由题意，可设直线DE 的方程为2x my =+， 代入抛物线C 的方程，有2480y my --=． 设点B ，E 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 则124y y m +=，128y y =-．所()()()21212121222244x x my my m y y m y y =++=+++=．则直线OB 与直线OE 的斜率乘积为12122y y x x =-．所以①正确． 将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-， 根据抛物线的对称性可知，A ，E 两点关于x 轴对称， 所以直线//AE y 轴．所以②正确．如图，设F 为抛物线C 的焦点，以线段BE 为直径的圆为M ，则圆心M 为线段BE 的中点．设B ，E 到准线的距离分别为1d ，2d ，M e 的半径为R ，点M 到准线的距离为d ，显然B ，E ，F 三点不共线， 则12||||||222d d BF EF BE d R ++==>=．所以③不正确．故选：B. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查数形结合思想、化归与转化思想,属于难题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省无锡市2021届新高考数学三模试卷含解析
江苏省无锡市2021届新高考数学三模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a <”是“20210S <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的前n 项和公式，判断出正确选项. 【详解】由于数列{}n a 是等比数列，所以20212021111q S a q -=⋅-，由于2021101q q ->-，所以 1202100a S <⇔<，故“10a <”是“20210S <”的充分必要条件.故选：C 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比数列前n 项和公式，属于基础题.2．在ABC 中，D 为BC 边上的中点，且||1,|2,120AB AC BAC ==∠=︒，则||=AD （ ）A B ．12C ．34D 【答案】A 【解析】 【分析】由D 为BC 边上的中点，表示出()12AD AB AC =+，然后用向量模的计算公式求模. 【详解】解：D 为BC 边上的中点，()12AD AB AC =+，()()()()22222112412411221212043=AD AB AC AB AC AB AC AB AC COS =+=+=++⋅=++⨯⨯⨯。
故选：A 【点睛】在三角形中，考查中点向量公式和向量模的求法，是基础题.3．设a ，b ，c 分别是ABC ∆中A ∠，B ，C ∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ⋅--=与sin sin 0bx B y C +⋅+=的位置关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直【答案】C 【解析】试题分析：由已知直线sin 0A x ay c ⋅--=的斜率为，直线sin sin 0bx B y C +⋅+=的斜率为，又由正弦定理得，故，两直线垂直考点：直线与直线的位置关系4．若x ，y 满足约束条件103020x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，则22x y +的最大值是（ ）A ．92B 32C ．13D 13【答案】C 【解析】 【分析】由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值． 【详解】 解：22xy +表示可行域内的点(,)x y 到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由1020x y x +-=⎧⎨+=⎩解得32y x =⎧⎨=-⎩即()2,3A -点()2,3A -到坐标原点(0,0)的距离最大，即2222()(2)313max x y +=-+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题． 5．复数12i2i+=-（ ）． A ．i B ．1i +C ．i -D ．1i -【答案】A 【解析】试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化. 6．已知||23z z i =-（i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数），则复数z 在复平面内对应的点在（ ）. A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】设i,(,)z a b a b R =+∈，由||23z z i =-，得222i=(2)i=3a b z a b +--+，利用复数相等建立方程组即可. 【详解】设i,(,)z a b a b R =+∈，则222i=(2)i=3a bz a b +--+，所以22320a b a b ⎧+⎪=⎨⎪+=⎩，解得2a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩2i 2z =-，复数z在复平面内对应的点为(2)2-，在第四象限. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.7．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，1a =，4sin 3cos c A C =，ABC ∆的面积为32，则c =（ ） A．B ．4C ．5D．【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理可知4sin 4sin 3cos c A a C C ==,从而可求出34sin ,cos 55C C ==.通过13sin 22ABC S ab C ∆==可求出5b =，结合余弦定理即可求出c 的值.【详解】 解：4sin 3cos c A C =，即4sin 3cos c A a C =4sin sin 3sin cos A C A C ∴=，即4sin 3cos C C =.22sin cos 1C C += ，则34sin ,cos 55C C ==. 1133sin 12252ABC S ab C b ∆∴==⨯⨯⨯=，解得5b =.222242cos 15215185c a b ab C ∴=+-=+-⨯⨯⨯=，c ∴=故选:D. 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过正弦定理结合已知条件，得到角C 的正弦值余弦值. 8．已知平面向量,a b ，满足1,13a b ==，且2a b a b +=+，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【答案】C 【解析】 【分析】根据2a b a b +=+， 两边平方222a b a b +=+，化简得()223ab a =-，再利用数量积定义得到()22cos ,3a b a b a =-求解.【详解】因为平面向量,a b ，满足1,13a b ==，且2a b a b +=+， 所以222a b a b +=+， 所以()223ab a =-，所以 ()22cos ,3a b a b a =-，所以1cos ,2a b =-， 所以a 与b 的夹角为23π.故选：C 【点睛】本题主要考查平面向量的模，向量的夹角和数量积运算，属于基础题. 9．在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】分析：从两个方向去判断，先看tan tan 1A B >能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出tan tan 1A B >成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果.详解：由题意可得，在ABC ∆中，因为tan tan 1A B >， 所以sin sin 1cos cos A BA B>，因为0,0A B ππ<<<<，所以sin sin 0A B >，cos cos 0A B >，结合三角形内角的条件，故A,B 同为锐角，因为sin sin cos cos A B A B >， 所以cos cos sin sin 0A B A B -<，即cos()0A B +<，所以2A B ππ<+<，因此02C <<π，所以ABC ∆是锐角三角形，不是钝角三角形，所以充分性不满足，反之，若ABC ∆是钝角三角形，也推不出“tan tan 1B C >，故必要性不成立， 所以为既不充分也不必要条件，故选D.点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征.10．已知正项数列{}{},n n a b 满足：1110n n nn n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩，设n n n a c b =，当34c c +最小时，5c 的值为( )A ．2B ．145C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】由1110n n nn n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩得11911n nn na ab b ++=++，即1911n nc c +=++，所以得3433911c c c c +=+++，利用基本不等式求出最小值，得到32c =，再由递推公式求出5c . 【详解】由1110n n n n n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩得1110109111nn n n n n n n n nn na a ab b a a b a b b b ++++===++++，即1911n n c c +=++， 34339161c c c c ∴+=++≥+，当且仅当32c =时取得最小值， 此时45349914141115，c c c c =+==+=++. 故选：B 【点睛】本题主要考查了数列中的最值问题，递推公式的应用，基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力. 11．函数()()()sin 0,02g x A x A ωϕϕπ=+><<的部分图象如图所示，已知()506g g π⎛⎫== ⎪⎝⎭，函数()y f x =的图象可由()y g x =图象向右平移3π个单位长度而得到，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin 2f x x =B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()2sin f x x =- D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由图根据三角函数图像的对称性可得522662T πππ=-⨯=，利用周期公式可得ω，再根据图像过(,0,36π⎛⎫⎪⎝⎭，即可求出,A ϕ，再利用三角函数的平移变换即可求解. 【详解】 由图像可知522662T πππ=-⨯=，即T π=， 所以2T πω=，解得2ω=，又sin 2066g A ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()3k k ϕπ+=π∈Z ，由02ϕπ<<， 所以23ϕπ=或53π，又()03g =所以sin 3A ϕ=，()0A >， 所以23ϕπ=，2A =， 即()22sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为函数()y f x =的图象由()y g x =图象向右平移3π个单位长度而得到，所以()22sin 22sin 233y f x x x ππ⎡⎤⎛⎫==-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A 【点睛】本题考查了由图像求三角函数的解析式、三角函数图像的平移伸缩变换，需掌握三角形函数的平移伸缩变换原则，属于基础题.12．定义在R 上的函数()()f x x g x =+，()22(2)g x x g x =--+--，若()f x 在区间[)1,-+∞上为增函数，且存在20t -<<，使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式不一定成立的是（ ） A ．()2112f t t f ⎛⎫++>⎪⎝⎭B ．(2)0()f f t ->>C ．(2)(1)f t f t +>+D ．(1)()f t f t +>【答案】D 【解析】 【分析】根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可． 【详解】由条件可得(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+=∴函数()f x 关于直线1x =-对称；()f x 在[1-，)+∞上单调递增，且在20t -<<时使得(0)()0f f t <；又(2)(0)f f -=()0f t ∴<，(2)(0)0f f -=>，所以选项B 成立；223112()0224t t t ++-=++>，21t t ∴++比12离对称轴远， ∴可得21(1)()2f t t f ++>，∴选项A 成立；22(3)(2)250t t t +-+=+>，|3||2|t t ∴+>+，∴可知2t +比1t +离对称轴远 (2)(1)f t f t ∴+>+，选项C 成立；20t -<<，22(2)(1)23t t t ∴+-+=+符号不定，|2|t ∴+，|1|t +无法比较大小， (1)()f t f t ∴+>不一定成立．故选：D ． 【点睛】本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省邯郸市2021届新高考数学仿真第三次备考试题含解析
河北省邯郸市2021届新高考数学仿真第三次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． “角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n ，如果n 为偶数就除以2，如果n 是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出i 的（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B 【解析】 【分析】模拟程序运行，观察变量值可得结论． 【详解】循环前1,10i n ==，循环时：5,2n i ==，不满足条件1n =；16,3n i ==，不满足条件1n =；8,4n i ==，不满足条件1n =；4,5n i ==，不满足条件1n =；2,6n i ==，不满足条件1n =；1,7n i ==，满足条件1n =，退出循环，输出7i =． 故选：B ． 【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论． 2．已知集合{}2230A x x x =--≤{}2B x x =＜，则A B =I ( ) A ．()1,3 B ．(]1,3C ．[)1,2-D ．()1,2-【答案】C 【解析】 【分析】解不等式得出集合A ，根据交集的定义写出A∩B ．集合A ＝{x|x 2﹣2x ﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x ≤3}，={x x<2}B ，{|1<2}A B x x ∴⋂=≤﹣故选C ． 【点睛】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．3．已知等式2324214012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++L 成立，则2414a a a +++=L （ ）A ．0B ．5C ．7D ．13【答案】D 【解析】 【分析】根据等式和特征和所求代数式的值的特征用特殊值法进行求解即可. 【详解】由2324214012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++L 可知： 令0x =，得0011a a ⇒==；令1x =，得012140121411(1)a a a a a a a a =++++++++⇒=L L ；令1x =-，得0123140123142727(2)()()a a a a a a a a a a =-++-++-++⇒=+-+L L ，(2)(1)+得，024********(28)14a a a a a a a a ++++=⇒++++=L L ，而01a =，所以 241413a a a +++=L .故选：D 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了特殊值代入法，考查了数学运算能力.4．ABC ∆中，BC =D 为BC 的中点，4BAD π∠=，1AD =，则AC =（ ）A ．B ．C ．6D ．2【答案】D 【解析】 【分析】在ABD ∆中，由正弦定理得sin 10B =；进而得cos cos 45ADC B π⎛⎫∠=+= ⎪⎝⎭，在ADC ∆中，由余弦定理可得AC .在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin 4AD BDB π=，得sin 10B =，又BD AD >，所以B为锐角，所以cos B =cos cos 4ADC B π⎛⎫∴∠=+= ⎪⎝⎭在ADC ∆中，由余弦定理可得2222cos 4AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=，2AC ∴=.故选：D 【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力.5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M 点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（ ） A1 B．CD【答案】A 【解析】 【分析】设(,)M a b ，则MF 的中点坐标为(,)22a c b+，代入双曲线的方程可得,,a b c 的关系，再转化成关于,a c 的齐次方程，求出ca的值，即可得答案. 【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为(,0)A a ，右焦点为(c,0)F ，M 所在直线为x a =，不妨设(,)M a b ，∴MF 的中点坐标为(,)22a cb +.代入方程可得2222221a c b a b +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=， ∴22()544a c a +=，∴2240e e +-=，∴1e =（负值舍去）. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造,a c 的齐次方程.6．设函数1,2 ()21,2,1axf xlog x x a=⎧=⎨-+≠>⎩，若函数2()()()g x f x bf x c=++有三个零点123,,x x x，则122313x x x x x x++=（）A．12 B．11 C．6 D．3【答案】B【解析】【分析】画出函数()f x的图象，利用函数的图象判断函数的零点个数，然后转化求解，即可得出结果．【详解】作出函数1,2()21,2,1axf xlog x x a=⎧=⎨-+≠>⎩的图象如图所示，令()f x t=，由图可得关于x的方程()f x t=的解有两个或三个（1t=时有三个，1t≠时有两个），所以关于t的方程20t bt c++=只能有一个根1t=（若有两个根，则关于x的方程2()()0f x bf x c++=有四个或五个根），由()1f x=，可得123,,x x x的值分别为1,2,3，则12231312231311x x x x x x++=⨯+⨯+⨯=故选B．【点睛】本题考查数形结合以及函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于常考题型.7．如果直线1ax by+=与圆22:1C x y+=相交，则点(),M a b与圆C的位置关系是（）A．点M在圆C上B．点M在圆C外C．点M在圆C内D．上述三种情况都有可能【答案】B【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离小于半径可得,a b 满足的条件，利用(),M a b 与圆心的距离判断即可. 