2020年中考模拟河北省秦皇岛市青龙县中考数学一模试卷 含解析

2020年中考数学一模试卷一、选择题1．方程x2+x＝0的解是（）A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝1C．x1＝0，x2＝1D．x1＝0，x2＝﹣1 2．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，则cos B的值为（）A．B．C．D．3．在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（）A．3倍B．6倍C．9倍D．12倍4．以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是（）A．55°B．45°C．35°D．255．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式正确的是（）A．F＝B．F＝C．F＝D．F＝6．如图是由4个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则该几何体的（）A．主视图会发生改变B．俯视图会发生改变C．左视图会发生改变D．三种视图都会发生改变7．二次函数y＝x2+2x+2的图象是一条抛物线，则下列说法不正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线的顶点坐标是（1，1）C．抛物线与x轴没有交点D．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大8．如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（）A．3m B．m C．m D．4m9．嘉嘉和淇淇按如图所示的规则玩一次“锤子、剪刀、布”游戏，下列命题中不正确的是（）游戏规则若一人出“剪刀”，另一人出“布”，则出“剪刀”者胜；若一人出“锤子”，另一人出“剪刀”，则出“锤子”者胜；若一人出“布”，另一人出“锤子”，则出“布”者胜．若两人出相同的手势，则两人平局．A．嘉嘉不是胜就是输，所以淇淇胜的概率为B．嘉嘉胜或淇淇胜的概率相等C．两人出相同手势的概率为D．嘉嘉胜的概率和两人出相同手势的概率一样10．如图，某小区在一块长为16m，宽为9m的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得花草区域占地面积为120m2．设小路的宽度为xm，则下列方程：①（16﹣2x）（9﹣x）＝120②16×9﹣9×2x﹣（16﹣2x）x＝120③16×9﹣9×2x﹣16x+x2＝120，其中正确的是（）A．①B．②C．①②D．①②③11．如图，在△ABC中，∠B＝70°，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿图示中的虚线DE剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．12．如图，A，B两点在双曲线y＝（x＞0）上，分别过A，B两点向坐标轴作垂线段，若阴影部分的面积为1.7，则S1+S2的值为（）A．4.6B．4.2C．4D．513．如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF（面积记为S1）变形为以点D为圆心，CD为半径的扇形（面积记为S2），则S1与S2的关系为（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．S1＝S2 14．如图，在平行四边形ABCD中，E是BA延长线上一点，CE分别与AD，BD交于点G，F．下列结论：①②；③；④CF2＝GF•EF，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．415．反比例函数的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x+k2的图象大致是（）A．B．C．D．16．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O 上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）A．B．C．D．二、填空题（有3个小题）17．已知一组样本数据：1，2，3，4，5，1，则这组样本的中位数为．18．如图，已知⊙O的半径为4，OA⊥BC，∠CDA＝22.5°．（1）∠AOB的度数为度；（2）弦BC的长为．19．如图，将抛物线平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线交于点Q．（1）点P的坐标为；（2）图中阴影部分的面积为．三、解答题（有7个小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．按要求完成下列各小题．（1）计算：tan60°﹣sin245°+tan45°﹣2cos30°；（2）若x＝2是方程x2﹣4mx+m2＝0的一个根，求m的值．21．已知反比例函数y＝（m为常数，且m≠3）（1）若在其图象的每一个分支上，y随x增大而减小，求m的取值范围；（2）若点A（2，）在该反比例函数的图象上；①求m的值；②当x＜﹣1时，请写出y的取值范围．22．甲、乙两班分别选5名同学组成代表队参加学校组织的“国防知识”选拔赛，现根据成绩（满分10分）制作如图统计图和统计表（尚未完成）甲、乙两班代表队成绩统计表平均数中位数众数方差甲班8.58.5a0.7乙班8.5b10 1.6请根据有关信息解决下列问题：（1）填空：a＝，b＝；（2）学校预估如果平均分能达8.5分，在参加市团体比赛中即可以获奖，现应选派代表队参加市比赛；（填“甲”或“乙”）（3）现将从成绩满分的3个学生中随机抽取2人参加市国防知识个人竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到甲，乙班各一个学生的概率．