相似矩阵

第三讲
Ⅰ 授课题目：
§5.3 相似矩阵
§5.4 对称矩阵的相似矩阵 Ⅱ 教学目的与要求：
1. 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的充分条件.
2. 会求实对称矩阵的相似对角形. Ⅲ 教学重点与难点：
重点：相似矩阵的性质及矩阵对角化的条件. 难点：求实对称矩阵的相似对角矩阵. Ⅳ 讲授内容：
一、相似矩阵的定义及性质
定义1 设B A ,都是n 阶矩阵，若有可逆矩阵P ，使B AP P =-1，则称B 是A 的相似矩阵，或说矩阵A 与B 相似，记为B A ~.对A 进行运算AP P 1-称为对A 进行相似变换，可逆矩阵P 称为把A 变成B 的相似变换矩阵. 注 矩阵相似是一种等价关系.
（1）反身性：A A ~.
（2）对称性：若B A ~，则A B ~.
（3）传递性：若B A ~，C B ~，则C A ~. 性质1 若B A ~，则
（1）T T B A ~； （2）11~--B A ； （3）E B E A λλ-=-； （4）B A =； （5）)()(B R A R =.
推论 若n 阶矩阵A 与对角矩阵⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=Λn λλλ
2
1相似，则n λλλ,,,21 是A 的n 个特征值.
性质2 若1
-=PBP
A ，则A 的多项式1)()(-=P
B P A φφ.
推论 若A 与对角矩阵Λ相似，则
1211
)()
()()()(--⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=Λ=P P P
P A n λφλφλφφφ
.
注 （1）与单位矩阵相似的只有它本身； （2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似. 二、矩阵可对角化的条件
对n 阶方阵A ，如果可以找到可逆矩阵P ，使Λ=-AP P 1为对角阵，就称为把方阵
A 对角化。

定理1 n 阶矩阵A 可对角化（与对角阵相似）A ⇔有n 个线性无关的特征向量。

推论 如果n 阶矩阵A 的n 个特征值互不相等，则A 与对角阵相似.（逆命题不成立） 注：（1）若A ～Λ，则Λ的主对角元素即为A 的特征值，如果不计i λ的排列顺序，则Λ
唯一，称之为矩阵A 的相似标准形。

（2）可逆矩阵P 由A 的n 个线性无关的向量构成。

把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。

可对角化的矩阵主要有以下几种应用： 1. 由特征值、特征向量反求矩阵
例 1 已知方阵A 的特征值01=λ，12=λ，33=λ，相应的特征向量⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=1111η，
⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=10 1 2η，⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=1 21 3η，求矩阵A .
解 因为特征向量是3维向量，所以矩阵A 是3阶方阵.又因为A 有3个不同的特征值，所以A 可对角化.即存在可逆矩阵P ，使得Λ=-AP P 1. 其中⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛--=11
1201
111
P ，⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=Λ31
0.
那么⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=-613
16
1210213131311
P . 所以1-Λ=P P A ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛----=11
0121
011 2. 求方阵的幂
例2 设⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-
-
=3 25 4A ，求100A 。

解：0)1)(2(3 25 4=+-=----=
-λλλ
λλE A
2 ,1 21=-=∴λλ，
∴ A 可对角化。

当11-=λ时，得特征向量⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=111P
当22=λ时，得特征向量⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=252P 。

令()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==2 15 1,21P P P ，求得⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=-1 1 5 2311P 。

即存在可逆矩阵P ，使⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=Λ=-2 11
AP P
1
-Λ=∴P
P A
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-⨯-⨯+-=Λ
=-101
101100
1001
100
100
2
5 222
55 25231P
P A
3. 求行列式
例3 设A 是n 阶方阵，2，4，…，n 2是A 的n 个特征值，计算E A 3-。

解 方法1 求E A 3-的全部特征值，设3)(-=x x f ，则3)(-=i i f λλ，
)32(311)3(31
-⋅⋅⋅⋅⋅-=-=
-∏=n E A n
i i
λ
方法2 已知A 有n 个不同的特征值，所以A 可以对角化。

)32(3113
2 24 3
233-⋅⋅⋅⋅⋅-=---=
-Λ=-n n E E A
4. 判断矩阵是否相似
例4 已知3阶矩阵A 的特征值为1，2，3，设E A A B +-=33，问矩阵B 能否对角化？ 解 令13)(3+-=x x x f
E A A A f B +-==3)(3
B ∴的特征值为19)3( ,3)2( ,1)1(=-=-=f f f
故B 可对角化。

三、实对称矩阵的相似矩阵
实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们一定可以对角化.即存在可逆矩阵P ，使得Λ=-AP P
1
.更可找到正交可逆矩阵T ，使和Λ=-AT T
1
定理2 实对称矩阵的特征值为实数。

证：设λ是A 的任一特征值，（往往λλ=），α是对应于λ的特征向量，（0≠α），设⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=n
x x x 2
1
α 则λαα=A ，
用λ表示λ的共轭复数，α表示α的共轭复向量。

