茶陵县五中九年级数学上册第二章一元二次方程6应用一元二次方程第1课时利用一元二次方程解决几何问题教案

6 应用一元二次方程
第1课时利用一元二次方程解决几何问题
【知识与技能】
使学生会用一元二次方程解应用题.
【过程与方法】
进一步培养学生将实际问题转化为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生运用数学的意识.
【情感态度】
通过列方程解应用题，进一步体会运用代数中方程的思想方法解应用题的优越性.
【教学重点】
实际问题中的等量关系如何找.
【教学难点】
根据等量关系设未知数列方程.
一、情境导入，初步认识
列方程解应用题的步骤是什么？
①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答.
【教学说明】初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决.但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，这就是我们本节课所研究的问题，一元二次方程的应用.
二、思考探究，获取新知
问题：有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）
分析：设四周垂下的宽度为x尺时，可知台布的长为(2x+6)尺，宽为（2x+3）尺，利用台布的面积是桌面面积的2倍构建方程可获得结论.
解：设四周垂下的宽度为x尺时，依题意可列方程为（6+2x）(3+2x)=2×6×3.整理方程，得2x2+9x-9=0.解得x1≈0.84，x2≈-5.3(不合题意，舍去).即这块台布的长约为7.7尺，宽约为4.7尺.
【教学说明】注意引导学生分析、理清题目中的数量关系，挖掘已知条件与要解决问题，激发学生解决问题的欲望，体会数形结合思想的应用.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P52例1.
2.直角三角形的两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长为（ B ）
A.37
B.5
C.38
D.7
3.从正方形铁皮的一边切去一个2cm宽的长方形，若余下的长方形的面积为48cm2，则原来正方形的铁皮的面积为64cm2.
4.如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，地毯中间的矩形图案的长为6m，宽为3m，若整个地毯的面积为40m2，求花边的宽.
解：设花边的宽为x m，依题意有（6+2x）（3+2x）=40，
解得x1=1，x2=
11
2
-（不合题意应舍去）.
即花边的宽度为1m.
5.如右图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m.
（1）若所围的面积为150m2，试求此长方形鸡场的长和宽；
（2）如果墙长为18m，则（1）中长方形鸡场的长和宽分别是
多少？
（3）能围成面积为160m2的长方形鸡场吗？说说你的理由.
分析:如图，若设BC = x m，则AB的长为35
2
x
-
m，若设AB = x m，则BC=(35-
2x)m，再利用题设中的等量关系，可求出（1）的解；在（2）中墙长a = 18m意味着BC边长应小于或等于18m，从而对（1）的结论进行甄别即可；（3）中可借助（1）的解题思路构建方程，依据方程的根的情况可得到结论.
解:（1）设BC=xm，则AB=CD=35
2
x
-
m，依题意可列方程为x·
35
2
x
-
=150，解这个
方程，得x1=20，x2=15.
（2）当墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽只能是15m和10m;
（3）不能围成面积为160m2的长方形鸡场，理由如下：设BC = x m，由（1）知
AB=35
2
x
-
m，从而有x·
35
2
x
-
=160，方程整理为x2-35x+320=0.此时Δ=352-4×1×
320=1225-1280＜0，原方程没有实数根，从而知用35m的篱笆按图示方式不可能围成面积
为160m2的鸡场.
6.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.
（1）如果P，Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8cm2？
（2）点P，Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？
分析：（1）如果P，Q同时出发，x s后，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，此时△
PCQ的面积为1
2
×2x（6-x），令该式=8，由此等量关系列出方程求出符合题意值；
（2）△ABC的面积的一半等于1
2
×
1
2
AC·BC=12（cm2），令
1
2
×2x（6-x）=12，判断
该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在.
解：（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2.由题意得AP=xcm，PC=
（6-x）cm，CQ=2xcm，则1
2
·（6-x）·2x=8.整理，得x2-6x+8=0，解得
x1=2，x2=4.所以P，Q同时出发2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.
（2）由题意，得S△AB C=1
2
AC·BC=
1
2
×6×8=24（cm2），令
1
2
×2x×（6-x）=
1
2
×
24，x2-6x+12=0，b2-4ac=62-4×12=-12<0，该方程无实数解，所以不存在使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半的时刻.
四、师生互动、课堂小结
1.回顾、整理并总结，让学生在活动中积累实践经验，理解建立数学模型的重要性.
2.独立完成以上例题.
1.布置作业：教材“习题
2.9”中第2、3、4题.
2.完成练习册中相应练习.
本课时无论是例题的分析还是练习的分析，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己的机会，在此过程中发现并总结学生存在的思维误区，便于今后的教学.课堂上注意激发学生的学习热情，帮助学生形成积极主动的求知态度.
实际问题与二次函数
一、知识点
1、实物抛物线一般步骤
①据题意，结合函数图象求出函数解析式；
②确定自变量的取值范围；