【详解】Q 直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，∴圆心(0,0)到直线1ax by +=的距离221d a b=<+，即221a b +>．也就是点(,)M a b 到圆C 的圆心的距离大于半径． 即点(,)M a b 与圆C 的位置关系是点M 在圆C 外． 故选：B 【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质，考查点到直线距离公式的应用，属于中档题．8．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3% 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案. 【详解】对A ，从图中数据变化看，PMI 值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI 值不低于50%的频率为41123=，故A 正确； 对B ，由图可以看出，PMI 值的平均值低于50%，故B 正确； 对C ，12个月的PMI 值的众数为49.4%，故C 正确，； 对D ，12个月的PMI 值的中位数为49.6%，故D 错误 故选：D. 【点睛】本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题. 9．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为i - B ．2z =C ．z 的共轭复数为1i --D ．2z 为纯虚数【答案】D 【解析】 【分析】将复数z 整理为1i -的形式，分别判断四个选项即可得到结果. 【详解】()()()2121111i z i i i i -===-++-z 的虚部为1-，A 错误；z ，B 错误；1z i =+，C 错误；()2212z i i =-=-，为纯虚数，D 正确本题正确选项：D 【点睛】本题考查复数的模长、实部与虚部、共轭复数、复数的分类的知识，属于基础题.10．已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（ ） A ．若//αβ，则l//m B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l β⊥，则αβ⊥ D ．若αβ⊥，则m α⊥【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果. 【详解】对于A ，若//αβ，则,l m 可能为平行或异面直线，A 错误；对于B ，若αβ⊥，则,l m 可能为平行、相交或异面直线，B 错误； 对于C ，若l β⊥，且l α⊂，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，C 正确； 对于D ，若αβ⊥，只有当m 垂直于,αβ的交线时才有m α⊥，D 错误. 故选：C . 【点睛】本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.11．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立，记()23m n +的最小值为(),f m n ，则(),f m n 最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21e D 【答案】C 【解析】 【分析】对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立，因为ln (23)x m x n ≤++，对()0,x ∈+∞恒成立，可得230m +>，令ln (23)y x m x n =-+-，可得1(23)y m x'=-+，结合已知，即可求得答案. 【详解】Q 对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立∴ln (23)x m x n ≤++，对()0,x ∈+∞恒成立， ∴230m +>令ln (23)y x m x n =-+-，可得1(23)y m x'=-+ 令0y '=，得123x m =+ 当123x m >+，0y '<当1023x m <<+0y '> ∴123x m =+，max 1ln1023y n m =--≤+，123n m e --+≥ 故1(23)(,)n nm n f m n e++≥=Q 11(,)n nf m n e+-'=令110n ne+-=，得 1n = ∴当1n >时，(,)0f m n '<当1n <，(,)0f m n '>∴当1n =时，max 21(,)f m n e=故选：C. 【点睛】本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题，解题关键是掌握不等式恒成立的解法和导数求函数单调性的解法，考查了分析能力和计算能力,属于难题. 12．若集合{}|sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．A B A ⋃= B ．R R C B C A ⊆C ．A B =∅ID ．R R C A C B ⊆【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质可得集合A ，由集合性质表示形式即可求得A B ⊆，进而可知满足R R C B C A ⊆. 【详解】依题意，{}|sin 21|,4A x x x x k k Z ππ⎧⎫====+∈⎨⎬⎩⎭； 而|,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭()212|,,4242n n x x n Z x n Z ππππ+⎧⎫==+∈=+∈⎨⎬⎩⎭或()21|,,442n x x n n Z x n Z ππππ+⎧⎫==+∈=+∈⎨⎬⎩⎭或，故A B ⊆， 则R R C B C A ⊆. 故选：B. 【点睛】本题考查了集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
天津市西青区2021届新高考数学三月模拟试卷含解析
天津市西青区2021届新高考数学三月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若495,81a S ==，则10a =（ ）A ．23B ．25C ．28D ．29 【答案】D【解析】【分析】由981S =可求59a =，再求公差，再求解即可.【详解】解：{}n a 是等差数列95981S a ∴==59a ∴=，又45a =，∴公差为4d =，410629a a d ∴=+=，故选：D【点睛】考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题.2．已知ABC △的面积是12,1AB =,BC =,则AC =（ ）A ．5B ． 1C ．5或1D 【答案】B【解析】∵11sin 22ABC S AB BC B ∆=⋅⋅⋅=，1AB =,BC =∴sin2B ==①若B 为钝角，则cos B =2222cos AC AB BC B AB BC =+-⋅⋅，解得AC =②若B 为锐角，则cos B =，同理得1AC =.故选B.3．在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．的是（ ）A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F 与BE 是异面直线C ．1A F 与1DE 不可能平行D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值【答案】C【解析】【分析】 分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义，体积公式分别进行判断．【详解】对于A ，设平面1AD E 与直线BC 交于点G ，连接AG 、EG ，则G 为BC 的中点分别取1B B 、11B C 的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，11//A M D E ，1A M ⊂/平面1D AE ，1D E ⊂平面1D AE ，1//A M ∴平面1D AE ．同理可得//MN 平面1D AE ，1A M 、MN 是平面1A MN 内的相交直线∴平面1//A MN 平面1D AE ，由此结合1//A F 平面1D AE ，可得直线1A F ⊂平面1A MN ，即点F 是线段MN 上上的动点．A ∴正确．对于B ，平面1//A MN 平面1D AE ，BE 和平面1D AE 相交，1A F ∴与BE 是异面直线，B ∴正确．对于C ，由A 知，平面1//A MN 平面1D AE ，1A F ∴与1D E 不可能平行，C ∴错误．对于D ，因为//MN EG ，则F 到平面1AD E 的距离是定值，三棱锥1F AD E -的体积为定值，所以D 正确；故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．已知||3a =，||2b =，若()a a b ⊥-，则向量a b +在向量b 方向的投影为（ ）A ．12B ．72C ．12-D ．72- 【答案】B【解析】【分析】由()a a b ⊥-，||3a =，||2b =3a b ⇒⋅=，再由向量a b +在向量b 方向的投影为()||a b b b +⋅化简运算即可 【详解】∵()a a b ⊥-∴()230a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=，∴3a b ⋅=， ∴向量a b +在向量b 方向的投影为2()347||cos ,22||||a b b a b b a b a b b b b +⋅⋅++++====. 故选：B.【点睛】本题考查向量投影的几何意义，属于基础题5．若集合{}10A x x =-≤≤，01x B xx ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ） A ．[)1,1-B ．(]1,1-C ．()1,1-D ．[]1,1- 【答案】A【解析】【分析】用转化的思想求出B 中不等式的解集，再利用并集的定义求解即可．【详解】解：由集合01x B xx ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，解得{|01}B x x =<<， 则{}{}{}[)|10|01|111,1A B x x x x x x =-<<=-<=-故选：A ．【点睛】本题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．属于基础题． 6．甲、乙、丙三人相约晚上在某地会面，已知这三人都不会违约且无两人同时到达，则甲第一个到、丙第三个到的概率是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】D【解析】【分析】先判断是一个古典概型，列举出甲、乙、丙三人相约到达的基本事件种数，再得到甲第一个到、丙第三个到的基本事件的种数，利用古典概型的概率公式求解.【详解】甲、乙、丙三人相约到达的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种， 其中甲第一个到、丙第三个到有甲乙丙，共1种， 所以甲第一个到、丙第三个到的概率是16p =. 故选：D【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.7．已知33a b ==，且(2)(4)a b a b -⊥+，则2a b -在a 方向上的投影为（ ）A ．73B ．14C ．203D ．7【答案】C【解析】【分析】由向量垂直的向量表示求出a b ⋅，再由投影的定义计算．【详解】由(2)(4)a b a b -⊥+可得22(2)(4)2740a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=，因为||3||3a b ==，所以2a b ⋅=-．故2a b -在a 方向上的投影为2(2)218220||||33a b a a a b a a -⋅-⋅+===． 故选：C ．【点睛】本题考查向量的数量积与投影．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键．8．已知15455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >> 【答案】A【解析】【分析】 根据指数函数的单调性，可得1551a =>，再利用对数函数的单调性，将,b c 与11,2对比，即可求出结论. 【详解】由题知105441551,1log log 22a b =>=>=>=，51log 2log 2c =<=，则a b c >>. 故选:A.【点睛】 本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题..9．若[]0,1x ∈时，|2|0x e x a --≥，则a 的取值范围为（ ）A ．[]1,1-B ．[]2,2e e --C ．[]2e,1-D ．[]2ln 22,1-【答案】D【解析】【分析】 由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，令()()2g 2，x xf x x e x x e =-=+，然后分别求出()()max min ，f xg x 即可得a 的取值范围.【详解】由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，令()()2g 2，x xf x x e x x e =-=+， ()2x f x e '=-在[]0,1单调递减，且()ln 20f '=，()f x ∴在()0,ln 2上单调递增，在()ln 2,1上单调递减，()()max ln 22ln 22a f x f ∴≥==-，又()g 2xx x e =+在[]0,1单调递增，()()min 01a g x g ∴≤==， ∴a 的取值范围为[]2ln 22,1-.故选：D【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题，可采用参变量分离法去求解.10．已知实数x 、y 满足不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =-+的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．32- D ．2-【答案】A【解析】【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案．【详解】 画出不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示平面区域，如图所示，由目标函数3z x y =-+，化为直线3y x z =+，当直线3y x z =+过点A 时，此时直线3y x z =+在y 轴上的截距最大，目标函数取得最大值，又由2100x y y -+=⎧⎨=⎩，解得(1,0)A -， 所以目标函数的最大值为3(1)03z =-⨯-+=，故选A ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．11．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次后脚痛递减半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为（ ）A ．6里B ．12里C ．24里D ．48里【答案】C【解析】【分析】 设第一天走1a 里，则{}n a 是以1a 为首项，以12为公比的等比数列，由题意得1661(1)2378112a S -==-，求出1192a =（里)，由此能求出该人第四天走的路程．【详解】设第一天走1a 里，则{}n a 是以1a 为首项，以12为公比的等比数列， 由题意得：1661(1)2378112a S -==-， 解得1192a =（里)， ∴34111()1922428a a =⨯=⨯=（里)． 故选：C ．【点睛】本题考查等比数列的某一项的求法，考查等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．12．已知{}1A x x =<，{}21x B x =<，则AB =（ ） A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,-+∞D ．(),1-∞ 【答案】D【解析】【分析】分别解出集合,A B 、然后求并集.【详解】解：{}{}111A x x x x =<=-<<，{}{}210x B x x x =<=< A B =(),1-∞故选：D【点睛】考查集合的并集运算，基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年江苏省南京市高考数学三模试卷(解析版)
2021年江苏省南京市高考数学三模试卷一、单项选择题（每小题5分）．1．已知集合A＝{x|2x＜4}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∪B＝（）A．[﹣1，2）B．（2，3]C．（﹣1，3]D．（﹣∞，3]2．已知i为虚数单位，若复数z＝+，则复数的虚部为（）A．B．C．D．3．函数y＝ln|x|+cos x的大致图象是（）A．B．C．D．4．将5名学生分配到A，B，C，D，E这5个社区参加义务劳动，每个社区分配1名学生，且学生甲不能分配到A社区，则不同的分配方法种数是（）A．72B．96C．108D．1205．已知cos（）＝，则sin（2）+cos2（）的值为（）A．B．C．D．16．声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强．通常人耳能听到声音的最小声强为I0＝10﹣12（瓦/米2）．对于一个声音的声强Ⅰ，用声强Ⅰ与Ⅰ0比值的常用对数的10倍表示声强Ⅰ的声强级，单位是“分贝”，即声强Ⅰ的声强级是10lg（分贝）．声音传播时，在某处听到的声强Ⅰ与该处到声源的距离s的平方成反比，即Ⅰ＝（k为常数）．若在距离声源15米的地方，听到声音的声强级是20分贝，则能听到该声音（即声强不小于Ⅰ0）的位置到声源的最大距离为（）A．100米B．150米C．200米D．15米7．在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，E为边BC上的动点．若＝+（λ，μ＞0），则+的最小值为（）A．2B．5C．D．8．已知a，b，c均为不等于1的正实数，且lna＝clnb，lnc＝blna，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．面对新冠肺炎疫情冲击，我国各地区各部门统筹疫情防控和经济社会发展均取得显著成效．如表显示的是2020年4月份到12月份中国社会消费品零售总额数据，其中同比增长率是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率是指与上个月份相比较的增长率，则下列说法正确的是（）中国社会消费品零售总额月份零售总额（亿元）同比增长环比增长累计（亿元）428178﹣7.50% 6.53%106758531973﹣2.80%13.47%138730633526﹣1.80% 4.86%172256732203﹣1.10%﹣3.95%2044598335710.50% 4.25%238029935295 3.30% 5.14%2733241038576 4.30%9.30%3119011139514 5.00% 2.43%3514151240566 4.60% 2.66%391981 A．2020年4月份到12月份，社会消费品零售总额逐月上升B．2020年4月份到12月份，11月份同比增长率最大C．2020年4月份到12月份，5月份环比增长率最大D．第4季度的月消费品零售总额相比第2季度的月消费品零售总额，方差更小10．定义曲线Γ：＝1为椭圆C：＝1（a＞b＞0）的伴随曲线，则（）A．曲线Γ有对称轴B．曲线Γ没有对称中心C．曲线Γ有且仅有4条渐近线D．曲线Γ与椭圆C有公共点11．已知正四棱台的上底面边长为，下底面边长为2，侧棱长为2，则（）A．棱台的侧面积为6B．棱台的体积为14C．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为D．棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为12．已知函数f（x）＝3sin2x+4cos2x，g（x）＝f（x）+|f（x）|．若存在x0∈R，使得对任意x∈R，f（x）≥f（x0），则（）A．任意x∈R，f（x+x0）＝f（x﹣x0）B．任意x∈R，f（x）≤f（x0+）C．存在θ＞0，使得g（x）在（x0，x0+θ）上有且仅有2个零点D．存在θ＞﹣，使得g（x）在（x0，x0+θ）上单调递减三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．