初中数学中考二轮复习考点精讲精练专题03 分式方程(含答案)

专题03 分式方程
考点精讲
1.能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.
2.能解可化为一元一次方程的分式方程.
3.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.
考点解读
考点1：解分式方程
①分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
②解方式方程的解法步骤：
（1）去分母，将分式方程化为整式方程；
（2）解所得的整式方程；
（3）检验：把所求得的x的值代入最简公分母中，若最简公分母为0，则应舍去．
考点二：分式方程的根
①依据分式方程的增根确定字母参数的方法
（1）将分式方程化为整式方程
（2）用含有字母参数的代数式表示x
（3）根据情况确定值
②依据分式方程的增根确定字母参数的方法
（1）先将分式方程转化为整式方程
（2）由题意求出增根
（3）将增根代入所化得的整式方程，解出字母
考点3：分式方程的应用
①列分式方程解应用题的一般步骤
(1)审题；(2)设未知数；(3) 列分式方程；(4)解分式方程；(5)检验：(6)作答．
在检验这一步中，既要检验所求未知数的值是不是所列分式方程的解，又要检验所求未知数的值是不是符合题目的实际意义.
②常用公式：
（1）数量问题；
（2）销售问题（利润=售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；
（3）工程问题
①工作量=人均效率×人数×时间；
②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量
（4）行程问题（路程=速度×时间）；
考点突破
1．下列各式中，不是分式方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列关于x的方程是分式方程的为（ ）
A．﹣x＝B．＝1﹣
C．+1＝D．＝
3．关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）A．m＞2且m≠3B．m＞2C．m≥2且m≠3D．m≥2
4．若关于x的一元一次不等式组有解，且关于y的分式方程＝
的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）A．﹣14B．﹣15C．﹣16D．﹣17
5．下列说法：①＝是分式方程；②x＝1或x＝﹣1是分式方程＝0的解；③分式方程＝转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘x（x+4）；④解分式方程时
一定会出现增根，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝，这里等式右边是通常的实数运
算．例如：1⊗3＝＝﹣，则方程x⊗（﹣1）＝﹣1的解是（ ）
A．x＝4B．x＝5C．x＝6D．x＝7
7．x为实数，，那么x2+3x的值为（ ）
A．1B．﹣4或1C．﹣4D．4或﹣1
8．关于x的方程中，其中的解为（ ）
A．﹣4.2B．4C．4.﹣2D．无答案
9．如果关于x的分式方程无解，则实数m＝ ．
10．方程的解为x＝ ．
11．用换元法解分式方程时，若设，则原方程可以化为整式方程 ．
12．若关于x的分式方程有增根，则a的值为 ．
13．小强根据学习函数的经验，对函数y＝；图象与性质进行了探究，下面是小强的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：
（1）函数y＝；的自变量x的取值范围是 ；
（2）如表是y与x的几组对应值．
x…﹣2m﹣01234…
y…242n…
表中m的值为 ，n的值为 ；
（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数y＝的大致图象；
（4）结合函数图象，请写出函数y＝的一条性质： ．
（5）解决问题：如果方程＝2a﹣1的实数根有2个，那么a的取值范围是 ．
14．以下是小明同学解方程的过程．
【解析】方程两边同时乘（x﹣3），得1﹣x＝﹣1﹣2．…第一步
解得x＝4．…第二步
检验：当x＝4时，x﹣3＝4﹣3＝1≠0．…第三步
所以，原分式方程的解为x＝4．…第四步
（1）小明的解法从第 步开始出现错误；
（2）写出解方程的正确过程．
15．阅读下面材料，解答后面的问题：
解方程：﹣＝0．
解：设y＝，则原方程化为：y﹣＝0，方程两边同时乘以y得：y2﹣4＝0，解得：
y＝±2，经检验：y＝±2都是方程y﹣＝0的解，
∴当y＝2时，＝2，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时，＝﹣2，解得：x＝．
经检验：x＝﹣1或x＝都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或x＝．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：
（1）若在方程+＝中，设 ＝y，则原方程可化为 ，原方程的解为 ；
（2）模仿上述换元法解方程：﹣1＝0．
16．已知关于x的分式方程+＝（1）若方程的增根为x＝1，求m的值
（2）若方程有增根，求m的值
（3）若方程无解，求m的值．
参考答案
1．【解答】解：A，B，C方程中分母中都含有字母，都是分式方程，
D.方程分母中不含未知数，故不是分式方程．
故选：D．
【点拨】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
2．【解答】解：A.方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
B.方程分母中含未知数x，故是分式方程；
C.方程分母中不含表示未知数的字母，π是常数；
D.方程分母中不含未知数，故不是分式方程．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了分式方程的定义，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
3．【解答】解：去分母得m﹣3＝x﹣1，
解得x＝m﹣2，
∵x＞0且x≠1，
即m﹣2＞0且m﹣2≠1，
∴m＞2且m≠3．
故选：A．
【点拨】本题考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．也考查了解一元一次不等式．
4．【解答】解：∵，