②据图象，结合所求解析式解决问题.
2、实际问题中求最值
①分析问题中的数量关系，列出函数关系式；
②研究自变量的取值范围；
③确定所得的函数；
④检验x的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；
④解决提出的实际问题.
3、结合几何图形
①根据几何图形的性质，探求图形中的关系式；
③根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；
④利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题
二、标准例题：
例1：如图，斜坡AB长10米，按图中的直角坐标系可用y=
3
3
-x+5表示，点A，B分别在x轴和y轴上．在坡
上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B处，抛物线可用y=
1
3
-x2+bx+c表示．
（1）求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围）；
（2）求水柱离坡面AB的最大高度；
（3）在斜坡上距离A点2米的C处有一颗3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？
【答案】（1）y=-
1 3x2+
43
3
x+5；（2）当x=
53
2
时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为
25
4
；（3）水柱能越过树，理
由见解析
【解析】（1）∵AB=10、∠OAB=30°，
∴OB=1
2
AB=5、OA =10×
3
2
=53，
则A（53，0）、B（0，5），
将A、B坐标代入y=-1
3
x2+bx+c，得：
1
75530
3
5
b c
c
⎧
-⨯++=
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
解得：
43
3
5
b
c
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴抛物线解析式为y=-1
3
x2+
43
3
x+5；
（2）水柱离坡面的距离d=-1
3
x2+
43
3
x+5-（-
3
3
x+5）
=-1
3
x2+
53
3
x
=-1
3
（x2-53x）
=-1
3
（x-
53
2
）2+
25
4
，
∴当x=53
2
时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为
25
4
；
（3）如图，过点C作CD⊥OA于点D，
∵AC =2、∠OAB =30°
， ∴CD =1、AD =3， 则OD =43，
当x =43时，y =-13×（43）2+433
×43+5=5＞1+3.5， 所以水柱能越过树．
总结：本题考查了二次函数的应用，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
例2：某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用20
m 长的篱笆围成一个矩形ABCD （篱笆只围,AB BC 两边），设AB x =m .
（1）若花园的面积为962m ，求x 的值；
（2）若在P 处有一棵树与墙,CD AD 的距离分别是11m 和5m ，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S 的最大值.
【答案】（1）x 的值为8或12；（2）当9x =时，S 的值最大，最大值为99
【解析】解：（1）(20)96x x -=，18x =，212x =
x 的值为8或12
（2）依题意得52011x x ≥⎧⎨-≥⎩
，得59x ≤≤ 2(20)(10)100S x x x =-=--+
当59x ≤≤时，S 随x 的增大而增大，
所以，当9x =时，S 的值最大，最大值为99
总结：此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系与不等关系进行求解. 例3：一家商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为件；
（2）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
（3）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润的最大值是多少元？
【答案】（1）26；（2）每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元；（3）当每件商品降价1 5元时，该商店每天销售利润最大值为1250元．
【解析】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3＝26件．
故答案为：26；
（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元，根据题意，得（40﹣x）（20+2x）＝1200 整理，得x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20
要求每件盈利不少于25元
∴x2＝20应舍去，解得x＝10
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
（3）设每件商品降价n元时，该商店每天销售利润为y元
则：y＝（40﹣n）（20+2n）
y＝﹣2n2+60n+800
n＝﹣2＜0
∴y有最大值
当n＝15时，y有最大值＝1250元，此时每件利润为25元，符合题意
即当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大值为1250元．
总结：本题主要考查一元二次方程的应用问题，特别注意函数的取值范围，再求最大值是要先分析函数的取值范围，在计算函数值的最大值.
例4：随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待.某公司计划在某地区销售第一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第x（x为正整数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系.
（1）求y与x之间的关系式；
（2）设该产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台），p与x的关系可用
11
22
p x
=+来描述。