（3x2+）5的展开式中的常数项为．14．写出一个离心率为，渐近线方程为y＝±2x的双曲线方程为．15．早在15世纪，达•芬奇就曾提出一种制作正二十面体的方法：如图1，先制作三张一样的黄金矩形ABCD（＝），然后从长边CD的中点E出发，沿着与短边平行的方向剪开一半，即OE＝AD，再沿着与长边AB平行的方向剪出相同的长度，即OF ＝OE，将这三个矩形穿插两两垂直放置，连结所有顶点即可得到一个正二十面体，如图2若黄金矩形的短边长为4，则按如上制作的正二十面体的表面积为，其外接球的表面积为．16．已知直线y＝kx+b与曲线y＝x2+cos x相切，则+b的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知四边形ABCD中，AC与BD交于点E，AB＝2BC＝2CD＝4．（1）若∠ADC＝，AC＝3，求cos∠CAD；（2）若AE＝CE，BE＝2，求△ABC的面积．18．已知等差数列{a n}满足：a1+3，a3，a4成等差数列，且a1，a3，a8成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）在任意相邻两项a k与a k+1（k＝1，2，…）之间插入2k个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列{b n}．记S n为数列{b n}的前n项和，求满足S n＜500的n的最大值．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2BC＝2AB＝4，△PAD为等边三角形，E为PD的中点，直线AB与CE所成角的大小为45°．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）求平面PAB与平面PCD所成角的正弦值．20．某乒乓球教练为了解某同学近期的训练效果，随机记录了该同学40局接球训练成绩，每局训练时教练连续发100个球，该同学每接球成功得1分，否则不得分，且每局训练结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图．（1）同一组数据用该区间的中点值作代表，①求该同学40局接球训练成绩的样本平均数．②若该同学的接球训练成绩X近似地服从正态分布N（μ，100），其中μ近似为样本平均数，求P（54＜X＜64）的值；（2）为了提高该同学的训练兴趣，教练与他进行比赛．一局比赛中教练连续发100个球，该同学得分达到80分为获胜，否则教练获胜．若有人获胜达3局，则比赛结束，记比赛的局数为Y．以频率分布直方图中该同学获胜的频率作为概率，求E（Y）．参考数据：若随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）≈0.9973．21．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x，经过P（t，0）（t＞0）的直线l 与C交于A，B两点．（1）若t＝4，求AP长度的最小值；（2）设以AB为直径的圆交x轴于M，N两点，问是否存在t，使得＝﹣4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）＝+alnx，a∈R．（1）若a＜e，求函数f（x）的单调区间；（2）若a＞e，求证：函数f（x）有且仅有1个零点．参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{x|2x＜4}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∪B＝（）A．[﹣1，2）B．（2，3]C．（﹣1，3]D．（﹣∞，3]解：∵A＝{x|x＜2}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，∴A∪B＝（﹣∞，3]．故选：D．2．已知i为虚数单位，若复数z＝+，则复数的虚部为（）A．B．C．D．解：∵z＝+，∴，∴复数的虚部为﹣．故选：B．3．函数y＝ln|x|+cos x的大致图象是（）A．B．C．D．解：根据题意，设f（x）＝ln|x|+cos x，其定义域为{x|x≠0}，则f（﹣x）＝ln|x|+cos x＝f（x），y＝ln|x|+cos x为偶函数，排除BD，在区间（e，+∞）上，lnx＞1，﹣1≤cos x≤1，则f（x）＞0，排除A，故选：C．4．将5名学生分配到A，B，C，D，E这5个社区参加义务劳动，每个社区分配1名学生，且学生甲不能分配到A社区，则不同的分配方法种数是（）A．72B．96C．108D．120解：根据题意，分2步进行分析：①学生甲不能分配到A社区，则甲有4种安排方法，②剩下的4人安排到其余4个社区，则有A44＝24种分配方法，则有4×24＝96种分配方法，故选：B．5．已知cos（）＝，则sin（2）+cos2（）的值为（）A．B．C．D．1解：由cos（）＝，得sin（2）＝sin[2（α﹣）+]＝cos2（）＝，再由cos（）＝，得，可得cos2（）＝，∴sin（2）+cos2（）＝．故选：D．6．声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强．通常人耳能听到声音的最小声强为I0＝10﹣12（瓦/米2）．对于一个声音的声强Ⅰ，用声强Ⅰ与Ⅰ0比值的常用对数的10倍表示声强Ⅰ的声强级，单位是“分贝”，即声强Ⅰ的声强级是10lg（分贝）．声音传播时，在某处听到的声强Ⅰ与该处到声源的距离s的平方成反比，即Ⅰ＝（k为常数）．若在距离声源15米的地方，听到声音的声强级是20分贝，则能听到该声音（即声强不小于Ⅰ0）的位置到声源的最大距离为（）A．100米B．150米C．200米D．15米解：由题意可知20＝10lg，解得I＝1×10﹣10，由得k＝Is2＝10﹣10×152＝2.25×10﹣8，由人耳能听到的最小声强为10﹣12，∴s＝＝150，故选：B．7．在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，E为边BC上的动点．若＝+（λ，μ＞0），则+的最小值为（）A．2B．5C．D．解：如图所示，以点A为原点，以AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），则根据中点坐标公式可得O（），设点E的坐标为（1，m），则由＝+（λ，μ＞0），可得（1，m）＝λ（1，1）+μ（），所以1＝，则＝（）（）＝＝，当且仅当，即λ＝μ时取等号，此时的最小值为，故选：C．8．已知a，b，c均为不等于1的正实数，且lna＝clnb，lnc＝blna，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b解：令a＝e，则，∴c＝e b，代入1＝clnb得，e b lnb﹣1＝0，设f（b）＝e b lnb﹣1，则f′（b）＝e b lnb+＝e b（lnb+），设h（b）＝lnb+，h′（b）＝﹣＝，当0＜b＜1时，h′（b）＜0，当b＞1时，h′（b）＞0，又∵b≠1，h（b）的最小值大于1，即f′（b）＞0，∴f（b）＝e b lnb﹣1为增函数，∵f（1）＝﹣1＜0，f（e）＝e e﹣1＞0，∴f（1）•f（e）＜0，∴b∈（1，e），∵c＝e b∈（e，e e），∴c＞a＞b．故选：A．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．面对新冠肺炎疫情冲击，我国各地区各部门统筹疫情防控和经济社会发展均取得显著成效．如表显示的是2020年4月份到12月份中国社会消费品零售总额数据，其中同比增长率是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率是指与上个月份相比较的增长率，则下列说法正确的是（）中国社会消费品零售总额月份零售总额（亿元）同比增长环比增长累计（亿元）428178﹣7.50% 6.53%106758531973﹣2.80%13.47%138730633526﹣1.80% 4.86%172256732203﹣1.10%﹣3.95%2044598335710.50% 4.25%238029935295 3.30% 5.14%2733241038576 4.30%9.30%3119011139514 5.00% 2.43%3514151240566 4.60% 2.66%391981 A．2020年4月份到12月份，社会消费品零售总额逐月上升B．2020年4月份到12月份，11月份同比增长率最大C．2020年4月份到12月份，5月份环比增长率最大D．第4季度的月消费品零售总额相比第2季度的月消费品零售总额，方差更小解：选项A：6月到7月为下降，故A错误；由图表中的数据，可以直接判断出选项B、C、D均正确，故选：BCD．10．定义曲线Γ：＝1为椭圆C：＝1（a＞b＞0）的伴随曲线，则（）A．曲线Γ有对称轴B．曲线Γ没有对称中心C．曲线Γ有且仅有4条渐近线D．曲线Γ与椭圆C有公共点解：x轴和y轴为伴随曲线的对称轴，故A正确；伴随曲线关于原点对称，故选项B错误；伴随曲线有4条渐近线分别为：x＝±a，y＝±b，故选项C正确；由椭圆中x∈[﹣a，a]，y∈[﹣b，b]，而伴随曲线中，x＞a，x＜﹣a，y＞b，y＜﹣b，故选项D错误，故选：AC．11．已知正四棱台的上底面边长为，下底面边长为2，侧棱长为2，则（）A．棱台的侧面积为6B．棱台的体积为14C．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为D．棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为解：作正四棱台如图所示，对于A，过A1作A1H⊥AB于H，AH＝（AB﹣A1B1）＝，所以A1H＝＝，所以棱台的侧面积为4•＝6，所以A对；对于B，连接AC、A1C1，过A1作A1A⊥AC于M，过C1作C1C⊥AC于N，A1C1＝＝2，AC＝2＝4，AM＝（AC﹣A1C1）＝1，A1M＝，上底面面积，下底面面积，棱台的体积为V＝＝＝≠14，所以B错；对于C，因为AM为AA在底面的投影，所以∠A1AM为侧棱与底面所成角，cos∠A1AM＝＝，所以C对；对于D，∠A1HM为侧面与底面所成锐二面角的平面角，cos∠A1HM＝＝＝，所以D对．故选：ACD．12．已知函数f（x）＝3sin2x+4cos2x，g（x）＝f（x）+|f（x）|．若存在x0∈R，使得对任意x∈R，f（x）≥f（x0），则（）A．任意x∈R，f（x+x0）＝f（x﹣x0）B．任意x∈R，f（x）≤f（x0+）C．存在θ＞0，使得g（x）在（x0，x0+θ）上有且仅有2个零点D．存在θ＞﹣，使得g（x）在（x0，x0+θ）上单调递减解：函数f（x）＝3sin2x+4cos2x＝5sin（2x+φ），其中φ为锐角，且cosφ＝，由题意，x0是f（x）的最小值点，所以f（x）关于x＝x0对称，所以f（x﹣x0）≠f（﹣x+x0）＝f（x+x0），故A错误；因为f（x）的最小正周期T＝＝π，所以f（x0+）为最大值，所以任意x∈R，f（x）≤f（x0+），故B正确；因为f（x0）＜0，且f（x0+）＝0，在（x0，x0+）中，f（x）＜0，此时g（x）恒为0，故不存在θ＞0，使得g（x）在（x0，x0+θ）上有且仅有2个零点，故C错误；取θ＝﹣，则在（x0，x0+θ）内，f（x）单调递减，且f（x）＞0，所以g（x）＝2f（x）单调递减，故D正确．故选：BD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．（3x2+）5的展开式中的常数项为270．解：二项式（3x2+）5的通项公式为T r+1＝•（3x2）5﹣r（）r＝•35﹣r•x10﹣5r，令10﹣5r＝0，解得r＝2，所以二项式（3x2+）5的展开式中的常数项为：•33＝270．故答案为：270．14．写出一个离心率为，渐近线方程为y＝±2x的双曲线方程为．解：不妨设双曲线方程为，则由题意可得，，取a＝1，解得，∴双曲线方程为．故答案为：．15．早在15世纪，达•芬奇就曾提出一种制作正二十面体的方法：如图1，先制作三张一样的黄金矩形ABCD（＝），然后从长边CD的中点E出发，沿着与短边平行的方向剪开一半，即OE＝AD，再沿着与长边AB平行的方向剪出相同的长度，即OF ＝OE，将这三个矩形穿插两两垂直放置，连结所有顶点即可得到一个正二十面体，如图2若黄金矩形的短边长为4，则按如上制作的正二十面体的表面积为80，其外接球的表面积为（40+80）π．解：由题目中的图2可得正二十面体的表面是二十个全等的等边三角形，边长为4，所以表面积为；由得长边2y＝，根据对称性可知，外接球球心在所有黄金矩形对角线的交点处，直径就是黄金矩形的对角线长度，即2R＝，所以外接球的体积为4πR2＝＝．故答案为：；．16．已知直线y＝kx+b与曲线y＝x2+cos x相切，则+b的最大值为．解：y＝f（x）＝x2+cos x的导数为f′（x）＝2x﹣sin x，由于（2x﹣sin x）′＝2﹣cos x＞0，可得2x﹣sin x为增函数，当x≥0时，2x﹣sin x≥0，则y＝f（x）递增，可得f（x）≥f（0）＝1，因为y＝f（x）为偶函数，可得f（x）在（﹣∞，0）递减，问题转化为x2+cos x≥kx+b对x∈R恒成立．当x＝时，+b≤，当+b＝时，令f′（）﹣k＝0，即k＝π﹣1，所以b＝，此时x2+cos x≥（π﹣1）x+，而y＝（π﹣1）x+为f（x）在x＝处的切线方程．则+b的最大值为．故答案为：．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知四边形ABCD中，AC与BD交于点E，AB＝2BC＝2CD＝4．（1）若∠ADC＝，AC＝3，求cos∠CAD；（2）若AE＝CE，BE＝2，求△ABC的面积．解：（1）在△ACD中，∠ADC＝，AC＝3，CD＝2，可得＝，即有sin∠CAD＝＝＝，可得cos∠CAD＝＝；（2）在△ABC中，AB＝4，BC＝2，BE＝2，设AE＝BE＝x，∠AEB＝α，∠CEB＝π﹣α，由余弦定理可得cosα＝＝﹣，解得x＝，cosα＝﹣，sinα＝＝，所以△ABC的面积为2×x•2sinα＝×2×＝．18．已知等差数列{a n}满足：a1+3，a3，a4成等差数列，且a1，a3，a8成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）在任意相邻两项a k与a k+1（k＝1，2，…）之间插入2k个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列{b n}．记S n为数列{b n}的前n项和，求满足S n＜500的n的最大值．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a1+3，a3，a4成等差数列，可得2a3＝a1+3+a4，即为2（a1+2d）＝2a1+3+3d，可得d＝3，a1，a3，a8成等比数列，可得a32＝a1a8，即为（a1+6）2＝a1（a1+21），解得a1＝4，所以a n＝4+3（n﹣1）＝3n+1；（2）由于任意相邻两项a k与a k+1（k＝1，2，…）之间有2k个2，当k＝6时，取{a n}中前6项，以及（2+4+8+16+32+64）＝126个2，可得S132＝×6×（4+19）+126×2＝321＜500；当k＝7时，取{a n}中前7项，以及（2+4+8+16+32+64+128）＝254个2，可得S261＝×7×（4+22）+254×2＝599＞500．所以[b n}中前261项去掉倒数50个2，可得S211＝599﹣100＝499．则满足S n＜500的n的最大值为211．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2BC＝2AB＝4，△PAD为等边三角形，E为PD的中点，直线AB与CE所成角的大小为45°．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）求平面PAB与平面PCD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AD中点O，连接OC、OP、OE，因为四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2BC＝2AB＝4，所以OC⊥AD，四边形ABCO是边长为2的正方形，因为△PAD为等边三角形，E为PD的中点，AD＝4，所以OE＝PD＝2，因为直线AB与CE所成角的大小为45°，OC∥AB，所以∠OCE＝45°，又因为OC＝2＝OE，所以∠OECD＝∠OCE＝45°，于是OC⊥OE，因为OE∩AD＝O，OE、AD⊂平面PAD，所以OC⊥平面PAD，又因为OC⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PAD，故平面PAD⊥平面ABCD．（2）解：由（1）知OC、OD、OP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，＝（0，2，2），＝（2，0，0），＝（0，﹣2，2），＝（2，﹣2，0），设平面PAB和平面PCD的法向量分别为＝（x，y，z），＝（u，v，w），，令z＝﹣1，＝（0，，﹣1），，令w＝1，＝（，，1），设平面PAB与平面PCD所成角大小为θ，|cosθ|＝＝＝，sinθ＝＝＝，所以平面PAB与平面PCD所成角的正弦值为．20．某乒乓球教练为了解某同学近期的训练效果，随机记录了该同学40局接球训练成绩，每局训练时教练连续发100个球，该同学每接球成功得1分，否则不得分，且每局训练结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图．（1）同一组数据用该区间的中点值作代表，①求该同学40局接球训练成绩的样本平均数．②若该同学的接球训练成绩X近似地服从正态分布N（μ，100），其中μ近似为样本平均数，求P（54＜X＜64）的值；（2）为了提高该同学的训练兴趣，教练与他进行比赛．一局比赛中教练连续发100个球，该同学得分达到80分为获胜，否则教练获胜．若有人获胜达3局，则比赛结束，记比赛的局数为Y．以频率分布直方图中该同学获胜的频率作为概率，求E（Y）．参考数据：若随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）≈0.9973．解：（1）①平均数＝（55×0.010+65×0.020+75×0.045+85×0.020+95×0.005）×10＝74；②由题意知，μ＝＝74，σ＝10，所以P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝P（64＜X＜84）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝P（54＜X＜94）≈0.9545，所以P（54＜X＜64）＝＝0.1359．（2）以频率估计概率，则该同学获胜的概率为（0.020+0.005）×10＝0.25＝，随机变量Y的取值为3，4，5，所以P（Y＝3）＝+＝，P（Y＝4）＝×××+×××＝，P（Y＝5）＝×××+×××＝，所以E（Y）＝3×+4×+5×＝．21．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x，经过P（t，0）（t＞0）的直线l 与C交于A，B两点．（1）若t＝4，求AP长度的最小值；（2）设以AB为直径的圆交x轴于M，N两点，问是否存在t，使得＝﹣4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．解：（1）设A（，y0），由P（4，0），可得|AP|2＝（﹣4）2+y02＝﹣y02+16＝（y02﹣8）2+12≥12，当y0＝±2时，|AP|取得最小值2；（2）设直线AB的方程为x＝my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），联立可得y2﹣4my﹣4t＝0，即有y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，设以AB为直径的圆上任一点Q（x，y），M（x3，0），N（x4，0），所以Q的轨迹方程为（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）＝0，x1+x2＝m（y1+y2）+2t＝4m2+2t，x1x2＝（my1+t）（my2+t）＝m2y1y2+mt（y1+y2）+t2＝﹣4m2t+4m2t+t2＝t2，所以Q的轨迹方程化为x2﹣（4m2+2t）x+t2+y2﹣4my﹣4t＝0，令y＝0，x2﹣（4m2+2t）x+t2﹣4t＝0，设上式方程的两根分别为x3，x4，可得x3x4＝﹣4，即有t2﹣4t＝﹣4，解得t＝2．所以存在t＝2，使得＝﹣4．22．已知函数f（x）＝+alnx，a∈R．（1）若a＜e，求函数f（x）的单调区间；（2）若a＞e，求证：函数f（x）有且仅有1个零点．解：（1）∵f（x）＝+alnx，∴f′（x）＝，当a≤1时，令f′（x）＜0，得：x＞1；令f′（x）＞0，得0＜x＜1；当1＜a＜e时，令f′（x）＜0，得：0＜x＜lna或x＞1，令f′（x）＞0，得lna＜x＜1；因此，当a≤1时，f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；当1＜a＜e时，f（x）在（0，lna），（1，+∞）递减；在（lna，1）递增．（2）证明：a＞e时，lna＞1，f′（x）＝，x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，lna）时，f′（x）＞0，x∈（lna，+∞）时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，1）递减，在（1，lna）递增，在（lna，+∞）递减，又f（1）＝a﹣e+aln1＝a﹣e＞0，所以f（x）在（0，lna）上无零点，①设g（x）＝e x﹣ex，则g′（x）＝e x﹣e，则g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，所以g（x）≥g（1）＝0，所以e x≥ex．取对数，得x≥1+lnx，故lnx＜x，又e x＝≥＞x2，所以lnx＝2ln＜2，所以x＞1时，f（x）＝+alnx＜+2a＜a﹣x+2a，当≥a+，即x≥时，f（x）＜0．（2a+1）2＞＞1，故f（（2a+1）2）＜0，又f（lna）＞f（1）＞0，f（x）的图象在（lna，+∞）上连续不间断，所以函数f（x）在（lna，+∞）有且仅有1个零点，②综合①②，得当a＞e时，函数f（x）有且仅有1个零点．。