由①得：2x+2a≤1+3x．
∴x≥2a﹣1．
由②得：3x﹣2＞4x﹣3．
∴x＜1．
∵原不等式组有解．
∴2a﹣1＜1．
∴a＜1．
在分式方程两边同乘（y﹣3）得：﹣2﹣ay＝4﹣2（y﹣3）．
∴（a﹣2）y＝﹣12．
∵方程的解为正整数．
∴a﹣2≠0，
∴a≠2．
∴y＝．
∵方程的解为正整数．y≠3
∴a﹣2＝﹣1，﹣2，﹣3，﹣6，﹣12．
∴a＝1，0，﹣1，﹣4，﹣10．
∵a＜1．
∴a＝0，﹣1，﹣4，﹣10．
0+（﹣1）+（﹣4）+（﹣10）＝﹣15．
故选：B．
【点拨】本题考查一元一次不等式组，分式方程的解，将不等式组的解集和分式方程的解表示出来，再确定a的范围是求解本题的关键．
5．【解答】解：①＝是分式方程，正确；
②x＝1或x＝﹣1是分式方程＝0的解，分母为0，应为增根，错误；
③分式方程＝转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘x（x+4），正确；
④解分式方程时不一定会出现增根，错误．
则正确的有2个，
故选：B．
【点拨】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
6．【解答】解：根据题中的新定义化简得：＝﹣1，
去分母得：2＝6﹣x+1，
解得：x＝5，
经检验x＝5是分式方程的解．
故选：B．
【点拨】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关
键．
7．【解答】解：令x2+3x＝t，
则有﹣t＝3，
方程两边同时乘t，得4﹣t2＝3t，
∴t2+3t﹣4＝0，
∴t＝﹣4或t＝1，
当x2+3x＝﹣4时x无解，
∴x2+3x＝1，
故选：A．
【点拨】本题考查换元法解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，注意验证换元所求的根是否都满足题意是解题的关键．
8．【解答】解：设y＝，则原方程可变为y2﹣2y﹣8＝0，
解得y1＝﹣2，y2＝4，
∴＝﹣2（舍去），＝4，
故选：B．
【点拨】本题考查了用换元法解方程，解题关键是能准确的找出可用替换的代数式，再用字母y代替解方程．
9．【解答】解：，
mx+3x﹣12＝7，
（m+3）x＝19，
∵方程无解，
∴m+3＝0或x＝＝4，
∴m＝﹣3或，
故答案为：﹣3或．
【点拨】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意方程增根的情况是解题的关键．
10．【解答】解：，
1+2（x﹣2）＝﹣1﹣x，
解得：x＝，
检验：当x＝时，x﹣2≠0，
∴x＝是原方程的根．
【点拨】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
11．【解答】解：设，则，，
代入原方程得，
整理得，5y2+y﹣1＝0．
故答案为：5y2+y﹣1＝0．
【点拨】本题考查了解分式方程，利用换元法是解题关键．
12．【解答】解：去分母，得：a+1＝2（x﹣3），
由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，
把x＝3代入整式方程，可得：a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点拨】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
13．【解答】解：（1）不论x为何值，分母都不为0，
故答案为：全体实数；
（2）由表格中可以看出，函数关于x＝1对称，
∴m＝﹣1，n＝；
故答案为：m＝﹣1，n＝；
（3）如图所示：
；
（4）①图象位于一二象限，
②当x＝1时，函数有最大值，最大值是4，
③当x＜1时，y随x的增大而增大，
④当x＞1时，y随x的增大而减小，
⑤图象与x轴没有交点．（任意写一条即可）；
故答案为：①图象位于一二象限，②当x＝1时，函数由值最大4，③当x＜1时，y随x 的增大而增大，④当x＞1时，y随x的增大而减小，⑤图象与x轴没有交点．（任意写一条即可）；
（5）根据图象可得：0＜y≤4．
当0＜＜4时方程实数根有2个，
即0＜2a﹣1＜4，
解得：＜a＜，
故答案为：．
【点拨】本题考查了分式方程的解、函数的图象和性质，利用描点法画函数图象，利用图象得出函数的性质是解题关键．
14．【解答】解：（1）小明的解法从第一步开始出现错误．
故答案为：一．
（2）方程两边同时乘（x﹣3），得1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣3）．
解得x＝4．
检验：当x＝4时，x﹣3＝4﹣3＝1≠0．
所以，原分式方程的解为x＝4．
【点拨】本题考查解分式方程的问题，确定最简公分母，然后去分母是解分式方程的首要步骤，在去分母时不要漏乘，注意对分式方程要检验．
15．【解答】解：（1）设＝y，则原方程化为：y+＝，
方程两边同时乘以2y得：2y2﹣5y+2＝0，解得：y＝或2，
经检验：y＝和2都是方程y+＝的解．
当y＝时，＝，解得x＝2；
当y＝2时，＝2，解得：x＝﹣1．
经检验：x＝和x＝﹣1是原分式方程的解，
故答案为，y+＝，x＝或x＝﹣1
（2）原方程化为：﹣＝0，
设y＝，则原方程化为：y﹣＝0，
方程两边同时乘以y得：y2﹣1＝0，解得：y＝±1，
经检验：y＝±1都是方程y﹣＝0的解．
当y＝1时，＝1，该方程无解；
当y＝﹣1时，＝﹣1，解得：x＝﹣．
经检验：x＝﹣是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣．
【点拨】本题考查了解分式方程，利用换元法是解题关键．
16．【解答】解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），
去分母并整理得：2（x+2）+mx＝x﹣1，
移项合并得：（m+1）x＝﹣5，
（1）∵x＝1是分式方程的增根，
∴1+m＝﹣5，
解得：m＝﹣6；
（2）∵原分式方程有增根，
∴（x+2）（x﹣1）＝0，
解得：x＝﹣2或x＝1，
当x＝﹣2时，m＝1.5；当x＝1时，m＝﹣6；
（3）当m+1＝0时，该方程无解，此时m＝﹣1；
当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m＝﹣6或m＝，
综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5．
【点拨】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．。