根据
以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？
【答案】（1）y 与x 之间的关系式为5007500y x =-+；（2）第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元.
【解析】（1）设y 与x 之间的关系式为y=kx+b ，
把（1，7000），（5,5000）代入y=kx+b ，
得700050005k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得5007500
k b =-⎧⎨=⎩ ∴y 与x 之间的关系式为5007500y x =-+；
（2）令销售收入W=py=11()(5007500)22
x x +-+=2250(7)16000x --+
∴当x=7时，W 有最大值为16000，
此时y=-500×7+7500=4000
故第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元.
总结：此题主要考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式与二次函数的图像与性质.
三、练习
1．如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系h ＝20t ﹣5t 2．下列叙述正确的是（ ）
A ．小球的飞行高度不能达到15m
B ．小球的飞行高度可以达到25m
C ．小球从飞出到落地要用时4s
D ．小球飞出1s 时的飞行高度为10m
【答案】C
【解析】A 、当h ＝15时，15＝20t ﹣5t 2，
解得：t 1＝1，t 2＝3，
故小球的飞行高度能达到15m ，故此选项错误；
B 、h ＝20t ﹣5t 2＝﹣5（t ﹣2）2+20，
故t ＝2时，小球的飞行高度最大为：20m ，故此选项错误；
C 、∵h ＝0时，0＝20t ﹣5t 2，
解得：t 1＝0，t 2＝4，
∴小球从飞出到落地要用时4s ，故此选项正确；
D 、当t ＝1时，h ＝15，
故小球飞出1s 时的飞行高度为15m ，故此选项错误；
故选：C ．
2．如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB 是以B 为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是( )
A ．25min~50min ，王阿姨步行的路程为800m
B ．线段CD 的函数解析式为324002550s t t =+≤≤（）
C ．5min~20min ，王阿姨步行速度由慢到快
D ．曲线段AB 的函数解析式为23201200520s t t =--+≤≤（）（）
【答案】C
【解析】观察图象可知5min~20min ，王阿姨步行速度由快到慢，25min~50min ，王阿姨步行的路程为2000-1200=800m ，故A 选项正确，C 选项错误；
设线段CD 的解析式为s=mt+n ，将点(25，1200)、(50，2000)分别代入得
120025200050m n m n =+⎧⎨=+⎩，解得：32400
m n =⎧⎨=⎩，
所以线段CD 的函数解析式为324002550s t t =+≤≤（）
，故B 选项正确； 由曲线段AB 是以B 为顶点的抛物线一部分，所以设抛物线的解析式为y=a(x-20)2+1200，
把(5，525)代入得：525=a(5-20)2+1200，
解得：a=-3，
所以曲线段AB 的函数解析式为23201200520s t t =--+≤≤（）（）
，故D 选项正确， 故选C.
本题考查了函数图象的应用问题，C 项的图象由陡变平，说明速度是变慢的，所以C 是错误的．
3．北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-
抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点，拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )
A ．226675y x =
B ．226675y x =-
C ．2131350y x =
D ．2131350
y x =- 【答案】B
【解析】∵
拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系，
∴设抛物线解析式为y=ax 2，点B(45，-78)，
∴-78=452a ，
解得：a=26675
-， ∴此抛物线钢拱的函数表达式为226675y x =-
， 故选B.
4．用一根长为20cm 的铁丝围成一个长方形，若该长方形的一边长为xcm ，面积为ycm 2，则y 与x 之间的关系
式为_____． 【答案】y ＝﹣x 2+10x
【解析】解：由题意知：y=x•（2022
x
-）=x （10-x ）=-x 2+10x ． 故答案为：y=-x 2+10x ．
5．飞行中的炮弹经x 秒后的高度为y 米，且高度与时间的关系为()2
0y ax bx c a =++≠，若此炮弹在第7秒
与第13秒时的高度相等，则炮弹在最高处的时间是第________秒。