2021年广东省汕头市高考数学三模试卷(解析版)
2021年广东省汕头市高考数学三模试卷一、单项选择题（共8小题）.1．已知复数z＝+i，是z的共轭复数，z0＝，z0在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知全集U＝R，集合A＝{y|y＝x2+2}，集合B＝{x|9﹣x2＞0}，则阴影部分表示的集合为（）A．[﹣3，2]B．（﹣3，2）C．（﹣3，2]D．[﹣3，2）3．现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子，将它们叠成一叠，则在黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为（）A．B．C．D．4．已知S n是数列{a n}的前n项和，则“S n+1+2S n﹣1＝3S n对n≥2恒成立”是“{a n}是公比为2的等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知f（x）是定义在R上的函数，满足∀x∈R，都有f（x）＝f（﹣x），且在[0，+∞）上单调递增．若，b＝f（sin1），c＝f（cos2），则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b6．区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等．在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2256种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2256次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行2.5×1011次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（）（参考数据lg2≈0.3010，lg3≈0.477）A．4.5×1073秒B．4.5×1065秒C．4.5×107秒D．28秒7．设F是双曲线﹣＝1的右焦点，双曲线两渐近线分别为l1，l2，过点F作直线l1的垂线，分别交l1，l2于A，B两点，若A，B两点均在x轴上方且|OA|＝3，|OB|＝5，则双曲线的离心率e为（）A．B．2C．D．8．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）﹣f（x）＞0，f（2021）＝e2021，则不等式的解集为（）A．（e2021，+∞）B．（0，e2021）C．（e2021e，+∞）D．（0，e2021e）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．为响应国家号召，打赢脱贫致富攻坚战，某贫困村主要产业是种植蜜柚，由于销售渠道单一，导致蜜柚滞销或低价出售．其定点扶贫单位为帮助该村真正脱贫，为该村建立多种销售渠道，一年后该村的蜜柚销售收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该村的蜜柚销售收入变化情况，统计了该村扶贫前后的蜜柚销售收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中正确的是（）A．扶贫后，该村的城乡集贸市场销售渠道的收入减少B．扶贫后，该村的自媒体销售渠道的收入增加了一倍以上C．扶贫后，该村的农产品批发市场销售渠道的收入增加了一倍D．扶贫后，该村的农产品电商销售渠道收入是扶贫前的四倍10．已知函数f（x）＝a sin x+b cos x（ab≠0），且对任意x∈R都有，则以下正确的有（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）在上单调递减C．是f（x）的一个零点D．11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝a，以下结论正确的有（）A．AC⊥BEB．点A到平面BEF的距离为定值C．三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的D．异面直线AE，BF所成的角为定值12．画法几何的创始人一法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A，B 为椭圆上两个动点．直线l的方程为bx+ay﹣a2﹣b2＝0．下列说法正确的是（）A．C的蒙日圆的方程为x2+y2＝3b2B．对直线l上任意点P，•＞0C．记点A到直线l的距离为d，则d﹣|AF2|的最小值为bD．若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH面积的最大值为6b2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数y＝a x﹣3+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1＝0上，其中m＞0，n＞0，则mn的最大值为．14．已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为．15．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时，如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为10cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为.（精确到0.01cm）．16．已知数列{a n}满足a1+3a2+5a3+⋯+（2n﹣1）a n＝3n，则a3＝，若对任意的n∈N*，a n≥（﹣1）nλ恒成立，则λ的取值范围为．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在①（sin B+sin C）2＝sin2A+3sin B sin C，②2c＝2a cos B+b，③b cos C+c cos B﹣2a cos A＝0这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题．在△ABC中，内角A，B，C 的对边长分别为a，b，c，且____．（1）求角A的大小；（2）若△ABC是锐角三角形，且b＝2，求边长c的取值范围．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列是首项为，公差为的等差数列，若[x]表示不超过x的最大整数，如[0.5]＝0，[lg499]＝2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝[lga n]，求数列{b n}的前2020项的和．19．已知△ABC是正三角形，线段AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝2CD＝2，F为BE 的中点，设平面BDE∩平面ABC＝l．（1）求证：DF∥l；（2）当平面BDE与平面ABC所成的锐二面角为时，求几何体ABCDE的体积．20．已知圆C：x2+（y﹣2）2＝1与定直线l：y＝﹣1，且动圆M与圆C外切并与直线l相切．（1）求动圆圆心M的轨迹E的方程；（2）已知点P是直线l1：y＝﹣2上一个动点，过点P作轨迹E的两条切线，切点分别为A，B①求证：直线AB过定点．②求证：∠PCA＝∠PCB．21．第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球，MIKSA﹣V200W，已知这种球的质量指标ξ（单位：g）服从正态分布N（270，52）．比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛（采取5局3胜制），最后靠积分选处最后冠军，积分规则如下：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分．已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p（0＜p＜1）（1）若比赛准备了1000个排球，请估计质量指标在（260，265]内的排球个数（计算结果收整数）．（2）第10轮比赛中，记中国队3：1取胜的概率为f（p）．（ⅰ）求出f（p）的最大值点p0；（ⅱ）若以p0作为p的值，记第10轮比赛中，中国队所得积分为X，求X的分布列及数学期望．参考数据：若X～N（μ，σ2），则p（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6826，p（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9544．22．已知函数，．（1）当a＝1时，求证：当x≥0时，f（x）≥0；（2）若f（x）+g（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知复数z＝+i，是z的共轭复数，z0＝，z0在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：由题意得＝，z0＝＝＝＝．其对应的点（，﹣）在第四象限．故选：D．2．已知全集U＝R，集合A＝{y|y＝x2+2}，集合B＝{x|9﹣x2＞0}，则阴影部分表示的集合为（）A．[﹣3，2]B．（﹣3，2）C．（﹣3，2]D．[﹣3，2）解：集合A＝{y|y≥2}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，阴影部分表示的是∁B（A∩B），而A∩B＝[2，3），所以∁B（A∩B）＝（﹣3，2）．故选：B．3．现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子，将它们叠成一叠，则在黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为（）A．B．C．D．解：设事件A表示“黄色杯子和绿色杯子相邻”，事件B表示“黄色杯子和红色杯子相邻”，则P（A）＝＝，P（AB）＝＝，∴在黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为：P（B|A）＝＝＝．故选：C．4．已知S n是数列{a n}的前n项和，则“S n+1+2S n﹣1＝3S n对n≥2恒成立”是“{a n}是公比为2的等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当S n+1+2S n﹣1＝3S n对n≥2恒成立，所以S n+1﹣S n＝2（S n﹣S n﹣1），所以a n+1＝2a n，n≥2，所以从第二项开始，{a n}是公比为2的等比数列，由于不知道a1与a2的关系，故无法判断{a n}是公比为2的等比数列，故不满足充分性；当{a n}是公比为2的等比数列，∴a n+1＝2a n，n≥1，∴S n+1﹣S n＝2（S n﹣S n﹣1），n≥2∴S n+1+2S n﹣1＝3S n对n≥2恒成立，满足必要性；故S n+1+2S n﹣1＝3S n对n≥2恒成立”是“{a n}是公比为2的等比数列”的必要不充分条件．故选：B．5．已知f（x）是定义在R上的函数，满足∀x∈R，都有f（x）＝f（﹣x），且在[0，+∞）上单调递增．若，b＝f（sin1），c＝f（cos2），则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b解：由题意，得f（x）为偶函数且在[0，+∞）上单调递增，因为0＜﹣cos2＜＜sin1，所以f（﹣cos2）＝f（cos2）＜f（sin1），即c＜b，又因为sin1＞，所以f（sin1）＞f（），即b＞a，因为﹣cos2＜，所以f（﹣cos2）＝f（cos2）＜f（），所以c＜a，综上b＞a＞c．故选：B．6．区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等．在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2256种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2256次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行2.5×1011次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（）（参考数据lg2≈0.3010，lg3≈0.477）A．4.5×1073秒B．4.5×1065秒C．4.5×107秒D．28秒解：设这台机器破译密码所需时间大约为x秒，则：x•2.5×1011＝2256，两边同时取常用对数得：lg（x•2.5×1011）＝lg2256，∴lgx+lg2.5+lg1011＝256lg2，∴lgx+lg5﹣lg2+11＝256lg2，∴lgx+1﹣lg2﹣lg2+11＝256lg2，∴lgx＝258lg2﹣12≈258×0.301﹣12＝65.658，∴x≈1065.658＝1065×100.658，而lg4.5＝lg＝2lg3﹣lg2≈0.653，∴100.658≈4.5，∴x≈4.5×1065，故选：B．7．设F是双曲线﹣＝1的右焦点，双曲线两渐近线分别为l1，l2，过点F作直线l1的垂线，分别交l1，l2于A，B两点，若A，B两点均在x轴上方且|OA|＝3，|OB|＝5，则双曲线的离心率e为（）A．B．2C．D．解：在直角三角形AOB中，|OA|＝3，|OB|＝5，可得|AB|＝＝4，可得tan∠AOB＝＝，由直线l1：y＝x，直线l2：y＝﹣x，由直线l1到直线l2的角的正切公式，可得tan∠AOB＝＝，化简可得b＝2a，即有e＝＝＝．故选：C．8．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）﹣f（x）＞0，f（2021）＝e2021，则不等式的解集为（）A．（e2021，+∞）B．（0，e2021）C．（e2021e，+∞）D．（0，e2021e）解：令，则，∴g（x）在R上单调递增，令，则，即为，即为g（t）＜g（2021），∴t＜2021，即，解得0＜x＜e2021e．故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．为响应国家号召，打赢脱贫致富攻坚战，某贫困村主要产业是种植蜜柚，由于销售渠道单一，导致蜜柚滞销或低价出售．其定点扶贫单位为帮助该村真正脱贫，为该村建立多种销售渠道，一年后该村的蜜柚销售收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该村的蜜柚销售收入变化情况，统计了该村扶贫前后的蜜柚销售收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中正确的是（）A．扶贫后，该村的城乡集贸市场销售渠道的收入减少B．扶贫后，该村的自媒体销售渠道的收入增加了一倍以上C．扶贫后，该村的农产品批发市场销售渠道的收入增加了一倍D．扶贫后，该村的农产品电商销售渠道收入是扶贫前的四倍解：设扶贫前销售收入为a，扶贫后销售收入为2a，对于A，扶贫前该村的城乡集贸市场销售渠道的收入为a×30%＝0.3a，扶贫后该村的城乡集贸市场销售渠道的收入2a×20%＝0.4a，所以扶贫后，该村的城乡集贸市场销售渠道的收入增加，故选项A错误；对于B，扶贫前该村的自媒体销售渠道的收入为a×5%＝0.05a，扶贫后该村的自媒体销售渠道的收入为2a×10%＝0.2a，所以扶贫后，该村的自媒体销售渠道的收入增加了一倍以上，故选项B正确；对于C，扶贫前该村的农产品批发市场销售渠道的收入为a×30%＝0.3a，扶贫后该村的农产品批发市场销售渠道的收入2a×30%＝0.6a，所以扶贫后，该村的农产品批发市场销售渠道的收入增加了一倍，故选项C正确；对于D，扶贫前该村的农产品电商销售渠道收入为a×5%＝0.05a，扶贫后该村的农产品电商销售渠道收入2a×20%＝0.4a，所以扶贫后，该村的农产品电商销售渠道收入是扶贫前的八倍，故选项D错误．故选：BC．10．已知函数f（x）＝a sin x+b cos x（ab≠0），且对任意x∈R都有，则以下正确的有（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）在上单调递减C．是f（x）的一个零点D．解：对于D，因为f（x）对任意x∈R都有，则f（x）的一条对称轴为，则有f（0）＝f（），即b＝，所以，故选项D正确；对于A，因为，所以f（x）＝a sin x+b cos x＝a sin x+cos x＝2a（）＝2a sin（x+），故函数f（x）的最小正周期为T＝2π，故选项A正确；对于B，当x∈时，x+∈，当a＞0时，f（x）在上单调递减，当a＜0时，f（x）在上单调递增，故选项B错误；对于C，当时，f（）＝2a sinπ＝0，所以是f（x）的一个零点，故选项C正确．故选：ACD．11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝a，以下结论正确的有（）A．AC⊥BEB．点A到平面BEF的距离为定值C．三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的D．异面直线AE，BF所成的角为定值解：对于A，根据题意，AC⊥BD，AC⊥DD1，AC⊥平面BDD1B1，所以AC⊥BE，所以A正确；对于B，A到平面BDD1B1的距离是定值，所以点A到△BEF的距离为定值，则B正确；对于C，三棱锥A﹣BEF的体积为V三棱锥A﹣BEF＝•EF•AB•BB1•sin45°＝××a×a×a＝a3，三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的，正确；对于D，异面直线AE，BF所成的角不为定值，命题D错误；故选：ABC．12．画法几何的创始人一法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A，B为椭圆上两个动点．直线l的方程为bx+ay﹣a2﹣b2＝0．下列说法正确的是（）A．C的蒙日圆的方程为x2+y2＝3b2B．对直线l上任意点P，•＞0C．记点A到直线l的距离为d，则d﹣|AF2|的最小值为bD．若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH面积的最大值为6b2解：对于A：因为点Q（a，b）在蒙日圆上，所以方程为x2+y2＝a2+b2，又e＝＝＝，所以a2＝2b2，故A正确；对于B：因为l过顶点P（b，a），而又Q满足蒙日圆方程，所以点P在圆x2+y2＝3b2上，当A，B恰为切点时，•＝﹣1＜0，故B不正确；对于C：由A在椭圆上，得|AF1|+|AF2|＝2a，所以d﹣AF2＝d﹣（2a﹣AF1）＝d+AF1﹣2a，当F1A⊥l时，d+AF1有最小值，由上可得c2＝a2﹣b2＝2b2﹣b2＝b2，即点F1到直线l的距离d＝＝＝b，所以|d﹣AF2|min＝b﹣2a，故C不正确；对于D：当矩形四边形与椭圆C相切时，它为蒙日圆的内接矩形，对角线为蒙日圆的直径，设边长为x，y，则x2+y2＝（2r）2＝4r2＝12b2，所以S矩形＝xy≤＝6b2，故D正确；故选：AD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数y＝a x﹣3+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1＝0上，其中m＞0，n＞0，则mn的最大值为．解：因为当x＝3时，y＝a3﹣3+1＝2，所以函数y＝a x﹣3+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（3，2），又点A在直线mx+ny﹣1＝0上，所以3m+2n﹣1＝0，即3m+2n＝1，因为m＞0，n＞0，所以mn＝＝，当且仅当，即时取等号，所以mn的最大值为．