23．如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯C下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m．①计算小亮在路灯D下的影长；②计算建筑物AD的高．24．熊组长准备为我们年级投资1万元围一个矩形的运动场地（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造且三边的总长为50m，墙长24m，平行于墙的边的费用为200元/m，垂直于墙的边的费用150元/m，设平行与墙的边长为x/m．（1）若运动场地面积为300m2，求x的值；（2）当运动场地的面积最大时是否会超过了预算？25．如图，已知BD为⊙O的直径，AB为⊙O的一条弦，P是⊙O外一点，且PO⊥AB，垂足为C，PO交⊙O于点N和点M，连接BM，AD，AP．（1）求证：PM∥AD；（2）若∠BAP＝2∠M，求证：PA是⊙O的切线；（3）连接BN，若AD＝6，．①设BC＝x，用含x的代数式表示MN；②求⊙O的半径．26．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3．（1）求抛物线的解析式；（2）点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）连接AD并延长，过抛物线上一点Q（Q不与A重合）作QN⊥x轴，垂足为N，与射线交于点M，使得QM＝3MN，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、细心选一选，一锤定音.（有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．方程x2+x＝0的解是（）A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝1C．x1＝0，x2＝1D．x1＝0，x2＝﹣1【分析】利用因式分解法解方程得出答案．解：x2+x＝0x（x+1）＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣1．故选：D．2．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，则cos B的值为（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理求出AB，根据余弦的定义计算即可．解：由勾股定理得，AB＝＝＝，则cos B＝＝＝，故选：B．3．在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（）A．3倍B．6倍C．9倍D．12倍【分析】复印前后的多边形按照比例放大与缩小，因此它们是相似多边形，本题按照相似多边形的性质求解．解：由题意可知，相似多边形的边长之比＝相似比＝2：6＝1：3，所以面积之比＝（1：3）2＝1：9．所以复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的9倍．故选：C．4．以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是（）A．55°B．45°C．35°D．25【分析】根据切线的性质得到∠OPB＝90°，证出OP∥BC，根据平行线的性质得到∠POB＝∠CBD，于是得到结果．解：∵AB是⊙O的切线，∴∠OPB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴OP∥BC，∴∠CBD＝∠POB＝35°，故选：C．5．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式正确的是（）A．F＝B．F＝C．F＝D．F＝【分析】直接利用阻力×阻力臂＝动力×动力臂，进而将已知量据代入得出函数关系式．解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，∴动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为：1200×0.5＝Fl，则F＝．故选：B．6．如图是由4个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则该几何体的（）A．主视图会发生改变B．俯视图会发生改变C．左视图会发生改变D．三种视图都会发生改变【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．解：如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的主视图会发生改变，俯视图和左视图不变．故选：A．7．二次函数y＝x2+2x+2的图象是一条抛物线，则下列说法不正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线的顶点坐标是（1，1）C．抛物线与x轴没有交点D．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解：∵二次函数y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，∴该抛物线的开口向上，故选项A正确；抛物线的顶点坐标是（﹣1，1），故选项B错误；当y＝0时，0＝x2+2x+2，此时△＝22﹣4×1×2＝﹣4＜0，故该抛物线与x轴没有交点，故选项C正确；当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，故选项D正确；故选：B．8．如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（）A．3m B．m C．m D．