则αλλαα⋅==A （1）
又 A 是实对称矩阵，A A =∴且A A T =。

∴ααα⋅=⋅=A A A （2）
由（1）（2）有ααλ⋅=⋅A ，等号两边同时乘T α 左边ααλαλα⋅⋅=⋅⋅=T T )(
右边ααλαλαααααααT T T T T T A A A ⋅=⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅=)()()( αα
λαα
λ⋅⋅=⋅⋅∴T
T
即0)(=⋅⋅-ααλλT 考虑
())
0( 0 ,,,2
1
2
2
2
1
22112
1
21≠>++=⋅++⋅+⋅=⎪⎪
⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=ααα n n
n n n T
x x x x x x x x x x x
x x x x
λλλλ=∴=-∴ 0 即λ为实数。

定理2的意义：因为对称矩阵A 的特征值1λ为实数，所以齐次线性方程组0)(=-x E A i λ是实系数方程组。

又因为0=-E A i λ，可知该齐次线性方程组一定有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量。

定理3：实对称矩阵A 的对应于不同特征值的特征向量正交。

证：设21,λλ是对称矩阵A 的两个特征值，且21λλ≠，21,p p 是依次与之对应的特征向量。

则)(,,21222111λλλλ≠==p Ap p Ap
A 为实对称矩阵，A A
T
=∴
考虑A p A p p p T T T T T
111111)(===λλ，于是 21222121211)(p p p p Ap p p p T
T
T
T
λλλ===
于是)(22121211p p p A p p p T T T
λλ⋅=⋅=
0)(2121=⋅-∴p p T
λλ
即1p ，2p 正交.
21λλ≠ ，021=∴p p T
，0),(2121==∴p p p p T
定理4：A 为n 阶实对称矩阵，0λ是A 的k 重特征值，则对应于0λ的特征向量中，线性无关的个数为k ，即0)(0=-X E A λ的基础解系所含向量个数为k 。

则)(0E A r n k λ--=，k n E A r -=-∴)(0λ。

定理5：（实对称矩阵必可对角化）
对于任一n 阶实对称矩阵A ，一定存在n 阶正交矩阵T ，使得Λ=-AT T 1。

其中Λ是以
A 的n 个特征值为对角元素的对角阵。

证：设实对称阵A 的互不相等的特征值为s λλλ,,,21 ，它们的重数依次为s r r r ,,,21 ，则n r r r s =++ 21
由定理，特征值i λ（重数为i r ）对应的线性无关的特征向量为i r 个。

把它们正交化，再单位化，即得i r 个单位正交的特征向量。

n r r r s =+++ 21
所以，可得这样的单位向量n 个。

又A 是实对称阵，∴不同特征值对应的特征向量正交，∴上面得到的n 个单位特征向量两两正交。

以它们为列向量构成正交矩阵T ，有Λ=Λ⋅=⋅--T T AT T 11，其中Λ对角元素含有1r 个
1λ，2r 个2λ，…，s r 个s λ，恰是A 的n 个特征值。

求正交矩阵T ，把实对称矩阵A 化为对角阵的方法：
1.解特征方程0=-E A λ，求出对称阵A 的全部不同的特征值。

2.对每个特征值i λ，求出对应的特征向量，即求齐次线性方程组0)(=-X E A i λ的基础解系。

3.将属于每个i λ的特征向量先正交化，再单位化，这样共可得到n 个两两正交的单位特征向量n ηηη,,,21 。

4.以n ηηη,,,21 为列向量构成正交矩阵),,,(21n T ηηη =，有A AT T =-1。

即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=Λ=⋅-r
r AT T
λλλ
λ 1
1
1
必须注意，对角阵中n λλλ,,,21 的顺序，要与特征向量n ηηη,,,21 的顺序一致。

例5 设⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----=0 2 0 2 1 20 2 2 A ，求正交矩阵T ，使得AT T
1
-为对角阵。

解 0)2)(1)(4( 2 0 2 1 20
2 2 =+--=-------=-λλλλ
λλλE A
0,1,4321===∴λλλ。

当41=λ时，由0)4(=-x E A ，
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=-0 0 02 1 02 0 14 2 0 2 3 20 2 24E A ，
即⎩⎨⎧-==323
122x x x x 得基础解系⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=1 22 1p 。

只需把1p 单位化，得⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=3132321 η 当12=λ时，由0)(=-x E A ，
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-0 0 01 2 00 2 11 2 0 2 0 20 2 1 E A
即⎩⎨⎧-==232
122x x x x 得基础解系⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=21 2 2p 。

只需把2p 单位化，得⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=3231322
η 当22-=λ时，由0)2(=+x E A ，
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=+0 0 00 1 21 0 22 2 0 2 3 20 2 4 2E A
即⎩⎨⎧==121
322x x x x 得基础解系⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=2213p ，
只需把3p 单位化，得⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=3232313η。

得正交矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--==2 2 1 2 1 21 2 2 31),,(321ηηηT ，
有⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-2 0 00 1 00 0 41
AT T 。

Ⅴ 小结与提问：
小结：对于实对称矩阵A ，不仅能找到可逆矩阵P ，使AP P 1-为对角矩阵，而且能
找到正交矩阵Q 使AQ Q 1-为对角矩阵.由于Q 是正交矩阵，它的n 个列向量组成一个正交的单位向量组，因此在求出A 的n 个线性无关特征向量后，还需要再把它们正交化与
单位化.又因实对称矩阵A 的对应不同特征值的特征向量正交，故正交化过程可只对重特征值对应的线性无关特征向量进行.
提问：判断矩阵A 是否可对角化的基本方法有哪些？ Ⅵ 课外作业：
162P 5、7、8、9（1）。