高考数学二轮复习第二部分板块二十四数学归纳加强更强课件理7.ppt

[典例] 已知数列{an}的各项均为正数，bn＝n1＋n1nan(n ∈N*)，e 为自然对数的底数．
(1)求函数 f(x)＝1＋x－ex 的单调区间，并比较1＋n1n 与 e 的大小；
(2)计算ab11，ba11ba22，ba11ba22ba33，由此推测计算ba11ba22··… …··bann的公式， 并给出证明．
又 a1＋a2＋…＋ak－1＋(ak＋ak＋1)＝0，且|a1|＋|a2|＋…＋|ak－1| ＋|ak＋ak＋1|≤|a1|＋|a2|＋…＋|ak＋1|≤1， 由假设可得b1＋b2＋…＋bk－1＋ak＋kak＋1≤12－21k， 所以|b1＋b2＋…＋bk＋bk＋1| ＝b1＋b2＋…＋bk－1＋akk＋ka＋k＋11 ＝b1＋b2＋…＋bk－1＋ak＋kak＋1＋ka＋k＋11 －akk＋1 ≤12－21k＋ka＋k＋11－akk＋1
令
x＝n1(n∈N*)，得
1＋n1<e
1 n
，即1＋n1n<e.
(2)由题意bann＝n1＋n1n，
则ab11＝1×1＋111＝1＋1＝2；
ba11ba22＝ba11·ab22＝2×21＋122＝(2＋1)2＝32；
ba11ba22ba33＝ba11ba22·ba33＝32×31＋133＝(3＋1)3＝43.
[解] (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1－ex.
当 x<0 时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当 x>0 时，f′(x(x)的单调递增区间为(－∞，0]，单调递减区间为[0，
＋∞)．
当 x>0 时，f(x)<f(0)＝0，即 1＋x<ex.
(十四)数学归纳 加强更强
[速解技法——学一招] 数列不等式常见的证明方法主要有数学归纳法、放缩法、分 析法等，特别是数学归纳法，简单易操作，是证明该类问题的首 选，不过在处理 a1＋a2＋…＋an≤c≥c时数学归纳法往往不能 轻易过渡，所以常需要加强命题，去证明 a1＋a2＋…＋an≤c－ g1n≥c＋ g1n，除去第一数学归纳法，有时还需要用到第二 数学归纳法，见本节“记一点常用结论”.
由此推测：ba11ba22··……··bann＝(n＋1)n.
①
下面用数学归纳法证明①.
当 n＝1 时，左边＝右边＝2，①成立．
假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时，①成立，
即ba11ba22··… …··bakk＝(k＋1)k. 当 n＝k＋1 时，bakk＋＋11＝(k＋1)1＋k＋1 1k＋1， 由归纳假设可得 ba11ba22··… …··bakkbakk＋ ＋11＝ba11ba22··… …··bakk·bakk＋ ＋11 ＝(k＋1)k(k＋1)1＋k＋1 1k＋1＝(k＋2)k＋1， 所以当 n＝k＋1 时，①也成立． 综上可知①对一切正整数 n 都成立．
(2)假设当 n＝k(k∈N*且 k≥2)时，结论成立， 即当 a1＋a2＋…＋ak＝0，且|a1|＋|a2|＋…＋|ak|≤1 时， 有|b1＋b2＋…＋bk|≤12－21k. 则当 n＝k＋1 时，由 a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＝0， 且|a1|＋|a2|＋…＋|ak＋1|≤1， 可得 2|ak＋1|＝|a1＋a2＋…＋ak|＋|ak＋1|≤|a1|＋|a2|＋…＋ |ak＋1|≤1， 所以|ak＋1|≤12.
[经典好题——练一手] 设实数 a1，a2，…，an 满足 a1＋a2＋…＋an＝0，且|a1|＋|a2|＋… ＋|an|≤1(n∈N*且 n≥2)，令 bn＝ann(n∈N*)． 求证：|b1＋b2＋…＋bn|≤12－21n(n∈N*)． 证明：(1)当 n＝2 时，a1＝－a2， 所以|a1|＋|a2|＝2|a1|≤1，即|a1|≤12， 所以|b1＋b2|＝a1＋a22＝|a21|≤14＝12－2×1 2， 即当 n＝2 时，结论成立．
[技法领悟]
用数学归纳法证明相关问题时的易错点有两处： (1)n0 的取值并不一定从 1 开始，应当视题目而定； (2)在证明当 n＝k＋1 时命题成立的过程中，一定要用 上归纳假设，在推证 k 到 k＋1 的过程中，应分析清楚相关 项数的变化，常用放缩法、分析法等证明当 n＝k＋1 时结论 的成立．
＝12－21k＋1k－k＋1 1|ak＋1| ≤12－21k＋1k－k＋1 1×12 ＝12－2k1＋1， 即当 n＝k＋1 时，结论成立． 综上，由(1)和(2)可知，结论成立．
[常用结论——记一番] 第二数学归纳法的原理是假设一个与正整数 n 有关的命 题，如果： ①当 n＝1 时，命题成立； ②假设当 n≤k(k∈N*)时，命题成立，由此可推得当 n＝k ＋1 时，命题也成立． 那么根据①②可得，命题对于一切正整数 n 都成立．