4m【分析】因为三角形ABC和三角形AB′C′均为直角三角形，且BC、B′C′都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，求出∠CAB，进而得出∠C′AB′的度数，然后可以求出鱼线B'C'长度．解：∵sin∠CAB＝＝＝，∴∠CAB＝45°．∵∠C′AC＝15°，∴∠C′AB′＝60°．∴sin60°＝＝，解得：B′C′＝3．故选：B．9．嘉嘉和淇淇按如图所示的规则玩一次“锤子、剪刀、布”游戏，下列命题中不正确的是（）游戏规则若一人出“剪刀”，另一人出“布”，则出“剪刀”者胜；若一人出“锤子”，另一人出“剪刀”，则出“锤子”者胜；若一人出“布”，另一人出“锤子”，则出“布”者胜．若两人出相同的手势，则两人平局．A．嘉嘉不是胜就是输，所以淇淇胜的概率为B．嘉嘉胜或淇淇胜的概率相等C．两人出相同手势的概率为D．嘉嘉胜的概率和两人出相同手势的概率一样【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出淇淇获胜的结果数、嘉嘉获胜的结果数和平局的结果数，再计算出淇淇或胜的概率、嘉嘉获胜的概率和平局的概率，然后对各选项进行判断．解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，淇淇获胜的结果数为3，嘉嘉获胜的结果数为3，平局的结果数为3，所以淇淇或胜的概率＝＝，嘉嘉获胜的概率＝＝，平局的概率＝＝．故选：A．10．如图，某小区在一块长为16m，宽为9m的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得花草区域占地面积为120m2．设小路的宽度为xm，则下列方程：①（16﹣2x）（9﹣x）＝120②16×9﹣9×2x﹣（16﹣2x）x＝120③16×9﹣9×2x﹣16x+x2＝120，其中正确的是（）A．①B．②C．①②D．①②③【分析】如果设小路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为16﹣2x，9﹣x；那么根据题意即可得出方程．解：设小路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为16﹣2x，9﹣x；根据题意即可得出方程为：（16﹣2x）（9﹣x）＝120，或16×9﹣9×2x﹣（16﹣2x）x＝120故选：C．11．如图，在△ABC中，∠B＝70°，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿图示中的虚线DE剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．解：A、剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意；B、剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，符合题意．D、可得∠BDE＝∠ACB，∠B＝∠B，剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意．故选：C．12．如图，A，B两点在双曲线y＝（x＞0）上，分别过A，B两点向坐标轴作垂线段，若阴影部分的面积为1.7，则S1+S2的值为（）A．4.6B．4.2C．4D．5【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S1+S阴影＝S2+S阴影＝4，则S1＝S2＝2.3，可求出S1+S2＝4.6．解：根据题意得S1+S阴影＝S2+S阴影＝4，∵S阴影＝1.7，∴S1＝S2＝2.3，∴S1+S2＝4.6．故选：A．13．如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF（面积记为S1）变形为以点D为圆心，CD为半径的扇形（面积记为S2），则S1与S2的关系为（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．S1＝S2【分析】由正六边形的性质的长的长，根据扇形面积公式＝×弧长×半径，可得结果．解：由题意：＝12，∴S2＝×12×3＝18，∵S1＝6××32＝，∴S1＞S2，故选：A．14．如图，在平行四边形ABCD中，E是BA延长线上一点，CE分别与AD，BD交于点G，F．下列结论：①②；③；④CF2＝GF•EF，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】①由AE∥CD可得出△AEG∽△DCG，利用相似三角形的性质可得出＝，结论①正确；②由BE∥CD可得出△BEF∽△DCF，利用相似三角形的性质可得出＝，结论②正确；③由BC∥DG可得出△BCF∽△DGF，利用相似三角形的性质可得出＝，结论③正确；④由②和③的结论可得出＝，即CF2＝GF•EF，结论④正确．此题得解．解：①∵AE∥CD，∴△AEG∽△DCG，∴＝，结论①正确；②∵BE∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴＝，结论②正确；③∵BC∥DG，∴△BCF∽△DGF，∴＝，结论③正确；④∵＝，＝，∴＝，∴CF2＝GF•EF，结论④正确．∴正确的结论有4个．故选：D．15．反比例函数的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x+k2的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数k＞﹣1，再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置相比较看是否一致，最终得到答案．解：∵函数y＝的图象经过二、四象限，∴k＜0，由图知当x＝﹣1时，y＝﹣k＜1，∴k＞﹣1，∴抛物线y＝2kx2﹣4x+k2开口向下，对称轴为x＝﹣＝，＜﹣1，∴对称轴在直线x＝﹣1的左边．∴当x＝0时，y＝k2＜1．故选：B．16．