函数的单调性 (3)

y
3
-2 -5 -4 -3 -1
2 1
O1 -1 -2 2 3 4 5
x
提出问题：要求学生结合概念中的图示及例1，归纳总结其中的判断方法。要 讲清： ①单调区间的开闭 ②增、减区间的表示 ③图象升、降的看法
例2：证明函数f(x)=-3x+1在R上是减函数。
解答
用图象观察函数的单调性只是一种很粗略的方法，严格 地说，它需要根据单调性的定义进行逻辑推理论证,例2 先从“形”上去判断单调区间和单调性，再回归定义去， 从“数”的角度证明单调性，使学生认识到“形”可帮 助我们探索解题思路，而定义是最终解决问题的基 础．通过师生共同总结，得出使用定义证明的一般步骤： 任取——作差——变形——定号，引导学生抽象、概括 出方法及步骤，这对强化学生恒等变形的基本技能和方 法都将起到积极作用，并为高二学习比较法证明不等式 奠定了基础.
教材分析
目标分析
学法指导
教法分析 教法分析
过程分析
授 之 以 鱼 ， 不 如 授 之 以 渔
1、引导学生主动参与，亲身实践， 独立思考，合作探究，在生生合作， 师生互动中，使学生真正成为知识 的发现者和知识的研究者。 2、让学生利用图形直观启迪思维 ，通过组题的训练，来完成从感性 建构主义理论认为：知识不是被 认识到理性思维的飞跃． 动接受的 ,而是认知主体积极主动 3、要加强对概念的分析，希望能 建构的。现 代教育心理学的研究 够使学生认识到看似简单的定义中 认为有效的概念教学是建立在学 有不少值得去推敲、去琢磨的东西 生已有知识结构基础上的 ，其中甚至包含着辩证法的原理．
探究二：
从定向性的证明，到自我探索单调区间完成 证明，是一个很大的跨越，但在此探索过程中， 学生体会到数学中“数形”的联系和互相验证， 体会到成功解决问题的快乐．
x 讨论：函数 f ( x ) 的图象是什么？ x 1 单调性是什么？用定义如何去证明？
实际问题 在一碗水中，加入一定量的
y
1
糖，糖加得越多糖水就越甜．你能运用所
附：板书设计
作出下列函数图象 §2．1．3函数的单调性 探究一
1、概念： 2、判断函数单调性的方法 例一：
探究二
例二：
欢迎各位老师提出宝贵意见！
谢
谢
问题情景
学生活动
构建数学
数学应用
自己作出下列函数的图象：
(1). y x 1
(2). y 2x 2 2 (3). y x
观察函数图象，并有什么样的直观感受
y
y
y x 1
1
y 2x 2
x
2
1
O
1
O
x
y
yx
2
O
x
可以让学生进行充分的讨论，教师启发诱 导，让学生发表自己的看法，然后找同学 回答自己的认识。最后把大家的认识统一 为感知图象有时是上升的，有时是下降的。
y
yx
2
f (x1 )
O x1
x
y
yx
2
f (x1 )
O x1
x
y
yx
2
f (x1 )
O
x1
x
y
yx
2
f (x1 )
O
x1
x
y
yx
2
f (x1 )
O
x1
x
教材分析
目标分析
教法分析
过程分析
问题情景 学生讨论
学生活动
构建数学
数学应用 结论
在某一区间内 当x的增大时， 函数值y也增大 在某一区间内 当x的增大时 ，函数值y反 而减小
下结论 作差 变形
定号
探究一：
讨论：对于函数f(x)=1/x 1 它的定义域是什么？ 2 它的图象是什么？ 3 它在定义域内是减函数吗？ 4 能否证明它在(0, +∞)上的单调性.
设计意图：调动学生参与讨论，形 成生动活泼的学习氛围，从而培养 学生的发散思维，开阔解题思路， 使学生形成良好的学习习惯.
学过的数学知识来解说这一现象吗？
生活实际问题的提供体现了数 学来源于生活，也用于解决生活中 的问题．
－1
O
x
教材分析
目标分析
教法分析
过程分析
回顾小结
课外作业
1、函数单调性的概念 2、用定义证明函数单调性的步骤 3 、对于选择填空,可以通过图象简单判断函数 单调性,大题要求证明的严格按照定义证明.
(设计意图)通过小结使学生对本节课所学知识 的结构有一个明晰的认识，能抓住重点进行课 后复习。
函数的单调性
各位老师、各位 专家大家好，我 今天说课的课题 是：函数的单调 性
教材分析
目标分析
说课 过程
教法分析
过程分析
教材分析 目标分析 教材分析
教法分析
过程分析
1、教材的地位与作用
本节课《函数的单调性》是《高中数学必修1》 2.1.3 的内容，它是在学习了函数概念的基础上所研 函数的性质是研究函数的基石，函数的单调性是首 究的函数的一个重要性质，常伴随着函数的其它性质 先研究的一个性质．它既是在学生学过函数概念、 出现，既是在学生学过函数概念图象、表示方法等知 图象、表示方法等知识后的延续和拓展，又是后面 识后的延续和拓展，又是后面研究指数函数、对数函 研究指数函数、对数函数、三角函数等各类函数的 数、幂函数等各类函数的单调性的基础，在整个高中 单调性的基础.并且在比较几个数的大小、对函数作 数学中起着承上启下的作用。研究函数单调性的过程 定性分析、以及与其他知识的综合应用上都有广泛 体现了数学的“数形结合”和“从一般到特殊”的思 的应用．同时在这一节中利用函数图象研究函数性 想方法，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维 质的数形结合思想将贯穿于整个高中数学教学。 能力，掌握数学的思想方法具有重大意义。
设计意图：其实函数图象的上升或下降 的规律就是函数单调性的表现形式，它 是函数单调性的一种图形语言，但是有 一点需向学生指明，图象上升或下降应 该在方向上取得统一，对函数的图象来 说，方向是以x轴正方向为参照即从左向 右。
请学生再观察图形3，提问：它在整个定义 域内是上升或下降的吗？找同学来回答。
回顾小结
课外作业
通过作业加深对概念的理 解，强化解题步骤，形成 并提高解题能力。 3 1，4 ，7 的深化理解． 课后尝试是对课堂知识
书面作业：习题2 课后尝试
、
1、若定义在R上的单调减函数 f ( x) 满 足 f (1 a) f (3 a) ，你知道 a 的 取值范围吗？ 2 2、函数 y x bx c在［0，＋∞ ） 是增函数，你能确定字母 b 的值吗？
教材分析
目标分析
教法分析
过程分析
优 化 教 学 方 法 提 高 课 堂 效 率 .