故答案为：．14．已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为．解：∵非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，设与的夹角θ，则（﹣）•＝﹣＝2||•||cosθ﹣＝0，∴cosθ＝，∴θ＝，故答案为：．15．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时，如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为10cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为 2.96cm.（精确到0.01cm）．解：设细沙在上部时，细沙的底面半径为r，则，∴细沙的体积为，设细沙流入下部的高度为h1，根据细沙体积不变，可知，解得．故答案为：2.96cm．16．已知数列{a n}满足a1+3a2+5a3+⋯+（2n﹣1）a n＝3n，则a3＝，若对任意的n∈N*，a n≥（﹣1）nλ恒成立，则λ的取值范围为[﹣3，2]．解：数列{a n}满足a1+3a2+5a3+⋯+（2n﹣1）a n＝3n，①当n＝1时，a1＝3，当n≥2时，a1+3a2+5a3+⋯+（2n﹣3）a n﹣1＝3n﹣1，②①﹣②得：，所以，（首相不符合通项），故，所以．对任意的n∈N*，a n≥（﹣1）nλ恒成立，所以当n为奇数时，a n≥﹣λ，即λ≥﹣a n恒成立，即λ≥（﹣a n）max，所以λ≥﹣a1＝﹣3，由于n≥2时，＝3﹣，故数列{a n}单调递增，当n为偶数时，a n≥λ，所以（a n）min≥λ，所以λ≤a2＝2，所以λ的取值范围为[﹣3，2]．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在①（sin B+sin C）2＝sin2A+3sin B sin C，②2c＝2a cos B+b，③b cos C+c cos B﹣2a cos A＝0这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题．在△ABC中，内角A，B，C 的对边长分别为a，b，c，且____．（1）求角A的大小；（2）若△ABC是锐角三角形，且b＝2，求边长c的取值范围．解：（1）选条件①．因为（sin B+sin C）2＝sin2A+3sin B sin C，所以sin2B+sin2C﹣sin2A＝sin B sin C，根据正弦定理得，b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理得，，因为A是△ABC的内角，所以选条件②，因为，由余弦定理，整理得b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理得，，因为A是△ABC的内角，所以．选条件③，因为b cos C+c cos B﹣2a cos A＝0，∴sin B cos C+sin C cos B﹣2sin A cos A＝0．∴sin（B+C）＝2sin A cos A，即sin A＝2sin A cos A因为0＜A＜π，sin A≠0．∴，∴；（2）因为，△ABC为锐角三角形，所以，解得在△ABC中，，所以，即．由可得，，所以，所以1＜c＜4．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列是首项为，公差为的等差数列，若[x]表示不超过x的最大整数，如[0.5]＝0，[lg499]＝2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝[lga n]，求数列{b n}的前2020项的和．解：（1）数列是首项为，公差为的等差数列，所以，得．当n＝1时，，当n≥2时，，又也适合上式，所以．（2），当n＝1时，﹣1＜lga1＜0；当n＝2，3，4，…，19时，0≤lga n＜1；当n＝20，21，22，…，199时，1≤lga n＜2；当n＝200，201，202，…，1999时，2≤lga n＜3；当n＝2000，2001，…，2020时，3≤lga n＜4．故数列{b n}的前2020项和为[lga1]+[lga2]+[lga3]+⋯+[lga2020]＝﹣1+0×18+1×180+2×1800+3×21＝3842．19．已知△ABC是正三角形，线段AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝2CD＝2，F为BE 的中点，设平面BDE∩平面ABC＝l．（1）求证：DF∥l；（2）当平面BDE与平面ABC所成的锐二面角为时，求几何体ABCDE的体积．【解答】（1）证明：取AB中点G，连CG、FG，在△ABE中，F，G分别为BE、AB的中点，所以FG∥AE，FG＝AE，因为线段AE和CD都垂直于平面ABC，所以CD∥AE，又因为AE＝2CD．所以FG∥DC，FG＝DC，所以四边形CDFG为平行四边形，所以DF∥CG，又因为DF⊄平面ABC，CG⊂平面ABC，所以DF∥平面ABC，又因为DF⊂平面BDE，平面BDE∩平面ABC＝l，所以DF∥l．（2）解：因为△ABC是正三角形，所以CG⊥AB，因为AE⊥平面ABC，AE⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面ABC，因为CG⊂平面ABC，平面ABE∩平面ABC＝AB，所以CG⊥平面ABE，由（1）知CG∥l，所以l⊥平面ABE，因为AB、BE⊂平面ABE，所以l⊥AB，l⊥BE，所以∠ABE为平面BDE与平面ABC所成的锐二面角的平面角，于是∠ABE＝45°，于是BG＝FG＝CD＝1，所以V B﹣ACDE＝V D﹣ABC+V D﹣ABE＝+＝．20．已知圆C：x2+（y﹣2）2＝1与定直线l：y＝﹣1，且动圆M与圆C外切并与直线l相切．（1）求动圆圆心M的轨迹E的方程；（2）已知点P是直线l1：y＝﹣2上一个动点，过点P作轨迹E的两条切线，切点分别为A，B①求证：直线AB过定点．②求证：∠PCA＝∠PCB．解：（1）依题意知：M到C的距离等于M到直线y＝﹣2的距离，∴动点M的轨迹是以C为焦点，直线y＝﹣2为准线的抛物线，设抛物线方程为x2＝2py（p＞0），则，∴p＝4，∴抛物线的方程为x2＝8y，故动圆圆心M的轨迹E的方程为：x2＝8y；（2）证明：①由x2＝8y得：，∴，设，，P（t，﹣2），（x1≠x2），则切线PA的方程为：，同理，切线PB的方程为：，由解得：∴∴，即：，∵，∴直线AB的方程为：，化简得：，即：，故直线AB过定点（0，2）；②由①知：直线AB的斜率为，（i）当直线PC的斜率不存在时，直线AB的方程为：y＝2，∴PC⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB，（ii）当直线PC的斜率存在时，∵P（t，﹣2），C（0，2），∴直线PC的斜率，∴，∴PC⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB，综上所述：∠PCA＝∠PCB得证．21．第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球，MIKSA﹣V200W，已知这种球的质量指标ξ（单位：g）服从正态分布N（270，52）．比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛（采取5局3胜制），最后靠积分选处最后冠军，积分规则如下：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分．已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p（0＜p＜1）（1）若比赛准备了1000个排球，请估计质量指标在（260，265]内的排球个数（计算结果收整数）．（2）第10轮比赛中，记中国队3：1取胜的概率为f（p）．（ⅰ）求出f（p）的最大值点p0；（ⅱ）若以p0作为p的值，记第10轮比赛中，中国队所得积分为X，求X的分布列及数学期望．参考数据：若X～N（μ，σ2），则p（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6826，p（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9544．解：（1）因为ξ～N（270，52），则，所以质量指标在（260，265]内的排球个数约1000×0.1359≈136个；（2）（i）前三场赢两场，第四场必赢，则f（p）＝3×p3×（1﹣p）＝3（p3﹣p4）f'（p）＝3p2（3﹣4p），令f'（p）＝0，得（p＝0舍去），当时，f'（p）＞0，函数f（p）单调递增，当时，f'（p）＜0，函数f（p）单调递减，所以f（p）的最大值点．（ii）X可能取的值为0、1、2、3，当X＝3时，前三均全赢，或者前三场赢两場，第四场必赢，故，当X＝2时，前四场赢两场，第五场必赢，故，当X＝1时，前四场赢两场，第五场必输，故，当X＝0时，前三场全输，或者前三场赢一场，第四场必输，故，所以X的分布列为：X3210P则．22．已知函数，．（1）当a＝1时，求证：当x≥0时，f（x）≥0；（2）若f（x）+g（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．【解答】（1）证明：当a＝1时，，所以f'（x）＝e x﹣x﹣1，则f''（x）＝e x﹣1≥0恒成立，故f'（x）在[0，+∞）上单调递增，所以f'（x）≥f'（0）＝0，则f（x）在[0，+∞）上单调递增，故f（x）≥f（0）＝0，故原式得证；（2）解：因为f（x）+g（x）＝e x+cos x﹣ax﹣2，令h（x）＝e x+cos x﹣ax﹣2，即求解h（x）≥0恒成立，因为h'（x）＝e x﹣sin x﹣a，h''（x）＝e x﹣cos x，又e x≥1，﹣1≤cos x≤1，故h''（x）≥0，所以h'（x）在[0，+∞）上单调递增，则h'（x）≥h'（0）＝1﹣a，①当1﹣a≥0，即a≤1时，h'（x）≥0，故h（x）在[0，+∞）上单调递增，故h（x）≥h（0）＝0．此时原式成立，故a≤1满足题意；②当1﹣a＜0，即a＞1时，h'（0）＜0，当x→+∞时，h'（x）→+∞，故∃x0∈（0，+∞），使得h'（x0）＝0，所以当x∈（0，x0）时，h'（x）＜0，则h（x）在（0，x0）上单调递减，故h（x）＜h（0）＝0，矛盾．综上所述，a的取值范围为（﹣∞，1]．。
新高考数学试卷三卷答案
一、选择题1. 答案：A解析：由题意知，a+b=2，ab=1，则(a+b)²=a²+2ab+b²=4，即a²+b²=4-2=2。
所以，(a+b)²/(a²+b²)=4/2=2。
2. 答案：B解析：设函数f(x)=ax²+bx+c，根据题意有f(1)=2，f(-1)=0，f(0)=1。
将这三个条件代入函数表达式，得到以下方程组：a+b+c=2a-b+c=0c=1解方程组得a=1，b=0，c=1。
所以，f(x)=x²+1。
3. 答案：D解析：由题意知，x²+y²=1，且x+y=0。
将x+y=0代入x²+y²=1中，得到x²+(-x)²=1，即2x²=1，解得x=±√(1/2)。
因为x+y=0，所以y=-x。
所以，x=±√(1/2)，y=-x=∓√(1/2)。
4. 答案：C解析：由题意知，a、b、c、d是等差数列，且a+b+c+d=20。
设公差为d，则有：a+d=20/4=5b+d=5+dc+d=5+2dd=5-d解得d=5/3，a=5-5/3=10/3。
所以，a=10/3。
5. 答案：B解析：由题意知，a、b、c、d是等比数列，且a+b+c+d=20。
设公比为q，则有：a+aq+aq²+aq³=20a(1+q+q²+q³)=20a=20/(1+q+q²+q³)因为a、b、c、d是等比数列，所以b=aq，c=aq²，d=aq³。
将a=20/(1+q+q²+q³)代入b、c、d中，得到：b=20q/(1+q+q²+q³)c=20q²/(1+q+q²+q³)d=20q³/(1+q+q²+q³)所以，b²+c²+d²=20q²/(1+q+q²+q³)²+20q²/(1+q+q²+q³)²+20q³/(1+q+q²+q³)²=20q²(1+q+ q²+q³)/(1+q+q²+q³)²=20q²/(1+q+q²+q³)。
2021年山东省新高考高考数学二模试卷(三)
2021年山东省新高考高考数学二模试卷（三）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设f(z)=z，z1=3+4i，z2=−2−i，则f(z1−z2)等于()A. 1−3iB. −2+11iC. −2+iD. 5+5i2.集合A={x|2x−1x+1≤0}，集合B={x|y=√log12(1−x)}，则集合A∪B等于()A. [0,12] B. (−1,+∞) C. (−1,1) D. [−1,+∞)3.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞)，满足f(2)=1且对于定义域内任意x，y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立，那么f(2)+f(4)的值为()A. 1B. 2C. 3D. 44.一个等比数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为()A. 83B. 108C. 75D. 635.若向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=2，| b⃗⃗⃗ |=1，且<a⃗，b⃗ >=π3，则<a⃗−b⃗ ，b⃗ >=()A. 5π6B. π2C. π3D. π66.已知直线l：ax+y−2=0与⊙C：(x−1)2+(y−a)2=4相交于A、B两点，则△ABC为钝角三角形的充要条件是()A. a∈(1,3)B. a∈(2−√3,2+√3)C. a∈(2−√3,1)∪(1,2+√3)D. a∈(−∞,2−√3)∪(2+√3,+∞)7.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则()A. f(x)=√3cos(x−π6)B. f(x)=√3cos(x+π6)C. f(x)=√3cos(x2−π6)D. f(x)=√3cos(x2+π6)8.北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉样物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为()A. 8B. 10C. 12D. 14二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且f(x)为奇函数，g(x)的图象关于直线x=1对称，则下列说法中正确的有()A. y=g(f(x)+1)为偶函数B. y=g(f(x))为奇函数C. y=f(g(x))的图象关于直线x=1对称D. y=f(g(x+1))为偶函数10.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则()A. 直线B1D⊥平面A1C1DB. 二面角B1−CD−B的大小为π2C. 三棱锥P−A1C1D的体积为定值D. 异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[π4,π2 ]11.已知实数a，b满足a2−ab+b=0(a>1)，下列结论中正确的是()A. b≥4B. 2a+b≥8C. 1a +1b>1 D. ab≥27412.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点(其中A在B的上方)，过线段AB的中点M且与x轴平行的直线依次交直线OA，OB，l于点P，Q，N.则()A. |PM|=|NQ|B. 若P，Q是线段MN的三等分点，则直线AB的斜率为2√2C. 若P，Q不是线段MN的三等分点，则一定有|PQ|>|OQ|D. 若P，Q不是线段MN的三等分点，则一定有|NQ|>|OQ|三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知二项式(3√x−1x)n的展开式中，所有项的系数之和为64，则该展开式中的常数项是______ ．14.如图，某湖有一半径为100m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200m的点A处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足AB=AC，∠BAC=90°.定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设∠AOB=θ.则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为______ ．15. 已知直线y =kx 是曲线y =e x 的切线，也是曲线y =lnx +m 的切线，则实数k = ______ ，实数m =______ ． 16. 已知函数f(x)=(1+x2+x)2log−22x +1+2，x ∈R ，若∃θ∈[0,π2]使关于θ的不等式f(2sinθ⋅cosθ)+f(4−2sinθ−2cosθ−m)<2成立，则实数m 的范围为______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ∗)．(1)若{a n }为等差数列，S 11=165，a 3+a 8=28，求{a n }的通项公式；(2)若数列{S n }满足12S 1+122S 2+⋯+12n S n =3n +5，求S n ．18. 在平面四边形ABCD 中，AB =4，AD =2√2，对角线AC 与BD 交于点E ，E 是BD 的中点，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)若∠ABD =π4，求BC 的长；(2)若AC =3，求cos∠BAD ．19. 近年来，我国的电子商务行业发展迅速，与此同时，相关管理部门建立了针对电商的商品和服务评价系统.现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为35，对服务的好评率为710，其中对商品和服务均为好评的有80次．(1)是否可以在犯错误概率不超过0.1的前提下，认为商品好评与服务好评有关？(2)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的4次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ，求对商品和服务全好评的次数X 的分布列及其期望．参考公式：独立性检验统计量K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82820.如图，在四棱锥S−ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，∠ASD=90°，且SC=2．(1)证明：平面SAD⊥平面ABCD；(2)当四棱锥S−ABCD的体积最大时，求二面角B−SC−D的余弦值．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为(−√3,0)，且过点(1,√32)．(1)求椭圆C的方程；(2)设A1(−a,0)，A2(a,0)，B(0,b)，点M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A1B与直线A2M交于点P，直线A1M与直线A2B交于点Q，求证：△BPQ为等腰三角形．22.已知函数f(x)=e x−ax−1，g(x)=kx2．(1)当a>0时，求f(x)的值域；−x恒成立，求k的取值范围．(2)令a=1，当x∈(0,+∞)时，f(x)≥g(x)ln(x+1)答案和解析1.【答案】D【解析】解：z1=3+4i，z2=−2−i，则z1−z2=5+5i，∵f(z)=z，则f(z1−z2)=z1−z2=5+5i．故选：D．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2.【答案】C(1−x)≥0}={x|0<1−x≤1}={x|0≤x<1}，【解析】解：∵A={x|−1<x≤12},B={x|log12∴A∪B=(−1,1)．故选：C．可求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．本题考查了描述法和区间的定义，分式不等式的解法，对数函数的定义域和单调性，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：∵f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2f(2)，∴f(4)=2．∴f(2)+f(4)=1+2=3，故选：C．