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O 上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）A．B．C．D．【分析】连接AC，AO，由AB⊥CD，利用垂径定理得到G为AB的中点，由中点的定义确定出OG的长，在直角三角形AOG中，由AO与OG的长，利用勾股定理求出AG 的长，进而确定出AB的长，由CO+GO求出CG的长，在直角三角形AGC中，利用勾股定理求出AC的长，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，如图中红线所示，当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在直角三角形ACG中，利用锐角三角函数定义求出∠ACG的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出的长，即可求出点F所经过的路径长．解：连接AC，AO，∵AB⊥CD，∴G为AB的中点，即AG＝BG＝AB，∵⊙O的半径为4，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，∴OG＝2，∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AG＝＝2，又∵CG＝CO+GO＝4+2＝6，∴在Rt△AGC中，根据勾股定理得：AC＝＝4，∵CF⊥AE，∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A 重合，∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在Rt△ACG中，tan∠ACG＝＝，∴∠ACG＝30°，∴所对圆心角的度数为60°，∵直径AC＝4，∴的长为＝π，则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为π．故选：C．二、细心填一填，相信你填得又快又准.（有3个小题，共11分.17小题3分；18～19小题各有2个空，每空2分.把答案填在题中横线上）17．已知一组样本数据：1，2，3，4，5，1，则这组样本的中位数为 2.5．【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．解：将这组数据小到大排列：1，1，2，3，4，5，中位数为＝2.5，故答案为2.5．18．如图，已知⊙O的半径为4，OA⊥BC，∠CDA＝22.5°．（1）∠AOB的度数为45度；（2）弦BC的长为4．【分析】（1）利用垂径定理，圆周角定理解决问题即可．（2）求出BT，根据垂径定理即可解决问题．解：（1）∵OA⊥CB，∴＝，∴∠AOB＝2∠ADC＝2×22.5°＝45°，故答案为45．（2）设OA交BC于T．∵OA⊥BC，∴CT＝TB，∵∠OTB＝90°，∠O＝45°，OB＝4，∴TB＝OT＝2，∴BC＝2BT＝．19．如图，将抛物线平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线交于点Q．（1）点P的坐标为；（2）图中阴影部分的面积为．【分析】（1）抛物线C1与抛物线y＝x2的二次项系数相同，利用待定系数法即可求得函数的解析式，进而即可求得顶点P的坐标；（2）图中阴影部分的面积与△POQ的面积相同，利用三角形面积公式即可求解．解：（1）∵把抛物线y＝x2平移得到抛物线m，且抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），∴抛物线m的解析式为y＝（x﹣0）（x+6）＝x2+3x＝（x+3）2﹣．∴P．故答案是：；（2）把x＝﹣3代入＝x2得y＝，∴Q（﹣3，），∵图中阴影部分的面积与△POQ的面积相同，S△POQ＝×9×3＝．∴阴影部分的面积为．故答案为：．三、开动脑筋，你一定能做对.（有7个小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．按要求完成下列各小题．（1）计算：tan60°﹣sin245°+tan45°﹣2cos30°；（2）若x＝2是方程x2﹣4mx+m2＝0的一个根，求m的值．【分析】（1）根据特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案．（2）将x＝2代入原方程即可求出m的值．解：（1）原式＝﹣+1﹣2×＝＝+﹣＝；（2）将x＝2代入方程可知：4﹣8m+m2＝0，解得：m＝4±2m的值为或．21．已知反比例函数y＝（m为常数，且m≠3）（1）若在其图象的每一个分支上，y随x增大而减小，求m的取值范围；（2）若点A（2，）在该反比例函数的图象上；①求m的值；②当x＜﹣1时，请写出y的取值范围．【分析】（1）解不等式m﹣3＞0即可；（2）①把A（2，）代入y＝中，可得m值；②根据反比例函数式，结合x＜﹣1，列出含y的不等式即可．解：（1）由题意可得m﹣3＞0，解得m＞3；（2）①把A（2，）代入y＝中，得到m﹣3＝3，解得m＝6；②由①可得y＝，当x＜﹣1时，＜﹣1，解得﹣3＜y＜0．22．甲、乙两班分别选5名同学组成代表队参加学校组织的“国防知识”选拔赛，现根据成绩（满分10分）制作如图统计图和统计表（尚未完成）甲、乙两班代表队成绩统计表平均数中位数众数方差甲班8.58.5a0.7乙班8.5b10 1.6请根据有关信息解决下列问题：（1）填空：a＝8.5，b＝8；（2）学校预估如果平均分能达8.5分，在参加市团体比赛中即可以获奖，现应选派甲班代表队参加市比赛；（填“甲”或“乙”）（3）现将从成绩满分的3个学生中随机抽取2人参加市国防知识个人竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到甲，乙班各一个学生的概率．