【答案】10
【解析】∵此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等， ∴抛物线的对称轴是：x=
713
2
+=10， ∴炮弹所在高度最高时：时间是第10秒． 故答案为10．
6．某种商品每件进价为10元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元（10≤x ≤20且x 为整数）出售，可卖出（20﹣x ）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为_____元． 【答案】15
【解析】解：设利润为w 元，
则w ＝（20﹣x ）（x ﹣10）＝﹣（x ﹣15）2+25， ∵10≤x ≤20，
∴当x ＝15时，二次函数有最大值25， 故答案是：15．
7．如图所示，某小区要用篱笆围成一矩形花坛，花坛的一边用足够长的墙，另外三边所用的篱笆之和恰好为16米．求矩形ABCD 的面积（用s 表示，单位：平方米）与边AB （用x 表示， 单位：米）之间的函数关系式.
【答案】S=x(16−2x)=−2x 2 +16x
【解析】根据题意可得AB=x ，BC=16−2x ，
∴S=x(16−2x)=−2x2 +16x
故答案为：S=x(16−2x)=−2x2+16x
8．商场里某产品每月销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数关系，经调查部分数据如表：（已知每只进价为10元，每只利润=销售单价-进价）
（1）求出y与x之间的函数表达式；
（2）这产品每月的总利润为w元，求w关于x的函数表达式，并指出销售单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？
（3）由于该产品市场需求量较大，进价在原有基础上提高了a元（a＜10），但每月销售量与销售价仍满足上述一次函数关系，此时，随着销售量的增大，所得的最大利润比（2）中的最大利润减少了144元，求a的值．
【答案】（1）y=-x+50；（2）当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润400元；（3）8；
【解析】解：（1）设y=kx+b（k≠0），
根据题意代入点（21，29），（25，25），
∴
2129 2525
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
解得
1
50
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴y=-x+50．
（2）依题意得，w=（x-10）（-x+50）=-x2+60x-500=-（x-30）2+400，
∵a=-1＜0，
∴当x=30时，w有最大值400，
即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润400元．
（3）最新利润可表示为-x2+60x-500-a（-x+50）=-x2+（60+a）x-500-50a，
∴此时最大利润为
()2
450050(60)
4
a a
+-+
-
=400-144，
解得a1=8，a2=72，
∵当a=72时，销量为负数舍去．
∴a =8．
9．金堂三溪镇被中国柑桔研究所誉为“中国脐橙第一乡”，2016年12月某公司到三溪镇以2.5元/千克购得脐橙12000千克，这些脐橙的销售期最多还有60天，60天后库存的脐橙不能再销售，需要当垃圾处理，处理费为0.1元/千克，经测算，脐橙的销售价格定为8元/千克时，每天可售出100千克;销售单价每降低0.5元，每天可多售出50千克.
(1).如果按8元/千克的价格销售,能否在60天内售完?这些脐橙按此价格销售,获得的利润是多少?
(2).如果按6元/千克的价格销售,这些脐橙获得的利润是多少?当这些脐橙销售价格定为x(35x ≤≤)元/千克时，可以使公司每天获得利润最大，每天的最大利润为多少？ 【答案】（1）不能在60天内售完.17400元；
（2）42000元，这些脐橙销售价格定为5元/千克时，可以使公司每天获得最大利润1000元. 【解析】解：（1）6010012000⨯< ∴不能在60天内售完.
6000(8 2.5)(120006000)(2.50.1)330001560017400⨯---⨯+=-=（元）
（2）50
12000(1002)400.5
÷+⨯=（天） 40<60
∴12000(6 2.5)42000⨯-=（元）
设这些脐橙销售价格定为x （35x ≤≤）元/千克时，可以使公司每天获得最大利润w 元.
()()501008 2.50.5w x x ⎡
⎤=+-⨯-⎢⎥⎣⎦ 210011502250w x x =-+-
当x<5.75时，w 随x 的增大而增大， ∵35x ≤≤
∴当x=5时，w 大=1000（元）
答：这些脐橙销售价格定为5元/千克时，可以使公司每天获得最大利润1000元.
10．某公司生产一种健身产品在市场上很受欢迎，该公司每年的年产量为6万件，每年可在国内和国外两个市场全部销售，若在国内销售，平均每件产品的利润y 1（元）与国内销售量x （万件）的函数关系式为
180(01)81(16)
x y x x ⎧=⎨-+<⎩，若在国外销售，平均每件产品的利润为71元．
（1）求该公司每年的国内和国外销售的总利润w （万元）与国内销售量x （万件）的函数关系式，并指出x 的取值范围．
（2）该公司每年的国内国外销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值是多少？
（3）该公司计划在国外销售不低于5万件，并从国内销售的每件产品中捐出2m （5≤m≤10）元给希望工程，从国外销售的每件产品中捐出m 元给希望工程，若这时国内国外销售的最大总利润为393万元，求m 的值．
【答案】（1）w=2
9426(01)
10426(16)
x x x x x +⎧⎨
-++<⎩ （2）当该公司每年的国内销售量为5万件国外销售量为1万件时，可使公司每年的总利润最大，最大值是451万元． （3）5.5≤m≤6．
【解析】解：（1）w=y 1•x+71（6-x ）
=28042671(01)8142671(16)x x x x x x x +-⎧⎨-++-<⎩
=2
9426(01)
10426(16)x x x x x +⎧⎨
-++<⎩ ∴w=2
9426(01)
10426(16)x x x x x +⎧⎨
-++<⎩
（2）由（1）知，当x=1时，9x+426的最大值为435； 当1＜x≤6时，-x2+10x+426的最大值为x=5时的值，即451， 451＞435 ∴
当该公司每年的国内销售量为5万件国外销售量为1万件时，可使公司每年的总利润最大，最大值是451万元．
（3）∵该公司计划在国外销售不低于5万件，而该公司每年的年产量为6万件 ∴该公司每年在国内销售的件数x 的范围为：0≤x≤1