由f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2f(2)，可得f(4)=2，从而得到所求．本题考查抽象函数的应用，求出f(4)=2，是解题的关键，是基础题．4.【答案】D【解析】解：等比数列的第一个n项的和为：48，第二个n项的和为60−48=12=3∴第三个n项的和为：12×1248∴前3n项的和为60+3=63故选D根据等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列，进而根据等比等比数列的第一个n项的和和第二个n项的和求得第三个n项的和，进而把前2n项的和加上第三个n项的和，即可求得答案．本题主要考查了等比数列的前n项的和．解题的关键是利用等比数列每k项的和也成等比数列的性质．5.【答案】B，【解析】解：因为向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=2，| b⃗⃗⃗ |=1，且<a⃗，b⃗ >=π3∴|a⃗−b⃗ |=√(a⃗−b⃗ )2=√a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=√3，∴cos <a ⃗ −b ⃗ ，b ⃗ >=(a ⃗ −b⃗ )⋅b ⃗ |a ⃗ −b⃗ |⋅|b ⃗ |=2×1×12−123×1=0，又因为向量的夹角θ∈[0,π]．∴<a ⃗ −b ⃗ ，b ⃗ >=π2， 故选：B ．根据已知条件求出|a ⃗ −b ⃗ |，再代入夹角计算公式即可求解．本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6.【答案】C【解析】解：⊙C ：(x −1)2+(y −a)2=4的圆心为C(1,a)，半径r =2， 故点C 到直线l ：ax +y −2=0的距离为d =√a 2+1=√a 2+1，故AB =2√4−d 2=4√2aa +1，又CA =CB =2，因为△ABC 为钝角三角形，故AC 2+BC 2<AB 2，即4+4<16⋅2aa +1，化简可得a 2−4a +1<0， 解得2−√3<a <2+√3，当三点A ，B ，C 共线时，有a +a −2=0，即a =1，此时△ABC 不存在， 所以△ABC 为钝角三角形的充要条件是a ∈(2−√3,1)∪(1,2+√3). 故选：C ．利用圆的方程求出圆心和半径，然后利用点到直线的距离公式求出d ，再利用弦长公式求出AB ，然后结合△ABC 为钝角三角形，列出关于a 的不等式求解即可．本题考查了直线与圆位置关系的应用，涉及了点到直线距离公式的应用，解题的关键是将问题转化为AC 2+BC 2<AB 2，属于中档题． 7.【答案】D【解析】解：由图知，A =√3，把点(0,32) 代入f(x)得，√3cosφ=32，∴cosφ=√32，∵φ∈(0,π)，∴φ=π6，∴f(x)=√3cos(ωx +π6)，把点(5π3,−√3)代入得，cos(5π3ω+π6)=−1，∴5π3ω+π6=π+2kπ，k ∈Z ，∴ω=12+65k ，k ∈Z ， ∵ω>0，∴ω=12， ∴f(x)=√3cos(12x +π6)， 故选：D ．根据图象求出A，ω和φ，即可求函数f(x)的解析式．本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，考查数形结合思想，属中档题．8.【答案】A【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①小明和小李两个人安装同一个吉祥物，则剩下3人安装另外1个，有2种安装方案，②小明和小李和另外一人安装同一个吉祥物，则剩下2人安装另外1个，有C31×2=6种安装方案，则有2+6=8种不同的安装方案，故选：A．根据题意，分2种情况讨论：①小明和小李两个人安装同一个吉祥物，②小明和小李和另外一人安装同一个吉祥物，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．9.【答案】ACD【解析】解：根据题意，f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)，g(x)图象关于直线x=1对称，则g(1−x)=g(1+ x)，据此分析选项：对于A，对于y=g(f(x)+1)，g(f(−x)+1)=g(1−f(x))=g(f(x)+1)，则函数y=g(f(x)+1)为偶函数，A正确；对于B，对于y=g(f(x))，有g(f(−x))=g(−f(x))≠−g(f(x))，不是奇函数，B错误；对于C，g(x)图象关于直线x=1对称，则函数y=f(g(x))图象关于直线x=1对称，C正确；对于D，g(x)图象关于直线x=1对称，则g(1−x)=g(1+x)，对于y=f(g(x+1))，有f(g(−x+1))= f(g(x+1))，则f(g(x+1))为偶函数，D正确；故选：ACD．根据题意，由函数奇偶性的性质以及对称性依次分析选项，即可得答案．本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的奇偶性和函数图象的对称性，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：如图，在A中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1=B1，∴A1C1⊥平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1，∵A1C1∩DC1=C1，∴BD1⊥平面A1C1D，故A正确；在B中，由正方体可知平面B1CD不垂直平面ABCD，故B错误；在C中，∵A1D//B1C，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D，∴B1C//平面A1C1D，∵点P在线段B1C上运动，∴P到平面A1C1D的距离为定值，又△A 1C 1D 的面积是定值，∴三棱锥P −A 1C 1D 的体积为定值，故C 正确；在D 中，当点P 与线段B 1C 的端点重合时，异面直线AP 与A 1D 所成角取得最小值为π3， 故异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范围是[π3,π2]，故D 错误，故选：AC ．直接证明直线B 1D ⊥平面A 1C 1D 判断A ；由正方体的结构特征判断B ；证明三棱锥P −A 1C 1D 的体积为定值判断C ；求出异面直线AP 与A 1D 所成角的最小值判断D ．本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与平面垂直、多面体的体积及空间角的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题． 11.【答案】AD【解析】解：实数a ，b 满足a 2−ab +b =0(a >1)， A .b =a 2a−1=a 2−1+1a−1=a +1+1a−1=a −1+1a−1+2≥2√(a −1)⋅1a−1+2=4，当且仅当a =2时取等号，因此正确；B .2a +b =2a +a +1+1a−1=3(a −1)+1a−1+4≥2√3(a −1)⋅1a−1+4=2√3+4，当且仅当a =1+√33取等号，因此不正确； C .∵a >1，∴1a∈(0,1)，1a+1b=1a+a−1a 2=−1a2+2a=−(1a −1)2+1<1，因此不正确； D .ab =a ⋅a 2a−1=a 3a−1，令f(x)=x 3x−1，(x >1).f′(x)=2x 2(x−32)(x−1)2，可得x =32时，函数f(x)取得极小值，即最小值． f(32)=(32)332−1=274，∴f(x)≥274，即ab ≥274，因此正确．故选：AD ．A .由验证可得：b =a 2a−1=a 2−1+1a−1=a +1+1a−1=a −1+1a−1+2，利用基本不等式即可判断出正误；B .2a +b =2a +a +1+1a−1=3(a −1)+1a−1+4利用基本不等式即可判断出正误；C .由a >1，可得1a∈(0,1)，1a+1b=1a+a−1a 2=−1a2+2a=−(1a−1)2+1>1，利用二次函数的单调性即可判断出正误； D .ab =a ⋅a 2a−1=a 3a−1，令f(x)=x 3x−1，(x >1).求出f′(x)，利用导数研究函数的单调性即可判断出正误． 本题考查了基本不等式、二次函数的单调性、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 12.【答案】AB【解析】解：抛物线的焦点为F(1,0)，设直线AB 的方程为y =k(x −1)，k >0， A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =k(x −1)y 2=4x ，得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0，则x 1+x 2=2+4k 2，x 1x 2=1， ∴x M =x 1+x 22=1+2k 2，y M =k(x M −1)=2k ，直线MN 的方程为y =2k ，∵O ，P ，A 共线， ∴x P x 1=y P y 1，x P =x 1y P y 1=2x 1ky 1=y 122ky 1=y 12k，同理x Q =y22k ，x P +x Q =y 1+y 22k=y M k=2k 2，x M +x N =1+2k2−1=2k 2=x P +x Q ，∴x M −x P =x Q −x N ，即|MP|=|NQ|，A 正确； 若P ，Q 是线段MN 的三等分点，则|PQ|=13|MN|，y 1−y 22k=13(1+2k2+1)=13(2+2k 2)，y 1−y 2=4(k 2+1)3k，又y 1+y 2=2y M =4k ，y 1y 2=k 2(x 1−1)(x 2−1)=k 2(x 1x 2−x 1−x 2+1)=−4， ∴y 1−y 2=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√16k 2+16， ∴√16k 2+16=4(k 2+1)3k，解得k =2√2，(∵k >0)，B 正确；由k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0，得x =k 2+2±2√k 2+1k 2，x 2=k2+2−2√k 2+1k 2，∴y 2=k(x 2−1)=2−2√k 2+1k，x Q =y 22k =1−√k 2+1k 2，又y Q =y M =2k ，∴|OQ|=(1−√k 2+1k2)2+(2k)2=√2+5k 2−2√k 2+1k 2，|PQ|=y 1−y 22k=2√1+k 2k 2，∴|OQ|2−|PQ|2=5k 2+2−2√k 2+1−4(1+k 2)k 4=(1+√k 2+1)(√k 2+1−3)k 4，当k >2√2时，|OQ|>|PQ|，C 错误；由图可知|NQ|≤1，而|OQ|≥y Q =2k ，只要0<k <2，就有|OQ|>1>|NQ|，D 错误，故选：AB ．设直线AB 的方程为y =k(x −1)，k >0，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，三点共线的性质，可判断A；若P，Q是线段MN的三等分点，则|PQ|=13|MN|，运用韦达定理和弦长公式，可得直线AB的斜率，可判断B；运用求根公式，求得Q的坐标，结合|OQ|2−|PQ|2的表达式，可判断C；由图可知|NQ|≤1，由|OQ|的范围和k的取值，可判断D．本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．13.【答案】1215【解析】解：∵二项式(3√x−1x)n的展开式中，所有项的系数之和为2n=64，∴n=6．∴它的通项公式为Tr+1=C6r⋅(−1)r⋅36−r⋅x3−3r2，令3−3r2=0，可得r=2，故二项式(3√x−1x)n的展开式的常数项为C62⋅34=1215，故答案为：1215．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．14.【答案】(10000√5+25000)m2【解析】解：由题意可知将“直接监测覆盖区域”面积转化为三角形△ABC和三角形△AOB的面积之和，s△AOB=12×OA×OB×sinθ=10000sinθ；在三角形△AOB中，AB2=OB2+OA2−2OB×OA×cosθ=50000−40000cosθ，三角形△ABC为等腰直角三角形，∴s△ABC=12AB×AC=12AB2=25000−20000cosθ，所以“直接监管覆盖区域”面积为s△AOB+s△ABC=25000+10000sinθ−20000cosθ=25000+10000√5sin(θ−α)，其中tanα=2，当sin(θ−α)=1时，面积取得最大值为25000+10000√5，故答案为：25000+10000√5．由题意“直接监测覆盖区域”面积转化为三角形△ABC和三角形△AOB的面积之和，列出关于θ的函数关系式，即可解决．本题考查了函数的应用，三角函数最值的求法，学生的数学运算能力，属于基础题．15.【答案】e 2【解析】解：对于y=e x，设切点为(n,e n)，因为y′=e x，故切线斜率k=e n，故切线方程为y−e n=e n(x−n)，由已知得切线过(0,0)，所以−e n=e n(−n)，故n=1，所以k=e．对于y=lnx+m，设切点为(c,lnc+m)，所以y′=1x ，因为切线为y=ex，得y′|x=c=1c=e，所以c =1e ，所以切点为(1e ,1)，代入y =lnx +m 得1=ln 1e +m ，所以m =2．故答案为：e ；2．根据y =kx 是y =e x 的过原点的切线，求出k 的值，然后再对y =lnx +m 设切点，求切线方程，利用切线方程为y =kx ，列方程求出m 的值．本题考查导数的几何意义，切线方程的求法，以及公切线的性质，同时考查了学生运用方程思想解题的意识，数学运算的能力，属于中档题． 16.【答案】m >2【解析】解：令g(x)=f(x)−1=(1+x2+x)2log−22x +1+1，则g(−x)=f(−x)−1=(1+x2−x)2log−22−x +1+1，而g(x)+g(−x)=log 21+2−22x +1−2×2x 2x +1=0，所以g(x)是奇函数，而(1+x2−x)2log在R 上单调递增，−22x +1+1在R 上单调递增，所以g(x)是在R 上的单调递增函数且为奇函数，而f(2sinθ⋅cosθ)+f(4−2sinθ−2cosθ−m)<2可变形成f(2sinθ⋅cosθ)−1<1−f(4−2sinθ−2cosθ−m)，即g(2sinθ⋅cosθ)<−g(4−2sinθ−2cosθ−m)=g(2sinθ+2cosθ+m −4)，由g(x)是在R 上的单调递增函数，则∃θ∈[0,π2]使关于θ的不等式2sinθ⋅cosθ<2sinθ+2cosθ+m −4成立， 即−m <2(sinθ+cosθ)−2sinθ⋅cosθ−4，设t =sinθ+cosθ=√2sin(θ+π4)，θ∈[0,π2]，则t ∈[1,√2]，2sinθ⋅cosθ=t 2−1，令ℎ(t)=2t −(t 2−1)−4=−t 2+2t −3=−(t −1)2−2，t ∈[1,√2]，则ℎ(t)的最大值为−2， 所以−m <−2即m >2．综上所述：实数m 的范围为m >2． 故答案为：m >2．构造函数g(x)=f(x)−1，然后研究该函数的单调性和奇偶性，将条件变形成g(2sinθ⋅cosθ)<−g(4−2sinθ−2cosθ−m)，利用奇函数和单调性可得不等式，将m 分离，利用换元法求出不等式另一侧函数的最值，即可求出所求．本题主要考查函数恒成立问题，以及函数的奇偶性和单调性，同时考查了构造法和换元法的应用，属于中档题．17.【答案】(1)由题意可设等差数列的公差为d ， 则{11a 1+55d =1652a 1+9d =28，解得{a 1=5d =2，∴a n =2n +3； (2)当n =1时，12S 1=8，∴a 1=S 1=16， 当n ≥2时, 12S 1+122S 2+⋯+12n S n =3n +5,①12S 1+122S 2+⋯+12n−1S n−1=3n +2,② ①−②得，12n S n =3，∴S n =3⋅2n ， 当n =1时，S 1=16不适合上式， ∴S n ={16,n =13⋅2n ,n ≥2．【解析】(1)利用等差数列的性质解题； (2)求通项注意检验n =1时是否成立．本题考查了等差数列的性质，以及通项公式的求法，属于基础题．18.【答案】解：(1)在△ABD 中，由余弦定理知，AD 2=AB 2+BD 2−2AB ⋅BD ⋅cos∠ABD ， ∴8=16+BD 2−2⋅4⋅BD ⋅cos π4，化简得BD 2−4√2BD +8=0， 解得BD =2√2，∵E 是BD 的中点，∴BE =12BD =√2，在△ABE 中，由余弦定理知，AE 2=AB 2+BE 2−2AB ⋅BE ⋅cos∠ABD =16+2−2×4×√2×√22=10，∴AE =√10，∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AC =32AE =3√102， 由余弦定理知，cos∠BAC =AB 2+AE 2−BE 22AB⋅AE=16+10−22×4×√10=3√10，在△ABC 中，由余弦定理知，BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos∠BAC =16+(3√102)2−2×4×3√102×3√10=52，∴BC =√102．(2)∵AC =3，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AE =2， ∵∠AEB +∠AED =π， ∴cos∠AEB =−∠AED ， 设BE =DE =x ， 则AE 2+BE 2−AB 22AE⋅BE=−AE 2+DE 2−AD 22AE⋅DE，即4+x 2−162⋅2x=−4+x 2−82⋅2x，解得x =2√2，∴BD =2BE =4√2，在△ABD 中，由余弦定理知，cos∠BAD =AB 2+AD 2−BD 22AB⋅AD=2×4×2√2=−√24．【解析】(1)在△ABD 中，由余弦定理求得BD =2√2，再在△ABE 中，由余弦定理可得AE =√10，进而得cos∠BAC 的值，然后在△ABC 中，再次利用余弦定理，即可得解；(2)由cos∠AEB =−∠AED ，结合余弦定理可求得BE 的长，再在△ABD 中，利用余弦定理，得解． 本题主要考查解三角形中余弦定理的运用，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题． 2×2列联表如下：K 2=200(1600−2400)2140×60×120×80=1.587，1.587<2.706，所以，不可以在犯错误概率不超过0.1的前提下，认为商品好好评与题务好评有关． (2)每次购物时，对商品和服务都好评的概率为25，且X 的取值可以是0，1，2，3，4． 其中P(X =0)=(35)4=8154:P(X =1)=C 41(25)(35)3=21654;P(X =2)=C 42(25)2(35)2=21654;P(X =3)=C 43(25)3(35)=9654，P(X =4)=(25)4=1654，由于X ∽B(4,25).则E(X)=85．【解析】本题考查独立性检验，离散型随机变量及其分布列，期望，属于中档题． (1)列二联表，求K 2,再判断；(2)对商品和服务全好评的次数为随机变量可以是0，1，2，3，4． 求出对应的概率，列分布列，进而求E(X)=85．20.【答案】解：(1)证明：如图，取AD 的中点O ，连接SO 、CO 、AC ，∵∠ADC =∠ABC =60°，且AD =DC ，又AD =CD =2，则△ACD 为正三角形，∴CO ⊥AD ，CO =√3， 又∵∠ASD =90°，∴△ASD 为直角三角形，∴SO =12AD =1， 在△ACS 中，CO 2+SO 2=SC 2，则CO ⊥SO ， 又AD ∩SO =O ，AD 、SO ⊂平面ADS ， ∴CO ⊥平面ADS ，又∵CO ⊂平面ABCD ，∴平面SAD ⊥平面ABCD ．(2)∵∠ASD =90°，则点S 在以AD 为直径的圆上，且SO =1， 设点S 到平面ABCD 的距离为d ，∴V S−ABCD =13⋅S 矩形ABCD ⋅ℎ， 而S 矩形ABCD =2×12×2×2×sin60°=2√3， ∴当d 取最大值时四棱锥S −ABCD 的体积最大， 此时SO ⊥平面ABCD ，又由(1)可知CO ⊥AD ，如图建系，则B(√3,−2,0)，S(0,0，1)，C(√3,0，0)，D(0,1，0)， 则BS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,2，1)，SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0，−1)，SD⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−1)， 设平面SBC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BS⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x +2y +z =0m⃗⃗⃗ ⋅SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x −z =0，取x =1，则m⃗⃗⃗ =(1,0，√3)， 设平面SCD 的法向量为n⃗ =(a,b ，c)， 则{n ⃗ ⋅SC⃗⃗⃗⃗⃗ =√3a −c =0n ⃗ ⋅SD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b −c =0，取a =1，得n ⃗ =(1,√3,√3)，则cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√7=2√77， 设二面角B −SC −D 的平面角为θ，经观察θ为钝角，则cosθ=−|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−2√77， 故二面角B −SC −D 的余弦值为−2√77．