2019一轮优化探究理数(苏教版)练习：第七章 第三节 二元一次不等式组与简单的线性规划问题 Word版含解析

一、填空题

1、已知z ＝2x －y ，式中变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧

y ≤x ，

x ＋y ≥1，

x ≤2，

则z 的最大值为

________、

解析：根据约束条件画出可行域，如图所示，可求得 A (2,2)，B (12，1

2)，C (2，－1)、作出目标函数直线y ＝2x －z ，当直线经过点C (2，－1)时，z 取最大值，z max ＝5. 答案：5

2、在约束条件⎩⎨⎧

0≤x ≤1，

0≤y ≤2

2y －x ≥1

下，(x －1)2＋y 2的最小值为________、

解析：画出线性约束条件下的可行域(如图阴影部分)，所

求的

(x －1)2＋y 2的几何意义就是点(1,0)与阴影部分内的

点之间的距离，其最小值为点(1,0)到直线x －2y ＋1＝0的距离， 可求得

(x －1)2＋y 2的最小值为

|1－2×0＋1|

12＋(－2)2

＝255.

答案：255

3、若x 、y 满足 ⎩⎨⎧

x ＋y ≥6

x ≤4

y ≤4

，则z ＝y －1

x －1

的最大值是________、

解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包

括边界)、z ＝y －1

x －1可看作可行域上的点(x ，y )与定点B (1,1)连线的斜率、由图可知

z ＝y －1x －1的最大值为k AB ＝3. 答案：3

4、已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎨⎧

x ＋y ≤4，

y ≥x ，

x ≥1，

点O 为坐标原点，那么|PO |的

最小值等于________，最大值等于________、

解析：画出约束条件对应的可行域，如图，∵|PO |表示可行域上的点到原点的距离，从而使|PO |取得最小值的最优解为点A (1,1)；使|PO |取得最大值的最优解为点B (1,3)、 ∴|PO |min ＝2，|PO |max ＝10. 答案：2

10

5、现要挑选x 名女同学，y 名男同学参加某项游戏活动，其中x 和y 满足约束条

件⎩⎨⎧

x ＋y ≥4，x ＋4≥y ，x ≤4，

则挑选出男女同学总数和的最大值为

________、

解析：画图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为(4,0)，(4,8)，(0,4)，把此三点坐标代入z ＝x ＋y ，知点在(4,8)时，z ＝x ＋y 的最大值是4＋8＝12，应填12. 答案：12

6、在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧

x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，

x ≤a (a 是常数)

所表示的平面区域的面积

是9，那么实数a 的值为________、

解析：由题易知当a ≤－2时，不等式组表示的平面区域不存在；当a >－2时，不等式组表示的平面区域为三角形ABC ，如图所示，分别求出三条直线的交点坐标：A (a ，a ＋4)，B (a ，－a )，

C (－2,2)，故|AB |＝a ＋4－(－a )＝2a ＋4，点C 到直线AB 的距离为d ＝a －(－2)＝a ＋2，所以三角形ABC 的面积S ＝12(2a ＋4)·(a ＋2)＝9，解得a ＝1或a ＝－5(舍去)、 答案：1

7、不等式⎩⎨⎧

x ≥0，y ≥0，

y ≤－kx ＋4k

(k >1)所表示的平面区域为M ，若M 的面积为S ，则

kS

k －1

的最小值为________、

解析：作出不等式组所表示的平面区域，易知M 的面积S ＝1

2×4×4k ＝8k . ∵k >1，∴k －1>0.

于是，kS

k －1＝8k 2

k －1＝8(k －1)＋8k －1＋16≥32，当且仅当8(k －1)＝8

k －1，即k ＝2

时取等号、 答案：32

8、设不等式组⎩⎨⎧

x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，

5x －3y ＋9≤0

表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象

上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是________、 解析：作出不等式组表示的平面区域D ，如图阴影部分所示、

由⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋y －11＝0，3x －y ＋3＝0，得交点 A (2,9)、

对y ＝a x 的图象，当0<a <1时，没有点在区域D 上、

当a >1，y ＝a x 恰好经过A 点时，由a 2＝9，得a ＝3.要满足题意，需满足a 2≤9，解得1<a ≤3. 答案：1<a ≤3

9、已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧

y ≥1，y ≤2x －1，

x ＋y ≤m ，

若目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围

是[－2，－1]，则目标函数的最大值的取值范围是________、

解析：不等式组表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，目标函数变形为y ＝x －z ，当z 最小时就是直线y ＝x －z 在y 轴上的截距最大、当z 的最小值为－1，即直线y ＝x ＋1时，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝x ＋1，

y ＝2x －1，

可得此时点A 的坐标是(2,3)，此

时m ＝2＋3＝5；当z 的最小值为－2，即直线y ＝x ＋2时，联立方程⎩⎪⎨

⎪⎧

y ＝x ＋2，

y ＝2x －1，

可得此时点A 的坐标是(3,5)，此时m ＝3＋5＝8.故m 的取值范围是[5,8]、目标函数z ＝x －y 的最大值在点B (m －1,1)处取得，即z max ＝m －1－1＝m －2，所以目标函数的最大值的取值范围是[3,6]、 答案：[3,6] 二、解答题