则总利润w=（80-2m ）x+（71-m ）（6-x ）=（9-m ）x+426-6m 显然当10≥m≥9时，w 的值小于393，
当5≤m ＜9时，9-m ＞0，当x=1时，令w=（9-m ）×1+426-6m=393 解得m=6，当x=0时，令w=426-6m=393，解得m=5.5
经验证，发现当5.5≤m≤6时符合题意，其他值都不符合．
11．某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x 天的生产成本y （元/件）与x （天）之间的关系如图所示，第x 天该产品的生产量z （件）与x （天）满足关系式2120.z x =-+
()1第40天，该厂生产该产品的利润是
元；
()2设第x 天该厂生产该产品的利润为w 元．
①求w 与x 之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？ ②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？
【答案】（1）1600；（2）①
()221001200,030804800,(3050)
x x x x x ⎧-++<≤⎪
⎨
-+<≤⎪⎩，第25天的利润最大，最大利润为2450元；②当天利润不低于2400元的共有11天．
【解析】()1由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为24012040z =-⨯+=
则第40天的利润为：()80
40401600⨯﹣＝元 故答案为1600
()2①设直线AB 的解析式为()0y kx b k +≠＝，把()()070,3040，，代入得 703040b k b =⎧⎨+=⎩，解得70
1
b k =⎧⎨
=-⎩ ∴直线AB 的解析式为70y x -+＝
()I 当030x ≤＜时
()()80702120w x x ⎡⎤--+-+⎣⎦＝
221001200x x -++＝ ()2
2252450x --+＝
∴当25x =时，2450w 最大值＝
()II 当3050x ≤＜时，
()()80402120804800w x x =-⨯-+-+＝
w 随x 的增大而减小
∴当312320x w 最大值＝
时，＝ 221001200,(030)
804800,(3050)x x x W x x ⎧-++<≤∴=⎨-+<≤⎩
第25天的利润最大，最大利润为2450元
②()I 当030x ≤＜时，令
()2
22524502400x +﹣﹣＝元 解得122030x x ＝，＝
抛物线()2
2252450w x +＝﹣﹣开口向下 由其图象可知，当2030x ≤≤时，2400w ≥
此时，当天利润不低于2400元的天数为：3020111-+＝天
()II 当3050x ≤＜时，
由①可知当天利润均低于2400元
综上所述，当天利润不低于2400元的共有11天．
12．如图，排球运动员站在点M 处练习发球，将球从M 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足抛物线解析式．已知球达到最高2.6m 的D 点时，与M 点的水平距离EM 为6m ．
（1）在图中建立恰当的直角坐标系，并求出此时的抛物线解析式；
（2）球网BC 与点M 的水平距离为9m ，高度为2.43m ．球场的边界距M 点的水平距离为18m ．该球员判断
此次发出的球能顺利过网并不会出界，你认为他的判断对吗？请说明理由． 【答案】（1）见解析，21
(6) 2.660
y x =--+；（2）该球员的判断不对，球会出界，见解析. 【解析】解：（1）如图，
以点M 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则点A ，E ，D 的坐标分别为（0，2），（6，0），（6，2.6） 设球运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）的抛物线解析式为y ＝a （x ﹣h ）2+k 由题意知抛物线的顶点为（6，2.6） 故y ＝a （x ﹣6）2+2.6
将点A （0，2）代入得2＝36a+2.6 ∴a ＝﹣
160
， 故此时抛物线的解析式为y ＝﹣
1
60
（x ﹣6）2+2.6 （2）该球员的判断不对，理由如下： 当x ＝9时，y ＝﹣1
60
（x ﹣6）2+2.6＝2.45＞2.43 ∴球能过网； 当y ＝0时，﹣
1
60
（x ﹣6）2+2.6＝0 解得：x 1＝6+239＞18，x 2＝6﹣239（舍） 故球会出界．
13．一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD 为直径的半圆O ，下部是一个矩形ABCD .
（1）当4=AD 米时，求隧道截面上部半圆O 的面积.
（2）已知矩形ABCD 相邻两边之和为8米，半圆O 的半径为r 米.
①求隧道截面的面积S （米2）关于半径r （米）的函数关系式（不要求写出r 的取值范围）；
②若2米3CD ≤≤米，利用函数图象求隧道截面的面积S 的最大值（π取3.14，结果精确到0.1米2）. 【答案】（1）2π米;（2）①S 214162r r π⎛⎫
=-+
⎪⎝⎭
;②隧道截面的面积S 的最大值约为26.1米2. 【解析】解（1）当4=AD 米时，2
2
1122222
AD S πππ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪
⎝⎭半圆（米2）. （2）①∵2AD r =，8AD CD +=，∴882CD AD r =-=-.∴
()221282122S r AD C r D r r ππ=+⋅=+-214162r r π⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
.
②由①知82CD r =-，又∵2米3CD ≤≤米，∴2823r ≤-≤，∴2.53r ≤≤.由①
知2211416 3.1441622S r r r r π⎛⎫⎛⎫=-+≈⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭228642.4316 2.43 2.43 2.43r r r ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝
⎭，∵2.430-<，
∴函数图象为开口向下的一段抛物线. ∵函数对称轴8
3.32.43
r =
≈，又2.53 3.3r ≤≤<. 由函数图象知，在对称轴左侧S 随r 的增大而增大，故当3r =时，S 有最大值.
21431632S π⎛⎫=-⨯+⨯ ⎪⎝⎭最大值1 3.14494826.12⎛⎫
≈⨯-⨯+≈ ⎪⎝⎭
（米2）.
答：隧道截面的面积S 的最大值约为26.1米2.
第3课时拱桥问题和运动中的抛物线
学习目标:
1、体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值。