教学方法 本节课是一节较为抽象的数学概念课，因此，教法上要 注意： 1、由学生熟悉的实际生活问题入手，为概念学习创设 情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动 学生主体参与的积极性． 2、在运用定义解题的过程中，紧扣定义中的关键语句 ， 通过学生的主体参与 ，逐个完成对各个难点的突破，以 获得各类问题的解决． 3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导 作用．具体体现在设问、讲解和板书等方面. 4、利用多媒体辅助教学，节省了时间，增大了信息量， 增强了直观形象性。
y
yБайду номын сангаасx
2
o
设计意图：通过提问让同学 们明白函数的单调性是一个 区间的概念，其中在一个区 间内上升就称为“单调增”， 在一个区间内下降就称为 “单调减”。 图3
x
y
yx
2
f (x1 )
x1
O
x
y
yx
2
f (x1 )
x1
O
x
y
yx
2
f (x1 )
x1 O
x
y
yx
2
f (x1 )
x1O
x
教材分析 目标分析 目标分析
教法分析
过程分析
目 标 是 锁 定 远 航 的 明 灯
知识目标：理解增函数和减函数的定 义，并能根据定义证明函数的单调性 ；让学生了解函数的单调区间的概念 ，并能根据函数图象说出函数的单调 区间。 能力目标：通过证明函数的单调性的 学习，培养学生的观察能力，分析归 纳能力，增强学生对知识的主动构建 的能力。
x1
函数f (x)在给定区间 上为增函数。
如何用x与 f(x)来描述下降的图象？
y
y f (x)
f (x1 )
在给定区间上任取 x1 , x2 ,
x1 x2 f(x1 ) f(x2 )
f (x 2 )
O
x1
x2
函数f (x)在给定区间 上为减函数。
x
构 建 数 学 一般地，函数f(x)的定义域为I：
创设情景 学生活动
过程 分析
构建数学 数学应用 回顾小结 课后作业
问题情景
学生活动
构建数学
数学应用
设计意图：创设生活情 境，让学生亲近数学，感 受到数学就在他们的周围， 强化学生的感性认识，从 而达到学生对数学的理解。
问题1：怎样描述气温随时间增大的变化情况？ 问题2：怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大 气温逐渐升高”这一特征？ 问题3：在区间［4，16］上，气温是否随时间增大而增大？
注意关键 词哟
自变量的值x1 ,x 2 , 当x1 x 2时,都有 f x1 f x2 称函数 f(x)在这个区间上是增函数。 2. 如果对于属于定义域内某个区间的任意两个
使学生把定义与直 f x f x 自变量的值x , x , 当x x 时, 都有 1 2 1 2 1 2
图象在该区 间内呈上升 趋势； 图象在该区 间内呈下降 趋势；
函数 的这 种性 质称 为函 数的 单调 性。
定 义 如何用x与 f(x)来描述上升的图象？ 引 入 y 在给定区间上任取 x1 , x2 ,
y f (x)
f (x1 )
O
f (x 2 )
x2
x
x1 x2
f(x1 ) f(x2 )
教材分析
目标分析 目标分析 教法分析
过程分析
目 标 是 锁 定 远 航 的 明 灯
情感目标：让学生积极参与观察、 分析、探索课堂教学活动，让每一 个学生都能体会到成功的喜悦，以 此激发求知欲。同时，培养学生对 数学美的艺术体验
思想目标：渗透“数形结合”、 “从特殊到一般”等数学思想方法， 引导学生形成学以致用的意识。
证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1<x2,则 取值 f(x1)-f(x2)=(-3 x1 +1)-(-3 x2+1) =-3( x1- x2) 由x1<x2 ，得 x1- x2 <0 于是 f(x1)-f(x2)>0 即 f(x1)>f(x2) 所以，函数f(x)=-3x+1在R上是减函数。
教材分析 教材分析 目标分析
教法分析
过程分析
教 学 重 难 点
教学重点:函数单调性的概念 教学难点： 知识教学方面：判断或证明函数的单调 性时，常常要综合运用一些知识（如不等式 、因式分解以及数形结合的思想方法等）， 因此函数单调性的判断或证明是本节的一个 难点. 情感教育方面：如何营造课堂积极求解 的氛围，以激发学生的创造力，增强学生知 难而进的决心。
1. 如果对于属于定义域内某个区间的任意两个
称函数
观图象结合起来， 加深对概念的理解， f(x)在这个区间上是减函数 。 渗透数形结合分析 问题的数学思想方 法。
教材分析
目标分析
教法分析
过程分析
问题情景
学生活动
构建数学
数学应用
在某区间上， 增函数 减函数
图象下降
图象上升
。
例1:下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象，根 据图象说出y＝f（x）的单调区间，以及在每一单调区间 上， y＝f（x）是增函数还是减函数.