【解析】(1)取AD 的中点O ，连接SO 、CO 、AC ，推导出CO ⊥AD ，CO ⊥SO ，从而CO ⊥平面ADS ，由此能证明平面SAD ⊥平面ABCD ．(2)设点S 到平面ABCD 的距离为d ，则V S−ABCD =13⋅S 矩形ABCD ⋅ℎ，当d 取最大值时四棱锥S −ABCD 的体积最大，此时SO ⊥平面ABCD ，建系，利用向量法能求出二面角B −SC −D 的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考相推理论证能力、运算求解能力等数学核心素养，是中档题． 21.【答案】解：(1)根据题意可得{c =√31a 2+(√32)2b 2=1， 解得a 2=4，b 2=1， 所以椭圆的方程为x 24+y 2=1．(2)证明：设直线A 2M 的方程为y =k(x −2)(k ≠0且k ≠±12)， 直线A 1B 的方程为y =12x +1， 联立{y =k(x −2)y =12x +1，解得P(4k+22k−1,4k2k−1)， 联立{y =k(x −2)x 24+y 2=1，得(1+4k 2)x 2−16k 2x +16k 2−4=0， 所以2x M =16k 2−44k 2+1，则x M =8k 2−24k 2+1，y M =−4k4k 2+1，即M(8k 2−24k 2+1,−4k4k 2+1)， 所以k A 1M =−4k 4k 2+18k 2−24k 2+1+2=−14k，于是直线A 1M 的方程为y =−14k (x +2)， 直线A 2B 的方程为y =−12x +1，联立{y =−14k(x +2)y =−12x +1，解得Q(4k+22k−1,−22k−1)， 于是x P =x Q ， 所以PQ ⊥x 轴，设PQ 的中点为N ，则点N 的纵坐标为4k2k−1+−22k−12=1，所以PQ的中点在定直线y=1上，所以点B在PQ的垂直平分线上，所以|BP|=|BQ|．所以△BPQ为等腰三角形．【解析】(1)根据焦点为(−√3,0)，且过点(1,√32)，列方程组，解得a，b，进而可得答案．(2)设直线A2M的方程为y=k(x−2)(k≠0且k≠±12)，写出直线A1B的方程，在联立直线A2M与直线A1B的方程，解得P点坐标，联立直线A2M与椭圆的方程，结合韦达定理，可得M坐标，进而可得k A1M，再写出直线A1M的方程，直线A2B的方程，联立解得Q的坐标，推出x P=x Q，即PQ⊥x轴，进而可得PQ的中点为N纵坐标1，即可得出答案．本题考查直线与椭圆的位置关系，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．22.【答案】解：(1)函数f(x)=e x−ax−1，所以f′(x)=e x−a，令f′(x)=0，解得x=lna，所以f(x)在(−∞,lna]上单调递减，在区间[lna,+∞)上单调递增，所以f(x)的最小值为f(lna)=e lna−alna−1=a−alna−1，故函数f(x)的值域为[a−alna−1,+∞)；(2)当a=1时，f(x)=e x−x−1，不等式f(x)≥g(x)ln(x+1)−x可变形为[f(x)+x]ln(x+1)≥kx2(x>0)，即(e x−1)ln(x+1)≥kx2，所以k≤(e x−1)ln(x+1)x2=e x−1xxln(x+1)=e x−1xe ln(x+1)−1ln(x+1)，因为f(x)≥g(x)ln(x+1)−x对x∈(0,+∞)恒成立，所以k≤e x−1xe ln(x+1)−1ln(x+1)对x∈(0,+∞)恒成立，令m(x)=e x−1x，则m′(x)=(x−1)ex−1x2，令n(x)=(x−1)e x+1，则n′(x)=xe x，因为x>0，所以n′(x)>0，故n(x)在(0,+∞)上单调递增，所以n(x)>n(0)=0，故m′(x)>0，所以m(x)在(0,+∞)上单调递增，则m(x)>0(x>0)，又由(1)可知，当a=1，且x>0时，f(x)=e x−x−1的值域为(0,+∞)，即f(x)=e x−x−1>0，所以e x>x+1恒成立，即x>ln(x+1)，所以m(x)>m(ln(x+1))，即m(x)m(ln(x+1))>1，又k≤m(x)m(ln(x+1))对x∈(0,+∞)恒成立，所以k≤1，故实数k的取值范围为(−∞,1]．【解析】(1)求出f′(x)，利用导数判断函数f(x)的单调性，从而求出f(x)的最值，即可得到f(x)的值域；(2)当a=1时，f(x)=e x−x−1，将不等式f(x)≥g(x)ln(x+1)−x进行变形，最终化为k≤e x−1xe ln(x+1)−1ln(x+1)对x∈(0,+∞)恒成立，令m(x)=e x−1x，然后利用导数研究函数m(x)的单调性，结合(1)中的结论可推导出即x>ln(x+1)，从而得到m(x)m(ln(x+1))>1，即可求出k的取值范围．本题考查了导数的综合应用，主要考查了利用导数研究函数的性质，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求得参数的取值范围，属于难题．。
四川省眉山市2021届新高考数学三模试卷含解析
四川省眉山市2021届新高考数学三模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强【答案】D 【解析】 【分析】根据所给的雷达图逐个选项分析即可. 【详解】对于A ，甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分， 故甲的数据分析素养优于乙，故A 正确；对于B ，乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分， 故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故B 正确； 对于C ，甲的六大素养整体水平平均得分为10080100801008031063+++++=，乙的六大素养整体水平均得分为806080606010025063+++++=，故C 正确；对于D ，甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故D 错误； 故选：D 【点睛】本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.2．设全集U =R ，集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则()U A B =I ð（ ） A ．()0,3 B ．[)2,3C ．()0,2D ．()0,∞+【答案】B 【解析】 【分析】可解出集合B ，然后进行补集、交集的运算即可． 【详解】{}()2300,3B x x x =-<=Q ，{}2A x x =<，则[)2,U A =+∞ð，因此，()[)2,3U A B =I ð.故选：B. 【点睛】本题考查补集和交集的运算，涉及一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题. 3．设1tan 2α=，4cos()((0,))5πββπ+=-∈，则tan 2()αβ-的值为（ ）A ．724- B ．524-C ．524D ．724【答案】D 【解析】 【分析】利用倍角公式求得tan2α的值，利用诱导公式求得cos β的值，利用同角三角函数关系式求得sin β的值，进而求得tan β的值，最后利用正切差角公式求得结果. 【详解】1tan 2α=，22tan 4tan21tan 3ααα==-， ()4cos cos 5πββ+=-=-，()(0,βπ∈，4cos 5β∴=，3sin 5β=，3tan 4β=，()43tan2tan 734tan 2431tan2tan 24134αβαβαβ---===++⨯， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目.4．记集合(){}22,16A x y xy =+≤和集合(){},4,0,0B x y x y x y =+≤≥≥表示的平面区域分别是1Ω和2Ω,若在区域1Ω内任取一点,则该点落在区域2Ω的概率为( ) A ．14πB ．1πC ．12πD ．24ππ- 【答案】C 【解析】 【分析】据题意可知，是与面积有关的几何概率，要求M 落在区域2Ω内的概率，只要求A 、B 所表示区域的面积，然后代入概率公式21P Ω=Ω区域的面积区域的面积，计算即可得答案．【详解】根据题意可得集合22{(,)|16}A x y x y =+„所表示的区域即为如图所表示：的圆及内部的平面区域，面积为16π，集合{(,)|40B x y x y =+-„，0x …，0}y …表示的平面区域即为图中的Rt AOB ∆，14482AOB S ∆=⨯⨯=， 根据几何概率的计算公式可得81162P ππ==， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了几何概率的计算，本题是与面积有关的几何概率模型．解决本题的关键是要准确求出两区域的面积．5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．24πB ．28πC ．32πD ．36π【答案】C 【解析】 【分析】由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为23，高为1的等腰三角形，侧棱长为4，利用正弦定理求出底面三角形外接圆的半径，根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半径，即可求解球的表面积. 【详解】 由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为23，高为1的等腰三角形， 侧棱长为4，如图：由底面边长可知，底面三角形的顶角为120o ，由正弦定理可得2324AD ==，解得2AD =，三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心， 所以222222OA =+=该几何体外接球的表面积为：(24232S ππ=⋅=.故选：C 【点睛】本题考查了多面体的内切球与外接球问题，由三视图求几何体的表面积，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.6．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ） A ．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高 B ．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低C ．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益D ．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元 【答案】D 【解析】 【分析】用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项. 【详解】用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 收益203020103030604030305030所以7月收益最高，A 选项说法正确；4月收益最低，B 选项说法正确；16-月总收益140万元，712-月总收益240万元，所以前6个月收益低于后六个月收益，C 选项说法正确，后6个月收益比前6个月收益增长240140100-=万元，所以D 选项说法错误.故选D. 【点睛】本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题.7．已知正三角形ABC 的边长为2，D 为边BC 的中点，E 、F 分别为边AB 、AC 上的动点，并满足2AE CF =u u u v u u u v ，则DE DF ⋅u u u v u u u v的取值范围是（ ）A ．11[,]216- B ．1(,]16-∞ C ．1[,0]2-D ．(,0]-∞【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出直线:3(1)AB y x =+，:3(1)AC y x =--设出点(,3(1)),(,3(1))E m m F n n +--，通过||2||AE CF =u u u r u u u r，找出m 与n 的关系．通过数量积的坐标表示，将DE DF ⋅u u u r u u u r表示成m 与n 的关系式，消元，转化成m 或n 的二次函数，利用二次函数的相关知识，求出其值域，即为DE DF ⋅u u u r u u u r的取值范围． 【详解】以D 为原点，BC 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建系，设(0,3),(1,0),(1,0)A B C -，则直线:3(1)AB y x =+ ，:3(1)AC y x =-- 设点(,3(1)),(,3(1))E m m F n n +--，10,01m n -≤<<≤所以(,3),(1,3(1))AE m m CF n n ==---u u u r u u u r由||2||AE CF =u u u r u u u r得224(1)m n =- ，即2(1)m n =- ，所以22713(1)(1)4734()816DE DF mn m n n n n ⋅=-+-=-+-=--+u u u r u u u r ，由12(1)0m n -≤=-<及01n <≤，解得112n ≤<，由二次函数2714()816y n =--+的图像知，11[,]216y ∈-，所以DE DF ⋅u u u r u u u r 的取值范围是11[,]216-．故选A ．【点睛】本题主要考查解析法在向量中的应用，以及转化与化归思想的运用．8．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π【答案】C 【解析】 【分析】作出三棱锥的实物图P ACD -，然后补成直四棱锥P ABCD -，且底面为矩形，可得知三棱锥P ACD-的外接球和直四棱锥P ABCD -的外接球为同一个球，然后计算出矩形ABCD 的外接圆直径AC ，利用公式222R PB AC =+可计算出外接球的直径2R ，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积. 【详解】三棱锥P ACD -的实物图如下图所示：将其补成直四棱锥P ABCD -，PB ⊥底面ABCD ， 可知四边形ABCD 为矩形，且3AB =，4BC =.矩形ABCD 的外接圆直径225AC =AB +BC =，且2PB =. 所以，三棱锥P ACD -外接球的直径为22229R PB AC =+=，因此，该三棱锥的外接球的表面积为()224229R R πππ=⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.9．设函数22sin ()1x xf x x =+，则()y f x =，[],x ππ∈-的大致图象大致是的( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】采用排除法：通过判断函数的奇偶性排除选项A ；通过判断特殊点(),2f f ππ⎛⎫⎪⎝⎭的函数值符号排除选项D和选项C即可求解.【详解】对于选项A:由题意知,函数()f x的定义域为R，其关于原点对称，因为()()()()()2222sin sin11x x x xf x f xxx---==-=-+-+,所以函数()f x为奇函数,其图象关于原点对称，故选A排除；对于选项D:因为2222sin222412fππππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==>⎪+⎝⎭⎛⎫+⎪⎝⎭,故选项D排除;对于选项C:因为()()22sin1fππππ==+,故选项C排除;故选:B【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和特殊点函数值符号判断函数图象;考查运算求解能力和逻辑推理能力;选取合适的特殊点并判断其函数值符号是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.10．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（）A．()85424πB．()85824πC．()854216πD．()858216π【答案】C【解析】【分析】根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积.【详解】最上面圆锥的母线长为2，底面周长为2π24π⨯=，侧面积为1224π42π2⨯=，下面圆锥的母线长为25，底面周长为2π48π⨯=，侧面积为1258π85π2⨯⨯=，没被挡住的部分面积为22π4π212π⨯-⨯=，中间圆柱的侧面积为2π214π⨯⨯=.故表面积为()854216π++，故选C.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题. 11．已知集合A {x x 0}︱=>，2B {x x x b 0}=-+=︱，若{3}A B ⋂=，则b =（ ） A ．6- B ．6C ．5D ．5-【答案】A 【解析】 【分析】由{}3A B ⋂=，得3B ∈，代入集合B 即可得b . 【详解】{}3A B ⋂=Q ，3B ∴∈，930b ∴-+=，即：6b =-，故选：A 【点睛】本题考查了集合交集的含义，也考查了元素与集合的关系，属于基础题.12． “幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n 阶幻方()*3,n n ≥∈N ”是由前2n 个正整数组成的—个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（ ）A ．75B ．65C ．55D ．45【答案】B 【解析】 【分析】计算1225+++L 的和，然后除以5，得到“5阶幻方”的幻和. 【详解】依题意“5阶幻方”的幻和为12525122526555+⨯+++==L ，故选B. 【点睛】本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前n 项和公式，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2021届高考数学模拟预热卷（新高考）（三）【满分：150分】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|12x A y y ==-,{}2|230B x x x =-->,则RA B =( )A.∅B.[1,1)-C.(1,3]D.[3,1)-2.已知复数21z i =-,则||z 等于（ ）A.1B.2C.2D.223.现将爱国福，和谐福，友善福，富强福，敬业福排成一排，爱国福与敬业福相邻，则不同排法有______种( ).A ．72B ．24C ．36D ．484.如图,为测量一座古塔的高度,工作人员从与塔底同一水平面的A 点测得塔顶C 的仰角为15︒,然后从A 出发朝古塔方向走了30米后到达B 处,并测得此时的仰角为45︒,则此古塔的高度为( )A .153米B .(1531)-米C .(1533)-米D .()1531-米5.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．的是( )A ．这五年，出口总额之和．．．．比进口总额之和．．．．大B ．这五年，2015年出口额最少C ．这五年，2019年进口增速最快D ．这五年，出口增速前四年逐年下降6.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.120.05,lg1.30.11,lg 20.30≈≈≈)( ) A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年7.在ABC △中, M 为边BC 上任意一点, N 为AM 的中点,AN AB AC λμ=+,则λμ+的值为( ) A.12B.13C.14D. 18.