2、掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值。

学习重点:应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润。

学习难点:能够正确地应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润．特别是把握好自变量的取值范围对最值的影响。

学习过程:
一、预备练习：
1、如图所示的抛物线的解析式可设为，若AB∥x
轴，且AB=4，OC=1，则点A的坐标为，点B的坐标
为；代入解析式可得出此抛物线的解析式
为。

⑤某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示。

现测得水面宽
AB=4m，涵洞顶点O到水面的距离为1m，于是你可推断点A
的坐标是，点B的坐标为；根据图中
的直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数解析式可设
为。

二、新课导学：
例1、有座抛物线形拱桥(如图)，正常水位时桥下河面宽
20m，河面距拱顶4m，为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水面在正常水位基础上上涨多少米时，就会影响过往船只航行。

例2、某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？
三、课堂练习：
1、河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所示的坐标系，其函数的解析式为y=2
25
1x
，当水位线在AB 位置时，水面宽 AB = 30米，这时水面离桥顶的高度h 是（
）
A 、5米
B 、6米；
C 、8米；
D 、9米
2、、一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m,拱高是2m.当水面下降1m 后,水面的宽度是多少?(结果精确到0.1m).
3、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图,现测得，当水面宽AB ＝1.6 m 时，涵洞顶点与水面的距离为 2.4 m ．这时，离开水面 1.5 m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1 m ？
4、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m ，顶部C 离地面高度为4．4m ．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m ，装货宽度为2．4m ．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．
5、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用表示.
（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？
（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可
以通过？
21。