【分析】（1）利用条形统计图，结合众数、中位数的定义分别求出答案；（2）利用平均数、方差的定义分析得出答案；（3）首先根据题意列表，然后由列表求得所有等可能的结果与恰好抽到甲，乙班各一个学生的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．解：（1）甲的众数为：8.5，乙的中位数为：8，故答案为：8.5，8；（2）从平均数看，两班平均数相同，则甲、乙两班的成绩一样好；从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更稳定．故答案为：甲班；（3）列表如下：甲乙1乙2甲﹣﹣﹣乙1 甲乙2 甲乙1甲乙1﹣﹣﹣乙2乙1乙2甲乙2乙1乙2﹣﹣﹣所有等可能的结果为6种，其中抽到甲班、乙班各一人的结果为4种，所以P（抽到A，B）＝＝．23．如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯C下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m．①计算小亮在路灯D下的影长；②计算建筑物AD的高．【分析】解此题的关键是找到相似三角形，利用相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例求解．解：①∵EP⊥AB，CB⊥AB，∴∠EPA＝∠CBA＝90°∵∠EAP＝∠CAB，∴△EAP∽△CAB∴∴∴AB＝10BQ＝10﹣2﹣6.5＝1.5；②∵FQ⊥AB，DA⊥AB，∴∠FQB＝∠DAB＝90°∵∠FBQ＝∠DBA，∴△BFQ∽△BDA∴＝∴∴DA＝12．24．熊组长准备为我们年级投资1万元围一个矩形的运动场地（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造且三边的总长为50m，墙长24m，平行于墙的边的费用为200元/m，垂直于墙的边的费用150元/m，设平行与墙的边长为x/m．（1）若运动场地面积为300m2，求x的值；（2）当运动场地的面积最大时是否会超过了预算？【分析】（1）根据矩形的面积公式列方程求解可得；（2）根据矩形的面积公式列出总面积关于x的函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得．解：（2）根据题意，得：（）x＝300，解得：x＝20或x＝30，∵墙的长度为24m，∴x＝20；（2）设菜园的面积是S，则S＝（）x＝﹣x2+25x＝﹣（x﹣25）2+，∵﹣＜0，∴当x＜25时，S随x的增大而增大，∵x≤24，∴当x＝24时，S取得最大值，∴总费用＝24×200+26×150＝8700＜1000，∴没有超过预算．25．如图，已知BD为⊙O的直径，AB为⊙O的一条弦，P是⊙O外一点，且PO⊥AB，垂足为C，PO交⊙O于点N和点M，连接BM，AD，AP．（1）求证：PM∥AD；（2）若∠BAP＝2∠M，求证：PA是⊙O的切线；（3）连接BN，若AD＝6，．①设BC＝x，用含x的代数式表示MN；②求⊙O的半径．【分析】（1）证明∠DAB＝∠MCB＝90°，根据平行线的判定求出即可；（2）连接OA，求出∠OAP＝∠BAP+∠OAB＝∠BOC+∠OBC＝90°，根据切线的判定得出即可；（3）由于BC＝x，得到CM＝2x，根据相似三角形的性质和判定求出NC＝x，求出MN＝2x+x＝2.5x，OM＝MN＝1.25x，OC＝0.75x，根据三角形的中位线性质得出0.75x＝AD＝3，求出x即可．解：（1）∵BD是直径，∴∠DAB＝90°．∵PO⊥AB，∴∠MCB＝90°，∴∠DAB＝∠MCB，∴PM∥AD；（2）连接OA．∵∠BON＝2∠M，∠BAP＝2∠M，∴∠BON＝∠BAP．∵OA＝OB，OC⊥AB，∴∠AOC＝∠BON，∴∠AOC＝∠BAP．在Rt△OAC中，∠AOC+∠OAC＝90°，∴∠BAP+∠OAC＝90°，即∠OAP＝90°，∴PA⊥OA，∴PA是⊙O的切线；（3）①在Rt△MCB中，，∴．∵BC＝x，∴CM＝2x．∵MN是⊙O直径，MN⊥AB，∴∠MBN＝∠BCN＝90°，∴∠NBC＝90°﹣∠BNC＝∠M，∴，∴，∴；②由①得，∴．∵O是BD的中点，C是AB的中点，AD＝6，∴，解得x＝4，∴，即⊙O的半径为5．26．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3．（1）求抛物线的解析式；（2）点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）连接AD并延长，过抛物线上一点Q（Q不与A重合）作QN⊥x轴，垂足为N，与射线交于点M，使得QM＝3MN，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）点A、C的坐标分别为：（﹣2，0）、（0，3），将点A、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）作点D关于对称轴的对称轴D′（﹣1，2），连接BD′交抛物线对称轴与点P，则点P为所求，即可求解；（3）QM＝|﹣m2+m+3﹣m﹣1|＝|﹣m2+2|，3MN＝3（m+1），QM＝3MN，即|﹣m2+2|＝3（m+1），即可求解．解：（1）点A、C的坐标分别为：（﹣2，0）、（0，3），将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3；（2）存在，理由：作点D关于对称轴的对称轴D′（﹣1，2），连接BD′交抛物线对称轴与点P，则点P 为所求，将点B、D′的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线BD′的函数表达式为：y＝﹣x+，抛物线的对称轴为：x＝，当x＝时，y＝，故点P（，）；（3）设点N（m，0），则点M、Q的坐标分别为：（m，m+1）、（m，﹣m2+m+3），则QM＝|﹣m2+m+3﹣m﹣1|＝|﹣m2+2|，3MN＝3（m+1），∵QM＝3MN，即|﹣m2+2|＝3（m+1），解得：m＝﹣2或﹣1或5（舍去﹣2），故点（﹣1，2）或（5，﹣7）．。