在下列区间中,函数()e 43x f x x =+-的零点所在的区间为( ) A. 1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2,过点F 的直线与抛物线交于,P Q 两点,M 为线段PQ 的中点,O 为坐标原点,则下列结论正确的是( )A.C 的准线方程为1y =-B.线段PQ 的长度最小为4C.M 的坐标可能为()3,2D.3OP OQ ⋅=-恒成立10.下图是函数sin()y x ωϕ=+,则sin()x ωϕ+=( )A.πsin()3x +B.πsin(2)3x -C.πcos(2)6x +D.5πcos(2)6x - 11.已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对于任意R x ∈，都有()()()42f x f x f +=+成立，当[)0,2x ∈时，()21xf x =-，给出下列结论，其中正确的是( )A. ()00f =B.点()0,4是函数()y f x =的图象的一个对称中心C.函数()y f x =在[]6,2--上单调递增D.函数()y f x =在[]6,6-上有3个零点12.某市有,,,A B C D 四个景点,一位游客来该市游览,已知该游客游览A 的概率为23,游览,,B C D 的概率都是12,且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X 表示该游客游览的景点个数,则( )A.该游客至多游览一个景点的概率为14B.3(2)8P X ==C.1(4)24P X ==D.13()6E X =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点,O 为坐标原点,M 为线段OF 的垂直平分线与椭圆C 的一个交点,若3cos 7MOF ∠=,则椭圆C 的离心率为___________________.14.将数列{}21n -与{}32n -的公共项从小到大排列得到数列{}n a ,则{}n a 的前n 项和为________________.15.已知四棱锥P ABCD -的顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 是边长为2的正方形，且PA ⊥面ABCD ，若四棱锥的体积为163，则该球的体积为_____________. 16.若三棱柱111ABC A B C -的体积为12，点P 为棱1AA 上一点，则四棱锥11P BCC B -的体积为____________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （10分）在四边形ABCD 中,A C ∠=∠,E 是AD 上的点且满足BED △与ABD △相似,3π4AEB ∠=,π6DBE ∠=,6DE =.(1)求BD的长度；(2)求三角形BCD面积的最大值.18. （12分）已知各项均为正数的等差数列{}n a和等比数列{}n b满足111a b==，且236a a⋅=，238b b a⋅=(1)求数列{}n a，{}n b的通项公式.(2)若2221lognn nca b+=，求12nc c c++⋯+.19. （12分）某音乐院校举行“校园之星”评选活动，评委由本校全体学生组成，对A,B两位选手，随机调查了20个学生的评分，得到下面的茎叶图：（1）通过茎叶图比较A,B两位选手所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（2）校方将会根据评分记过对参赛选手进行三向分流：记事件C:“A获得的分流等级高于B”，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C发生的概率.20. （12分）如图,AE⊥平面,,,,1,2ABCD CF AE AD BC AD AB AB AD AE BC⊥====.(1)求证:BF平面ADE ;(2)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值;(3)若二面角E BD F --的余弦值为13,求线段CF 的长.21. （12分）已知函数()1x f x e ax =--,其中e 是自然对数的底数,实数a 是常数. （1）设a e =,求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程; （2）讨论函数()f x 的单调性.22. （12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 经过点），（30，离心率为21，左右焦点分别为)0,(1c F -，)0,(2c F . （1）求椭圆C 的方程；（2）N P ,是C 上异于M 的两点，若直线PM 与直线PN 的斜率之积为43-，证明:N M ,两点的横坐标之和为常数.答案以及解析一、单项选择题 1.答案：B解析：集合{}()|12,1x A y y ==-=-∞,{}()()2|230,13,B x x x =-->=-∞-+∞,则()[][),11,31,1RAB =-∞-=-.故选：B 2.答案：B 解析：∵复数()()()()22121211111i i z i i i i i ++====+--+- ∴z =故选B 3.答案：D解析：先排爱国福与敬业福，共有222A = (种)不同排法，再将爱国福与敬业福看做一个整体与和谐福，友善福，富强福排序，共有4424A = (种)不同排法，故由分步乘法计数原理可得，共有22448⨯= (种)不同排法 4.答案：D解析：设古塔高度为h 米,在ABC △中,30ACB ∠=︒ ,BC =,30AB =米.由正弦定理得sin30sin15AB BC=︒︒,所以h =.因为()6sin15sin 4530-=-=,所以1)h =米.5.答案：D解析：对A 项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A 正确；对B 项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B 正确；对C 项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C 正确； 对D 项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D 错误；故选：D 6.答案：B解析：设x 年后研发资金超过200万元，则130(112%)200x+>， 即20201.12,lg1.12lg ,0.050.191313x x x >>>，解得 3.8x >，故选B. 7.答案：A解析：因为M 为边BC 上任意一点,故将AN AB AC λμ=+中的AN 化为AM 得12AM AB AC λμ=+变形得22AM AB AC λμ=+,则221λμ+=,可得12λμ+= 详解:因为N 为AM 的中点,AN AB AC λμ=+, 所以12AM AB AC λμ=+,即22AM AB AC λμ=+ 因为M 为边BC 上任意一点, 所以221λμ+=, 所以12λμ+= 故选A 8.答案：C解析： 显然 ()f x 为定义在R 上且图象连续的函数, 如图,作出e x y =与34y x =-的图象,由图像知函数()e 43x f x x =+-的零点一定落在区间40,3⎛⎫⎪⎝⎭内,又41e 204f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭,1e 102f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭,故选C 。
二、多项选择题 9.答案：BCD解析：由焦点F 到准线的距离为2,得抛物线C 的焦点为(1,0)F ,准线方程为1x =-,A 项错误.设()()1122,,,P x y Q x y ,直线PQ 的方程为1x my =+.联立24,1,y x x my ⎧=⎨=+⎩消去y 可得()224210x m x -++=,消去 x 可得2440y my --=,所以2121242,4x x m y y m +=++=.212||444PQ x x p m =++=+≥,故B 项正确.当1m =时,可得(3,2)M ,所以C 项正确.又12121,4x x y y ==-,所以12123OP OQ x x y y ⋅=+=-,所以D 项正确.故选BCD. 10.答案：BC解析：本题主要考查三角函数. 由题图可知,2πππ2362T =-=, 所以2ππ||T ω==, 所以||2ω=.当2ω=时,由函数图象过点π2π,0,,063⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且()00f >,得2π2π,3k A k ϕ=+∈Z , 所以2π5πsin 2cos 236y x x ⎛⎫⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,同理,当2ω=-时,π2π,3k k ϕ=+∈Z , 所以ππsin 2cos 236y x x ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故本题正确答案为BC. 11.答案：AB解析：在()()()42f x f x f +=+中，令2x =-，得()20f -=又因为函数()f x 是R 上的奇函数，所以()()220f f =---，A 正确()()4f x f x +=，故()f x 是一个周期为4的奇函数，因为()0,0是函数()f x 的图象的一个对称中心，所以()4,0也是函数()f x 的图象的一个对称中心，B 正确作出函数的部分图像如图所示易得，函数()f x 在[]6,2--上不具有单调性，C 错误D 、根据上图可知，函数()f x 在[]6,6-上有7个零点，D 错误 12.答案：ABD解析：X 的所有可能取值为0,1,2,3,4. 则21111(0)1111322224P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==----= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,3213212115(1)11C 13232224P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以该游客至多游览一个景点的概率为151(0)(1)24244P X P X =+==+=,故A 正确. 22123132112113(2)C 11C 13223228P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯-+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故B 正确. 3211(4)3212P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭,故C 错误.又2132333211217(3)C 11C 3223224P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以1537113()012342424824126E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,故D 正确. 故选ABD. 三、填空题 13.答案：23解析：由题意知(),0F c ,则可设0,2c M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭.将0,2c M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆C 的方程,得2202241c y a b +=,即2220214c b y a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.设E 为线段OF 的垂直平分线与x 轴的交点,则MOE 为直角三角形.由于3cos 7MOF ∠=,所以不妨设32c=,则||7,6OM c ==.由勾股定理可得0||ME y =即2221404c b a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,得229140b a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.又2236a b -=,所以42853240a a -+=,解得281a =或24a =(舍去),故9a =,所以椭圆C 的离心率6293c e a ===. 14.答案：232n n -解析：数列{}21n -表示首项为1,公差为2的等差数列,各项均为正奇数,而数列{}32n -表示首项为1,公差为3的等差数列,各项分别为交替出现的正奇数与正偶数,它们的公共项为数列{}32n -中的奇数项,所以{}n a 是首项为1,公差为6的等差数列,其前n 项和2(1)16322n n n S n n n -=⨯+⨯=-.15.答案：解析：设此球半径为R ，因底面ABCD 是边长为2的正方形,且PA ⊥面ABCD ,若四棱锥的体积为163， 则1162233PA ⨯⨯⨯=，∴4PA =， 可以把四棱锥P ABCD -补成一个以ABCD 为底、PA 为侧棱的长方体，则这个长方体的外接球就是四棱锥P ABCD -的外接球，球心O 就是PC 的中点，∴222222(2)4R PC AP AB AC ==++=,∴R则该球的体积为34π3R =.故答案为：. 16.答案：8解析：1111111111111111122128333P BCC B A BCC B ABC A B C A A B C ABC A B C ABC A B C V V V V V V ------==--==⨯=.四、解答题17.答案：(1) ππ4BED AEB ∠=-∠=, 在三角形BDE 中,sin sin DE BDDBE BED=∠∠,即6ππsin sin 64BD=,所以612=,BD = (2)因为BED ABD △△,所以C A ∠=∠=π6DBE ∠=, 在三角形BDC 中,2222cos 6BD DC BC DC BCπ=+-,所以2272DC BC BC =+, 所以7223DC BCDC BC ≥-, 所以(72DC BC≤,所以((1π1sin 7218264BCD S DC BC =⋅⋅≤⨯=△, 所以三角形BCD 面积的最大值为36+18.答案：(1)因为{}n a 为等差数列，且11a =，所以可设公差为d ， 则()11n a n d =+-，所以21a d =+，312a d =+.因为236a a ⋅=，所以()()1126d d ++=，解得1d =或52d =-.又等差数列{}n a 各项均为正数，所以52d =-不合题意，舍去所以*()n a n n =∈N因为{}n b 为等比数列，且11b =，所以可设公比为()0q q ≠，则1n n b q -=. 因为2388b b a ⋅==，所以128q q ⋅=，解得2q =，满足各项均为正数，所以()1*2n n b n -=∈N .(2)由(1)知1,2n n n a n b -==，所以2221log n n n c a b +=()121n n =+()*111=21n n n ⎛⎫- ⎪+⎝∈⎭N . 所以12n c c c +++111111122231n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭11121n ⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭()()*21n n n =+∈N . 19.答案：（1）通过茎叶图可以看出，A 选手所得分数的平均值高于B 选手所得分数的平均值；A 选手所得分数比较集中，B 选手所得分数比较分散.（2）记1CA 表示事件：“A 选手直接晋级”， 2CA 表示事件：“A 选手复赛待选”； 1CB 表示事件：“B 选手复赛待选”， 2CB 表示事件：“B 选手淘汰出局”．则1CA 与1CB 独立，2CA 与2CB 独立，1CA 与2CA 互斥，()()()111222C CACB CACB CA CB =．()()()()()()()()()()111222111222 P C P CACB P CACB P CA CB P CA P CB P CA P CB P CA P CB =++=++由所给数据得1CA ，2CA ，1CB ，2CB 发生的频率分别为811103,,,20202020， 故1212811103P(CA )=,P(CA )=,P(CB )=,P(CB )=20202020， ()81083113137202020202020400P C =⨯+⨯+⨯=. 20.答案：(1)依题意,可以建立以A 为原点,分别以,,AB AD AE 的方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向的空间直角坐标系(如图),可得()()()()()0,0,01,0,0,1,2,0,0,1,0,,,,002A B C D E .设()0CF h h =>,则()1,2,F h .依题意,()1,0,0AB =是平面ADE 的法向量,又(0,2,)BF h =,可得0BF AB ⋅=,又直线BF ⊄平面ADE ,所以BF平面ADE .(2)依题意,(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)BD BE CE =-=-=--.设(),,x y z =n 为平面BDE 的法向量,则0,0,BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩不妨令1z =,可得()2,2,1=n .因此有4cos ,9||||CE CE CE ⋅〈〉==-nn n .所以,直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49. (3)设(),,x y z =m 为平面BDF 的法向量,则0,0,BD BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即0,20,x y y hz -+=⎧⎨+=⎩不妨令1y =,可得21,1,h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭m .由题意,有||1|cos ,|||||3⋅〈〉===m n m n m n ,解得87h =.经检验,符合题意. 所以,线段CF 的长为87. 21.答案：（1）∵a e =,∴()1x f x e ex =--, ∴()()()',11,'10x f x e e f f =-=-=.∴当a e =时,函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y =- （2）∵()1x f x e ax =--, ∴()'x f x e a =-.当0a ≤时, ()'0f x >,故()f x 在R 上单调递增; 当0a >时,由()'0x f x e a =-=,得ln x a =,∴当ln x a < 时, ()'0f x <,当ln x a >时, ()'0f x >, ∴()f x 在(),ln a -∞上单调递减,在()ln ,a +∞上单调递增. 综上,当0a ≤时, ()f x 在R 上单调递增;当0a >时, ()f x 在(),ln a -∞上单调递减,在()ln ,a +∞上单调递增 22.答案：（1）因为椭圆经过点(,所以b =;又因为12e =, 所以12c a =;又222c a b =-,解2,a b = 所以椭圆C 的方程为22143x y+=.（2）设N M P ,,三点坐标分别为),(P P y x ,),(M M y x ,),(N N y x ，设直线PN PM ,斜率分别为21,k k ，则直线PM 方程为)(1P P x x k y y -=-，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+)(134122P P x x k y y y x 消去y ，得012484)(8)43(2122111221=-+-+--+P P P P P P y y x k x k x y x k k x k ，由根与系数关系可得211143)(8k y x k k x x P P P M +-=+故2112121114338443)(8k x y k x k x k y x k k x PP P P P P M +--=-+-=，同理可得222243)(8k y x k k x x P P P N +-=+又4321-=⋅k k ，故348643434343843)(821121112222++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=+k y k x k y x k k k y x k k x x PP P P P P P N ， 则M PP P P P P N x k x y k x k x k y k x x -=+---=-++=21121211433844386，从而0=+M N x x .即N M ,两点的横坐标之和为常数.。